1第五章

不定積分2例第一節(jié)不定積分的概念一、原函數(shù)定義不定積分又稱反導(dǎo)數(shù),它是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算.

本章所講的內(nèi)容就是尋求函數(shù)的原函數(shù)。3原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：(1)原函數(shù)是否存在？(2)是否唯一？因此初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都有原函數(shù)

。(但原函數(shù)不一定是初等函數(shù))

4唯一性？說明：5積分變量二、不定積分的概念積分常數(shù)積分號被積函數(shù)記為定義

6例1求解解例2求7例3求解8解例3求合寫成9由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.或或10解例4設(shè)曲線通過點(1,2),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知(1,2)11證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、不定積分的性質(zhì)12四、基本積分公式(k是常數(shù))13四、基本積分公式14六、直接積分法—分項積分法例5求下列不定積分15例6求下列不定積分16例6求下列不定積分17例6求下列不定積分18三角恒等變形例7求下列不定積分19例7求下列不定積分20訓(xùn)練：求下列不定積分21問題？第二節(jié)換元積分法一、第一類換元積分法(湊微分法)22一般地，湊微分法步驟如下：23常用湊微分公式：等等.24例1例2例325訓(xùn)練26例4例527例6例728例8另外：29例9類似地，30例1031例10類似地，32基本積分公式33例12例13例1434例15例1635訓(xùn)練：36例17或解37例18例19例2038例2139例22或解40例23例2441例2542例26解法1解法2解法343例2744例28或解例2945二、第二類換元積分法回代,得

46稱為第二換元積分法注意：不要忘了回代。回代47例1解48例2解49例3求解令50例4解失?。?1例4解52例5解53例6解54基本積分公式55說明：以上幾例所使用的均為三角代換,目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令

但是否一定采用三角代換并不是絕對的,有時可靈活采用別的方法.56例7解57例8解或解58例9不需三角變換！59例10解法160例10解法261例11例1262訓(xùn)練：求下列不定積分解6364湊微分分部積分公式問題解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.第三節(jié)分部積分法分部積分的過程：

65例1？積分更難進(jìn)行.66例267例368例4分部積分法可多次使用.例569例670例771例872例873訓(xùn)練：求下列不定積分解74例9例10練習(xí)：75例11循環(huán)法76例11解方程組得或解77所以例1278所以例1379類似地，對照：80解例1481于是82分部積分法與換元法結(jié)合：例15解83例1684例16或解85訓(xùn)練：求下列不定積分86解例17由題意,87第四節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)積分88假定分子與分母之間沒有公因式(既約分式).有理函數(shù)是真分式；有理函數(shù)是假分式；利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例要點將有理函數(shù)化為部分分式之和.以下只考慮真分式的積分.

89（1）分母中若有因式，則分解后有項真分式化為部分分式之和的一般規(guī)律：（2）分母中若有因式，則分解后有項90（3）分母中若有因式，其中則分解后有項（4）分母中若有因式，，則分解后有項其中91真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法：例192例293代入特殊值來確定系數(shù)例2或解94例395真分式可分解為以下四種類型的分式之和：

這四類分式均可積分,且原函數(shù)均為初等函數(shù).因此,有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).

96例4例597例698例799例8靈活運(yùn)用其它方法：100例9解101二、三角函數(shù)有理式的積分萬能代換公式：化為t的有理函數(shù)的積分.

102例10求積分解103或解所以104萬能代換不一定是最佳方法,三角有理式積分的計算應(yīng)先考慮其它手段,不得已才用萬能代換.例11例12105例13例14106討論類型方法作代換去掉根號,化為有理函數(shù)的積分.

例15求積分解三、簡單無理函數(shù)的積分107例16求積分解108例17分母有理化109對初等函數(shù)來說,在其定義域內(nèi)原函數(shù)一定存在,但原函數(shù)不一定是初等函數(shù),如

等等均不是初等函數(shù).

110ENDEND111補(bǔ)充例題例1112例21