12.6固有值與固有函數(shù)在本章的前三節(jié)我們應(yīng)用分離變量法求解弦振動(dòng)方程、一維熱傳導(dǎo)方程和二維拉普拉斯方程的有關(guān)定解問(wèn)題時(shí)，都需要解決一個(gè)含參變量的也屬于施圖姆-劉維爾問(wèn)題常微分方程的邊值問(wèn)題，這樣的問(wèn)題稱為固有值問(wèn)題。12.6固有值與固有函數(shù)在本章的前三節(jié)我們應(yīng)用分離變量法2施圖姆-劉維爾方程的一般形式(95)其中1.2.或者而在區(qū)間端點(diǎn)處至多有一階極點(diǎn)，且3.方程(95)加上邊界條件就稱為施圖姆-劉維爾問(wèn)題那些使施-劉問(wèn)題存在非0解的值，稱為該問(wèn)題的固有值，而相應(yīng)于給定的固有值的非0解，稱為固有函數(shù)。例如:2施圖姆-劉維爾方程的一般形式(95)其中1.2.或者而在區(qū)關(guān)于固有值和固有函數(shù)的幾點(diǎn)結(jié)論：(1)存在無(wú)窮多個(gè)實(shí)的固有值：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于這些固有值有無(wú)窮多個(gè)固有函數(shù)：(2)如果把對(duì)應(yīng)于固有值的固有函數(shù)記為那么所有組成一個(gè)帶權(quán)函數(shù)的正交函數(shù)系，即(96)關(guān)于固有值和固有函數(shù)的幾點(diǎn)結(jié)論：(1)存在無(wú)窮多個(gè)實(shí)的固有值4(3)類似于傅里葉級(jí)數(shù)，按固有函數(shù)系展開有下面的收斂性：若函數(shù)在內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)及分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并且滿足所給的邊界條件，則在內(nèi)可以按固有函數(shù)展開為絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)：其中(97)4(3)類似于傅里葉級(jí)數(shù)，按固有函數(shù)系展開有下面的收斂性：若515.

試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解作變換則有代入原方程有(1)首先求出固有函數(shù)系的具體表達(dá)式齊次歐拉方程練習(xí)515.試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解作變換則有代6將代入即得固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。齊次歐拉方程解則原問(wèn)題的固有函數(shù)系為15.

試證問(wèn)題練習(xí)6將代入即得固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。齊次歐拉方程解則原問(wèn)7固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解(2)現(xiàn)在驗(yàn)證固有函數(shù)系的函數(shù)正交性齊次歐拉方程作變換15.

試證問(wèn)題練習(xí)7固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解(2)現(xiàn)在驗(yàn)證固有函數(shù)系的函8思考試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解作變換則有代入原方程有(1)首先求出固有函數(shù)系的具體表達(dá)式8思考試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解作變換則有代入9思考試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。將代入即得解則原問(wèn)題的固有函數(shù)系為9思考試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。將代入即得解則原10思考試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解(2)現(xiàn)在驗(yàn)證固有函數(shù)系的函數(shù)正交性作變換10思考試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解(2)現(xiàn)在驗(yàn)練習(xí)14.(2)求下列問(wèn)題的特征值與特征函數(shù)解(1)當(dāng)時(shí)，方程通解為從而有由邊界條件得即此時(shí)原問(wèn)題沒(méi)有非平凡解。練習(xí)14.(2)求下列問(wèn)題的特征值與特征函數(shù)解(1)當(dāng)時(shí)，方解(2)當(dāng)時(shí)，方程通解為從而有由邊界條件得即此時(shí)原問(wèn)題有一個(gè)非平凡解，1212其中為任意常數(shù)。練習(xí)14.(2)求下列問(wèn)題的特征值與特征函數(shù)解(2)當(dāng)時(shí)，方程通解為從而有由邊界條件得即此時(shí)原問(wèn)題有一個(gè)解(3)當(dāng)時(shí)，方程通解為由條件由條件若為求非0解，則于是得代入通解有練習(xí)14.(2)求下列問(wèn)題的特征值與特征函數(shù)解(3)當(dāng)時(shí)，方程通解為由條件由條件若為求非0解，則于是得代解(3)當(dāng)時(shí)，方程通解為由條件由條件若為求非0解，則于是得代入通解有練習(xí)14.(2)求下列問(wèn)題的特征值與特征函數(shù)解(3)當(dāng)時(shí)，方程通解為由條件由條件若為求非0解，則于是得代解(3)當(dāng)時(shí)，方程通解為由條件由條件若代入通解有練習(xí)14.(2)求下列問(wèn)題的特征值與特征函數(shù)解(3)當(dāng)時(shí)，方程通解為由條件由條件若代入通解有練習(xí)14.(解將時(shí)對(duì)應(yīng)的結(jié)果綜合即得：和特征值對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為：練習(xí)14.(2)求下列問(wèn)題的特征值與特征函數(shù)解將時(shí)對(duì)應(yīng)的結(jié)果綜合即得：和特征值對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為：練習(xí)14172.6固有值與固有函數(shù)在本章的前三節(jié)我們應(yīng)用分離變量法求解弦振動(dòng)方程、一維熱傳導(dǎo)方程和二維拉普拉斯方程的有關(guān)定解問(wèn)題時(shí)，都需要解決一個(gè)含參變量的也屬于施圖姆-劉維爾問(wèn)題常微分方程的邊值問(wèn)題，這樣的問(wèn)題稱為固有值問(wèn)題。12.6固有值與固有函數(shù)在本章的前三節(jié)我們應(yīng)用分離變量法18施圖姆-劉維爾方程的一般形式(95)其中1.2.或者而在區(qū)間端點(diǎn)處至多有一階極點(diǎn)，且3.方程(95)加上邊界條件就稱為施圖姆-劉維爾問(wèn)題那些使施-劉問(wèn)題存在非0解的值，稱為該問(wèn)題的固有值，而相應(yīng)于給定的固有值的非0解，稱為固有函數(shù)。例如:2施圖姆-劉維爾方程的一般形式(95)其中1.2.或者而在區(qū)關(guān)于固有值和固有函數(shù)的幾點(diǎn)結(jié)論：(1)存在無(wú)窮多個(gè)實(shí)的固有值：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于這些固有值有無(wú)窮多個(gè)固有函數(shù)：(2)如果把對(duì)應(yīng)于固有值的固有函數(shù)記為那么所有組成一個(gè)帶權(quán)函數(shù)的正交函數(shù)系，即(96)關(guān)于固有值和固有函數(shù)的幾點(diǎn)結(jié)論：(1)存在無(wú)窮多個(gè)實(shí)的固有值20(3)類似于傅里葉級(jí)數(shù)，按固有函數(shù)系展開有下面的收斂性：若函數(shù)在內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)及分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并且滿足所給的邊界條件，則在內(nèi)可以按固有函數(shù)展開為絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)：其中(97)4(3)類似于傅里葉級(jí)數(shù)，按固有函數(shù)系展開有下面的收斂性：若2115.

試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解作變換則有代入原方程有(1)首先求出固有函數(shù)系的具體表達(dá)式齊次歐拉方程練習(xí)515.試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解作變換則有代22將代入即得固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。齊次歐拉方程解則原問(wèn)題的固有函數(shù)系為15.

試證問(wèn)題練習(xí)6將代入即得固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。齊次歐拉方程解則原問(wèn)23固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解(2)現(xiàn)在驗(yàn)證固有函數(shù)系的函數(shù)正交性齊次歐拉方程作變換15.

試證問(wèn)題練習(xí)7固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解(2)現(xiàn)在驗(yàn)證固有函數(shù)系的函24思考試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解作變換則有代入原方程有(1)首先求出固有函數(shù)系的具體表達(dá)式8思考試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解作變換則有代入25思考試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。將代入即得解則原問(wèn)題的固有函數(shù)系為9思考試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。將代入即得解則原26思考試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解(2)現(xiàn)在驗(yàn)證固有函數(shù)系的函數(shù)正交性作變換10思考試證問(wèn)題固有函數(shù)系在上帶權(quán)函數(shù)正交。解(2)現(xiàn)在驗(yàn)練習(xí)14.(2)求下列問(wèn)題的特征值與特征函數(shù)解(1)當(dāng)時(shí)，方程通解為從而有由邊界條件得即此時(shí)原問(wèn)題沒(méi)有非平凡解。練習(xí)14.(2)求下列問(wèn)題的特征值與特征函數(shù)解(1)當(dāng)時(shí)，方解(2)當(dāng)時(shí)，方程通解為從而有由邊界條件得即此時(shí)原問(wèn)題有一個(gè)非平凡解，2828其中為任意常數(shù)。練習(xí)14.(2)求下列問(wèn)題的特征值與特征函數(shù)解(2)當(dāng)時(shí)，方程通解為從而有由邊界條件得即此時(shí)原問(wèn)題有一個(gè)解(3)當(dāng)時(shí)，方程通解為由條件由條件若為求非0解，則于是得代入通解有練習(xí)14.(2)求下列問(wèn)題的特征值與特征函數(shù)解(3)當(dāng)時(shí)，方程通解為由條件由條件若為求非0解，則于是得代解(3)當(dāng)時(shí)，方程通解為由條件由條件若為求非0解，則于是得代入通解有練習(xí)14.(2)求下列問(wèn)題的特征值與特征函數(shù)解(3)當(dāng)時(shí)，方程通解為由條件由條件若為求非0解，則于是