1引言組合恒等式是組合數(shù)學(xué)的一個(gè)重要部份.它在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中都有普遍應(yīng)用,而且它的證明方式多種多樣,具有很強(qiáng)的靈活性.下面通過(guò)幾個(gè)實(shí)例具體講述一下，幾種證法在組合恒等式中的運(yùn)用.2代數(shù)法通常利用組合恒等式的一些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，使得等式兩邊相等，或利用二項(xiàng)式定理(x+y)n=￡Crxrynr在展開(kāi)式中令X和y為某個(gè)特定的nr=0值，也可以先對(duì)二項(xiàng)式定理利用冪級(jí)數(shù)的微商或積分后再代值，得出所需要的恒等式.例1Cm+1+Cm-1+2Cm=Cm+1，n>m.TOC\o"1-5"\h\znn n n+2分析：這個(gè)等式兩邊都很簡(jiǎn)單，咱們可以利用一些常常利用的組合恒等式去求證.證明:Cm+1+Cm1+2Cm=Cm+1nn n n+2nm mCm+1= Cm,Cm1= Cmnm+1nnn+1mnnmm左邊=Cm( + +2)nm+1n+1mn+m+2 m=Cm( + )n m+1 n+1-m(n+m+2)(n+1-m)+m2+m=Cm( )n (m+1)(n+1-m)=Cm( "2+3"+2 )n(m+1)(n+1-m)n(n+2)(n+1)n(m+1)(n+1-m)右邊=Cn+2(n+2)! _ (n+2)(n+1)n右邊=Cn+2(n+1—m)!(m+1)! (m+1)(n+1一m)(n-m)!m!C (n+1)(n+2)_Cm—n(n+1一m)(m+1)左側(cè)=右邊即證.例2求證:3n+C13n-1+C23n—2+ +Cn-131+Cn3。_2n.n n n n分析：看到上式，很容易想到二項(xiàng)式的展開(kāi)式，嘗試?yán)枚?xiàng)式定理去做.證明：由二項(xiàng)式定理成立恒等式，(3+n)n_3n+C13n-1X+C23n-2X2+ +Cn-13Xn-1+Xnn n n令X_1,即得???4n_22n_3n+C13n-1+C23"-2+ +Cn-13+1n n n即證.???例3(1)設(shè)n是大于2的整數(shù)，則C1-2C2+3C3+…+(-1)nCn_0.n n n n(2)n為正整數(shù)，則1+-C1+-C3+-+-^Cn_-^(2n+1-1).2n3n n+1nn+1分析：觀察上面兩式的系數(shù)，很容易想到它們和微分積分有關(guān)，咱們可以嘗試?yán)们蠓e分或微分的方式去解決這道題目.!證明:(1)(1+x)n_C0+C1x+C2x2+ +CnXnn n n n等式兩邊對(duì)X求導(dǎo)，???n(1+X)n-1_C1+2C2X+ +nCnXn-1n n n

+(—1)n—1nCnn令x=0得，0=+(—1)n—1nCnnnnn即證.2)由二項(xiàng)式定理有，(1+x)n=C0+C1x+C2x2+ +CnXnnnn n上式兩邊對(duì)x積分，有f1(1+x)nf1(1+x)ndx=j01n+111(C0+C1x+C2x2+0nnn(1+x)n+1F=XCk-o nk+1k=0(2n+1—1)=工-1n+1k=0+CnXn)dxn10Cknk+1+丄Cnn+1nn+1(2n+1—1).此類(lèi)方式證明組合恒等式的步驟是先對(duì)恒等式(a+x)n=2Cian-w兩邊ni=0對(duì)x求一階或二階導(dǎo)數(shù)，或積分，然后對(duì)x取特殊值代入，取得所需證明的等式.咱們也可以利用組合恒等式的性質(zhì)，證明一些恒等式，例如利用m2=2C2+C1，求證：12+22++n2=-n(n+1)(2n+1)TOC\o"1-5"\h\zmm 6證明：???左側(cè)=2(C2+C2+ +C2)+(C1+C1+ +C1)2 3 n 1 2 n=2(1+C3+C2+ +C2—C3)+(1+C2+C1+ +C1—C2)3 3 n3 2 2 n2=2C3+C2n+1 n2(n+1)!(n(n—1) ...=(n—2)!3!+ 2=—n(n+1)(2n+1)

一樣的道理利用m3=6C3+6Ci+Ci,n(n(n-1)22-13+23+ +n3=3組合分析法所謂組合分析法就是通過(guò)構(gòu)造具體的組合計(jì)數(shù)模型或模型實(shí)例，利用不同的方式解得的結(jié)果應(yīng)該相同，從而取得恒等式相等.例5證明：Cr+Cr++Cr=Cr+1.TOC\o"1-5"\h\zr r+1 n n+1證明：Cr+1是n+1元集A=(a,aa｝中r+1元子集的個(gè)數(shù)，這些子集n+1 12,,n+1???可以分為n+1類(lèi). …第0類(lèi):r+1元子集中含有a，則共有Cr個(gè).1n第1類(lèi):不含a，但含a的r+1元子集共有Cr個(gè)；1 2 n-131■■9第n類(lèi):不含a,aa但含a的r+1元子集共有C個(gè).12,,n n+1 0由加法原理得…Cr+Cr+ +Cr+C+C=Cr+1.0 1 r r+1 n n+1可是Cr=0,當(dāng)k<r時(shí),k??? ???所以有Cr+Cr+ +Cr=Cr+1.r r+1 n n+1例U6 求證:C0C0°+C1C1+C2C2++CmCm=Cm(n>m).mnmnmn mn m+n證明：構(gòu)造組合模型，假設(shè)一個(gè)班有m個(gè)男生，有n個(gè)女生，此刻要選m個(gè)人，組成一組，那么有多少種選法.…選法一：不區(qū)分男女生時(shí)，共有m+n個(gè)人，選出m人，共有選法Cmm+n

選法二：選出的男生人數(shù)為k個(gè)，k二0,1,2,,m，男生的選法共有Ck,女m生的選法共有Cn-k，完成事件的選法共Cn-kCk種，TOC\o"1-5"\h\zn nm???于是Cn-kCk=Cm，又因?yàn)镃n-k=Ck.nm m+n n n所以CkCk=Cm，k=0,1,2, ,m.nm m+n艮卩C0C0+C1C1+C2C2++CmCm=Cm(n>m).mn mn mn mn m+n???當(dāng)n=m時(shí)，即有(C1)2+(C2)2+ +(Cn)2=Cn.n n n 2n???4比較系數(shù)法主如果利用二項(xiàng)式定理中兩邊多項(xiàng)式相等的充要條件為同次冪的系數(shù)相等加以證明.一般情況下，用比較系數(shù)法證明所需輔助函數(shù)利用冪的運(yùn)算性質(zhì)：(1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n，其中m，n為任意實(shí)數(shù)，然后利用二項(xiàng)式定理的展開(kāi)取得兩個(gè)多項(xiàng)式，再通過(guò)比較同次冪的系數(shù)取得所證的恒等式.上題也可以利用比較系數(shù)法+Cmxm)(C0+C1x+m n n+Cnxn)

n++Cmxm)(C0+C1x+m n n+Cnxn)

n+(C0Cm+C1Cm-1+mn mn+CmC0)xm+mnmm=C0C0+(C1C0+C0C1)x+

mnmnmnTOC\o"1-5"\h\z+CmCmXn+m °1mn所以xm的系數(shù)為C0Cm+C1Cm-1+ +CmC0，又因?yàn)镃i=Cm-i.所以mnmn mn mmC0Cm+C1Cm-1+ +CmC0=C0C0+C1C1+C2C2+ +CmCm，mnmn mnmnmnmn mn又因?yàn)椋??? ???(1+x)m(1+x)n=(1+x)m+n=C0+C1x++Cmxm++Cm+nxn+mm+n m+n m+n m+n所以C0C0+C1C1+C2C2++CmCm=Cm(n>m).mn mn mn mn m+n??? ???即證.例7求證(C1)2+(C2)2+ +(Cn)2=Cn.n n n 2n證明：(1+X)n(1+x)n展開(kāi)式中xn的系數(shù)為：C0Cn+C1Cn-1+ +CnC0nnnn nn二C0C0+C1C1+C2C2+ +CnCnnnnnnn nn二(C1)2+(C2)2+?+(Cn)2n n n又(1+X)n(1+X)n=(1+X)2n；(1+X)2n展開(kāi)式中Xn的系數(shù)為Cn,2n???所以即有(C1)2+(C2)2+ +(Cn)2=Cn.n n n 2n5數(shù)學(xué)歸納法???咱們都知道數(shù)學(xué)歸納法,在證明數(shù)列的題目中,咱們就體會(huì)了數(shù)學(xué)歸納法的益處,只要依照數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟進(jìn)行就可以夠了.組合恒等式是與自然數(shù)有關(guān)的命題,因此,數(shù)學(xué)歸納法也就成為證明組合恒等式的常常利用方式之一.例8求證：Cn+Cn++Cn=Cn ，p為自然數(shù).n n+1 n+p n+p+1分析：這里有一個(gè)變量p，可以利用數(shù)學(xué)歸納法.證明：(1)當(dāng)p=1時(shí)，Cn+Cn=Cn+1顯然成立.n n+1 n+1+1(2)假設(shè)p=k時(shí)成立，即Cn+Cn+ +Cn=Cn+1.n n+1 n+k n+k+1當(dāng)p=k+1時(shí)，即上式兩邊同時(shí)加上???Cn+Cn+ +Cn+Cnn n+1 n+k n+k+1=Cn+1 +Cnn+k+1n+k+1=Cn+1 . …n+k+2即當(dāng)p=k+1時(shí)也成立.由(1)(2)知命題對(duì)任意自然數(shù)p皆成立.

例9證明：(-1)。CO+(-1)10+ +(-1)mCm=(-1)mCmTOC\o"1-5"\h\zn n n n-1證明:當(dāng)m=0時(shí)，上式顯然成立，當(dāng)m=1時(shí)，有 …左側(cè)=(-1)oCo+(-1)1C1nn=1—C1=—C1=右^邊n n-1所以原式成立.假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)成立，即(-1)oC0+(-1)1C1+ +(-1)kCk=(-1)kCk.n n n n—1當(dāng)m=k+1時(shí)，左側(cè)=左側(cè)=(-1)oCo+(-1)1C1+nn+(-1)kCk+(-1)k+1Ck+1nn二(一l)k二(一二(一l)k二(一l)k(n—k-1)!k?!?+(—旦(n—k—1)!(k+1)!(n-1)! (1—_n_)(n—k-l)!k!(—k+1)(—1)k.(n—1)! (—1)(n—k—1)(n—k—l)!k! k+1(-1)k+1=(—1)k+1Ck+1n—1即當(dāng)m=k+1時(shí),命題也成立.由(1),(2)知,命題對(duì)任意自然數(shù)皆成立.結(jié)論關(guān)于組合恒等式證明的方式還有很多，例如，微積分法，二項(xiàng)式反演公式法，幾何法等.本文介紹的主如果幾種常見(jiàn)的方式，以上的方式是以高中知識(shí)為基礎(chǔ)，也可以說(shuō)是組合恒等式證明的初等方式.通過(guò)學(xué)習(xí)，咱們學(xué)會(huì)用具體問(wèn)題具體分析和解決問(wèn)題多樣化的思想.以上例題的解法大多不是唯一的，本文也有提及.但各類(lèi)方式之間也存在必然的聯(lián)系.有時(shí)一道題可以同時(shí)利用幾種方式，思路很活！參考文獻(xiàn)孫淑玲，許胤龍?組合數(shù)學(xué)引論[M].合肥，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1999.吳順唐?離散數(shù)學(xué)[M]?上海，華東師范大學(xué)出版社出版發(fā)行，1997：79-138.孫世新，張先迪?組合原理及其運(yùn)用[M].北京，國(guó)防工業(yè)出版社,2006.陳鎮(zhèn)邃，淺談證明組合恒等式的幾種方式[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通信，1986,02：15-16.張紅兵，淺談組合恒等式的證明方式[J].高等函授學(xué)報(bào),2005,19(13)：37-42.柳麗紅，證明組合恒等式的方式與技能[J].內(nèi)蒙古電大學(xué)刊，2006,86：