第五章三維旋轉(zhuǎn)群SO(3)

本章將討論物理上常用的一種李群三維旋轉(zhuǎn)群SO(3).旋轉(zhuǎn)群在物理學(xué)的應(yīng)用中占有十分重要的地位.它不僅是描述物理系統(tǒng)在普通坐標(biāo)空間中各向同性的對(duì)稱群，也是處理物理系統(tǒng)內(nèi)部對(duì)稱性的有用工具.本章我們將介紹三維旋轉(zhuǎn)群SO(3)的基本知識(shí).§5.1三維旋轉(zhuǎn)群SO(3)

SO(3)群是三參數(shù)的李群，在§4.5節(jié)例3中，我們?cè)蟮肧O(3)群的群元素.在那里，三個(gè)群參數(shù)選為坐標(biāo)系繞三個(gè)坐標(biāo)軸的三個(gè)轉(zhuǎn)角、、.在實(shí)際應(yīng)用中，人們通常取三個(gè)歐勒角作為SO(3)群的群參數(shù).這一節(jié)，我們將導(dǎo)出該情況下，SO(3)群的群元素的具體形式.1采用歐勒角描述SO(3)群的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)方式如下：(1)先將坐標(biāo)系繞z軸轉(zhuǎn)角，這時(shí)矢量變?yōu)?，其矩陣形式為：其?2)接著繞新坐標(biāo)系的軸轉(zhuǎn)角，變矢量為，其矩陣形式為：2顯然這樣繞新坐標(biāo)系軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，變成繞原坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，其中將(1)與(3)代入(2)得與的變換關(guān)系(3)最后繞軸轉(zhuǎn)角，變矢量為,其矩陣形式為3亦即這就是用三個(gè)歐勒角、、表示的SO(3)群的群元素的表達(dá)式.其中與是繞子z軸的轉(zhuǎn)角，是球坐標(biāo)系中的方位角，它們處在范圍,.為繞y軸的轉(zhuǎn)角，是球坐標(biāo)系中的極角，處在范圍.在上式中取，得：5因此，單位元不僅處在零參數(shù)處，亦處在與處，所以三個(gè)歐勒角不是正則參數(shù).§5.2SO(3)群與SU(2)群同態(tài)為了求得SO(3)群的表示，我們先討論SO(3)群與SU(2)群的同態(tài)關(guān)系.然后，通過(guò)研究SU(2)群的不可約表示，來(lái)得到SO(3)群的不可約表示.

在§4.3節(jié)例3中我們?cè)蟮肧U(2)群的群元素為：

6SU(2)群與SO(3)群一樣也是一個(gè)三參數(shù)李群.SO(3)與SU(2)兩群間存在著同態(tài)關(guān)系，具體地說(shuō)就是SO(3)群中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)于SU(2)群中的兩個(gè)元素，下面我們來(lái)證明這一結(jié)論.設(shè)三維空間矢量的分量為.它與泡利矩陣的點(diǎn)積為：上式表明：M是一個(gè)無(wú)跡厄米矩陣,且取，并對(duì)M作相似變換

7由于U是幺正矩陣，所以.另矩陣的跡在相似變換下不變，所以與一樣也是一無(wú)跡厄米矩陣.由于任何無(wú)跡厄米矩陣都可由泡利矩陣線性組合給出，所以可以表示成此時(shí)由于矩陣的行列式在相似變換下不變，所以，亦即即由所構(gòu)成的相似變換(1)與正交變換一樣,不改變矢量的長(zhǎng)度，因此每一個(gè)應(yīng)對(duì)應(yīng)一個(gè)三維空間的正交變換.亦即，對(duì)于8從而可以求得這里的就是三維空間中的一個(gè)正交變換矩陣，進(jìn)一步可以證明這種證明是簡(jiǎn)單的，正交變換矩陣的行列式只能是,即要么是+1，要么是－1.而的兩參數(shù)空間10兩邊用U與作用得亦即另外根據(jù)假設(shè)因此這證明了(8)式表示的映射，保持了乘法規(guī)律不同，因此SU(2)與SO(3)間存在同態(tài)對(duì)應(yīng)關(guān)系.上面我們只證明了SU(2)與SO(3)群間的同態(tài)對(duì)應(yīng)關(guān)系，下面我們將證明，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系不是1－1的，而是SU(2)的兩個(gè)群元素，對(duì)應(yīng)于SO(3)的一個(gè)群元素.

12其中為實(shí)數(shù)，則(1)式中的，b=0,將它們代入(7)式得：即對(duì)應(yīng)于繞z軸轉(zhuǎn)角的正交變換矩陣，進(jìn)一步再假即此時(shí)(1)式中的，,將它們代入(7)式得：14即此時(shí)，是繞y軸轉(zhuǎn)角的正交變換矩陣.由于，所以它們對(duì)應(yīng)的15亦即這就是與用歐勒角表示的正交變換矩陣所對(duì)應(yīng)的，將其與(1)式相比較知通常將a，b的上述形式稱為凱萊－克萊因(Cayley-Klein)參數(shù).由上式可以看出，當(dāng)，（或）時(shí)，