復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)重點（一）復(fù)數(shù)的概念.復(fù)數(shù)的概念：zxiy,x,y是實數(shù)，xRez,yImz.i21.注：一般兩個復(fù)數(shù)不比較大小，但其模（為實數(shù)）有大小..復(fù)數(shù)的表示D模：|z2）幅角：在z0時，矢量與x軸正向的夾角，記為Argz（多值函數(shù)）；主值argz是位于（，］中的幅角。）argz與arctan~y之間的關(guān)系如下：x當(dāng)x0,argzarctan—;xTOC\o"1-5"\h\zc,yy0,argzarctan—當(dāng)x0,x；八，yy0,argzarctan—x4）三角表示：zzcosisin,其中argz；注：中間一定是“+”5）指數(shù)表水：zzei,其中argz。（二）復(fù)數(shù)的運算.力口減法：若z1為iy1,z2x2iy2，則4z2x,x2iy1y2.乘除法:1）若乙xiiyizx2iy2,則z〔z2x,xz〔z2x,x2yy2ix2y1x1y2;亙。iy〔Xiy1X2iy2

z2x2iy2x2iy2x2iy22x22V2i丫四i2x22°y21111i12z1z1i12zJZe;一一e2）若z14ei1,z2z2ei2,貝U44.乘哥與方根1)若zz(cos1)若zz(cosisin)zei,貝Uznzn(cosnisinn)znein。2)若2)若zz(cosisin)zei,貝U2kcosn2kcosn2kisinn(k0,1,2Ln1)(有n個相異的值)（三）復(fù)變函數(shù).復(fù)變函數(shù)：wfz，在幾何上可以看作把z平面上的一個點集D變到w平面上的一個點集G的映射..復(fù)初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)：ezexcosyisiny,在z平面處處可導(dǎo)，處處解析；且ezez。注：ez是以2i為周期的周期函數(shù)。（注意與實函數(shù)不同）對數(shù)函數(shù)：Lnzlnzi（argz2k）（k0,1,2L）（多信函數(shù)）；主值：lnzlnziargz。（單信函數(shù)）1Lnz的每一個王值分支lnz在除去原點及負(fù)頭軸的z平面內(nèi)處處解析，且lnz一；z注：負(fù)復(fù)數(shù)也有對數(shù)存在。（與實函數(shù)不同）TOC\o"1-5"\h\z乘哥與哥函數(shù)：abebLna（a0）;zbebLnz（z0）cosz

sinz注：在除去原點及負(fù)實軸的z平面內(nèi)處處解析，且zbbzbcosz

sinziziziziz.三角函數(shù):eeee,sinz,三角函數(shù):sinz,cosz,tgz,ctgz2i2coszsinz,cosz在z平面內(nèi)解析，且sinzcosz,coszsinz注：有界性|sinz|1,|cosz|1不再成立；（與實函數(shù)不同）zz雙曲函數(shù)shz-——,chz2shz奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。shz奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。shz,chz在z平面內(nèi)解析shzchz,chzshz。（四）解析函數(shù)的概念.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1)點可導(dǎo)：1)點可導(dǎo)：f：fZ0；2）區(qū)域可導(dǎo)：fz在區(qū)域內(nèi)點點可導(dǎo).解析函數(shù)的概念1）點解析：fZ在Zo及其Zo的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，稱fZ在Zo點解析;2）區(qū)域解析：fz在區(qū)域內(nèi)每一點解析，稱fz在區(qū)域內(nèi)解析;3）若f（Z）在Zo點不解析，稱Zo為fZ的奇點;.解析函數(shù)的運算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點）仍為解析函數(shù)；解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；（五）函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件1.函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：fzux,yivx,y在zxiy可導(dǎo)ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y處滿足CD條件:--,-此時，有fz-i-oTOC\o"1-5"\h\zxyyxxx2.函數(shù)解析的充要條件：fzux,yivx,y在區(qū)域內(nèi)解析ux,y和vx,y在x,y在D內(nèi)可微，且滿足CD條件：uvuv——,——;xyyx此時fz'T。xx注意：若ux,y,vx,y在區(qū)域D具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則ux,y,vx,y在區(qū)域D內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明u,v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足CR條件時，函數(shù)f（z）uiv一定是可導(dǎo)或解析的。3.函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法1）利用定義（題目要求用定義，如第二章習(xí)題1）2）利用充要條件（函數(shù)以fzux,yivx,y形式給出，如第二章習(xí)題2）3）利用可導(dǎo)或解析函數(shù)的四則運算定理。（函數(shù)fz是以z的形式給出，如第二章習(xí)題3）（六）復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)n復(fù)變函數(shù)積分的概念：fzdzlimfkZk,c是光滑曲線。TOC\o"1-5"\h\zcnk1注：復(fù)變函數(shù)的積分實際是復(fù)平面上的線積分。復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)fzdz1fzdz（c1與c的方向相反）；cc[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常數(shù)；ccc若曲線c由c與c2連接而成，則fzdzfzdzfzdz。cqc23.復(fù)變函數(shù)積分的一般計算法1）化為線積分：fzdzudxvdyivdxudy;（常用于理論證明）ccc2）參數(shù)方法：設(shè)曲線c：zzt（t）,其中對應(yīng)曲線c的起點，對應(yīng)曲線c的終點，則fzdzf[zt]z（t）dtoc（七）關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論.柯西一古薩基本定理：設(shè)fz在單連域B內(nèi)解析，c為B內(nèi)任一閉曲線，則?fzdz0c.復(fù)合閉路定理：設(shè)fz在多連域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任意一條簡單閉曲線，Ci,C2,Lcn是c內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以Ci,C2,LCn為邊界的區(qū)域全含于D內(nèi)，則

其中c與0k均取正向;??fzdz?其中c與0k均取正向;②？fzdz0,其中由c及c1(k1,2,Ln)所組成的復(fù)合閉路.閉路變形原理：一個在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)fz沿閉曲線c的積分,不因c在D內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中c不經(jīng)過使fz不解析的奇點.解析函數(shù)沿非閉曲線的積分：設(shè)fz在單連域B內(nèi)解析，Gz為fzz2在B內(nèi)的一個原函數(shù)，則fzdzGz2Gz,(^,z2B)zi說明：解析函數(shù)fz沿非閉曲線的積分與積分路徑無關(guān)，計算時只要求出原函數(shù)即可。.柯西積分公式：設(shè)fz在區(qū)域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任一正向簡單閉曲線，c的內(nèi)部完全屬于D,zo為c內(nèi)任意一點，則ofzdz2ifzo-czz。.高階導(dǎo)數(shù)公式：解析函數(shù)fz的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為fz(zzo)n1fz(zzo)n1dzn!z。(n1,2L)其中c為fz的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞zo的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內(nèi)部完全屬于D.重要結(jié)論：?—二7dz2i,"0。(c是包含a的任意正向簡單閉曲線)?(za)n10,n0.復(fù)變函數(shù)積分的計算方法1)若fz在區(qū)域D內(nèi)處處不解析，用一般積分法fzdzf[zt]ztdtc2)設(shè)fz在區(qū)域D內(nèi)解析，c是D內(nèi)一條正向簡單閉曲線，則由柯西一古薩定理，？fzdz0

c是D內(nèi)的一條非閉曲線，Z1,Z2對應(yīng)曲線c的起點和終點，則有z2fzdzfzdzFZ2F乙czi曲線c內(nèi)僅有一個奇點:dz2ifz0zzo曲線c內(nèi)僅有一個奇點:dz2ifz0zzof（z）在c內(nèi)解析）fz?-——Bdz■c(zzo)n曲線c內(nèi)有多于一個奇點：？fzdz?fzdz（c內(nèi)只有一個奇點zk）ck1ckn或：?fzdz2iRes[f(z),zk](留數(shù)基本定理)k1若被積函數(shù)不能表示成fzi則須改用第五章留數(shù)定理來計算。（zzo）n1（八）解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1.調(diào)和函數(shù)的概念：若二元實函數(shù)（x,y）在D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且22滿足：—0,（x,y）為D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。xy.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)fzuiv的實部u與虛部v都是調(diào)和函數(shù)，并稱虛部v為實部u的共鈍調(diào)和函數(shù)。兩個調(diào)和函數(shù)u與v構(gòu)成的函數(shù)f（z）uiv不一定是解析函數(shù)；但是若u,v如果滿足柯西一黎曼方程，則uiv一定是解析函數(shù)。.已知解析函數(shù)fz的實部或虛部，求解析函數(shù)fzuiv的方法。1）偏微分法：若已知實部uux,y,利用CR條件，得」,」；xy對,」兩邊積分.yx得v—dygxx(*)

再對（*）式兩邊對X求偏導(dǎo)，得,--udygx（**）XXX由CR條件，」』，得2一」dygX,可求出gx；yxyXX代入（*）式，可求得虛部v—dygx。X2）線積分法：若已知實部uux,y,利用CR條件可得x,yX),y0uu——x,yX),y0uu——dx——dyc;yxdv一dx-dy-dx一dy,故虛口6為vxyyx由于該積分與路徑無關(guān)，可選取簡單路徑（如折線）計算它，其中X0,y。與x,y是解析區(qū)域中的兩點3）不定積分法：若已知實部3）不定積分法：若已知實部uux,y,根據(jù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和CR條件得知,將此式右端表示成z件得知,將此式右端表示成z的函數(shù)Uz,由于fz仍為解析函數(shù)，fzUzdzcTOC\o"1-5"\h\z工u.vu.ufz——I———I——xyxy注：若已知虛部v也可用類似方法求出實部u.（九）復(fù)數(shù)項級數(shù)1.復(fù)數(shù)列的極限）復(fù)數(shù)列｛n｝｛anIbn）（n1,2L）收斂于復(fù)數(shù)abi的充要條件為llmana,limbnb（同時成立）nn2）復(fù)數(shù)列｛0｝收斂實數(shù)列｛an｝,｛燈｝同時收斂。.復(fù)數(shù)項級數(shù)an與bn同時收斂;n0n01）復(fù)數(shù)項級數(shù)an與bn同時收斂;n0n0n02）級數(shù)收斂的必要條件是limn0onn注：復(fù)數(shù)項級數(shù)的斂散性可以歸納為兩個實數(shù)項級數(shù)的斂散性問題的討論。

（+）幕級數(shù)的斂放性.幕級數(shù)的概念：表達(dá)式cn（z4了或cnzn為幕級數(shù)。n0n0.幕級數(shù)的斂散性1）幕級數(shù)的收斂定理一阿貝爾定理（Abel）:如果幕級數(shù)g/在Zo0處收斂，那么對滿足|Z閭的一切Z,該數(shù)絕對收斂;n0如果在Z0處發(fā)散，那么對滿足ZZ0的一切Z,級數(shù)必發(fā)散。2）幕級數(shù)的收斂域一圓域幕級數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法根值法如果lim50,則收斂半徑R-;nim\Cn10,則收斂半徑R—;如果0,則R;說明在整個復(fù)平向上處處收斂；如果，則R0;說明僅在zZ0或Z0點收斂|;注：若幕級數(shù)有缺項時，不能直接套用公式求收斂半徑。（如gZ2n）n03.幕級數(shù)的性質(zhì)1）代數(shù)性質(zhì)：設(shè)an設(shè)anZn,bnZnn0n0的收斂半徑分別為Ri與R2,記RminR（線性運算）則當(dāng)zR時，(anbn)ZnanZnbnZn（線性運算）n0n0n0(anZn)(bnZn)(anb0ani(anZn)(bnZn)復(fù)合性質(zhì)：設(shè)當(dāng)||r時，f烝n,當(dāng)|zR時，gz解n0析且gzr,則當(dāng)|zR時，f[gz]an[gz]n。n0分析運算性質(zhì)：設(shè)哥級數(shù)anzn的收斂半徑為R0,則n0其和函數(shù)fzanzn是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)；n0在收斂圓內(nèi)可逐項求導(dǎo)，收斂半徑不變；且fznanzn1zRn0

z在收斂圓內(nèi)可逐項求積，收斂半徑不變；fzdz-aLzn1zR0n0n1(十一)哥函數(shù)的泰勒展開.泰勒展開：設(shè)函數(shù)fz在圓域|zz0|R內(nèi)解析，則在此圓域內(nèi)fz可以fnz展開成幕級數(shù)fz——生z4n;并且此展開式是唯一的。n0n!注：若fz在z0解析，則fz在z0的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑R乙a;其中R為從z°到fz的距z°最近一個奇點a之間的距離.常用函數(shù)在z00的泰勒展開式TOC\o"1-5"\h\z423nz1nzzzI)e——z1z————L—Ln0n!2!3!n!—zn1zz2LznL1zn0(1)nz2n(1)nz2n1(2n1)!(1)2n1zz.sinz——--zz——Ln0(2n1)!3!5!n24n(1)2ndzz.(1)2n.cosz_z1L3_zzLn0(2n)!2!4!(2n)!

3.解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法1）直接法：直接求出nC1）直接法：直接求出nCnZZo。n0Cn—fZ0,于是fZn!2）間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開式及幕級數(shù)的代數(shù)運算、復(fù)合運算和逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法將函數(shù)展開。（十二）幕函數(shù)的洛朗展開.洛朗級數(shù)的概念：cnzz0n,含正幕項和負(fù)幕項。n.洛朗展開定理：設(shè)函數(shù)fz在圓環(huán)域RzZoR內(nèi)處處解析，c為圓環(huán)域內(nèi)繞Zo的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內(nèi)，有fzcnzz0n,且展開式唯n.解析函數(shù)的洛朗展開法：洛朗級數(shù)一般只能用間接法展開*4.利用洛朗級數(shù)求圍線積分：設(shè)fz在rzZ0R內(nèi)解析，c為rzZ0R內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，則？fzdz2ici。其中ci為..一..1一”2）在「ZZ0R內(nèi)洛朗展開式中的系數(shù)。zZ0說明：圍線積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展開式中（ZZ0）1的系數(shù)。（十三）孤立奇點的概念與分類.孤立奇點的定義：fz在Z0點不解析，但在Z0的0ZZ0內(nèi)解析。.孤立奇點的類型：.、-r，?I——r,■-r、r—12，?一上~_21）可去奇點：展開式中不含zZ0的負(fù)號項；fzc0GZz0GZZoL2）極點：展開式中含有限項zZ0的負(fù)事項；cmc(m1)/cmc(m1)/7m、m1L(ZZ0)(zZ0)c1(zZ0)c0G(z2.Z0)c2(zZ0)Lm,(ZZ0)其中g(shù)zcmc(m1)(ZZ0)Lc1(ZZ0)m1Q(ZZ。^L在Z0其中g(shù)z且gZ00,m1,cm0;3）本性奇點：展開式中含無窮多項zZ0的負(fù)幕項;

fzLL占=CoG(zz0)LCm(zZo)mL（十四）孤立奇點的判別方法.可去奇點：limfzc0常數(shù)；zzo.極點：limfzzz.本性奇點：limfz不存在且不為。zzo.零點與極點的關(guān)系1）零點的概念：不包為零的解析函數(shù)fz，如果能表示成fz（zz0）mz,其中z在zo解析，z0,m為正整數(shù)，稱zo為fz的m級零點；2）零點級數(shù)判別的充要條件:zo是fz的mzo是fz的m級零點mfzo3）零點與極點的關(guān)系：3）零點與極點的關(guān)系：zo是fz的m級零點一1zo是的m級極點；fz4）重要結(jié)論：若za分別是z與z的m級與n級零點，則za是zgz的mn級零點；當(dāng)mn時，