微分方程組應(yīng)用微分方程組在工程技術(shù)中的應(yīng)用是非常廣泛的，涉及的領(lǐng)域有機(jī)械、電工技術(shù)、通訊、醫(yī)學(xué)等許多領(lǐng)域。下面給出幾個例子，用以闡述關(guān)于微分方程組的實(shí)際應(yīng)用及其建模思想。1、兩自由度的振動問題

常系數(shù)線性方程組在工程技術(shù)與科學(xué)研究中有很多應(yīng)用，不少問題都?xì)w結(jié)為它的求解問題。微分方程組應(yīng)用微分方程組在工程技術(shù)中的應(yīng)用是非常廣泛1兩個自由度的振動問題。為了消除不需要的振動，常常在振動系統(tǒng)中設(shè)置減振器。兩個自由度的振動問題。為了消除不需要的振動，常常在振動系統(tǒng)中2其中的受力情況。是原機(jī)械部件的質(zhì)量；是減振器的質(zhì)量；和是兩個彈簧，它們的彈性系數(shù)（或稱為剛度）也分別用和是減速器表示；（假定阻力與速度成正比）的阻尼系數(shù)；是強(qiáng)迫力；和分別表示和距它們的平衡位置的位移。體和下面來建立這個系統(tǒng)的運(yùn)動方程。先分別考慮物其中的受力情況。是原機(jī)械部件的質(zhì)量；是減振器的質(zhì)量；和是兩個3律，有方程(1)物體的受力情況假定彈簧和都滿Hook定律。當(dāng)物體位移時，物體同時位移這時，彈簧變形（拉長或壓縮）的長度為。因此，這時彈簧的彈性力是（力的方向與位移方向相反），由牛頓第二定律，有方程(1)物體的受力情況假定彈簧和都滿Hook定律。4(2)物體的受力情況1)沿位移方向的外力：2)阻尼力：

（方向與速度方向相反）；3)這時物體受到兩個彈簧的作用：(2)物體的受力情況5彈簧的彈性力；彈簧的彈性力。由牛頓第二定律，有因此，上述運(yùn)動系統(tǒng)滿足微分方程組彈簧的彈性力；彈簧的彈性力6上述方程組在變換及之下，就變成了一個常系數(shù)線性非齊次方程組

(4.6.1)上述方程組在變換及之下，7為了簡單，只考慮無阻尼自由振動的情形，即。于是，(4.6.1)變成

(4.6.2)

為了簡單，只考慮無阻尼自由振動的情形，8它的特征方程為

設(shè)，則(4.6.3)可寫成解之，得它的特征方程為9容易看出，，因此，可令，這時因此，方程(4.6.3)最后可寫成故(4.6.3)的特征根全是純虛根。(4.6.1)解的第一個函數(shù)可寫成形如容易看出，，因此，可令10部件的運(yùn)動頻率。這個事實(shí)可以用來防止機(jī)器或這是兩個簡諧運(yùn)動的疊合。每一個簡諧運(yùn)動的角頻（即與）均與減振器的參數(shù)與有關(guān)。因此，調(diào)整與可以改變原設(shè)備與外力發(fā)生共振現(xiàn)象，以及減輕外力的干擾等。部件的運(yùn)動頻率。這個事實(shí)可以用來防止機(jī)器或這是兩個簡諧運(yùn)動的113、人造衛(wèi)星的軌跡方程我們知道，人造衛(wèi)星在最后一段時間運(yùn)載火箭熄滅之后，即進(jìn)入它的軌道，軌道的形狀因發(fā)射角度和發(fā)射速度的不同，而分別出現(xiàn)橢圓、拋物線或雙曲線。下面來討論這些問題。地球與人造衛(wèi)星是相互吸引的，但因二者的質(zhì)量相差很大，因此，可假設(shè)地球是不動的，又因人造衛(wèi)星的體積與地球相比是很小的，故可把它看作質(zhì)點(diǎn)。為簡單起見，我們不考慮太陽、月亮和其它星球的作用，并略去空氣阻力。3、人造衛(wèi)星的軌跡方程我們知道，人造衛(wèi)星在最后一段時間運(yùn)載火12在上面的假設(shè)下，可把問題歸結(jié)為：從地球表面上一點(diǎn)，以傾角，初速度射出一質(zhì)量為的物體，如圖4.5所示，求此物體運(yùn)動的軌道方程。

圖4.5在上面的假設(shè)下，可把問題歸結(jié)為：13根據(jù)萬有引力定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力大小為過發(fā)射點(diǎn)和地心的直線作軸，軸與發(fā)射方向所成的平面為平面，平面通過地心，取垂直于軸且過地心的直線為軸，取開始發(fā)射時間為，經(jīng)過時間后，衛(wèi)星位于點(diǎn)，下面建立和所滿足的方程。根據(jù)萬有引力定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力大小為過發(fā)射點(diǎn)和地心的直14其方向指向地心，其中是引力系數(shù)，，是地球質(zhì)量，，是地球與衛(wèi)星間的距離。如圖4.6所示，這個引力在軸方向上的分力分別為其方向指向地心，其中是引力系數(shù)，15衛(wèi)星在軸上所獲得的分加速度分別為和。由牛頓第二定律，得到衛(wèi)星的運(yùn)動方程為：衛(wèi)星在軸上所獲得的分加速度分別為16軸上的分量分別為當(dāng)時，衛(wèi)星在地表面以傾角，初速度射出，所以，在時，。衛(wèi)星的初速度在軸上的分量分別為當(dāng)時，衛(wèi)星在地表面以傾角，初速度射出，所以，17因此，初始條件為

（4.6.6）下面利用首次積分法來求方程組(4.6.5)滿足初始條件(4.6.6)的解。將方程(4.6.5)兩端消去后，以乘第一個方程，以乘第二個方程。5微分方程組應(yīng)用解讀課件18然后相減，得因?yàn)楣视袑ι鲜絻蛇叿e分，得首次積分為然后相減，得19再以乘方程組(4.6.5)中第一個方程，以乘第二個方程，然后兩式相加，得由于再以乘方程組(4.6.5)中第一個方程，以20及從而得積分得上式另一首次積分及21于是，原方程組(4.6.5)降為較低階的方程組

于是，原方程組(4.6.5)降為較低階的方程組22將它們代入(4.6.7)得作極坐標(biāo)變換，，并求導(dǎo)將它們代入(4.6.7)得作極坐標(biāo)變換，，并求導(dǎo)23

兩式聯(lián)立消去，得

5微分方程組應(yīng)用解讀課件24這就是衛(wèi)星運(yùn)動軌道的極坐標(biāo)參數(shù)方程。若將參這里得到一個僅含有一個未知數(shù)得一階微分方程，若由此解出，代入(4.6.9)中第一式，便可確定，由此得到數(shù)消去，便得出衛(wèi)星運(yùn)動軌道的極坐標(biāo)方程。這就是衛(wèi)星運(yùn)動軌道的極坐標(biāo)參數(shù)方程。若將參這里得到一個僅含25利用分離變量求該方程的解得為此，由(4.6.9)的第一式求得,并代入(4.6.10)得利用分離變量求該方程的解得為此，由(4.6.9)的第一式26，則上式化為整理得令，則上式化為整理得令27知或(4.6.11)這就是所求的衛(wèi)星運(yùn)動軌道的極坐標(biāo)方程，其中有三個任意常數(shù)(或)，它們可由初始條件(4.6.6)確定。注意到當(dāng)時，因此，。且由(4.6.6)及(4.6.8)知或(4.6.11)這就是所求的衛(wèi)星運(yùn)動軌道的極坐標(biāo)方程，其28把它們代入(4.6.9)及(4.6.11)得

(4.6.12)我們知道，(4.6.11)式是圓錐曲線的極坐標(biāo)方程．把它們代入(4.6.9)29當(dāng)時，軌道是圓；當(dāng)時，軌道是橢圓；當(dāng)時，軌道是拋物線；當(dāng)時，軌道是雙曲線．下面進(jìn)一步討論衛(wèi)星發(fā)射的初速度與衛(wèi)星軌道形狀的關(guān)系．因?yàn)楫?dāng)時，軌道是圓；30故上故將(4.6.12)式中的代入上式，并整理得(4.6.13)注意到(4.6.12)式及故上故將(4.6.12)式中的代入上式，并整理得(4.6.131式可化為因此，當(dāng)時，得由此得式可化為32衛(wèi)星的軌道是一個圓.即把地球半徑，質(zhì)量及引力常數(shù)的具體數(shù)值代入上式，并計(jì)算得即稱為第一宇宙速度，此時衛(wèi)星的軌道是一個圓.即把地球半徑，質(zhì)量及引力常數(shù)的具體數(shù)值代33當(dāng)時，由(4.6.13)得即所求速度是第一宇宙速度的倍，即，稱為第二宇宙速度，它的軌道是拋物線。當(dāng)時，由(4.6.13)得即所求速度是第一宇宙速度的倍，即，34是雙曲線（一支）。當(dāng)時，因，由(4.6.13)式可知這表明，當(dāng)初速度小于第二宇宙速度時，衛(wèi)星軌道是一個橢圓。當(dāng)時，由(4.6.13)式可得因此，當(dāng)初速度大于第二宇宙速度時，它的軌道是雙曲線（一支）。當(dāng)時，因，由(4.6.13)式可知這表35由電路和機(jī)械裝置組裝成的永磁體擴(kuò)音器模型如圖4.7所示。4、擴(kuò)音器振動模型圖4.7由電路和機(jī)4、擴(kuò)音器振動模型圖4.736一個時變電源電壓驅(qū)動著一個音圈能換器，能換器的轉(zhuǎn)化系數(shù)為，通過能換器使揚(yáng)聲器的振動膜發(fā)生振動。由音圈組成的能換器，本質(zhì)上是一個在永磁場內(nèi)的自由運(yùn)動。當(dāng)變化的電流通過音圈時，音圈在永磁體的磁力和電流產(chǎn)生的磁力相互作用下進(jìn)行運(yùn)動。用代表能換器與揚(yáng)聲器相互作用力，是能換器電阻，是能換器的感應(yīng)系數(shù).一個時變電源電壓驅(qū)動著一個音圈能37壓定律，可得的微分方程組質(zhì)量為的揚(yáng)聲器的振動是一個具有阻尼的彈簧系統(tǒng)振動。阻尼系數(shù)為，彈簧的彈性系數(shù)為，能換器轉(zhuǎn)化系數(shù)與有關(guān)變量間的相互關(guān)系為這里是音圈兩端的電壓降；是音圈位移；代表音圈的速度，由牛頓第二定律及回路電壓定律，可得的微分方程組質(zhì)量為的揚(yáng)聲器的振動是一個具有阻尼的38(4.6.14)令，把(4.6.14)化為一階微分方程組(4.6.14)令，把(4.6.14)化為一階微分方程組39(4.6.15)方程組(4.6.15)的向量形式為，這里(4.6.15)方程組(4.6.15)的向量形式為，這里40設(shè)則5微分方程組應(yīng)用解讀課件41矩陣的特征方程為特征根為，其相應(yīng)特征向量分別為矩陣的特征方程為42因此，可求得齊次線形方程組的基解矩陣為為求(4.6.15)的通解，需求出(4.6.15)的一個特寫成解，我們用待定系數(shù)法來求此特解。把因此，可求得齊次線形方程組的基解矩陣為為求(4.6.15)的43因此，方程組(4.6.15)有特解將代入方程得5微分方程組應(yīng)用解讀課件44比較上述方程兩邊和的系數(shù)得把(4.6.16)的消去得由此可求得和分別為比較上述方程兩邊和的系數(shù)得把(4.6.16)的消去得由此45的通解為方程的通解為方程46這里是任意常向量。進(jìn)一步，可求得原方程中音圈的位移和驅(qū)動能換器的電流分別為這里是任意常向量。進(jìn)一步，可求得原方程中475、人體含鉛量問題鉛是如何進(jìn)入體內(nèi)的?消化道

通常是鉛吸收的主要途徑，兒童由這一途徑吸收的鉛所占比例約為85％。鉛在腸道內(nèi)通過主動轉(zhuǎn)運(yùn)和被動擴(kuò)散兩種方式由小腸吸收人血液。主動轉(zhuǎn)運(yùn)占吸收總量的80％以上。主動轉(zhuǎn)運(yùn)依賴鉛與腸粘膜上一種轉(zhuǎn)運(yùn)蛋白質(zhì)結(jié)合，由轉(zhuǎn)運(yùn)蛋白作載體將鉛轉(zhuǎn)運(yùn)人血液。被動擴(kuò)散則是鉛由腸腔向血液自然擴(kuò)散。腸腔中鉛濃度越高、血液中鉛濃度越低，被動擴(kuò)散的量就越大。5、人體含鉛量問題鉛是如何進(jìn)入體內(nèi)的?48呼吸道空氣中含鉛的灰塵經(jīng)鼻孔吸人呼吸道后，一部分被鼻毛、氣管纖毛和支氣管纖毛、細(xì)支氣管纖毛阻擋，最后以痰液的形式返回口腔，兒童將其咽人消化道，再由消化道吸收入血。另一部分特別微小的鉛塵到達(dá)肺泡，沉積在肺泡里，然后由吞噬細(xì)胞等吸收，進(jìn)入血液。皮膚當(dāng)我們接觸有機(jī)鉛的時候，鉛會被皮膚直接吸收。呼吸道49

鉛中毒會引起神經(jīng)、消化、循環(huán)系統(tǒng)紊亂，表現(xiàn)為貧血、腹痛、高血壓等。血鉛高組的兒童的總智商、操作智商、語言智商分別比低血鉛組落后14分、14分和13分，而每升血液中的鉛濃度上升100微克，兒童的身高將降低13厘米。低劑量的鉛接觸可以對人體的紅細(xì)胞、腎臟、免疫系統(tǒng)、骨髓和中樞神經(jīng)的功能產(chǎn)生不良影響，而所有這些影響發(fā)生前都可能沒有明顯的臨床癥狀。鉛中毒會影響嬰幼兒最初站立、行走和說話的年齡，也可能引起孩子注意力渙散、記憶力減退、理解力降低及學(xué)習(xí)困難等。

鉛中毒會引起神經(jīng)、消化、循環(huán)系統(tǒng)紊亂，表50

兒童體內(nèi)的鉛水平可分從血、骨、齒、尿、發(fā)檢測到，兒童血鉛水平分為5級。

Ⅰ級：血鉛值低于10微克／分升，身體處于相對安全狀態(tài)；

Ⅱ級：血鉛值為10微克－19微克／分升，屬于輕度鉛中毒。影響造血、神經(jīng)傳導(dǎo)和認(rèn)知能力，兒童易出現(xiàn)頭昏、煩躁、注意力渙散、多動、厭食、腹脹、輕度貧血；

Ⅲ級：血鉛值達(dá)到20微克－44微克／分升，為中度鉛中毒。引起缺鈣、缺鋅、缺鐵、免疫力低兒童體內(nèi)的鉛水平可分從血、骨、齒、尿、發(fā)檢測到，兒51下，運(yùn)動不協(xié)調(diào)，視力和聽力受損，學(xué)習(xí)困難、智力下降，生長發(fā)育遲緩，貧血、腹絞痛、食癖、反應(yīng)遲鈍等；Ⅳ級：血鉛值達(dá)到45微克－69微克／分升，就是重度鉛中毒?？沙霈F(xiàn)性格改變、易激怒、攻擊性行為、運(yùn)動失調(diào)、貧血、腹絞痛、高血壓、心律失常和癡呆等；

Ⅴ級：當(dāng)血鉛值大于70微克／分升時，為極重度鉛中毒，可導(dǎo)致臟器損害、鉛性腦病、癱瘓、昏迷等。下，運(yùn)動不協(xié)調(diào)，視力和聽力受損，學(xué)習(xí)困難、智力下降，生長發(fā)育525微分方程組應(yīng)用解讀課件53問題和模型

鉛是一種人體所必須的微量元素，但體內(nèi)鉛含量過多時就會引起鉛中毒.鉛是一種重金屬元素，通過食物、飲料、空氣進(jìn)入人體，經(jīng)過呼吸和消化系統(tǒng)后進(jìn)入血液，再經(jīng)過血液循環(huán)慢慢進(jìn)入人體和骨頭中.鉛可以經(jīng)過人體的排泄系統(tǒng)、通出出汗、剪頭發(fā)、剪指甲排出體外.我們根據(jù)鉛在人體內(nèi)的變化情況將人體分為血液、組織、骨頭3個倉室，鉛在這三個倉室中的轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖所示問題和模型54x1(t)表示t時刻血液中的含鉛量，x2(t)表示t時刻組織中的含鉛量，x3(t)表示t時刻骨頭中的含鉛量.假設(shè)在單位時間內(nèi)從環(huán)境經(jīng)過消化、吸收系統(tǒng)進(jìn)入血液的鉛為L，從血液進(jìn)入組織、骨頭的鉛分別為a31*x1(t)和a21*x1(t)，從組織、骨頭再進(jìn)入血液的鉛分別為a13*x2(t)、a12*x2(t)，血液和骨頭向外界排出的鉛分別為a01*x1(t)和a02*x3(t).x1(t)表示t時刻血液中的含鉛量，55示意圖示意圖56

(1)根據(jù)前面的假設(shè)建立人體血液、組織和骨頭中含鉛量所滿足的微分方程組,并求其通解.(2)取時間單位為天，對一個志愿者在一種環(huán)境中的生活情況進(jìn)行測定得a21=0.011，a12=0.012,a31=0.0039，a13=0.000035,a01=0.021,a02=0.016,L=49.3.假設(shè)該志愿者開始時體內(nèi)的含鉛量為0，求他體內(nèi)血液、組織和骨頭中含鉛量隨時間變化的關(guān)系，畫出這些解曲線的圖，并求當(dāng)x→+∞時這些函數(shù)的極限.(1)根據(jù)前面的假設(shè)建立人體血液、組織和骨頭中含鉛量57

(4)假設(shè)該志愿者在此環(huán)境中生活了365天后搬到了一個無鉛的環(huán)境中去(不再有外界的鉛進(jìn)入體內(nèi)，即L=0)，再討論他體內(nèi)血液、組織和骨頭中含鉛量隨時間變化的關(guān)系，并畫出0≤t≤1460時這些含鉛量曲線的圖形.(4)假設(shè)該志愿者在此環(huán)境中生活了365天后搬58簡化圖簡化圖59模型模型60模型

x'=Ax+b,模型61數(shù)據(jù)LeadTransferCoefficients(Rabinowitz,etal.)Units:days-1a21=0.011a12=0.012frombloodtotissueandbacka31=0.0039a13=0.000035frombloodtoboneandbacka01=0.021a02=0.016excretionfrombloodandtissue數(shù)據(jù)LeadTransferCoefficients(62時間分為兩段:[0,365]和[365,1460]#定義常數(shù)a01:=0.021;a02:=0.016;a12:=0.012;a13:=0.000035;a21:=0.011;a31:=0.0039;L:=49.3;#定義矩陣和向量A:=matrix(3,3,[-(a01+a21+a31),a12,a13,a21,-(a02+a12),0,a31,0,-a13]);b:=matrix(3,1,[L,0,0]);#定義方程equn1:=diff(x1(t),t)=-(a01+a21+a31)*x1(t)+a12*x2(t)+a13*x3(t)+L;時間分為兩段:[0,365]和[365,1460]63equn2:=diff(x2(t),t)=a21*x1(t)-(a02+a12)*x2(t);equn3:=diff(x3(t),t)=a31*x1(t)-a13*x3(t);#解初始值問題dsolve({equn1,equn2,equn3,x1(0)=0,x2(0)=0,x3(0)=0},{x1(t),x2(t),x3(t)});結(jié)果太復(fù)雜,利用迭加原理、特征值和特征向量法#非齊次方程的特解with(linalg):with(plots):xe:=evalm(-(inverse(A)&*b));equn2:=diff(x2(t),t)=a21*x1(t)64#特征值和特征向量eigenvals(A);eigenvects(A);lambda:=[-.3061796847e-4,-.1980315266e-1,-.4410122938e-1];v1:=[.1124436946e-1,.442226656e-2,10.00746814];v2:=[-.5975248926,-.8018660787,.1178839056];v3:=[-.8256380196,.5640574390,.7307156328e-1];#特征向量組成矩陣P:=augment(v1,v2,v3);#得到解的表達(dá)式x1:=c[1]*P[1,1]*exp(lambda[1]*t)+c[2]*P[1,2]*exp(lambda[2]*t)+c[3]*P[1,3]*exp(lambda[3]*t)+xe[1,1];#特征值和特征向量65x2:=c[1]*P[2,1]*exp(lambda[1]*t)+c[2]*P[2,2]*exp(lambda[2]*t)+c[3]*P[2,3]*exp(lambda[3]*t)+xe[2,1];x3:=c[1]*P[3,1]*exp(lambda[1]*t)+c[2]*P[3,2]*exp(lambda[2]*t)+c[3]*P[3,3]*exp(lambda[3]*t)+xe[3,1];#在解的表達(dá)式用t=0代入x10:=simplify(subs(t=0,x1));x20:=simplify(subs(t=0,x2));x30:=simplify(subs(t=0,x3));#求解常數(shù)solve({x10=0,x20=0,x30=0},{c[1],c[2],c[3]});assign(%);x2:=c[1]*P[2,1]*exp(lambda[1]66#作圖plot([x1,x2,x3],t=0..365,color=[red,blue,green],thickness=2);plot1:=%:#作圖67#重新顯示解x1;x2;x3;#求極限limit(x1,t=infinity);limit(x2,t=infinity);limit(x3,t=infinity);#得到365天后解的表達(dá)式xx1:=cc[1]*P[1,1]*exp(lambda[1]*t)+cc[2]*P[1,2]*exp(lambda[2]*t)+cc[3]*P[1,3]*exp(lambda[3]*t);xx2:=cc[1]*P[2,1]*exp(lambda[1]*t)+cc[2]*P[2,2]*exp(lambda[2]*t)+cc[3]*P[2,3]*exp(lambda[3]*t);xx3:=cc[1]*P[3,1]*exp(lambda[1]*t)+cc[2]*P[3,2]*exp(lambda[2]*t)+cc[3]*P[3,3]*exp(lambda[3]*t);#重新顯示解68#計(jì)算解在t=365時的值

x1365:=simplify(subs(t=365,x1));x2365:=simplify(subs(t=365,x2));x3365:=simplify(subs(t=365,x3));xx1365:=simplify(subs(t=365,xx1));xx2365:=simplify(subs(t=365,xx2));xx3365:=simplify(subs(t=365,xx3));#求解常數(shù)solve({xx1365=x1365,xx2365=x2365,xx3365=x3365},{cc[1],cc[2],cc[3]});assign(%);#重新顯示解xx1;xx2;xx3;#求極限limit(xx1,t=infinity);limit(xx2,t=infinity);limit(xx3,t=infinity);#計(jì)算解在t=365時的值69#作圖plot([xx1,xx2,xx3],t=365..1460,color=[red,blue,green],thickness=2);plot2:=%:#作圖70#將兩個圖畫在一個圖上display(plot1,plot2);#將兩個圖畫在一個圖上display(plot1,plot271微分方程組應(yīng)用微分方程組在工程技術(shù)中的應(yīng)用是非常廣泛的，涉及的領(lǐng)域有機(jī)械、電工技術(shù)、通訊、醫(yī)學(xué)等許多領(lǐng)域。下面給出幾個例子，用以闡述關(guān)于微分方程組的實(shí)際應(yīng)用及其建模思想。1、兩自由度的振動問題

常系數(shù)線性方程組在工程技術(shù)與科學(xué)研究中有很多應(yīng)用，不少問題都?xì)w結(jié)為它的求解問題。微分方程組應(yīng)用微分方程組在工程技術(shù)中的應(yīng)用是非常廣泛72兩個自由度的振動問題。為了消除不需要的振動，常常在振動系統(tǒng)中設(shè)置減振器。兩個自由度的振動問題。為了消除不需要的振動，常常在振動系統(tǒng)中73其中的受力情況。是原機(jī)械部件的質(zhì)量；是減振器的質(zhì)量；和是兩個彈簧，它們的彈性系數(shù)（或稱為剛度）也分別用和是減速器表示；（假定阻力與速度成正比）的阻尼系數(shù)；是強(qiáng)迫力；和分別表示和距它們的平衡位置的位移。體和下面來建立這個系統(tǒng)的運(yùn)動方程。先分別考慮物其中的受力情況。是原機(jī)械部件的質(zhì)量；是減振器的質(zhì)量；和是兩個74律，有方程(1)物體的受力情況假定彈簧和都滿Hook定律。當(dāng)物體位移時，物體同時位移這時，彈簧變形（拉長或壓縮）的長度為。因此，這時彈簧的彈性力是（力的方向與位移方向相反），由牛頓第二定律，有方程(1)物體的受力情況假定彈簧和都滿Hook定律。75(2)物體的受力情況1)沿位移方向的外力：2)阻尼力：

（方向與速度方向相反）；3)這時物體受到兩個彈簧的作用：(2)物體的受力情況76彈簧的彈性力；彈簧的彈性力。由牛頓第二定律，有因此，上述運(yùn)動系統(tǒng)滿足微分方程組彈簧的彈性力；彈簧的彈性力77上述方程組在變換及之下，就變成了一個常系數(shù)線性非齊次方程組

(4.6.1)上述方程組在變換及之下，78為了簡單，只考慮無阻尼自由振動的情形，即。于是，(4.6.1)變成

(4.6.2)

為了簡單，只考慮無阻尼自由振動的情形，79它的特征方程為

設(shè)，則(4.6.3)可寫成解之，得它的特征方程為80容易看出，，因此，可令，這時因此，方程(4.6.3)最后可寫成故(4.6.3)的特征根全是純虛根。(4.6.1)解的第一個函數(shù)可寫成形如容易看出，，因此，可令81部件的運(yùn)動頻率。這個事實(shí)可以用來防止機(jī)器或這是兩個簡諧運(yùn)動的疊合。每一個簡諧運(yùn)動的角頻（即與）均與減振器的參數(shù)與有關(guān)。因此，調(diào)整與可以改變原設(shè)備與外力發(fā)生共振現(xiàn)象，以及減輕外力的干擾等。部件的運(yùn)動頻率。這個事實(shí)可以用來防止機(jī)器或這是兩個簡諧運(yùn)動的823、人造衛(wèi)星的軌跡方程我們知道，人造衛(wèi)星在最后一段時間運(yùn)載火箭熄滅之后，即進(jìn)入它的軌道，軌道的形狀因發(fā)射角度和發(fā)射速度的不同，而分別出現(xiàn)橢圓、拋物線或雙曲線。下面來討論這些問題。地球與人造衛(wèi)星是相互吸引的，但因二者的質(zhì)量相差很大，因此，可假設(shè)地球是不動的，又因人造衛(wèi)星的體積與地球相比是很小的，故可把它看作質(zhì)點(diǎn)。為簡單起見，我們不考慮太陽、月亮和其它星球的作用，并略去空氣阻力。3、人造衛(wèi)星的軌跡方程我們知道，人造衛(wèi)星在最后一段時間運(yùn)載火83在上面的假設(shè)下，可把問題歸結(jié)為：從地球表面上一點(diǎn)，以傾角，初速度射出一質(zhì)量為的物體，如圖4.5所示，求此物體運(yùn)動的軌道方程。

圖4.5在上面的假設(shè)下，可把問題歸結(jié)為：84根據(jù)萬有引力定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力大小為過發(fā)射點(diǎn)和地心的直線作軸，軸與發(fā)射方向所成的平面為平面，平面通過地心，取垂直于軸且過地心的直線為軸，取開始發(fā)射時間為，經(jīng)過時間后，衛(wèi)星位于點(diǎn)，下面建立和所滿足的方程。根據(jù)萬有引力定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力大小為過發(fā)射點(diǎn)和地心的直85其方向指向地心，其中是引力系數(shù)，，是地球質(zhì)量，，是地球與衛(wèi)星間的距離。如圖4.6所示，這個引力在軸方向上的分力分別為其方向指向地心，其中是引力系數(shù)，86衛(wèi)星在軸上所獲得的分加速度分別為和。由牛頓第二定律，得到衛(wèi)星的運(yùn)動方程為：衛(wèi)星在軸上所獲得的分加速度分別為87軸上的分量分別為當(dāng)時，衛(wèi)星在地表面以傾角，初速度射出，所以，在時，。衛(wèi)星的初速度在軸上的分量分別為當(dāng)時，衛(wèi)星在地表面以傾角，初速度射出，所以，88因此，初始條件為

（4.6.6）下面利用首次積分法來求方程組(4.6.5)滿足初始條件(4.6.6)的解。將方程(4.6.5)兩端消去后，以乘第一個方程，以乘第二個方程。5微分方程組應(yīng)用解讀課件89然后相減，得因?yàn)楣视袑ι鲜絻蛇叿e分，得首次積分為然后相減，得90再以乘方程組(4.6.5)中第一個方程，以乘第二個方程，然后兩式相加，得由于再以乘方程組(4.6.5)中第一個方程，以91及從而得積分得上式另一首次積分及92于是，原方程組(4.6.5)降為較低階的方程組

于是，原方程組(4.6.5)降為較低階的方程組93將它們代入(4.6.7)得作極坐標(biāo)變換，，并求導(dǎo)將它們代入(4.6.7)得作極坐標(biāo)變換，，并求導(dǎo)94

兩式聯(lián)立消去，得

5微分方程組應(yīng)用解讀課件95這就是衛(wèi)星運(yùn)動軌道的極坐標(biāo)參數(shù)方程。若將參這里得到一個僅含有一個未知數(shù)得一階微分方程，若由此解出，代入(4.6.9)中第一式，便可確定，由此得到數(shù)消去，便得出衛(wèi)星運(yùn)動軌道的極坐標(biāo)方程。這就是衛(wèi)星運(yùn)動軌道的極坐標(biāo)參數(shù)方程。若將參這里得到一個僅含96利用分離變量求該方程的解得為此，由(4.6.9)的第一式求得,并代入(4.6.10)得利用分離變量求該方程的解得為此，由(4.6.9)的第一式97，則上式化為整理得令，則上式化為整理得令98知或(4.6.11)這就是所求的衛(wèi)星運(yùn)動軌道的極坐標(biāo)方程，其中有三個任意常數(shù)(或)，它們可由初始條件(4.6.6)確定。注意到當(dāng)時，因此，。且由(4.6.6)及(4.6.8)知或(4.6.11)這就是所求的衛(wèi)星運(yùn)動軌道的極坐標(biāo)方程，其99把它們代入(4.6.9)及(4.6.11)得

(4.6.12)我們知道，(4.6.11)式是圓錐曲線的極坐標(biāo)方程．把它們代入(4.6.9)100當(dāng)時，軌道是圓；當(dāng)時，軌道是橢圓；當(dāng)時，軌道是拋物線；當(dāng)時，軌道是雙曲線．下面進(jìn)一步討論衛(wèi)星發(fā)射的初速度與衛(wèi)星軌道形狀的關(guān)系．因?yàn)楫?dāng)時，軌道是圓；101故上故將(4.6.12)式中的代入上式，并整理得(4.6.13)注意到(4.6.12)式及故上故將(4.6.12)式中的代入上式，并整理得(4.6.1102式可化為因此，當(dāng)時，得由此得式可化為103衛(wèi)星的軌道是一個圓.即把地球半徑，質(zhì)量及引力常數(shù)的具體數(shù)值代入上式，并計(jì)算得即稱為第一宇宙速度，此時衛(wèi)星的軌道是一個圓.即把地球半徑，質(zhì)量及引力常數(shù)的具體數(shù)值代104當(dāng)時，由(4.6.13)得即所求速度是第一宇宙速度的倍，即，稱為第二宇宙速度，它的軌道是拋物線。當(dāng)時，由(4.6.13)得即所求速度是第一宇宙速度的倍，即，105是雙曲線（一支）。當(dāng)時，因，由(4.6.13)式可知這表明，當(dāng)初速度小于第二宇宙速度時，衛(wèi)星軌道是一個橢圓。當(dāng)時，由(4.6.13)式可得因此，當(dāng)初速度大于第二宇宙速度時，它的軌道是雙曲線（一支）。當(dāng)時，因，由(4.6.13)式可知這表106由電路和機(jī)械裝置組裝成的永磁體擴(kuò)音器模型如圖4.7所示。4、擴(kuò)音器振動模型圖4.7由電路和機(jī)4、擴(kuò)音器振動模型圖4.7107一個時變電源電壓驅(qū)動著一個音圈能換器，能換器的轉(zhuǎn)化系數(shù)為，通過能換器使揚(yáng)聲器的振動膜發(fā)生振動。由音圈組成的能換器，本質(zhì)上是一個在永磁場內(nèi)的自由運(yùn)動。當(dāng)變化的電流通過音圈時，音圈在永磁體的磁力和電流產(chǎn)生的磁力相互作用下進(jìn)行運(yùn)動。用代表能換器與揚(yáng)聲器相互作用力，是能換器電阻，是能換器的感應(yīng)系數(shù).一個時變電源電壓驅(qū)動著一個音圈能108壓定律，可得的微分方程組質(zhì)量為的揚(yáng)聲器的振動是一個具有阻尼的彈簧系統(tǒng)振動。阻尼系數(shù)為，彈簧的彈性系數(shù)為，能換器轉(zhuǎn)化系數(shù)與有關(guān)變量間的相互關(guān)系為這里是音圈兩端的電壓降；是音圈位移；代表音圈的速度，由牛頓第二定律及回路電壓定律，可得的微分方程組質(zhì)量為的揚(yáng)聲器的振動是一個具有阻尼的109(4.6.14)令，把(4.6.14)化為一階微分方程組(4.6.14)令，把(4.6.14)化為一階微分方程組110(4.6.15)方程組(4.6.15)的向量形式為，這里(4.6.15)方程組(4.6.15)的向量形式為，這里111設(shè)則5微分方程組應(yīng)用解讀課件112矩陣的特征方程為特征根為，其相應(yīng)特征向量分別為矩陣的特征方程為113因此，可求得齊次線形方程組的基解矩陣為為求(4.6.15)的通解，需求出(4.6.15)的一個特寫成解，我們用待定系數(shù)法來求此特解。把因此，可求得齊次線形方程組的基解矩陣為為求(4.6.15)的114因此，方程組(4.6.15)有特解將代入方程得5微分方程組應(yīng)用解讀課件115比較上述方程兩邊和的系數(shù)得把(4.6.16)的消去得由此可求得和分別為比較上述方程兩邊和的系數(shù)得把(4.6.16)的消去得由此116的通解為方程的通解為方程117這里是任意常向量。進(jìn)一步，可求得原方程中音圈的位移和驅(qū)動能換器的電流分別為這里是任意常向量。進(jìn)一步，可求得原方程中1185、人體含鉛量問題鉛是如何進(jìn)入體內(nèi)的?消化道

通常是鉛吸收的主要途徑，兒童由這一途徑吸收的鉛所占比例約為85％。鉛在腸道內(nèi)通過主動轉(zhuǎn)運(yùn)和被動擴(kuò)散兩種方式由小腸吸收人血液。主動轉(zhuǎn)運(yùn)占吸收總量的80％以上。主動轉(zhuǎn)運(yùn)依賴鉛與腸粘膜上一種轉(zhuǎn)運(yùn)蛋白質(zhì)結(jié)合，由轉(zhuǎn)運(yùn)蛋白作載體將鉛轉(zhuǎn)運(yùn)人血液。被動擴(kuò)散則是鉛由腸腔向血液自然擴(kuò)散。腸腔中鉛濃度越高、血液中鉛濃度越低，被動擴(kuò)散的量就越大。5、人體含鉛量問題鉛是如何進(jìn)入體內(nèi)的?119呼吸道空氣中含鉛的灰塵經(jīng)鼻孔吸人呼吸道后，一部分被鼻毛、氣管纖毛和支氣管纖毛、細(xì)支氣管纖毛阻擋，最后以痰液的形式返回口腔，兒童將其咽人消化道，再由消化道吸收入血。另一部分特別微小的鉛塵到達(dá)肺泡，沉積在肺泡里，然后由吞噬細(xì)胞等吸收，進(jìn)入血液。皮膚當(dāng)我們接觸有機(jī)鉛的時候，鉛會被皮膚直接吸收。呼吸道120

鉛中毒會引起神經(jīng)、消化、循環(huán)系統(tǒng)紊亂，表現(xiàn)為貧血、腹痛、高血壓等。血鉛高組的兒童的總智商、操作智商、語言智商分別比低血鉛組落后14分、14分和13分，而每升血液中的鉛濃度上升100微克，兒童的身高將降低13厘米。低劑量的鉛接觸可以對人體的紅細(xì)胞、腎臟、免疫系統(tǒng)、骨髓和中樞神經(jīng)的功能產(chǎn)生不良影響，而所有這些影響發(fā)生前都可能沒有明顯的臨床癥狀。鉛中毒會影響嬰幼兒最初站立、行走和說話的年齡，也可能引起孩子注意力渙散、記憶力減退、理解力降低及學(xué)習(xí)困難等。

鉛中毒會引起神經(jīng)、消化、循環(huán)系統(tǒng)紊亂，表121

兒童體內(nèi)的鉛水平可分從血、骨、齒、尿、發(fā)檢測到，兒童血鉛水平分為5級。

Ⅰ級：血鉛值低于10微克／分升，身體處于相對安全狀態(tài)；

Ⅱ級：血鉛值為10微克－19微克／分升，屬于輕度鉛中毒。影響造血、神經(jīng)傳導(dǎo)和認(rèn)知能力，兒童易出現(xiàn)頭昏、煩躁、注意力渙散、多動、厭食、腹脹、輕度貧血；

Ⅲ級：血鉛值達(dá)到20微克－44微克／分升，為中度鉛中毒。引起缺鈣、缺鋅、缺鐵、免疫力低兒童體內(nèi)的鉛水平可分從血、骨、齒、尿、發(fā)檢測到，兒122下，運(yùn)動不協(xié)調(diào)，視力和聽力受損，學(xué)習(xí)困難、智力下降，生長發(fā)育遲緩，貧血、腹絞痛、食癖、反應(yīng)遲鈍等；Ⅳ級：血鉛值達(dá)到45微克－69微克／分升，就是重度鉛中毒?？沙霈F(xiàn)性格改變、易激怒、攻擊性行為、運(yùn)動失調(diào)、貧血、腹絞痛、高血壓、心律失常和癡呆等；

Ⅴ級：當(dāng)血鉛值大于70微克／分升時，為極重度鉛中毒，可導(dǎo)致臟器損害、鉛性腦病、癱瘓、昏迷等。下，運(yùn)動不協(xié)調(diào)，視力和聽力受損，學(xué)習(xí)困難、智力下降，生長發(fā)育1235微分方程組應(yīng)用解讀課件124問題和模型

鉛是一種人體所必須的微量元素，但體內(nèi)鉛含量過多時就會引起鉛中毒.鉛是一種重金屬元素，通過食物、飲料、空氣進(jìn)入人體，經(jīng)過呼吸和消化系統(tǒng)后進(jìn)入血液，再經(jīng)過血液循環(huán)慢慢進(jìn)入人體和骨頭中.鉛可以經(jīng)過人體的排泄系統(tǒng)、通出出汗、剪頭發(fā)、剪指甲排出體外.我們根據(jù)鉛在人體內(nèi)的變化情況將人體分為血液、組織、骨頭3個倉室，鉛在這三個倉室中的轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖所示問題和模型125x1(t)表示t時刻血液中的含鉛量，x2(t)表示t時刻組織中的含鉛量，x3(t)表示t時刻骨頭中的含鉛量.假設(shè)在單位時間內(nèi)從環(huán)境經(jīng)過消化、吸收系統(tǒng)進(jìn)入血液的鉛為L，從血液進(jìn)入組織、骨頭的鉛分別為a31*x1(t)和a21*x1(t)，從組織、骨頭再進(jìn)入血液的鉛分別為a13*x2(t)、a12*x2(t)，血液和骨頭向外界排出的鉛分別為a01*x1(t)和a02*x3(t).x1(t)表示t時刻血液中的含鉛量，126示意圖示意圖127

(1)根據(jù)前面的假設(shè)建立人體血液、組織和骨頭中含鉛量所滿足的微分方程組,并求其通解.(2)取時間單位為天，對一個志愿者在一種環(huán)境中的生活情況進(jìn)行測定得a21=0.011，a12=0.012,a31=0.0039，a13=0.000035,a01=0.021,a02=0.016,L=49.3.假設(shè)該志愿者開始時體內(nèi)的含鉛量為0，求他體內(nèi)血液、組織和骨頭中含鉛量隨時間變化的關(guān)系，畫出這些解曲線的圖，并求當(dāng)x→+∞時這些函數(shù)的極限.(1)根據(jù)前面的假設(shè)建立人體血液、組織和骨頭中含鉛量128

(4)假設(shè)該志愿者在此環(huán)境中生活了365天后搬到了一個無鉛的環(huán)境中去(不再有外界的鉛進(jìn)入體內(nèi)，即L=0)，再討論他體內(nèi)血液、組織和骨頭中含鉛量隨時間變化的關(guān)系，并畫出0≤t≤1460時這些含鉛量曲線的圖形.(4)假設(shè)該志愿者在此環(huán)境中生活了365天后搬129簡化圖簡化圖130模型模型131模型

x'=Ax+b,模型132數(shù)據(jù)LeadTransferCoefficients(Rabinowitz,etal.)Units:days-1a21=0.011a12=0.012frombloodtotissueandbacka31=0.0039a13=0.000035frombloodtoboneandbacka01=0.021a02=0.016excretionfrombloodandtissue數(shù)據(jù)LeadTransferCoefficients(133時間分為兩段:[0,365]和[365,1460]#定義常數(shù)a01:=0.021;a02:=0.016;a12:=0.012;a13:=0.000035;a21:=0.011;a31:=0.0039;L:=49.3;#定義矩陣和向量A:=matrix(3,3,[-(a01+a21+a31),a12,a13,a21,-(a02+a12),0,a31,0,-a13]);b:=matrix(3,1,[L,0,0]);#定義方程equn1:=diff(x1(t),t)=-(a01+a21+a31)*x1(t)+a12*x2(t)+a13*x3(t)+L;時間分為兩段:[0,365]和[365,1460]134equn2:=diff(x2(t),t)=a21*x1(t)-(a02+a12)*x2(t);equn3:=diff(x3(t),t)=a31*x1(t)-a13*x3(t);#解初始值問題dsolve({equn1,equn2