第PAGE第9頁共14頁《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》綜合復(fù)習(xí)資料一、填空題1、一個(gè)盒子中有10個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，5個(gè)白球,從中取球兩次，每次取一個(gè)（無放回則：第二次取到黑球的概率為 ;取到的兩只球至少有一個(gè)黑球的概率為 。2、的概率密度為 ( )，則DX .3、已知隨機(jī)變量Z2XY5,則EX ;DX .4、已知隨機(jī)變量X的分布列為

且 與 相互獨(dú)立，設(shè)隨機(jī)變量——10.400。22p則: EX= ；= 。5、設(shè) 與獨(dú)立同分布，且X~N(2 ,22)，則6、設(shè)對(duì)于事件 、 有1

（ = 。1，P(ABC) ，112PAB)P(BC)PAC) ，則、8

都不發(fā)生的概率為 .7、批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60％、30％10％，從中任取一件，結(jié)果不是三等品，則到的是二等品的概率為 。8、相互獨(dú)立，且概率分布分別為f(x)

1 e(（ ）；(y)1y3則：E(XY)= ；E(2X2)= 。

其它、已知工廠 生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為和1%，現(xiàn)從由 工廠分別占和的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該產(chǎn)品是B工廠的概率為 .10、設(shè)X、Y的概率分布分別為1x5(x)

；其它則：E(X)= ；E(X2)= 。二、選擇題1、設(shè)X和Y相互獨(dú),且分別服從N22)和N，則 .．{XY}1/2．{XY}1/

．{XY}1/2．{XY}1/22、已知P(0.4，P(B)0.6,P(B|0.5，則P(A B) 。A．1B．0.7C．0.8D．0。53、設(shè)某人進(jìn)行射擊，每次擊中的概率為1/3，今獨(dú)立重復(fù)射擊10次,則恰好擊中3次的概為 。1327

3 13 27A．( )( )3 3

B．(3) (3)．C3 17 2

．13C 10(3) (3)

D ( )34甲乙兩人獨(dú)立的對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次其命中率分別為0.6和現(xiàn)已知目標(biāo)被命中則它是甲射中的概率是 。( ）06 ( )5/11 （）075 （）6/115、設(shè)事件、、

滿足ABC,則下列結(jié)論正確的是 。（) （）（） ( ）6、設(shè)DX4，DY1，xy0.6，則D（3X)= 。（A） 40 （B）34 (C） 25。6 （D) 17。6i設(shè) 為來自總體X的一個(gè)樣本為樣本均值未知?jiǎng)t總體方差的無偏估計(jì)量為 。i(A)

1n

n(Xii1i

X)2

(B)

1n(n

X)2(C)

1n(n

EX)2

(D)

1n

n(Xii1i

EX)2i8、設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為2/3,則在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中至少失敗一次的概率為 。i（）(2/3)3(）1(2/3)3(C)3)3()13)3（是隨機(jī)變量，)E(XC)2E(X)2 （）常數(shù),對(duì)任意常數(shù),則必有。（）(）三、解答題1、設(shè)

x01/0x1的分布函數(shù)為F(x) ，求：1x2 ，x2（1）(2）

的概率分布；、 、 。21/2又知第一、二家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有2%的次品，第三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有4％的次品，現(xiàn)從箱中任取(1）取到的是次品的概率；(23、設(shè)隨機(jī)向量X,Y的概率密度為C,0x1,0y2xf(x,y)0,其他（1常數(shù)C;XYX與Y是否相互獨(dú)立。4、已知，設(shè)

、分別服從正態(tài)分布N(0,，求：

32)和N(2, 42)，

與 的相關(guān)系數(shù)數(shù)學(xué)期望 ，方差 ;(2） 與的相關(guān)系數(shù) .5、設(shè)X1,X2, ,Xn為X的一個(gè)樣本，X~f(x,)()x,0x1, 其它其中1為未知參數(shù)，求的極大似然法估計(jì)量。6已知工廠 生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為1和％現(xiàn)從由 的產(chǎn)品分別占6％和的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，求：該產(chǎn)品是次品的概率；,B.7、設(shè)X、Y的概率分布為1，1x,

4e4y，y(x)4 (y)，,EXYE(2X2。

y8、一口袋中裝有四只球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，2,3X、Y(1）X和Y的聯(lián)合概率分布;（2）X和關(guān)于Y邊緣概率分布。9、設(shè)總體 的分布列為110為 的一個(gè)樣本，求的極大似然估計(jì)。10030.040.06,.（1）

隨機(jī)地在1,2，3中任取一值，的分布律；

隨機(jī)地在1 中任取一整數(shù)求:12、設(shè)

和的邊緣分布律。為的一個(gè)樣本，且的概率分布為f(x,)axa1exa,x0 ,

x0其中為未知參數(shù)， 為常數(shù)，求的極大似然估計(jì)。13、在某公共汽車站甲、乙、丙三人分別獨(dú)立地等路汽車，設(shè)每個(gè)人等車時(shí)間（分鐘）[0，5］上的均勻分布，求三人中至少有兩個(gè)人等車時(shí)間不超過2.14（X、Y分別表示第一次、第二次取得球上標(biāo)有的數(shù)字。求：X和YX和Y邊緣分布；(3）X和Y15、設(shè)X，X，X1 2

X~N(,

2)的一個(gè)樣本，且 存在，驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)量（21 3 1（1）X5 1

X10

X;2 31 1 1（2)X X3 1 6

X 。2 316、設(shè)隨機(jī)變量（XY(xy), xy0f(x,y) ,求（1）常數(shù)C；

其它X和關(guān)于Y的邊緣分布密度。17、設(shè)Xa(X 2X )21 2

b(3X 4X )2，其中X，X，X，X4是來自總體N(22)的簡(jiǎn)3 單隨機(jī)樣本。試問當(dāng)a、bX服從23 一、填空題《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》答案1．1/517/452．1/23．054．0.45．521。846．13/247．1/38．39．7/13-1110．31 912 3二、選擇題CCBCBCABA三、解答題1、設(shè) 的分布函數(shù)為

x00x1F（x）P{Xx} ，2 1x2 ，x2求:（） 的概率分布（） 、 、 ；解：(1） 的概率分布列為0121/31/61/2(2）21/2是第一家工廠生產(chǎn)的1/4,又知第一、二家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有2％的次品，第三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有41)取到的是次品的概率（2）已知取到的是次品，它是第一家工廠生產(chǎn)的概率。解:設(shè)事件

;事件A表示:“取到的產(chǎn)品是第家工廠生產(chǎn)的”i（ )。則（1）由全概率公式得

,且 ， 兩兩互不相.P()3P(A)P(A|A)i11

i2 1

i2 1 4

0.0252 100 4 100 4 100（2）由貝葉斯公式得1 2P(A)P(A|A)

2 100=3j1

1P(Aj

1)P(A|A)j

0.025

0.43、設(shè)隨機(jī)向量X,Y的概率密度為C,0x1,0y2xf(x,y)0,其他（）常數(shù)C；(2）關(guān)于XY的邊緣概率密,并判斷X與Y是否相互獨(dú)立解:（1）利用歸一性知： f(x,y)dxdy1C1（2）fX

x

fx,ydy，當(dāng)0x1fX

x

fx,ydy2xdy2x；0其他情況時(shí)，fX

x0綜合知fX

x2x,0x1，0,0,其他同理f

1yy

y,0y22Y 0,其他由于f(x,y)f xf y知X與Y不相互獨(dú)立。X Y4、已知 、分別服從正態(tài)分布N32)和N(2, 42)，，設(shè) ，求：數(shù)學(xué)期望 ,方差 2） 與的相關(guān)系數(shù) .）由數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)及相關(guān)系數(shù)的定義得

與的相關(guān)系數(shù)E(X3

Y)E(2

)E(Y)2

103

1212DX DY1DX1DY211DX DY32 22

3 2 XY132142211(1)34142332 22

3 2 2（2）從而有 與的相關(guān)系數(shù)5、設(shè) 為X的一個(gè)樣,X~f(x,)()x,0x其它其中1為未知參數(shù)，求的極大似然法估計(jì)量。解：設(shè) 為 觀測(cè)值，則構(gòu)造似然函數(shù)nL()(1)n(x)nii1lnLnln)nlnxii1令dlnL n nd 1lnxi0i解的的極大似然估計(jì)量為

1

i1

nlnXi6已知工廠 生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為1％和現(xiàn)從由 的產(chǎn)品分別占60%和40％B解：設(shè)C表示“取到的產(chǎn)品是次品A“取到的產(chǎn)品是B取到的產(chǎn)品是次品的概率為P(C)P(A)P(C|P(B)P(C|B)60 1 40 2 7100 100 100 100 500若取到的是次品，那么該產(chǎn)品是B工廠的概率為P(BC) P(B)P(C|B)P(B|C)

P(C) P(A)P(C|P(B)P(C|B)40 2100 10047 75007、設(shè)X、Y的概率分布為1，1x,

4e4y，y(x)4 (y)，,EXYE(2X2。

y51解：由于X上服從均勻分布，所以EX1

3；又由于Y服從參數(shù)為42的指數(shù)分布，所以EY=、DY ,16因此由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)2、性質(zhì)3及重要公式得E(XY)EXEY3

1314 4E(2X2)2E(X)3E(Y2)63(DY(EY)2)6

355。8 88、一口袋中裝有四只球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，2,3?，F(xiàn)從袋中任取一球后不放回,再從袋中任第PAGE第14頁共14頁取一球，以XY（）X和Y(2）X和關(guān)于Y的所有可能取值為，2（，3（1、(，2，3（3,、(3，2)。由概率乘法公式得p P{X12

1214 3 61 1 1p P{X 13 4 3 12同理得p p p p 1/6，p 1/12。此外{X,{X，都是21 22 23 32 31不可能事件，所以p p 0,于是( ，)的概率分布表為YXYX123101/61/1221/61/61/631/121/60（2)X的邊緣概率分布為X123p1/41/21/4iY12Y1231/41/21/49、設(shè)總體 的分布列為110為 的一個(gè)樣本，求的極大似然估.解:設(shè)于是似然函數(shù)L(p)n

為p(x,p)ni

觀測(cè)值，（ ）piix(1p)1xpii

的分布律為i1 i1令 ，解得 ,因此的極大似然估計(jì)為210、設(shè)一電路由三個(gè)相互獨(dú)立且串聯(lián)的電子元件構(gòu)成，它們分別以0。03、0.04、0.06的概率被損壞而發(fā)生斷路,求電路發(fā)生斷路的概率。21解：設(shè) 表示“第個(gè)電子元件被損壞(=1,則有P(1

)0.03;P(

)0.04；(3PA)0.06.依題意所求概率為(3P(AAA)P(A)

)P(A)P(AA)P(AA)P(AA)1 2

1 2 3 1 2 13 2 3P(AAA)1 2 30.030.040.060.030.040.040.060.030.060.030.040.060.1246721設(shè) 隨機(jī)地在12,3中任取一值，隨機(jī)地在1 中任取一整數(shù)值求（1）的分布律2關(guān)于 和的邊緣分布律。解:（1） 的概率分布表為112312123關(guān)于的邊緣分布律為11231、設(shè)X，X，Xn為XX的概率分布為f(x,)axa1exa,x,,

x0,其中為未知參數(shù)，a0為常數(shù)，求的極大似然估計(jì)。解：設(shè)，x，xn為X，X，Xn觀測(cè)值，構(gòu)造似然函數(shù)L（

f(x,)i

axi

axaeiei1 i1(a)ne

nxii1

xa1ilnLnln(a)n xii1令

lnni1

i1xa1i解得nni1

dlnL0dxa0，因此的極大似然估計(jì)為i n 。Xaii113、在某公共汽車站甲、乙、丙三人分別獨(dú)立地等1，2，3路汽車，設(shè)每個(gè)人等車時(shí)間(單位：分鐘）均服從［0，5]上的均勻分布，求三人中至少有兩個(gè)人等車時(shí)間不超過2分鐘的概率。XX服從[0,5]上的均勻分布，其概率分布為0x5f(x)0, 其它P{X2}2

f(x)dx21/0.40又設(shè)Y2P{Y2}1P{Y1}

~B(3,0.4)，所求概率為1C00.63C10.40.620.3523 314放回，以X、Y）X和YX和Y（3)X和Y是否相互獨(dú)立？為什么？:（(11)(1,2(2,1(22）.P{X

111， p P{X1223 3 9 12 3 3 92 1 2 2 2 4p21

P{X ，p P{X 223 3 9 3 3 922于是（ ，)的概率分布表為1211/91211/92/922/94/9X和Y的邊緣概率分布分別為iX1212p1/32/31/32/3iX和Y相互獨(dú)立。因?yàn)閕,j有p pjpi15、設(shè)X，X，X1 2

為來自總體X~N(, 2)的一個(gè)樣本，且

存在，驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)量(1)、(2)都是的無偏估計(jì)，并指出哪一個(gè)較好。（1)1

X 15 11

3X10

1X2

；（2）2

1X1X3 1 6 1X

1 2 3 1）由于?1

E(1X5

3X10

12

)3所以? 1X 3X 1X

是的無偏估計(jì)；111 5 1 10 2 2 3112(）?2

E(1X3

6X2