2023高考數學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列命題為真命題的個數是（）（其中，為無理數）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．32．已知等差數列的前項和為，，，則（）A．25 B．32 C．35 D．403．已知雙曲線的左、右頂點分別是，雙曲線的右焦點為，點在過且垂直于軸的直線上，當的外接圓面積達到最小時，點恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為（）A． B．C． D．4．已知向量，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件5．已知實數x，y滿足約束條件，若的最大值為2，則實數k的值為（）A．1 B． C．2 D．6．已知復數滿足：（為虛數單位），則（）A． B． C． D．7．（）A． B． C． D．8．在中，為中點，且，若，則（）A． B． C． D．9．如圖，在△ABC中，點M是邊BC的中點，將△ABM沿著AM翻折成△AB'M，且點B'不在平面AMC內，點P是線段B'C上一點.若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，則直線AP經過△AB'CA．重心 B．垂心 C．內心 D．外心10．已知函數（，）的一個零點是，函數圖象的一條對稱軸是直線，則當取得最小值時，函數的單調遞增區(qū)間是（）A．（） B．（）C．（） D．（）11．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，若球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．12．已知定義在上的函數的周期為4，當時，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面五邊形中，，，，且.將五邊形沿對角線折起，使平面與平面所成的二面角為，則沿對角線折起后所得幾何體的外接球的表面積是______.14．在中，，，，則繞所在直線旋轉一周所形成的幾何體的表面積為______________.15．已知雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上，則實數的值為___________.16．某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經過兩次燒制，當第一次燒制合格后方可進入第二次燒制，再次燒制過程相互獨立.根據該廠現有的技術水平，經過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為0.5、0.6、0.4，經過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為0.6、0.5、0.75；則第一次燒制后恰有一件產品合格的概率為________；經過前后兩次燒制后，合格工藝品的件數為，則隨機變量的期望為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）證明：當時，；（2）若函數有三個零點，求實數的取值范圍.18．（12分）已知函數.（1）設，求函數的單調區(qū)間，并證明函數有唯一零點.（2）若函數在區(qū)間上不單調，證明：.19．（12分）已知函數，為的導數，函數在處取得最小值．（1）求證：；（2）若時，恒成立，求的取值范圍．20．（12分）已知，，函數的最小值為.（1）求證：；（2）若恒成立，求實數的最大值.21．（12分）設（1）當時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍.22．（10分）若函數在處有極值，且，則稱為函數的“F點”.（1）設函數（）.①當時，求函數的極值；②若函數存在“F點”，求k的值；（2）已知函數（a，b，，）存在兩個不相等的“F點”，，且，求a的取值范圍.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【答案解析】

對于①中，根據指數冪的運算性質和不等式的性質，可判定值正確的；對于②中，構造新函數，利用導數得到函數為單調遞增函數，進而得到，即可判定是錯誤的；對于③中，構造新函數，利用導數求得函數的最大值為，進而得到，即可判定是正確的.【題目詳解】由題意，對于①中，由，可得，根據不等式的性質，可得成立，所以是正確的；對于②中，設函數，則，所以函數為單調遞增函數，因為，則又由，所以，即，所以②不正確；對于③中，設函數，則，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，函數取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【答案點睛】本題主要考查了不等式的性質，以及導數在函數中的綜合應用，其中解答中根據題意，合理構造新函數，利用導數求得函數的單調性和最值是解答的關鍵，著重考查了構造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.2．C【答案解析】

設出等差數列的首項和公差，即可根據題意列出兩個方程，求出通項公式，從而求得．【題目詳解】設等差數列的首項為，公差為，則，解得，∴，即有．故選：C．【答案點睛】本題主要考查等差數列的通項公式的求法和應用，涉及等差數列的前項和公式的應用，屬于容易題．3．A【答案解析】

點的坐標為，，展開利用均值不等式得到最值，將點代入雙曲線計算得到答案.【題目詳解】不妨設點的坐標為，由于為定值，由正弦定理可知當取得最大值時，的外接圓面積取得最小值，也等價于取得最大值，因為，，所以，當且僅當，即當時，等號成立，此時最大，此時的外接圓面積取最小值，點的坐標為，代入可得，．所以雙曲線的方程為．故選：【答案點睛】本題考查了求雙曲線方程，意在考查學生的計算能力和應用能力.4．A【答案解析】

向量，，，則，即，或者-1，判斷出即可．【題目詳解】解：向量，，，則，即，或者-1，所以是或者的充分不必要條件，故選：A．【答案點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標表示，屬于基礎題.5．B【答案解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標函數的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉化求解即可.【題目詳解】可行域如圖中陰影部分所示，，，要使得z能取到最大值，則，當時，x在點B處取得最大值，即，得；當時，z在點C處取得最大值，即，得（舍去）.故選:B.【答案點睛】本題考查由目標函數最值求解參數值,數形結合思想,分類討論是解題的關鍵,屬于中檔題.6．A【答案解析】

利用復數的乘法、除法運算求出，再根據共軛復數的概念即可求解.【題目詳解】由，則，所以.故選：A【答案點睛】本題考查了復數的四則運算、共軛復數的概念，屬于基礎題.7．B【答案解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【題目詳解】．故選B．【答案點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題．8．B【答案解析】

選取向量，為基底，由向量線性運算，求出，即可求得結果.【題目詳解】，，，，，.故選：B.【答案點睛】本題考查了平面向量的線性運算，平面向量基本定理，屬于基礎題.9．A【答案解析】

根據題意P到兩個平面的距離相等，根據等體積法得到SΔPB'M【題目詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM，即故B'P=CP，故P為CB'中點.故選：A.【答案點睛】本題考查了二面角，等體積法，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.10．B【答案解析】

根據函數的一個零點是，得出，再根據是對稱軸，得出，求出的最小值與對應的，寫出即可求出其單調增區(qū)間.【題目詳解】依題意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值為.因為，所以（）.又，所以，所以，令（），則（）.因此，當取得最小值時，的單調遞增區(qū)間是（）.故選：B【答案點睛】此題考查三角函數的對稱軸和對稱點，在對稱軸處取得最值，對稱點處函數值為零，屬于較易題目.11．B【答案解析】

由題意畫出圖形，設球0得半徑為R，AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π，可得R2=5，再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱錐體積公式得答案.【題目詳解】設球的半徑為，，，由，得．如圖：設三角形的外心為，連接，，，可得，則．在中，由正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，，．則三棱錐的體積的最大值為．故選：．【答案點睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側面積、體積，基本不等式等基礎知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，是中檔題．12．A【答案解析】

因為給出的解析式只適用于，所以利用周期性，將轉化為，再與一起代入解析式，利用對數恒等式和對數的運算性質，即可求得結果.【題目詳解】定義在上的函數的周期為4，當時，，，，.故選：A.【答案點睛】本題考查了利用函數的周期性求函數值，對數的運算性質，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

設的中心為，矩形的中心為，過作垂直于平面的直線，過作垂直于平面的直線，得到直線與的交點為幾何體外接球的球心，結合三角形的性質，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【題目詳解】設的中心為，矩形的中心為，過作垂直于平面的直線，過作垂直于平面的直線，則由球的性質可知，直線與的交點為幾何體外接球的球心，取的中點，連接，，由條件得，，連接，因為，從而，連接，則為所得幾何體外接球的半徑，在直角中，由，，可得，即外接球的半徑為，故所得幾何體外接球的表面積為.故答案為：.【答案點睛】本題主要考查了空間幾何體的結構特征，以及多面體的外接球的表面積的計算，其中解答中熟記空間幾何體的結構特征，求得外接球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力與運算求解能力，屬于中檔試題.14．【答案解析】

由題知該旋轉體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，根據圓錐側面積計算公式可得.【題目詳解】解：由題知該旋轉體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，在中，，，，如下圖所示，底面圓的半徑為，則所形成的幾何體的表面積為.故答案為：.【答案點睛】本題考查旋轉體的表面積計算問題，屬于基礎題.15．【答案解析】

求出雙曲線的漸近線方程，右準線方程，得到交點坐標代入拋物線方程求解即可．【題目詳解】解：雙曲線的右準線，漸近線，雙曲線的右準線與漸近線的交點，交點在拋物線上，可得：，解得．故答案為．【答案點睛】本題考查雙曲線的簡單性質以及拋物線的簡單性質的應用，是基本知識的考查，屬于基礎題．16．0.380.9【答案解析】

考慮恰有一件的三種情況直接計算得到概率，隨機變量的可能取值為，計算得到概率，再計算數學期望得到答案.【題目詳解】第一次燒制后恰有一件產品合格的概率為：.甲、乙、丙三件產品合格的概率分別為：，，.故隨機變量的可能取值為，故；；；.故.故答案為：0.38；0.9.【答案點睛】本題考查了概率的計算，數學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【答案解析】

（1）要證明，只需證明即可；（2）有3個根，可轉化為有3個根，即與有3個不同交點，利用導數作出的圖象即可.【題目詳解】（1）令，則，當時，，故在上單調遞增，所以，即，所以.（2）由已知，，依題意，有3個零點，即有3個根，顯然0不是其根，所以有3個根，令，則，當時，，當時，，當時，，故在單調遞減，在，上單調遞增，作出的圖象，易得.故實數的取值范圍為.【答案點睛】本題考查利用導數證明不等式以及研究函數零點個數問題，考查學生數形結合的思想，是一道中檔題.18．（1）為增區(qū)間；為減區(qū)間.見解析（2）見解析【答案解析】

（1）先求得的定義域，然后利用導數求得的單調區(qū)間，結合零點存在性定理判斷出有唯一零點.（2）求得的導函數，結合在區(qū)間上不單調，證得，通過證明，證得成立.【題目詳解】（1）∵函數的定義域為，由，解得為增區(qū)間；由解得為減區(qū)間.下面證明函數只有一個零點：∵，所以函數在區(qū)間內有零點，∵，函數在區(qū)間上沒有零點，故函數只有一個零點.（2）證明：函數，則當時，，不符合題意；當時，令，則，所以在上單調增函數，而，又∵區(qū)間上不單調，所以存在，使得在上有一個零點，即，所以，且，即兩邊取自然對數，得即，要證，即證，先證明：，令，則∴在上單調遞增，即，∴①在①中令，∴令∴，即即，∴.【答案點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調區(qū)間和零點，考查利用導數證明不等式，考查分類討論的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.19．（1）見解析；（2）.【答案解析】

（1）對求導，令，求導研究單調性，分析可得存在使得，即，即得證；（2）分，兩種情況討論，當時，轉化利用均值不等式即得證；當，有兩個不同的零點，，分析可得的最小值為，分，討論即得解.【題目詳解】（1）由題意，令，則，知為的增函數，因為，，所以，存在使得，即．所以，當時，為減函數，當時，為增函數，故當時，取得最小值，也就是取得最小值．故，于是有，即，所以有，證畢．（2）由（1）知，的最小值為，①當，即時，為的增函數，所以，，由（1）中，得，即．故滿足題意．②當，即時，有兩個不同的零點，，且，即，若時，為減函數，（*）若時，為增函數，所以的最小值為．注意到時，，且此時，（?。┊敃r，，所以，即，又，而，所以，即．由于在下，恒有，所以．（ⅱ）當時，，所以，所以由（*）知時，為減函數，所以，不滿足時，恒成立，故舍去．故滿足條件．綜上所述：的取值范圍是．【答案點睛】本題考查了函數與導數綜合，考查了利用導數研究函數的最值和不等式的恒成立問題，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，分類討論，數學運算能力，屬于較難題.20．（1）見解析；（2）最大值為.【答案解析】

（1）將函數表示為分段函數，利用函數的單調性求出該函數的最小值，進而可證得結論成立；（2）由可得出，并將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，進而可得出實數的最大值.【題目詳解】（1）.當時，函數單調遞減，則；當時，函數單調遞增，則；當時，函數單調遞增，則.綜上所述，，所以；（2）因為恒成立，且，，所以恒成立，即.因為，當且僅當時等號成立，所以，實數的最大值為.【答案點睛】本題考查含絕對值函數最值的求解，同時也考查了利用基本不等式恒成立求參數，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.21．（1）（2）【答案解析】

(1)通過討論的范圍,得到關于的不等式組,解出取并集即可.(2)去絕對值將函數寫成分段函數形式討論分段函數的單調性由恒成立求得結果.【題目詳解】解：（1）當時，，即或或解之得或，即不等式的解集為.（2）由題意得：當時為減函數，顯然恒成立.當時，為增函數，，當時，為減函數，綜上所述：使恒成立的的取值范圍為.【答案點睛】本題考查了解絕對值不等式問題,考查不等式恒成立問題中求解參數問題,考查分類討論思想,轉化思想,屬于中檔題.22．（1）①極小值為1，無極大值.②實數k的值為1.（2）【答案解析】

（1）①將代入可得，求導討論函數單