學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4．萬(wàn)有引力理論的成就[學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.了解萬(wàn)有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用．2。掌握計(jì)算天體的質(zhì)量和密度的方法．(重點(diǎn)）3。掌握解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本思路．(重點(diǎn)、難點(diǎn)）一、計(jì)算天體的質(zhì)量1．地球質(zhì)量的計(jì)算（1）依據(jù)：地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，即mg＝Geq\f(Mm，R2)。（2)結(jié)論:M＝eq\f（gR2，G)，只要知道g、R的值，就可計(jì)算出地球的質(zhì)量．2．太陽(yáng)質(zhì)量的計(jì)算(1)依據(jù)：質(zhì)量為m的行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),行星與太陽(yáng)間的萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力,即Geq\f(Mm,r2）＝eq\f（4π2mr，T2）.（2）結(jié)論：M＝eq\f(4π2r3,GT2),只要知道行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期T和半徑r，就可以計(jì)算出太陽(yáng)的質(zhì)量．3．其他行星質(zhì)量的計(jì)算(1）依據(jù)：繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，同樣滿足Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(4π2mr，T2）(M為行星質(zhì)量，m為衛(wèi)星質(zhì)量）．（2)結(jié)論:M＝eq\f（4π2r3，GT2）,只要知道衛(wèi)星繞行星運(yùn)動(dòng)的周期T和半徑r，就可以計(jì)算出行星的質(zhì)量．二、發(fā)現(xiàn)未知天體1．海王星的發(fā)現(xiàn)英國(guó)劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國(guó)年輕的天文學(xué)家勒維耶根據(jù)天王星的觀測(cè)資料，利用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出天王星外“新"行星的軌道.1846年9月23日，德國(guó)的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——海王星．2．其他天體的發(fā)現(xiàn)近100年來(lái),人們?cè)诤Ｍ跣堑能壍乐庥职l(fā)現(xiàn)了冥王星、鬩神星等幾個(gè)較大的天體．1．思考判斷(正確的打“√"，錯(cuò)誤的打“×”）（1)地球表面的物體，重力就是物體所受的萬(wàn)有引力． （×）(2）繞行星勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的衛(wèi)星，萬(wàn)有引力提供向心力． (√)(3）利用地球繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)，可求地球的質(zhì)量． (×）(4）海王星、冥王星的發(fā)現(xiàn)表明了萬(wàn)有引力理論在太陽(yáng)系內(nèi)的正確性． (√)(5)科學(xué)家在觀測(cè)雙星系統(tǒng)時(shí),同樣可以用萬(wàn)有引力定律來(lái)分析． (√）（6)冥王星被稱為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”． （×)2．下列說(shuō)法正確的是()A．海王星是人們直接應(yīng)用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的B．天王星是人們依據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的C．海王星是人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的太空觀測(cè)而發(fā)現(xiàn)的D．天王星的運(yùn)行軌道與由萬(wàn)有引力定律計(jì)算的軌道存在偏差，其原因是天王星受到軌道外的行星的引力作用，由此人們發(fā)現(xiàn)了海王星D［由行星的發(fā)現(xiàn)歷史可知，天王星并不是根據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的;海王星不是通過(guò)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，也不是直接由萬(wàn)有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的,而是人們發(fā)現(xiàn)天王星的實(shí)際軌道與理論軌道存在偏差，然后運(yùn)用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出“新”星的軌道，從而發(fā)現(xiàn)了海王星．由此可知，A、B、C錯(cuò)誤，D正確．]3．“嫦娥二號(hào)”是我國(guó)月球探測(cè)第二期工程的先導(dǎo)星．若測(cè)得“嫦娥二號(hào)"在月球（可視為密度均勻的球體）表面附近圓形軌道運(yùn)行的周期T，已知引力常量為G,半徑為R的球體體積公式V＝eq\f(4，3）πR3，則可估算月球的(）A．密度 B．質(zhì)量C．半徑 D．自轉(zhuǎn)周期A[由萬(wàn)有引力提供向心力有Geq\f（Mm,r2）＝meq\f（4π2,T2）r，由于在月球表面軌道有r＝R，由球體體積公式V＝eq\f（4，3)πR3，聯(lián)立解得月球的密度ρ＝eq\f（3π,GT2），故選A。]計(jì)算天體的質(zhì)量和密度1。天體質(zhì)量的計(jì)算（1)重力加速度法若已知天體（如地球)的半徑R及其表面的重力加速度g，根據(jù)在天體表面上物體的重力近似等于天體對(duì)物體的引力，得mg＝Geq\f（Mm,R2）,解得天體的質(zhì)量為M＝eq\f(gR2，G),g、R是天體自身的參量，所以該方法俗稱“自力更生法”．(2)環(huán)繞法借助環(huán)繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的行星(或衛(wèi)星）計(jì)算中心天體的質(zhì)量，俗稱“借助外援法"．常見(jiàn)的情況如下：萬(wàn)有引力提供向心力中心天體的質(zhì)量說(shuō)明Geq\f(Mm,r2)＝meq\f（v2，r）M＝eq\f（rv2，G）r為行星(或衛(wèi)星)的軌道半徑,v、ω、T為行星（或衛(wèi)星）的線速度、角速度和周期Geq\f(Mm，r2）＝mrω2M＝eq\f（r3ω2，G）Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f（4π2,T2）M＝eq\f（4π2r3,GT2）2.天體密度的計(jì)算若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝eq\f（M，\f（4,3)πR3)，將M＝eq\f(4π2r3,GT2）代入上式可得ρ＝eq\f(3πr3，GT2R3）.特殊情況：當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，衛(wèi)星的軌道半徑r可認(rèn)為等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π，GT2）.【例1】（多選）若宇航員在月球表面附近自高h(yuǎn)處以初速度v0水平拋出一個(gè)小球，測(cè)出小球的水平射程為L(zhǎng)。已知月球半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G。則下列說(shuō)法正確的是(）A．月球表面的重力加速度g月＝eq\f（2hv\o\al(2，0）,L2）B．月球的質(zhì)量m月＝eq\f(2hR2v\o\al（2，0）,GL2)C．月球的自轉(zhuǎn)周期T＝eq\f(2πR,v0)D．月球的平均密度ρ＝eq\f（3hv\o\al（2,0），2πGL2）AB[根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，L＝v0t，h＝eq\f(1,2)g月t2，聯(lián)立解得g月＝eq\f（2hv\o\al（2,0)，L2)，選項(xiàng)A正確；由mg月＝Geq\f(mm月,R2）解得m月＝eq\f（2hR2v\o\al(2,0），GL2），選項(xiàng)B正確；根據(jù)題目條件無(wú)法求出月球的自轉(zhuǎn)周期,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;月球的平均密度ρ＝eq\f（m月，\f（4,3)πR3）＝eq\f（3hv\o\al(2,0）,2πGL2R），選項(xiàng)D錯(cuò)誤．]求解天體質(zhì)量和密度時(shí)的兩種常見(jiàn)誤區(qū)(1）根據(jù)軌道半徑r和運(yùn)行周期T，求得M＝eq\f（4π2r3，GT2)是中心天體的質(zhì)量，而不是行星(或衛(wèi)星）的質(zhì)量．(2)混淆或亂用天體半徑與軌道半徑,為了正確并清楚地運(yùn)用,應(yīng)一開(kāi)始就養(yǎng)成良好的習(xí)慣，比如通常情況下天體半徑用R表示，軌道半徑用r表示,這樣就可以避免如ρ＝eq\f(3πr3，GT2R3）誤約分；只有衛(wèi)星在天體表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，如近地衛(wèi)星，軌道半徑r才可以認(rèn)為等于天體半徑R.1．已知地球和月球半徑的比值為4，地球和月球表面重力加速度的比值為6，則地球和月球密度的比值為（)A．eq\f(2,3)B．eq\f（3,2）C．4D．6B［設(shè)月球的半徑為R0，地球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，地球表面的重力加速度為g,在地球表面，重力等于萬(wàn)有引力,故mg＝Geq\f(Mm，R2),解得M＝eq\f(gR2，G)，故密度ρ＝eq\f(M，V）＝eq\f(\f（gR2，G),\f(4,3）πR3）＝eq\f(3g，4πGR).同理，月球的密度ρ0＝eq\f（3g0,4πGR0），故地球和月球的密度之比eq\f(ρ，ρ0）＝eq\f（gR0,g0R)＝6×eq\f（1,4)＝eq\f(3,2),B正確．]天體運(yùn)動(dòng)的分析和計(jì)算1．解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本思路一般行星或衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需要的向心力都由中心天體對(duì)它的萬(wàn)有引力提供，所以研究天體時(shí)可建立基本關(guān)系式:Geq\f(Mm,R2)＝ma，式中a是向心加速度．2．四個(gè)重要結(jié)論項(xiàng)目推導(dǎo)式關(guān)系式結(jié)論v與r的關(guān)系Geq\f(Mm，r2)＝meq\f（v2,r）v＝eq\r(\f(GM，r）)r越大，v越小ω與r的關(guān)系Geq\f(Mm，r2）＝mrω2ω＝eq\r（\f（GM，r3))r越大，ω越小T與r的關(guān)系Geq\f(Mm,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T））)eq\s\up8（2）T＝2πeq\r(\f（r3,GM)）r越大，T越大a與r的關(guān)系Geq\f(Mm,r2)＝maa＝eq\f(GM，r2)r越大，a越小【例2】有的天文學(xué)家傾向于把太陽(yáng)系外較小的天體叫作“矮行星”，而另外一些人把它們叫作“小行星"，谷神星就是小行星之一．現(xiàn)有兩個(gè)這樣的天體，它們的質(zhì)量分別為m1和m2,繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道半徑分別是r1和r2，求:(1）它們與太陽(yáng)間的萬(wàn)有引力之比;(2)它們的公轉(zhuǎn)周期之比．［解析](1）設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為M，由萬(wàn)有引力定律得,兩天體與太陽(yáng)間的萬(wàn)有引力之比eq\f(F1，F(xiàn)2)＝eq\f(G\f（Mm1,r\o\al（2,1)）,G\f(Mm2,r\o\al(2,2)）)＝eq\f(m1r\o\al（2，2)，m2r\o\al（2，1)）。(2）兩天體繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)可看成勻速圓周運(yùn)動(dòng),向心力由萬(wàn)有引力提供，則有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2π,T））)eq\s\up8（2）r,所以，天體繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期T＝2πeq\r(\f(r3,GM)）,則兩天體繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)周期之比eq\f（T1，T2)＝eq\r(\f（r\o\al(3,1）,r\o\al（3，2））).[答案]（1)eq\f(m1r\o\al（2，2)，m2r\o\al(2,1))（2)eq\r(\f（r\o\al（3，1),r\o\al(3，2)））上例中，若r1＞r2，則兩行星的運(yùn)行的角速度ω1、ω2和線速度v1、v2的關(guān)系怎樣？提示：ω1＜ω2，v1＜v2.2．設(shè)土星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng),若測(cè)得土星到太陽(yáng)的距離為R，土星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期為T，萬(wàn)有引力常量G已知，根據(jù)這些數(shù)據(jù),不能求出的量有（)A．土星線速度的大小 B．土星加速度的大小C．土星的質(zhì)量 D．太陽(yáng)的質(zhì)量C［根據(jù)已知數(shù)據(jù)可求：土星的線速度大小v＝eq\f(2πR,T）、土星的加速度a＝eq\f（4π2,T2）R、太陽(yáng)的質(zhì)量M＝eq\f(4π2R3，GT2)，無(wú)法求土星的質(zhì)量，所以選C.]宇宙雙星問(wèn)題如圖所示，宇宙中兩個(gè)靠得比較近的天體稱為雙星，它們繞其連線上的某固定點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．雙星具有以下特點(diǎn)：(1）由于雙星和該固定點(diǎn)總保持三點(diǎn)共線，所以雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和周期分別相同．(2）由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬(wàn)有引力提供的,因此大小必然相等．（3）軌道半徑與質(zhì)量的關(guān)系由F＝mrω2和L＝r1＋r2，可得r1＝eq\f（m2,m1＋m2）L，r2＝eq\f（m1，m1＋m2）L，則eq\f（r1,r2)＝eq\f(m2，m1)。【例3】（多選)2017年，人類第一次直接探測(cè)到來(lái)自雙中子星合并的引力波．根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過(guò)程，在兩顆中子星合并前約100s時(shí)，它們相距400km,繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈．將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬(wàn)有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí)，可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星A．質(zhì)量之積 B．質(zhì)量之和C．速率之和 D．各自的自轉(zhuǎn)角速度BC［由題意可知，合并前兩中子星繞連線上某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈，則兩中子星的周期相等,且均為T＝eq\f(1,12）s，兩中子星的角速度均為ω＝eq\f(2π,T），兩中子星構(gòu)成了雙星模型，假設(shè)兩中子星的質(zhì)量分別為m1、m2，軌道半徑分別為r1、r2，速率分別為v1、v2，則有：Geq\f（m1m2，L2）＝m1ω2r1、Geq\f(m1m2，L2)＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400km，解得m1＋m2＝eq\f（ω2L3，G)，A錯(cuò)誤，B正確；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，則v1＋v2＝ω（r1＋r2）＝ωL，C正確；由題中的條件不能求解兩中子星自轉(zhuǎn)的角速度，D錯(cuò)誤．]3．（多選）宇宙中兩顆相距很近的恒星常常組成一個(gè)雙星系統(tǒng)．它們以相互間的萬(wàn)有引力彼此提供向心力，從而使它們繞著某一共同的圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng),若已知它們的運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T，兩星到某一共同圓心的距離分別為R1和R2,那么，雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的質(zhì)量關(guān)系描述正確的是（)A．這兩顆恒星的質(zhì)量必定相等B．這兩顆恒星的質(zhì)量之和為eq\f(4π2R1＋R23,GT2）C．這兩顆恒星的質(zhì)量之比為m1∶m2＝R2∶R1D．必有一顆恒星的質(zhì)量為eq\f（4π2R1R1＋R22,GT2）BCD［對(duì)于兩星有共同的周期T，由牛頓第二定律得eq\f（Gm1m2,R1＋R22）＝m1eq\f（4π2，T2）R1＝m2eq\f（4π2,T2)R2，所以兩星的質(zhì)量之比m1∶m2＝R2∶R1,C正確;由上式可得m1＝eq\f（4π2R2R1＋R22，GT2)，m2＝eq\f(4π2R1R1＋R22,GT2)，D正確，A錯(cuò)誤；m1＋m2＝eq\f(4π2R1＋R23，GT2）,B正確．]課堂小結(jié)知識(shí)脈絡(luò)1.若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上物體所受重力等于地球?qū)ξ矬w的引力，即mg＝Geq\f（Mm,R2），可得地球質(zhì)量M＝eq\f(gR2，G），該公式同樣適用于其他天體．2．根據(jù)萬(wàn)有引力提供行星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，只要測(cè)得某行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道半徑r和周期T,就可得太陽(yáng)的質(zhì)量為M＝eq\f（4π2r3,GT2）.1．關(guān)于萬(wàn)有引力定律應(yīng)用于天文學(xué)研究的歷史事實(shí),下列說(shuō)法中正確的是（）A．天王星、海王星和冥王星，都是運(yùn)用萬(wàn)有引力定律、經(jīng)過(guò)大量計(jì)算后發(fā)現(xiàn)的B．在18世紀(jì)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的7顆行星中，人們發(fā)現(xiàn)第七顆行星——天王星的運(yùn)動(dòng)軌道總是同根據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算出來(lái)的結(jié)果有比較大的偏差,于是有人推測(cè),在天王星軌道外還有一顆行星，是它的存在引起了上述偏差C．第八顆行星，是牛頓運(yùn)用自己發(fā)現(xiàn)的萬(wàn)有引力定律,經(jīng)大量計(jì)算而發(fā)現(xiàn)的D．冥王星是英國(guó)劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和勒維耶合作研究后共同發(fā)現(xiàn)的B[由行星的發(fā)現(xiàn)歷史可知，天王星并不是根據(jù)引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的；海王星不是通過(guò)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，也不是直接由萬(wàn)有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的，而是人們發(fā)現(xiàn)天王星的實(shí)際軌道與理論軌道存在偏差,然后運(yùn)用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出“新”星的軌道，從而發(fā)現(xiàn)了海王星．冥王星是克萊德·湯博發(fā)現(xiàn)的．由此可知，A、C、D錯(cuò)誤，B正確．］2．土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”，每16天繞土星一周,其公轉(zhuǎn)軌道半徑約為1.2×106km，已知引力常量G＝6。67×10－11N·m2/kg2,則土星的質(zhì)量約為（）A．5×1017kg B．5×1026kgC．7×1033kg D．4×1036kgB[衛(wèi)星繞土星運(yùn)動(dòng)，土星對(duì)衛(wèi)星的引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．設(shè)土星質(zhì)量為M,則有eq\f(GMm，R2）＝meq\f（4π2，T2)R，解得M＝eq\f(4π2R3,GT2),帶入計(jì)算可得：M＝eq\f(4×3.142×1.2×106×1033,6。67×1