點(diǎn)估設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x;?)，其中?為未知參(?可以是向量現(xiàn)從該總體抽樣，得到樣本從樣本出發(fā)構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)TT(X1,,Xn作為參數(shù)?的估計(jì)量，即點(diǎn)估計(jì)將x1,…,xn代入估計(jì)量，得到?的估計(jì)T(x1,,xn點(diǎn)估計(jì)方

矩最大似然矩總體k階原點(diǎn)

E(Xk總體k階中心

EX

E(1

nkn樣本k階原點(diǎn)

Xin1 kn樣本k階中心

Mk

(Xi

X基本思想是用樣本矩代替總體矩矩法的步設(shè)總體X中有k個(gè)未知參數(shù)?1,?2,…,計(jì)算總體X的r階原點(diǎn)矩n用樣本r階原點(diǎn)n

E(X)

1n

Xi

E(X2)

nnn

X2i 1E(Xk)

nn

Xki解方程?r=hr(X1,X2,…, 則以hr(X1,X2,…,Xn)作為?r的估計(jì)量，并稱hr(X1,X2,…,Xn)為?r的矩估計(jì)量,而稱hr(x1,x2,…,xn)為?r的矩估計(jì)值。例1.設(shè)總體X的分布律如下，其中θ為

2(1E(

1

22(1)3(1

3E(X

3 n1nXin1nXi

32例2.設(shè)總體X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2未知參數(shù)，試求μ,σ2的矩估計(jì)量解：E(X)=μE(X)

XninniE(X2

2

nnXinnnXiii

1 ni1

nnn

(Xi

X

n1Sn例3.設(shè)總體X~E(λ)，其中λ>0為未知參數(shù),解 E(X)1Xx例4.設(shè)總體X的概率密度如下，其中θ>0xf(x;)

e

xx解：E(X) 1edxx

xE(X2) x2 edx x2ex

1n1 11nXi

Xinn當(dāng)總體只含一個(gè)未知參數(shù)時(shí)，用方E(X)即可解出未知參數(shù)的矩估計(jì)量當(dāng)總體只含兩個(gè)未知參數(shù)時(shí)，用方程組E(X)D(X)

n1Sn即可解出未知參數(shù)的矩估計(jì)量最大似然設(shè)總體X的分布律或概率密度為f(x;?),?=(?1,?2,…,?k)是未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本，則X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布律或概率密度函 f(xi L(x,x,...,x;)n nP(

xi

為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)(?)CC解 P(

x)

xpx

p)mxm mL(

P(Xx)Cxi

pxi

p)

n

niCxpi

(1

nmnm

i 例6.設(shè)X1,X2,…,Xn為取自總體X~U(0θ)的樣

(x)

1 0

xn

1 0x

f(xi

某位同學(xué)與一位獵人起外出打獵一只野兔從前方竄過只聽一聲槍響，野兔應(yīng) 概率一般大于這位同學(xué)命中的概率.看來這一槍是獵人射中.然法的基本思.下面我們?cè)倏匆粋€(gè)例子,進(jìn)一步體會(huì)極大似然法的基本思.例5設(shè)X~B(1,pp未知.設(shè)想我們事先知 或如今重復(fù)試驗(yàn)3次,得結(jié)果 0 問:應(yīng)如何估計(jì)

0, 0,

pP(X10X20X3

?例設(shè)在一個(gè)箱子中裝有若干個(gè)白色和黃色乒乓球，已知兩種球的數(shù)目之比為1:，但不知是白球多還是黃球多，現(xiàn)從中有放回地任取3個(gè)球，發(fā)現(xiàn)有2個(gè)白球，問白球所占的比例是多少？解：白球所占比例p=1/4或X:任取3個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)，X~B(3,P(

C2p2

p)

3p2(13p3pp

44

2)2)所以白球所占的比例為3/4最大似然基本思想是概率最大的事件最可能出對(duì)一個(gè)給定的樣本觀測(cè)值，選取p使最大似然對(duì)于固定的樣本觀測(cè)值x1,x2,…,xn。如果

xn,使

X

求最大似然估計(jì)量的步驟f(xi 當(dāng)X是連續(xù)寫出似然函

nP(Xxi

當(dāng)X是離散n對(duì)似然函數(shù)取對(duì)

f(xi;求出L(?)的最大值

lnL?(x1,x2,...,xn

解 P(

x)

pxnixi

nnL(p)

P(

xi)

p

(1

xi

pn

ln(1d

L(

n 1

0，?從中隨機(jī)抽取85件，發(fā)現(xiàn)次品10件，那xn

nn

10 所以這批產(chǎn)品的次品率?例9.設(shè)總體X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2未知參數(shù)。求μ,σ2的最大似然估計(jì)解

(x)

(x

)22L(,22

nn

f(xi2n exp[1(2n

)2(2

2(2)

n(xn

)2

2

L(,

)

2

(xi

)nlnn

1

xn]ii

ln

n

(xn)2nini

2

1 xxni1

nnn

(xi

x)2nn

n

(Xi

X

n1Sn例10.設(shè)X1,X2,…,Xn為取自總體X~U[0θ]的樣

(x)

1 0

x矩法

E(X

2

12最大似然法n

1 0x

f(xi

顯然,該似然方程組無解 怎么辦呢若似然方程無解，即似然函數(shù)有駐點(diǎn)時(shí)，通常在邊界點(diǎn)上達(dá)到最大值，可由定義通過對(duì)邊界點(diǎn)1

0

對(duì)于例

只要取

xi

故的最大似然估計(jì)量 例11.設(shè)總體X的概率密度f(x)

1)x

0x 其其中?>-1是未知參數(shù)，X1,X2,1解：(1)矩估1E(X)

xf

1)x

11

2X 1

(2)最大似然估 L()f(x)(1)n(

(0

n

1)lndlnL()n2n1 n2n

1 ln

ln常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是無偏有效一致無偏

X

Xn)若

X

Xn)是?的無偏估計(jì)量

X

Xn)是?的漸近無偏估計(jì)量例1.設(shè)X1,X2,…,Xn是來自有有限數(shù)學(xué)期μ和方差σ2的總體。證明

1 nnn

i是總體均

的無偏估計(jì)n2S2 (

X)2是總體方差 n

i

的無偏估計(jì)22

1

(X

X)2 ninni

是總體方

的漸近無偏估計(jì)證

E(X)

n

nn

Xi

nnn

E(Xi)2 D(Xi)

,D(X)nE(

2)D(X)E2(X)=

+ ,,E(X2)

D(X)

E2(X) +n

E(S2)

E(nXin1 Xi

2nX2)

(nn1

E(

2)nE(X2i i

=n1

)n

n1

n11

S2是

2的無偏估

n1Sn22

n1E(S2)

n1

lim(

12n

222是2的漸近無偏估計(jì)22例2設(shè)X1,X2Xn來自總體X，E(Xμ,

X1;X

1X

X2有效11

(X1,

X2

Xn)和

(X1,

X2

Xn2都是212 )12則稱比

有效 例3.例2中μ1,μ2,μ3哪個(gè)估計(jì)量更有效

2

12n528可見當(dāng)n≥2時(shí)所以μ2比較有效一致設(shè)是未知參數(shù)若對(duì)0,

則稱是的一致估計(jì)量或相合估計(jì)量例4設(shè)有一批產(chǎn)品，為估計(jì)其次品率p，隨機(jī)取一樣本X1,X2,…,Xn，其中Xi

取得次品

取得合格品證明

?

nnn

Xi是p并討論該估計(jì)量的一致性證：E(Xi)=pD(Xi)=p(1-E(?)

E(X)

nnn

E(Xi)

1npp?由大數(shù)定律，對(duì)任意ε>0，

時(shí)，P

?

)?nXi例5設(shè)X1,X2Xn來自總體X，且E(Xk)存在nXi1n

k是E

k

1,2,...)的一致估計(jì)量證：因X1,X2Xn獨(dú)立同分,kX1,k

Xk

Xk2n)i且E(X E(Xk2n)i由辛欽大數(shù)定律1n1

Xiinin

E(

)|}nnn

Xk是E

k

1,2,...)的一致估計(jì)量引前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì).它差范圍，使用起來把握不大.區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷.譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，12若我們能給出一個(gè)區(qū)間,?]12使N}1 這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了一、置信區(qū)間定義個(gè)待估參數(shù)，給定

若由樣本X1,X2,…Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)(X,

,L,

),(X,X,L,X

1)2 滿1)2}1則稱區(qū)

1212

的置信水平（置信度置信概率）為1

的置信區(qū)間和

分別稱為置信下限和置信上限 可見對(duì)參數(shù)作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出 ?(X,…X

,…X 滿 }11一旦有了樣本，就把內(nèi).這里有兩個(gè)要求

1估計(jì)在區(qū)間1

22要求

以很大的可能被包含在區(qū)間

1內(nèi)，就是說，概率1

}要盡可能大2即要求估計(jì)盡量可靠2估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)2長(zhǎng)度2

盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的121它準(zhǔn)則121可靠度可靠度與精度是一，一般是在保證可靠度的條件盡可能提高精度求置信區(qū)間的步構(gòu)造與待估參數(shù)θ有關(guān)，只含?不含其給定置信度1-α，得常數(shù)a,b，P{a<U<b}=1-將a<U<b變形，使得1?(X1,1

X

Xn)

(X1,

X

Xn2結(jié)2區(qū)間

1的置1的置信區(qū)二、置信區(qū)間的求例1設(shè)X1,…Xn是取N(,2)的樣本

求參數(shù)的置信度為1的置信區(qū)間解：

UX

~N(0, 對(duì)給定的置信水平1,

X

|

}1nn從中解nn

u2

X

}1

X 1于是所求

的置信區(qū)間[X ,X nn nn也可簡(jiǎn)記

nuX nu(11-0n(Xn

/2

X

2)nnn,(Xn

(1)

X

)nn這里，我們主要討論總體分布為正態(tài)的情形.若樣本容量很大，即使總體分布未知，應(yīng)用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計(jì).一、單個(gè)總體Nμ,σ2的情X Nμ,σ2并

X1

,Xn為來自總體樣本

X,S

分別為樣本均值和樣本方差μ的置信區(qū)1σ

為已nnσXμ~Nnnuα)α可得到的置信水平為1nnuα)α

的置信區(qū)間n,α(X n,α

)或(X 2σ

為未SXSXμ此分布不依賴任何未知參ntα2(n1)}1nSXμ~t(n可得到的置信水平為1

的置信區(qū)間Xt Xtn αn

(n1),X

ntαn

(n1) X

ntαn

(n1) 例1有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機(jī)地取16稱得重(以克計(jì))如下 509設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,試求總體均值t的置信水平0.95為的置信區(qū)間t解的置信水平

的置信區(qū)間

(x

(nnα這里1nα

20.025,n1

15,t0.025(15)

1(1(xix)2ix i

503.75 s

6.2022于是得到的置信水平

的置信區(qū)間σ2的置信區(qū)設(shè)X1,…Xn是取自N(,

2)的樣本μ已求參數(shù)2的置信度為1的置信區(qū)間確定分位/

2

(n),

(n))2P{

(n)

2

(n)}11

n ,i1

nXinXi1 ~2例5飛機(jī)的飛行速度進(jìn)行15次獨(dú)立試驗(yàn)，測(cè)假設(shè)飛機(jī)最大飛行速度服

N

2求423.1441.3大飛行速423.1441.3 2解 (xi

)

(xi

)2 ,i=1 2

2

10.900.1,查表2(n

n (n) (15)7.261,(x)2

代入1 σ2的置信區(qū)間41.407010142.5492702.1設(shè)2.1設(shè)X1,…Xn是取自N(,2)的樣本，μ未知求參數(shù)2的置信度為1的置信區(qū)間.P{P{

2(n1)

(n1)S~χ(n1)S~χ2(nσσ

2(n1)}1χα可得到σ2的置信水平為1χα

的置信區(qū)間(n1)21α(n1),αχ(n1)S(n1)S由χ1χ1α(n

(n1)Sσ

2(n1)}1χα可得到標(biāo)準(zhǔn)差χα

的置信水平為1

α的置信區(qū)間nχnχα(nnχ1α(n例2有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機(jī)地取16稱得重(以克計(jì))如下 509設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,試求總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平5為的置信區(qū)間. 于是得

σ的置信水平為n n

的置信區(qū)間χα(nχα(nχ1α(n 11(xix) 2

20.025,1

2

n115,χ2χ

(15)

χχ

(15)

6.262.s

于是得

σ的置信水平為

的置信區(qū)間

(4.58,9.60).二、兩個(gè)總

N(

,σ2),

N(

,σ2的情 設(shè)已給定置信水1

,

n1X1,X2K,n1是來自第一個(gè)總體的樣本

是來自第n2n個(gè)總體的樣本,這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立.且設(shè)X,Y分 為第一、二個(gè)總體的樣本均值,S2,S

為第一、個(gè)總體的樣本方差兩個(gè)總體均值差

μ的置信區(qū)（σ2σ2已知 X

~N(μ1

σ,

σ 2σσσ (XY)(μ1μ2)~N于是得

μ1

μ2的置信水

1

的置信區(qū)間 σ σ σX

uα 兩個(gè)總體方差比σ σ 的置信區(qū)

(μ1,

為未知 由 S S P

2

1,

1)

2

1,

1σ σ S

σ

S2 2P 2

2α S2 (n2α

(n1,

1)可得到σ σ 的置信水平為1

α的置信區(qū)間 S

S SSσ SSσ~Fα2(n11,n21σ22α S2 (n1,n1)S2 2α 研究由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的 徑,隨機(jī)地抽取機(jī)器A生產(chǎn)的 18只,測(cè)得樣本s1s1

0.34(mm2隨機(jī)地取機(jī)器B生產(chǎn)13只,測(cè)得樣本方

0.29(mm2.設(shè)兩樣本相s2獨(dú)立 且設(shè)由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn) 的內(nèi)s2 分別服從正態(tài)分

,σ2

,N

,σ2,這里

,σ2 (i=1,2)均未知.試求方差比σ σ 的置信水平 0.90的置信區(qū)間

α0.10,

0.05,1

2n18,s20.34,n13,s2

(17,12)

(17,12)

F0.05 故兩總體方差比σ σ2的置信水平為0.90的置信 間S( S2 (n1,n σ2 S2 α 1α 即(0.452.79從正態(tài)分布N(100,1.152，某日開工后，隨甲乙試問這兩種香煙的尼古丁含量有無顯著差檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)的問題，稱為參數(shù)檢驗(yàn)檢驗(yàn)分布假設(shè)的問題，稱之為分布檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原“小概率”原理：概率很小的事件在一例4.某廠提供的資料表明該廠的產(chǎn) p=99%，要檢驗(yàn)廠方資料是否屬實(shí)提出→構(gòu)造小概率事件A=“任意抽取一個(gè)→任意抽取一個(gè)產(chǎn)→若A發(fā)生 →若A沒發(fā)生→接受續(xù)例1.檢驗(yàn)這天包裝機(jī)工作是否正常解：H0: H1:UU

nnX

~N

9(99.989(99.980.05,u/

∵|U|=0.052<1.96∴接受H0。即認(rèn)為假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)實(shí)際情決H0為H0不第一類錯(cuò)正接受正第二類錯(cuò)以真為

H0P真以假為

|H0為假假設(shè)檢驗(yàn)的步根據(jù)問題,提出H0與H1選擇統(tǒng)計(jì)量U,要求在H0為真時(shí),U的計(jì)算U并與臨界值比較,接受 單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢σ2已知時(shí)μ的雙側(cè)置信區(qū)UX

~N XX P Pn n

122P

u

u

1nn即得μ的雙側(cè)置信區(qū)n(Xun

n,Xu nσ2已知時(shí)μ的雙側(cè)假設(shè)檢檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ=μ0,U

~N

uu2

H0否則,接受例1從一批服從正態(tài)分布N(μ,0.022)的零件中隨2.15有無差異？(α=0.05).解

2.14...2.11

σ2已知時(shí)μ的雙側(cè)置信區(qū)間(X

,

0.02,

16代入Xun

Xun

∴μ的雙側(cè)置信區(qū)間為H0:μ=μ0,X

~N U

0

(50.05,u/

∵|U|=5>1.96,∴ H0。即該批零件的平均長(zhǎng)度2.15有顯著差異。σ2未知時(shí)μ的雙側(cè)置信區(qū)TX

~t(n XXSnP P

2(nnSn

1SP

2(n

2(n

1nn即得μ的雙側(cè)置信區(qū)X (n1)S,X (n1)S nn nnσ2未知時(shí)μ的雙側(cè)假設(shè)檢檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ=μ0,TS

~t(n

22(n

H0否則,接受單正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢μ未知時(shí)σ2的雙側(cè)置信區(qū)(n1)ST

~

(n (n1)S P

2(n1)

2(n

1P

1)S

2

(n1)S

1

2

1)即得σ2的雙側(cè)置信區(qū)(n1)S,

(n1)S

(n

2(n1)檢驗(yàn)假設(shè)H0:σ2=σ02H1:σ2≠σ02T

1)S

~2

20 1)

2

2

1)當(dāng)T

2

或T

(n H0否則,接受的方差仍為0.1122？（α=0.05）解：(1)μ未知時(shí)σ2的雙側(cè)置信區(qū)間(n1)S,

(n1)S 2 2

(n

(n1)1/n1/

2/

(n

14.4492,

(n

(n1)S

(n1)S

(n

2(n∴σ2的雙側(cè)置信區(qū)間為(0.0146,H0:σ2=0.1122,(n1)ST

~

(n(n1)ST

2/0.05,/

(n

14.4492,

(n

∵T=16.789>14.45,∴ μ已知時(shí)σ2的雙側(cè)置信區(qū)

2T

~2i1

2 P

(n)

1 1

i1

i (X)2i

2n(Xi)nP

12

2 即得

的雙側(cè)置信區(qū)ni (X)2 (X)2nii ,i1 2

2 μ已知時(shí)σ2的雙側(cè)假設(shè)檢檢驗(yàn)假設(shè)H0:σ2=σ02nT1n

(X

)2

~220

2

2(n)2

2

2當(dāng)2否則,接受

2

H0例6.設(shè)綸纖度在正常生產(chǎn)條件下服從正態(tài)分布度為：1.321.361.551.441.40求這一天生產(chǎn)的綸纖度方差的雙側(cè)置信區(qū)間；(2)這一天生產(chǎn)的綸的纖度的方差是否正常？（α=0.10）解：(1)μ已知時(shí)σ2的雙側(cè)置信區(qū)間X X

n ,i1 n2 5

n5,(Xi

)2

查表查表/

11.0703,

1.21.1455n(Xi)n2

(Xi)n2n

2∴σ2的雙側(cè)置信區(qū)間為(0.0028,nH0:σ2=0.0482,nT1

(X

)2

~2i inT1n

(X

)2

/0.10,/

∵T=13.67>11.07,∴ 雙正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢σ12、σ22已知時(shí)μ1-μ2 mn

2

~N即得μ1-μ2的雙側(cè)置信區(qū) mn mnX X

,X

u σ12、σ22已知時(shí)μ1-μ2檢驗(yàn)假設(shè)H0μ1=μ2,H1μ1U X

~N

u

當(dāng) 否則,接受例1.已知A行業(yè)職工月工資X~N(μ1,1.52)(單位:千元);B行業(yè)職工月工資Y~N(μ2,1.22)(單位:千元).2005年在 25、30人,算得其平均月工資分別為間；2問這兩行業(yè)職工月平均工資是否有顯著差異？(α=0.05解(1σ2、σ2已知時(shí)μ-μ的雙側(cè)置信區(qū)

2X X

u

,X

u

nm25,

0.05,查表u21.96代入X

u

u

∴μ1-μ2的雙側(cè)置信區(qū)間為(-0.1281,H0:μ1=μ2, 2 2mn

~NX X mn1.520.05,u/

∵|U|=1.615<1.96,∴接受H0。業(yè)職工月平均工資沒有顯著差σ12=σ22未知時(shí)μ1-μ2 w S w SSmn

2

~t(m

n

即得μ1-μ2的雙側(cè)置信區(qū) w w SSmn w SSmnX X

2(mn

,X

2(mn σ12=σ22未知時(shí)μ1-μ2檢驗(yàn)假設(shè)H0μ1=μ2,H1μ1T XS S

~t(m

n w

2當(dāng) 否則,接受σ12=σ22未知時(shí)μ1-μ2

S S X X

(m

n

w

,檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ1≤μ2,H1:μ1>μ2 H0,否則,接受σ12=σ22未知時(shí)μ1-μ2

S S2 ,XY

(m

n

w w n檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ≥μ0,H1:μ<μ0 H0,否則,接受泉水的體積X、Y分別服從正態(tài)分布N(μ1σ2)和N(μ2,σ2).現(xiàn)從生產(chǎn)線上分別隨機(jī)抽取容量解：σ

2未知時(shí)μ-μ的雙側(cè)置信區(qū)

S S

S S2X Yt2(mnX

ww,XY

2(mn

w w nm12,

499.7,S

2.4,S

120.05,查表12

2(mn2)

X

2(mn

SS w S

0.1008,X

2(mn

SS w S

∴μ1-μ2的雙側(cè)置信區(qū)間為(-0.1008,常參加體育鍛煉的男生平均身高要高？(α=0.05)解：H0μ1≤μ2,H1μ1T XS S

~t(mn w T X

SS SS w

1 0.05,t(mn2)∵T=2.02>1.66, H0。即男生是明顯比不常參加體育鍛煉的男生平均身高要高雙正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢求σ

2的雙側(cè)置信區(qū)間與雙側(cè)檢111

21122=σ2,H:σ2≠σ2112求σ

2的單側(cè)下限置信區(qū)間與右側(cè)檢111

21122≤σ2,H:σ2>σ2112求σ

2的單側(cè)上限置信區(qū)間與左側(cè)檢111

21122≥σ2,H:σ2<σ21122μ1、μ2未知時(shí)σ12/σ22S ST

~F(m1,n S S P

2(m1,n1) 2F2(m1,n

1S

S P

1SS22 SS22

2即得σ12/σ22的雙側(cè)置信區(qū)2S

S 2 , 2SS2 SS2

2μ1、μ2未知時(shí)σ12/σ2的雙側(cè)2檢驗(yàn)假設(shè)H0σ12σ22，H1SS2T S22

~F(m1,

1)

2(m1,n1)當(dāng)T

2

或

2(m1,n

H0否則,接受2μ1、μ2未知時(shí)σ12/σ