學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．1古典概型的特征和概率計(jì)算公式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.能記住古典概型的概念、兩個(gè)基本特征及計(jì)算公式．（重點(diǎn))2．掌握求基本事件總數(shù)的常用方法：列舉法、樹狀圖法、列表法等．(重點(diǎn)）3．會(huì)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠊诺涓怕誓Ｐ偷母怕剩y點(diǎn)）1。通過古典概型的概念、兩個(gè)基本特征及計(jì)算公式的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠊诺涓怕誓Ｐ偷母怕?，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．古典概率模型的特征(1)①試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果；②每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．我們把具有這樣兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型．(2）試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果稱為基本事件．2．古典概型的概率公式對于古典概型,通常試驗(yàn)中的某一事件A是由幾個(gè)基本事件組成的．如果試驗(yàn)的所有可能結(jié)果(基本事件）數(shù)為n，隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)為m，那么事件A的概率規(guī)定為P（A）＝eq\f(事件A包含的可能結(jié)果數(shù)，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù))＝eq\f(m,n)。思考:若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的基本事件的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，則該試驗(yàn)是古典概型嗎？[提示]不一定是，還要看每個(gè)事件發(fā)生的可能性是否相同，若相同才是，否則不是．1．下列關(guān)于古典概型的說法中正確的是（）①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等;③每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；④基本事件的總數(shù)為n,隨機(jī)事件A若包含k個(gè)基本事件，則P(A)＝eq\f(k,n）。A．②④ B．①③④C．①④ D．③④B［根據(jù)古典概型的特征與公式進(jìn)行判斷,①③④正確,②不正確，故選B。］2．某校高一年級要組建數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、航空模型三個(gè)興趣小組,某學(xué)生只選報(bào)其中的2個(gè),則基本事件共有（)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)C[基本事件共有{計(jì)算機(jī)，數(shù)學(xué)｝、｛計(jì)算機(jī)，航空模型}、{數(shù)學(xué)，航空模型｝三個(gè)．]3．在國慶閱兵中，某兵種A,B,C三個(gè)方陣按一定次序通過主席臺，若先后次序是隨機(jī)排定的，則B先于A，C通過的概率為（）A.eq\f（1,6) B.eq\f(1,3)C。eq\f(1,2) D.eq\f（2,3）B［用（A，B,C)表示A，B，C通過主席臺的次序，則所有可能的次序有:(A,B，C),（A，C，B），（B，A，C)，（B，C，A），(C，A，B)，（C,B，A)，共6種，其中B先于A，C通過的有:(B，C，A)和(B，A,C)，共2種，故所求概率P＝eq\f(2，6)＝eq\f（1，3）.］4．下列試驗(yàn)是古典概型的為________（填序號）．①從6名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽,每人被選中的可能性的大小;②同時(shí)擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．①②④[①②④是古典概型，因?yàn)榉瞎诺涓判偷亩x和特點(diǎn)．③不是古典概型，因?yàn)椴环系瓤赡苄?三天中是否降雨受多方面因素影響．]基本事件的計(jì)數(shù)問題【例1】列出下列各試驗(yàn)中的基本事件，并指出基本事件的個(gè)數(shù)．（1）從字母a,b，c中任意取出兩個(gè)字母的試驗(yàn)；(2)從裝有形狀、大小完全一樣且分別標(biāo)有1,2，3,4，5號的5個(gè)球的袋中任意取出兩個(gè)球的試驗(yàn)．［解］（1)從三個(gè)字母中任取兩個(gè)字母的所有等可能結(jié)果即基本事件．分別是A＝｛a，b}，B＝｛a，c}，C＝｛b，c}，共3個(gè)．(2)從袋中取兩個(gè)球的等可能結(jié)果為球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，球2和球3，球2和球4,球2和球5，球3和球4，球3和球5，球4和球5。故共有10個(gè)基本事件．確定基本事件空間的方法隨機(jī)事件的結(jié)果是相對于條件而言的，要確定基本事件空間必須明確事件發(fā)生的條件,根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案。求基本事件時(shí)，一定要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏。1．（1）4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2，3，4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的所有基本事件數(shù)為________．(2)袋中有2個(gè)標(biāo)號分別為1,2的白球和2個(gè)標(biāo)號分別為3,4的黑球．這4個(gè)球除顏色、標(biāo)號外完全相同，4個(gè)人按順序依次從中摸出1個(gè)球，求基本事件的個(gè)數(shù)．(1)4［用列舉法列舉出“數(shù)字之和為奇數(shù)”的可能結(jié)果為:(1，2），(1,4)，（2，3),(3,4），共4種結(jié)果．故填4。]（2)4個(gè)人按順序依次從袋中摸出1個(gè)球的所有可能結(jié)果用樹狀圖表示如圖所示：共24個(gè)基本事件．古典概型的判定【例2】下列概率模型是古典概型嗎？為什么?（1)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任意取出一個(gè)實(shí)數(shù),求取到實(shí)數(shù)2的概率；(2)向上拋擲一枚不均勻的舊硬幣，求正面朝上的概率；（3）從1，2，3，…，100這100個(gè)整數(shù)中任意取出一個(gè)整數(shù)，求取得偶數(shù)的概率．[思路探究］根據(jù)直觀印象判斷兩個(gè)試驗(yàn)的基本事件數(shù)是否有限，每個(gè)基本事件是否等可能發(fā)生即可．[解］（1）不是古典概型,因?yàn)閰^(qū)間[1，10]中有無限多個(gè)實(shí)數(shù)，取出的那個(gè)實(shí)數(shù)有無限多種結(jié)果，與古典概型定義中“所有可能結(jié)果只有有限個(gè)”矛盾．(2)不是古典概型，因?yàn)橛矌挪痪鶆驅(qū)е隆罢嫦蛏稀迸c“反面向上”的概率不相等，與古典概型定義中“每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同”矛盾．(3）是古典概型，因?yàn)樵谠囼?yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的,而且每個(gè)整數(shù)被抽到的可能性相等．判斷一個(gè)事件是否是古典概型，關(guān)鍵看該事件是否具備古典概型的兩大特征1．有限性：在一次試驗(yàn)中，所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)．2．等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．2．(1)在數(shù)軸上0~3之間任取一點(diǎn)，求此點(diǎn)的坐標(biāo)小于1的概率．此試驗(yàn)是否為古典概型？為什么？(2)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)中任意取出兩個(gè)數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率,此試驗(yàn)是古典概型嗎？試說明理由．［解］(1)在數(shù)軸上0～3之間任取一點(diǎn),此點(diǎn)可以在0～3之間的任一位置,且在每個(gè)位置上的可能性是相同的，具備等可能性．但試驗(yàn)結(jié)果有無限多個(gè)，不滿足古典概型試驗(yàn)結(jié)果的有限性．因此不屬于古典概型．(2）此試驗(yàn)是古典概型,因?yàn)榇嗽囼?yàn)的所有基本事件共有6個(gè)：(1，2），（1,3），（1,4），（2,3),(2，4),（3,4)，且每個(gè)事件的出現(xiàn)是等可能的,因此屬于古典概型．古典概型概率的求法［探究問題］1．?dāng)S一枚骰子共有多少種不同的結(jié)果？提示：共有6種不同的結(jié)果．2．?dāng)S一枚骰子，落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，包含幾種結(jié)果？提示：2,4，6共三種結(jié)果．3．?dāng)S一枚均勻的骰子，落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率怎樣求？提示:記事件A為落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則P(A）＝eq\f（A中包含的基本事件數(shù)，基本事件總數(shù))?！纠?】現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答．試求:(1）所取的2道題都是甲類題的概率；(2）所取的2道題不是同一類題的概率．［思路探究]用列舉法列出試驗(yàn)的所有可能結(jié)果以及事件所包含的可能結(jié)果,然后利用公式求解．[解](1)將4道甲類題依次編號為1,2,3，4；2道乙類題依次編號為5,6，任取2道題，基本事件為｛1,2}，{1，3｝，{1，4｝，｛1，5｝，{1，6｝，{2,3｝，{2，4｝，｛2，5｝，｛2,6｝,{3,4｝，{3,5}，{3，6｝，｛4,5},{4,6}，｛5，6}，共15個(gè)，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“都是甲類題”這一事件，則A包含的基本事件有{1,2},{1,3｝,｛1,4｝,｛2,3｝,｛2，4｝,{3,4}，共6個(gè),所以P（A）＝eq\f(6,15）＝eq\f（2，5）。（2）基本事件同（1)．用B表示“不是同一類題”這一事件,則B包含的基本事件有{1,5｝，{1，6},｛2，5｝，｛2，6}，｛3，5}，{3，6}，｛4，5｝，｛4,6}，共8個(gè),所以P（B)＝eq\f(8,15）。古典概型問題的解題方法與步驟1．判斷所求概率的問題是否屬于古典概型；2．利用列舉法、列表法或樹狀圖法列舉出所有可能出現(xiàn)的基本事件,計(jì)算其總數(shù)n；3．從所列出的基本事件中查出所求概率的事件A包含的基本事件數(shù)m；4．利用公式P（A)＝eq\f(m,n)求解．3．（1)一個(gè)不透明的盒子里有質(zhì)地、大小完全相同的5個(gè)球,編號分別為1,2,3，4,5,甲、乙兩人玩一種游戲:甲先摸出一個(gè)球，記下編號,放回后乙再摸一個(gè)球,記下編號，如果兩個(gè)編號的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏．那么甲贏的概率是(）A.eq\f（13，25) B.eq\f(12，25)C.eq\f(1,2） D．以上均不對(2)用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給圖中3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色．求：①3個(gè)矩形顏色都相同的概率；②3個(gè)矩形顏色都不同的概率．(1)A［選A。甲先摸出一個(gè)球，放回后乙再摸一個(gè)球，結(jié)果共有25種：(1，1），（1,2），(1,3)，(1，4),(1，5），（2,1），（2,2），（2,3)，（2,4），（2，5)，(3，1),（3，2），(3，3)，（3,4），（3，5),(4，1），(4,2)，（4,3),（4，4)，(4，5），（5,1)，(5，2),(5,3)，（5,4),（5,5)．其中和為偶數(shù)的有13種，所以甲贏的概率是eq\f(13，25）.]（2)解:由題意知，所有可能的基本事件共有27個(gè)，如圖所示:①記“3個(gè)矩形都涂同一顏色”為事件A，由圖知，事件A所包含的基本事件有3個(gè)，故P（A)＝eq\f(3,27）＝eq\f（1,9）。②記“3個(gè)矩形顏色都不同”為事件B,由圖知,事件B所包含的基本事件有6個(gè)，故P(B）＝eq\f(6，27)＝eq\f(2，9)。1．古典概型是一種最基本的概型．解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征，即有限性和等可能性．在應(yīng)用公式P(A）＝eq\f(m,n）時(shí)，關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系,從而求出m,n。2．求某個(gè)隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)，常用的方法是列舉法（畫樹狀圖和列表),注意做到不重不漏．3．對于用直接方法難以解決的問題，可以先求其對立事件的概率，再求所求概率.1．思考辨析(1)從［0，10]上任取一個(gè)不大于5的實(shí)數(shù)的試驗(yàn)為古典概型． （）(2）在古典概型中,試驗(yàn)中的基本事件都是有限的，且事件的發(fā)生都是等可能的． （）[解析］（1）×，可能結(jié)果有無限個(gè)．（2)√，根據(jù)古典概型的特征知正確．[答案］(1）×（2)√2．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率為____．eq\f（1，3）[基本事件為甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6個(gè),其中甲站在中間的為乙甲丙、丙甲乙，共2個(gè)，所以甲站在中間的概率為eq\f(2，6）＝eq\f（1,3）。]3．廣州亞運(yùn)會(huì)要在某高校的8名懂外文的志愿者中選1名，其中有3人懂日文，則選到懂日文