專升本高等數(shù)學一（常微分方程）模擬試卷2(總分：54.00，做題時間：90分鐘)一、選擇題(總題數(shù)：8，分數(shù)：16.00)1.下列方程是一階微分方程的是()（分數(shù)：2.00）A.2y

''+x2

'+y=0B.(7x一6y)dx+(x+y)dy=0√C.(y')

2

(4)一

2=0D.(y

'')2

+5(y')2

一y5

7=0解析：解析：A、D項是二階微分方程，C項是四階微分方程，只有B項是一階的，故選B．2.下列哪組函數(shù)是線性相關的()（分數(shù)：2.00）A.e

2x

－2xB.e2＋x，ex－2 √C.e

x2

－x2項函數(shù)都是線性無關的，故選B．（分數(shù)：2.00）A.arctany—arctanx=CB.arctany+arctanx=CC.arcsiny—arcsinx=C√D.arcsiny+arcsinx=C（分數(shù)：2.00）C.一1√D.1

2x，得y'

+sec

2x．y=tanxsec

2x．此為一階線性非齊次方程，y=e－∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]=e－∫sec2xdx[∫tanxsec2xesec2xdxdx+C]=e－tanx[∫tanxsec2

tanx

dx+C]=e

－tanx[tanxe

tanx

一∫sec

xe

dx+C]=e

[tanxe

tanx一e

tanzx

+C]=tanx一1+Ce－微分方程

''一2y

'=x的特解應設為()D.解析：解析：=e4，是常數(shù)，故B項的函數(shù)是線性相關的；而AC、DD.解析：解析：=e4，是常數(shù)，故B項的函數(shù)是線性相關的；而AC、D3.y'=的通解為()解析：解析：分離變量可得arcsiny=arcsinx+C，CC．4.設函數(shù)y(x)滿足微分方程cos2x．y'+y=tanx，且當x=時，y=0，則當x=0時，y=()A.B.tanx，又當x=時，y=0，則C=0y=tanx1．所以x=0，y=0—1=1，故選C．A.AxB.Ax+BC.AxD.Ax

2+Bx √2+Bx+Cf(x)=x

22r=0，r1

=0，r2

=2．于是特解應

*=(Ax＋B)x=Ax

+Bx．設方程

''一2y

'一3y=f(x)有特解y*，則它的通解為()（分數(shù)：2.00）A.y=CB.y=C

e－x+C 1 2e－x+C 1 2

3x+y*√3xC.y=C

xe1

+C2

3x+y*D.y=C

ex+C1 2

－3x

+y*

''

'3y=0

22r3=0，所以r=e

2＋C 2

3x+y*，其中C，C1

1 2 1為任意常數(shù)．2已知曲線y=y(x2x—y+5=0，而y(x)滿足微分方程

''一6y'+9y=e3x，則此曲線方程為y=()（分數(shù)：2.00）A.sin2xD.(x2cosx+sin2x)e3xr26r+9=(r－3)2=0，所以其特征根為r=r1（分數(shù)：2.00）A.B.C.√D.二、填空題(總題數(shù)：5，分數(shù)：10.00)1（分數(shù)：2.00）11，r=，所以y''2y'3y=011，r=，所以y''2y'3y=0=Ce－x＋Ce3xy=CB.x2e3x+sin2x121C =2y=(x2+2x)e3x=x(x+4)e3x．28.微分方程y'=的通解為()原方程通解為y=(C +Cx)e3x+x2e3x．由題意可得y'(0)=2，y(0)=0，代入可得C =0，解析：解析：設=μ，y=xμ，y'=μ＋=tanμ，ln｜sinμ｜=ln｜x｜+ln｜C.x(x+4)e3x √2y=(C+Cx)e3x，λ=3y*=Ax1 22e3x，(y*'=(3Ax2+2Ax)e3x，(y*''=(9Ax23x．代入到方程中可得A=．則C｜，sinμ=Cx，原方程的通解為=Cx(C

（正確答案：正確答案：階數(shù)）解析：解析：由微分方程通解定義可知，通解中任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程中的未知數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)即方程的階數(shù)一致．3e（分數(shù)：2.00）

tanydx+(1

x)sec2

ydy=0的通解是1．填空項1:

（正確答案：正確答案：tany=C(e

x1)3）以方程有通解為tany=C(e

x一1)

，其中C為任意常數(shù)．(1+x)ydx+(1一y)xdy=01．（分數(shù)：2.00）填空項1:

（正確答案：正確答案：y=ln｜xy｜+x+C）＋C，C為任意常數(shù)．方程

''一2y

+5y=e

xsin2x的特解可設為y*=1．（分數(shù)：2.00）填空項1:

（正確答案：正確答案：xe

x(Asin2x+Bcos2x)）

2—2r+5=01±2i，而非齊次項為

xsin2x，因此其特解應設為y*=xex(Asin2x+Bcos2x)．（分數(shù)：2.00）三、解答題(總題數(shù)：14，分數(shù)：28.00)求方程y

=e3x－2y滿足初始條件y｜

x=0

=0的特解．（分數(shù)：2.00）解析：

x=0（分數(shù)：2.00）

2

2)arctanxdy=0的通解．+ln｜C｜，則方程的通解為arctany．a(chǎn)rctanx=C，其中C為任意常數(shù)．)解析：

2)ydy＋(1+y

4)dx=0，滿足y｜

x=0

=1的特解．ln｜tany｜=3ln｜exln｜tany｜=3ln｜ex一y)xdy=0x+ln｜x｜+C=y—ln｜y｜，即通解為y=x+ln｜xy｜13.滿足y''=x，且經(jīng)過點(0，1)，在該點與直線y=+11．填空項1: （正確答案：正確答案：y=＋1）解析：解析：對等式積分得y'=x2+C，再積分得y=x3+Cx+C，且直線過點(0，1)，11C=1y=+1y'(0)=y=＋1．正確答案：(正確答案：原題可改寫為e2ydy=e3xdxe2y=e3x+C，y｜=0，得＋C，所以C=．)ln｜arctany｜=一ln｜arctanx｜解析：

x=0（分數(shù)：2.00）

2+3)y

'+2xy—e

2x=0的通解．解析：18.設f(x)+2∫0（分數(shù)：2.00）

xf(t)dt=x

2，求f(x)．f(x)+2∫

xf(t)dt=x

，兩邊對xf

(x)+2f(x)=2x，這是一個一階解析：0（分數(shù)：2.00）xf

2xy=e

[∫2e2xe－∫3dx

dx+C]=e

[∫2e

dx+C]=e

2e

+C)=Ce

2x，又f(0)=0+1=1，所以C一2=1，C=3，解析：

3x一2e

2x．)0（分數(shù)：2.00）解析：21(1)函數(shù)y=f(x)(0≤x＜+∞)f(0)=00≤f(x)≤e

一1；(2)平行于y軸的動直線MNy=f(x)

x一1分別相交于點P1

和P；(3y=f(x)MNx2S（分數(shù)：2.00）

P 的長度，求函數(shù)y=f(x)的表達式．1 2正確答案：(正確答案：由題設可得示意圖如圖6—1所示．由圖可知∫0

xf(t)dt=e

1f(x)，兩正確答案：(正確答案：方程分離變量得，丙邊積分有arctany2=一arctanx+C，將初始y｜=1C=，則方程的特解為arctany正確答案：(正確答案：方程分離變量得，丙邊積分有arctany2=一arctanx+C，將初始y｜=1C=，則方程的特解為arctany2+2arctanx=．)0線性常微分方程，由通解公式得f(x)=e－∫2dx(∫2xe∫2dxdx+C)=e－2x(∫2xe2xdx+C)=x+Ce－19.已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)=∫ 3xf()dt＋e2x,求f(x)．20.求一個不恒等于零的可導函數(shù)f(x)，使它滿足f2(x)=∫ x．正確答案：(正確答案：據(jù)題意，f2(x)=∫ xf(t)．x2f(x)．f'0(x)=f(x)．，即f'(x)=，解微分方程兩端積分得又因f(0)=0，可得C=ln3，所以所求函數(shù)f(x)=ln3．)正確答案：(正確答案：將原方程改寫成y'+，則y=C2x．又由題意可得f(0)=0，則C=e－2x．)

x一f

'(x)，即f'

(x)+f(x)=e

．由一階線性微分方程求解公式，得f(x)=e－解析：

''

'+y=0的通解．（分數(shù)：2.00）1 2 1 2解析：求微分方程（分數(shù)：2.00）

''一2y

3y=3x+1正確答案：(正確答案：這是二階線性常系數(shù)非齊次線性微分方程，其中f(x)=3x+1，方程的特征方程為r解析：

''－4y

'+5y=e

2x(sinx+cosx)的通解．（分數(shù)：2.00）正確答案：(正確答案：原方程對應的齊次方程的特征方程為，r2—4r+5=0，解得r=2±i，所以對應的齊y=xe

2x(Asinx+Bcosx)，則Y'

=e

(Asinx+Bcosx)+xe

2x[(2A—B)sinx+(A+2B)cosx]，Y

=e

[(4A2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe

2x[(3A4B)sinx+(4A+3B)cosx

2x[(4A一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe

2x[(3A4B)sinx+(4A+3B)cosx

2x(Asinx+Bcosx)一4xe2x1 2 1 2解析：已知函數(shù)f(x)（分數(shù)：2.00）

''(x)+f

'(x)一2f(x)=0，且f'

(x)+f(x)=2e

x，求表達式f(x)．f''(x)+f'(x2f(x)=0，特征方程r2+r2=0，解得r

=一2，1r =1，所以微分方程的通解為2

e +C 1 －2x 2

，其中Cx

，C為任意常數(shù)．則f1 2

'(x)=一2C1

－2x+C2

ex

'(x)+f(x)=2e

，所以一C1

e

+2C2

ex

x，得C

1

=1，所2∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]=e－x(∫ex．exdx+C)=Ce－x+e∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]=e－x(∫ex．exdx+C)=Ce－x+ex．由f(0)=0，得C=．因f(x)=(ex一e－x)．)9r2+6r＋1=0，解得r=，為二重根，故原方程的通解為y=(C+C x)．其中C ，C 為任意常數(shù)．)次方程的解為=(C sinx+C cosx)e2x，λ±ωi=2±i，是特征方程的根，故設原方程的特解為1 22一2r一3=0．其特征根為r一1，r =3．由于λ=0不是特征根，所以設特解為y*=Ax+B．把y1 2*=Ax+B3Ax2A3B=3x+1，比較系數(shù)，得A1，B=程的一個特解為y*=一x＋．)[(2A—B)sinx+(A+2B)cosx]+5xe2x(Asinx+Bcosx)=e2x(sinx+cosx)，解得y=(Csinx+C cosx)e2x+(sinx一cosx)．其中C ，C 為任意常數(shù)．)26.求微分方程的通解．（分數(shù)：2.00）C為任意常