矢量張量公式及推導(dǎo)矢量張量公式及推導(dǎo)矢量張量公式及推導(dǎo)矢量張量公式及推導(dǎo)編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:矢量及張量協(xié)變基矢量：，稱為逆變基分量，是協(xié)變基矢量。逆變基矢量：，稱為協(xié)變基分量，是逆變基矢量。愛因斯坦求和約定：省略求和符號(hào)，逆變基于協(xié)變基的關(guān)系：標(biāo)積：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)：轉(zhuǎn)換系數(shù)的性質(zhì)：，因?yàn)閺埩浚悍至繚M足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系的量，比如矢量置換張量：，其中，同理有由行列式的性質(zhì)及線性，因此是張量分量。定義置換張量：基的叉積：，所以，叉積：，或?qū)懗蓪?shí)體形式，雙標(biāo)量積用前前后后規(guī)則完成?；旌头e：，有以上關(guān)系可得重要關(guān)系：反偶：反對(duì)稱二階張量滿足，其中是一矢量，則稱與互為反偶反偶的性質(zhì)：證明：由于是反對(duì)稱張量，上式得證同理另外同樣可以證明兩對(duì)反偶有：幾個(gè)矢量公式及其證明：證明：分量m有證明：另一半同理可得。證明：度量張量：定義為度量張量的分量，顯然：設(shè)，所以，則逆變張量的逆：度量張量與張量分量：，原因克里斯托夫符號(hào)：第二類克里斯托夫符號(hào)：，稱為第二類克里斯托夫符號(hào)第一類克里斯托夫符號(hào)：，稱為第一類克里斯托夫符號(hào)兩類克里斯托夫符號(hào)的關(guān)系，由和定義可知克里斯托夫符號(hào)不是張量，仿射坐標(biāo)中為0，曲坐標(biāo)中不為0，其分量不可能滿足坐標(biāo)變換關(guān)系。逆變基導(dǎo)數(shù)：，因?yàn)椋旱谝活惪死锼雇蟹蚍?hào)對(duì)稱性：因第二類的對(duì)稱性：由于，可知第二類克里斯托夫的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式：證明：與克里斯托夫符號(hào)的一個(gè)關(guān)系：證明：張量對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)：分量表現(xiàn)形式的導(dǎo)數(shù)，協(xié)變導(dǎo)數(shù)：由張量的導(dǎo)數(shù)，定義張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)：由張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)和克里斯托夫的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式可以證明協(xié)變導(dǎo)數(shù)是張量的分量。為了證明這點(diǎn)，先注意證明：…⑴兩邊同乘并遍歷k求和，得：，代入⑴式得：即：由于協(xié)變導(dǎo)數(shù)是張量分量，所以同樣可由導(dǎo)出，稱為逆變導(dǎo)數(shù)逆變導(dǎo)數(shù)及協(xié)變導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的張量實(shí)體：梯度散度和旋度：梯度：散度：旋度：幾個(gè)協(xié)變導(dǎo)數(shù)：由于張量實(shí)體不因坐標(biāo)變化而變化，如果某張量的各分量在直角坐標(biāo)系下為0，則該張量為0。容易知道在任意標(biāo)系下有，，，，由于協(xié)變導(dǎo)數(shù)是張量分量，在任意坐標(biāo)系下上三式成立。幾個(gè)微分向量公式：張量的積分定理：對(duì)封閉曲面a有，由于對(duì)任意常矢量有由的任意性可知，證明：列出類似關(guān)系式： 和 和 和 斯托克斯公式 和 證明：三角區(qū)域，，邊上的張量取邊中