這些圖的共性：都給我們圓的形象。創(chuàng)設(shè)情景明確目標(biāo)24.1圓的有關(guān)性質(zhì)第二十四章圓24.1.1圓·rOA圓的旋轉(zhuǎn)定義

在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓．以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓”.有關(guān)概念固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑，一般用r表示．

講授新課探究圓的概念一問題

觀察畫圓的過程，你能說出圓是如何畫出來(lái)的嗎？一是圓心，圓心確定其位置；二是半徑，半徑確定其大?。膱A

等圓半徑相同，圓心不同圓心相同，半徑不同想一想：1.以1cm為半徑能畫幾個(gè)圓，以點(diǎn)O為圓心能畫幾個(gè)圓？無(wú)數(shù)個(gè)圓無(wú)數(shù)個(gè)圓確定一個(gè)圓的要素2.如何畫一個(gè)確定的圓？（1）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于

．（2）到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在

．O·ACErrrrrD定長(zhǎng)r同一個(gè)圓上圓的集合定義問題

從畫圓的過程可以看出什么呢？圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合。我國(guó)古人很早對(duì)圓就有這樣的認(rèn)識(shí)了，戰(zhàn)國(guó)時(shí)的《墨經(jīng)》就有“圓，一中同長(zhǎng)也”的記載．它的意思是圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑．典例精析例1

矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O.求證：A、B、C、D在以O(shè)為圓心的同一圓上.ABCDO證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=OC，OB=OD.

又∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD.∴A、B、C、D在以O(shè)為圓心以O(shè)A為半徑的圓上.

弦:·COAB連接圓上任意兩點(diǎn)的線段（如圖中的AC）叫做弦.經(jīng)過圓心的弦（如圖中的AB）叫做直徑．1.

弦和直徑都是線段.2.

直徑是弦,是經(jīng)過圓心的特殊弦，是圓中最長(zhǎng)的弦，但弦不一定是直徑.注意圓的有關(guān)概念二弧:·COAB圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．劣弧與優(yōu)弧·COAB半圓圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)?。訟、B為端點(diǎn)的弧記作

AB

，讀作“圓弧AB”或“弧AB”．(小于半圓的弧叫做劣弧.如圖中的AC

;(大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.如圖中的ABC.(用三個(gè)字母表示)(等圓:·COA能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓.·CO1A容易看出：

等圓是兩個(gè)半徑相等的圓.等弧:在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.想一想：長(zhǎng)度相等的弧是等弧嗎？ABCD觀察AD和BC是否相等？⌒⌒O注:等弧只能在同圓或等圓中才有可能出現(xiàn).例2

如圖.(1)請(qǐng)寫出以點(diǎn)A為端點(diǎn)的優(yōu)弧及劣弧;(2)請(qǐng)寫出以點(diǎn)A為端點(diǎn)的弦及直徑.典例精析弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直徑.（3）請(qǐng)任選一條弦，寫出這條弦所對(duì)的弧.答案不唯一，如：弦AF,它所對(duì)的弧是.ABCEFDO劣?。簝?yōu)?。篈F，(AD,(AC,(AE.(AFE,(AFC,(AF(要點(diǎn)歸納1.根據(jù)圓的定義，“圓”指的是“圓周”，而不是“圓面”．2.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦.附圖解釋：·COAB連接OC,在△AOC中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系有AO+OC>AC,而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC.1.填空：（1）______是圓中最長(zhǎng)的弦，它是______的2倍．（2）圖中有

條直徑，

條非直徑的弦，

圓中以A為一個(gè)端點(diǎn)的優(yōu)弧有

條，

劣弧有

條．直徑半徑一二四四2.一點(diǎn)和⊙O上的最近點(diǎn)距離為4cm,最遠(yuǎn)的距離為10cm,則這個(gè)圓的半徑是

.7cm或3cm當(dāng)堂練習(xí)ABCDOFE3.判斷下列說法的正誤，并說明理由或舉反例.(1)弦是直徑；(2)半圓是??；(3)過圓心的線段是直徑；(4)過圓心的直線是直徑；(5)半圓是最長(zhǎng)的?。?6)直徑是最長(zhǎng)的弦；(7)長(zhǎng)度相等的弧是等弧.例1如圖，在△ABC中，AB為⊙O的直徑，∠B=60°，∠BOD=100°，則∠C的度數(shù)為______________.解：∵∠BOD=100°，

∴∠A=12∠BOD=50°，

．

∵∠B=60°，

∴∠C=180°-∠A-∠B=70°例2如圖，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C、D是直線AB上兩點(diǎn)，且AC=BD，

求證：△OCD為等腰三角形．證法一：連接OA，OB；

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，

∴△CBO≌△DAO，

∴OC=OD，

∴△OCD為等腰三角形；

證法二：（以上同證法一）

∴∠CAO=∠DBO，

又∵AC=BD，

∴△CAO≌△DBO，

∴△OCD為等腰三角形．例3

如圖所示，線段AD過圓心O交⊙O于D，C兩點(diǎn)，∠EOD=78°，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度數(shù)．解：如右圖所示，連接OB，

∵AB=OC，OB=OC，

∴AB=OB，∠1=∠A，

又OB=OE，∠E=∠2=∠1+∠A=2∠A，

∴∠EOD=∠E+∠A=3∠A，

即3∠A=78°，

∴∠A=26°．變式題如圖，過A、C、D三點(diǎn)的圓的圓心為E，過B、F、E三點(diǎn)的圓的圓心為D，如果∠A=63°，那么∠θ=

解：如圖，連接CE，DE，

∵過A、C、D三點(diǎn)的圓的圓心為E，過B、F、E三點(diǎn)的圓的圓心為D，

∴AE=CE=DE=DB?！唷螦=∠ACE，∠ECD=∠CDE，∠DEB=∠DBE=∠θ。

∵∠A=63°，∴∠AEC=1800－2×630=540。

又∵∠ECD=∠CDE=2∠θ，∴∠AEC=∠ECD＋∠DBE=3∠θ，即3∠θ=540?！唷夕?180。

例4如圖所示，在△ABC中，CE，BD分別是AB，AC邊上的高，求證：B，C，D，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．證明：如圖所示，取BC的中點(diǎn)F，連接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分別為Rt△BCD和Rt△BCE斜邊上的中線，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四點(diǎn)在以F點(diǎn)為圓心， BC為半徑的圓上．例5已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是∠BAC的角平分線上一點(diǎn)，BD⊥AD于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，求證：點(diǎn)E是過A，B，D三點(diǎn)的圓的圓心。解：∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，

∴∠1=∠2

又∵DE∥AC，∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，∴AE=DE

又∵BD⊥AD于點(diǎn)D，

∴∠ADB=90°

∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°

∴∠EBD=∠EDB

∴BE=DE

∴AE=BE=DE

∵過A，B，D