平面上兩點間的距離教學目標掌握平面上兩點間的距離公式；掌握平面上連結兩點的線段的中點坐標公式；能運用距離公式和中點坐標公式解決一些簡單的問題．教學重點與難點本節(jié)課的重點兩點間距離公式，難點是理解兩點間距離公式和中點坐標公式的應用．教學過程一、問題情境本節(jié)課研究的問題是：——平面上任意兩點間的距離如何用坐標來表示？——平面上任意兩點的中點的坐標如何用其兩點的坐標來表示？二、學生活動、建構數(shù)學探究：已知A（?1，3），B（3，?2），C（6，?1），D（2，4），四邊形ABCD是否為平行四邊形?除了用對邊是否平行的判別方法，還可以通過對面是否相等來判別.下面我們就想計算點A（?1，3），B（3，?2）間的距離.為此，我們先來回顧一些簡單的距離問題.x軸上兩點P1（x1，0），P2（x2，0）的距離|P1P2|＝|x2－x1|．y軸上兩點P1（0，y1），P2（0，y2）的距離|P1P2|＝|y2－y1|．推廣：P1（x1，a），P2（x2，a）的距離|P1P2|＝|x2－x1|．P1（b，y1），P2（b，y2）的距離|P1P2|＝|y2－y1|．數(shù)軸上A，B兩點的距離：AB＝｜x1－x2｜；由于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，y2）構成直角三角形，于是可以用勾股定理得：平面上AB＝.數(shù)學理論、數(shù)學運用平面上兩點間的距離一般地，平面上P1(x1,y1)，P2(x2,y2)兩點間的距離.說明：兩點間距離公式的本質就是在直角坐標系中的勾股定理的體現(xiàn)，但是更重要的是兩點間距離這個幾何量被代數(shù)的方法表示出來．例1（課本P87例1）（1）求A（?1，3），B（2，5）兩點間的距離；（2）已知A（0，10），B（a，?5）兩點間的距離是17，求實數(shù)a的值．解：由兩點間距離公式，得.由兩點間距離公式，得，解得a=±8.評：本題就是直接運用兩點間距離公式來解決問題.課內練習求下列兩點間的距離：(1)A(6，0),B(?2，0)；(2)C(0，?4),D(0，?1)；(3)P(6，0),Q(0，?2)；(4)M(2，1),N(5，?1).兩點的中點坐標公式對于一開始提出的問題，由于兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以只需要說明對角線AC和BD的中點相同，即可以推得四邊形ABCD為平行四邊形.如果求出AC的中點的坐標呢？x軸上兩點P1（x1，0），P2（x2，0）的中點為（）．y軸上兩點P1（0，y1），P2（0，y2）的中點為（）．推廣：P1（x1，a），P2（x2，a）的中點為（）．P1（b，y1），P2（b，y2）的中點為（）．由于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，y2）構成直角三角形，在直角坐標系中，AC的中點的縱坐標是AB中點的縱坐標，BC中點的橫坐標是AB中點的橫坐標，從而AB的中點坐標為（）.一般地，平面上P1(x1,y1)，P2(x2,y2)兩點的中點為M，則M的坐標為（）.說明：1.中點坐標公式是將一個幾何概念用代數(shù)的方法表示出來．2.若三角形ABC的三個頂點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則其重心坐標是.例2（課本P89例2）已知三角形ABC的頂點坐標為A(?1,5)，B(?2,?1)，C(4,7)，求BC邊上的中線AM的長和AM所在的直線方程.解：設中點M的坐標為（x，y）.因為點M是線段BC的中點，所以x=1，y=3，即M的坐標為（1，3）.根據(jù)兩點間距離公式，得.因此，BC邊上的中線AM的長為.由兩點式，得中線AM所在直線的方程為，即x+y?4=0.例3（課本P89例3）已知三角形ABC是直角三角形，斜邊BC的中點為M，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，證明：.證：以直角三角形ABC的直角邊AB，AC所在直線為坐標軸，建立直角坐標系，設B，C兩點的坐標分別為（b，0），（0，c）.因為點M是BC的中點，故點M的坐標為（），即（）.由兩點間距離公式，得，