§5.1

大數(shù)定律

§5.2中心極限定理第五章大數(shù)定律與中心極限定理§5.1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律與中心極限定理§5.1大數(shù)定律弱大數(shù)定律：切比雪夫弱大數(shù)定律辛欽弱大數(shù)定律強(qiáng)大數(shù)定律：科爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律討論“概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義：伯努利大數(shù)定律和博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律弱大數(shù)定律：切比雪夫弱大數(shù)定律辛欽弱大數(shù)定律強(qiáng)大數(shù)定律：科爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律討論“概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義：伯努利大數(shù)定律和博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律§5.1大數(shù)定律弱大數(shù)定律：伯努利大數(shù)定律弱大數(shù)定律：從拋硬幣說起回顧第一章概率的統(tǒng)計(jì)定義，我們是用事件的頻率近似代替這個(gè)事件的概率。德.摩根試驗(yàn)者拋擲次數(shù)n出現(xiàn)正面的頻率204810610.518蒲豐404020480.5069

皮爾遜1200060190.5016

皮爾遜24000120120.5005維尼0.49981499430000出現(xiàn)正面的次數(shù)m從拋硬幣說起回顧第一章概率的統(tǒng)計(jì)定義拋硬幣實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)意義拋硬幣實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)意義伯努利大數(shù)定律：頻率“收斂于”概率對(duì)一般的伯努利實(shí)驗(yàn)（p不一定是二分之一）有：設(shè)vn

是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中P(A)=p,則對(duì)任意的

>0，有注：這種極限收斂形式在概率論中，我們稱為依概率收斂，極限符號(hào)在概率符號(hào)之前。伯努利大數(shù)定律：頻率“收斂于”概率對(duì)一般的伯努利實(shí)驗(yàn)（p不一意義：隨著n的增大，依概率意義講，頻率越來越接近概率p，而不接近p的可能性越來越小。不能說：，因?yàn)椴还躰有多大，仍可能有pn

偏離p的情形出現(xiàn)(雖然這些例外情形出現(xiàn)的概率趨于0)。意義：隨著n的增大，依概率意義講，頻率越來越接近概伯努利大數(shù)定律可以說是最早發(fā)現(xiàn)，也是最基本的大數(shù)定律，以它為基礎(chǔ)人們又發(fā)展起來其它的大數(shù)定律。大家很容易理解拋硬幣出現(xiàn)正面的概率是二分之一，但是日常生活中，很多問題里事件的概率不能直觀感受到或者預(yù)先知道，這時(shí)我們就利用伯努利大數(shù)定律，以頻率來代替概率。發(fā)芽率發(fā)芽粒數(shù)種子粒數(shù)2510701303107001500200030002496011628263913391806271510.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.9030.905

伯努利大數(shù)定律可以說是最早發(fā)現(xiàn)，也是最基本的大數(shù)定律，發(fā)芽率除了伯努利實(shí)驗(yàn)，對(duì)一般的事件

有沒有類似的大數(shù)定律？某學(xué)校有10000個(gè)學(xué)生，平均身高為a；1、隨意觀察1個(gè)學(xué)生的身高X1，則X1與a可能相差較大。2、隨意觀察10個(gè)學(xué)生的身高X1,

X2,…,

X10，則10個(gè)數(shù)據(jù)的均值(X1+X2+…+X10)/10與a較接近；3、隨意觀察100個(gè)學(xué)生的身高X1,

X2,…,

X100，則100個(gè)數(shù)據(jù)的均值(X1+X2+…+X100)/100與a更接近；4、隨意觀察1000個(gè)學(xué)生的身高X1,

X2,…,

X1000，則我們可以有很大把握認(rèn)為這些數(shù)據(jù)的均值(X1+X2+…+Xn

)/n與a

充分接近.除了伯努利實(shí)驗(yàn)，對(duì)一般的事件

有沒有類似的大數(shù)定律？某學(xué)校有對(duì)伯努利大數(shù)定律進(jìn)行演繹對(duì)伯努利大數(shù)定律進(jìn)行演繹切比雪夫弱大數(shù)定律注：這里的隨機(jī)變量不要求是同分布的，但是要求它們的方差有一致的上界。切比雪夫弱大數(shù)定律注：這里的隨機(jī)變量不要求是同分布的，辛欽弱大數(shù)定律注：這里的隨機(jī)變量序列是同分布的，但不要求它們的方差存在或有一致上界。辛欽弱大數(shù)定律注：這里的隨機(jī)變量序列是同分布的，說明：(1)切比雪夫弱大數(shù)定律和辛欽弱大數(shù)定律的條件是不同的，但它們都可以推導(dǎo)出伯努利大數(shù)定律.(2)以下我們僅就切比雪夫弱大數(shù)定律給出證明.切比雪夫弱大數(shù)定律里隨機(jī)變量序列不要求是同分布的，但是要求它們的方差有一致的上界。辛欽弱大數(shù)定律里隨機(jī)變量序列是同分布的，但不要求它們的方差存在或有一致上界。說明：(1)切比雪夫弱大數(shù)定律和辛欽弱大數(shù)定律的條件是不同第五章大數(shù)定律和中心極限定理講解課件切比雪夫弱大數(shù)定律的證明切比雪夫弱大數(shù)定律的證明5.1.3強(qiáng)大數(shù)定律前面講的一些大數(shù)定律都是弱大數(shù)定律，關(guān)于隨機(jī)變量平均和的刻畫都是用依概率收斂的形式表達(dá)，后來人們證明了更強(qiáng)的收斂形式，從而得到了相應(yīng)的強(qiáng)大數(shù)定律，這里的強(qiáng)弱之分就在于極限收斂形式的強(qiáng)弱之分。大數(shù)定律的命名：都可以數(shù)學(xué)嚴(yán)格證明，為什么不叫做定理？下面我們不加證明的給出幾個(gè)強(qiáng)大數(shù)定律。5.1.3強(qiáng)大數(shù)定律前面講的一些大數(shù)定律都是弱大數(shù)定律，關(guān)柯爾莫戈洛夫強(qiáng)大數(shù)定律1和2：注：上面的極限收斂形式稱為以概率1收斂，它可以推出依概率收斂，所以強(qiáng)大數(shù)定律可以推出對(duì)應(yīng)的弱大數(shù)定律?？聽柲曷宸驈?qiáng)大數(shù)定律1和2：注：上面的極限收斂形式稱為以概§5.2中心極限定理

討論獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布,

本節(jié)指出極限分布為正態(tài)分布.內(nèi)容提要：設(shè){Xn}為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記其和為§5.2中心極限定理討論獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布,內(nèi)容提獨(dú)立同分布的中心極限定理定理5.2.1

林德伯格—萊維中心極限定理設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望為,方差為2>0，則{Xn}服從中心極限定理，即獨(dú)立同分布的中心極限定理定理5.2.1林德伯格—萊維林德伯格—萊維中心極限定理的推論林德伯格—萊維中心極限定理的推論1.中心極限定理有很多，本書中只給出了這類定理中最簡(jiǎn)單，也是最重要的一種情況，即獨(dú)立同分布的情形：不論隨機(jī)變量服從何種分布，只要它們是獨(dú)立同分布的，則它們和的極限分布總是正態(tài)分布，這一事實(shí)增加了正態(tài)分布的重要性。

2.中心極限定理比大數(shù)定律更為精細(xì)的刻畫了獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列和的極限，它指出了分布特性。特別地，中心極限定理蘊(yùn)含了大數(shù)定律。

1.中心極限定理有很多，本書中只給出了這類定理中最簡(jiǎn)單，也是例1每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克.一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?解:設(shè)箱中第i

袋味精的凈重為Xi,則Xi

獨(dú)立同分布，且E[Xi]=100，Var[Xi]=100，

由中心極限定理得，所求概率為：=0.0002故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002.(很小)例1每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為100克，標(biāo)例2

設(shè)X為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.XP109876

0.80.10.050.020.03解:設(shè)Xi

為第i

次射擊命中的環(huán)數(shù)，則Xi

獨(dú)立同分布，且E[Xi]

=9.62，Var[Xi]

=0.82，故=0.00021例2設(shè)X為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為求100林德伯格—萊維定理的特殊情形：棣莫弗—拉普拉斯定理在林德伯格—萊維定理中，若對(duì)任意k有Xk～B(1,p)，則E[Xk]=p,Var[Xk]=p(1-p),從而有如下定理：注：該定理是歷史上最早的中心極限定理，1716年棣莫弗證明了的情形，后來拉普拉斯把它推廣到一般

p的情形。林德伯格—萊維定理的特殊情形：棣莫弗—拉普拉斯定理在林德伯格棣莫弗—拉普拉斯定理的另一種敘述形式：二項(xiàng)分布的正態(tài)近似：設(shè)Yn

為服從二項(xiàng)分布B(n,p)的隨機(jī)變量，則當(dāng)n

充分大時(shí)，有棣莫弗—拉普拉斯定理的另一種敘述形式：二項(xiàng)分布的正態(tài)近似：設(shè)二項(xiàng)分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以用正態(tài)分布作為二項(xiàng)分布的近似時(shí)，一般可作如下修正：注意點(diǎn)(1)注：當(dāng)n很大時(shí)，該修正影響不大；當(dāng)n不是很大時(shí)，該修正可提高精度！二項(xiàng)分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布，注意點(diǎn)(1)棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理的應(yīng)用：

注意點(diǎn)(2)

ii)已知n

和概率，求x

；

iii)已知x

和概率，求n.i)已知n

和x，求概率；

棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理的應(yīng)用：注意點(diǎn)(2)例5.2.2設(shè)某地區(qū)原有一家小電影院，現(xiàn)擬籌建一所較大的電影院。根據(jù)分析，該地區(qū)每天平均看電影者約有n=1600人，預(yù)計(jì)新電影院開業(yè)后，平均約有3/4的觀眾將去新電影院。現(xiàn)計(jì)劃其座位數(shù)，要求座位數(shù)盡可能多，但“空座達(dá)到200或更多”的概率不能超過0.1，問設(shè)多少座位為好？解：設(shè)每天看電影的人編號(hào)1,2,3,…,1600,且令例5.2.2設(shè)某地區(qū)原有一家小電影院，現(xiàn)擬籌建一所假設(shè)各觀眾去不去電影院是獨(dú)立選擇的，則X1,…,

X1600是獨(dú)立的0-1分布的隨機(jī)變量。設(shè)座位數(shù)是m，按要求有

P(X1+X2+…+X1600≤m-200)≤0.1要在此條件下m最大，就是在上式取等號(hào)時(shí).假設(shè)各觀眾去不去電影院是獨(dú)立選擇的，則X1,…,X1600小結(jié)大數(shù)定律：

依概率收斂：契比雪夫弱大數(shù)定理、辛欽弱大數(shù)定理、伯努利大數(shù)定理。

以概率1收斂：柯爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律、博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律。中心極限定理：獨(dú)立同分布的中心極限定理——林德伯格-萊維定理；獨(dú)立B(1,p)分布的情形——棣莫弗－拉普拉斯定理；

學(xué)習(xí)要求：理解并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用小結(jié)大數(shù)定律：學(xué)習(xí)要求：理解并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用P98

5.1,P995.3、5.4、5.8、5.9作業(yè)P985.1,作業(yè)有關(guān)大數(shù)定律習(xí)題選講有關(guān)大數(shù)定律習(xí)題選講第五章大數(shù)定律和中心極限定理講解課件注：本題參考答案有誤注：本題參考答案有誤中心極限定理的應(yīng)用例題補(bǔ)充中心極限定理的應(yīng)用例題補(bǔ)充一、給定n和x，求概率補(bǔ)充例3100個(gè)獨(dú)立工作(工作的概率為0.9)的部件組成一個(gè)系統(tǒng)，求系統(tǒng)中至少有85個(gè)部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i個(gè)部件正常工作,反之記為Xi=0.又記Y=X1+X2+…+X100，則E[Y]=90，Var[Y]=9.一、給定n和x，求概率補(bǔ)充例3100個(gè)獨(dú)立工作(工二、給定n和概率，求x補(bǔ)充例4有200臺(tái)獨(dú)立工作(工作的概率為0.7)的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)需15kw電力.問共需多少電力,才可有95%的可能性保證供電充足?解：用設(shè)供電量為x,供電充足即為15Y≤x，則從Xi=1表示第i臺(tái)機(jī)床正常工作,反之記為Xi=0.又記Y=X1+X2+…+X200，則E[Y]=140，Var[Y]=42.中解得二、給定n和概率，求x補(bǔ)充例4有200臺(tái)獨(dú)立三、給定x

和概率，求n補(bǔ)充例5用調(diào)查對(duì)象中的收看比例k/n作為某電視節(jié)目的收視率p的估計(jì)。要有90％的把握，使k/n與p

的差異不大于0.05，問至少要調(diào)查多少對(duì)象？解：用根據(jù)題意Xn表示n

個(gè)調(diào)查對(duì)象中收看此節(jié)目的人數(shù)，則從中解得Xn服從b(n,p)分布，k為Xn的實(shí)際取值。又由可解得n=271三、給定x和概率，求n補(bǔ)充例5用調(diào)查對(duì)象中的補(bǔ)充例6

設(shè)每顆炮彈命中目標(biāo)的概率為0.01，求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率.解:

設(shè)X

表示命中的炮彈數(shù),則X~b(500,0.01)＝0.17635(2)應(yīng)用正態(tài)逼近:P(X=5)=P(4.5<X<5.5)=0.1742補(bǔ)充例6設(shè)每顆炮彈命中目標(biāo)的概率為0.01，解:設(shè)

§5.1

大數(shù)定律

§5.2中心極限定理第五章大數(shù)定律與中心極限定理§5.1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律與中心極限定理§5.1大數(shù)定律弱大數(shù)定律：切比雪夫弱大數(shù)定律辛欽弱大數(shù)定律強(qiáng)大數(shù)定律：科爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律討論“概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義：伯努利大數(shù)定律和博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律弱大數(shù)定律：切比雪夫弱大數(shù)定律辛欽弱大數(shù)定律強(qiáng)大數(shù)定律：科爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律討論“概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義：伯努利大數(shù)定律和博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律§5.1大數(shù)定律弱大數(shù)定律：伯努利大數(shù)定律弱大數(shù)定律：從拋硬幣說起回顧第一章概率的統(tǒng)計(jì)定義，我們是用事件的頻率近似代替這個(gè)事件的概率。德.摩根試驗(yàn)者拋擲次數(shù)n出現(xiàn)正面的頻率204810610.518蒲豐404020480.5069

皮爾遜1200060190.5016

皮爾遜24000120120.5005維尼0.49981499430000出現(xiàn)正面的次數(shù)m從拋硬幣說起回顧第一章概率的統(tǒng)計(jì)定義拋硬幣實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)意義拋硬幣實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)意義伯努利大數(shù)定律：頻率“收斂于”概率對(duì)一般的伯努利實(shí)驗(yàn)（p不一定是二分之一）有：設(shè)vn

是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中P(A)=p,則對(duì)任意的

>0，有注：這種極限收斂形式在概率論中，我們稱為依概率收斂，極限符號(hào)在概率符號(hào)之前。伯努利大數(shù)定律：頻率“收斂于”概率對(duì)一般的伯努利實(shí)驗(yàn)（p不一意義：隨著n的增大，依概率意義講，頻率越來越接近概率p，而不接近p的可能性越來越小。不能說：，因?yàn)椴还躰有多大，仍可能有pn

偏離p的情形出現(xiàn)(雖然這些例外情形出現(xiàn)的概率趨于0)。意義：隨著n的增大，依概率意義講，頻率越來越接近概伯努利大數(shù)定律可以說是最早發(fā)現(xiàn)，也是最基本的大數(shù)定律，以它為基礎(chǔ)人們又發(fā)展起來其它的大數(shù)定律。大家很容易理解拋硬幣出現(xiàn)正面的概率是二分之一，但是日常生活中，很多問題里事件的概率不能直觀感受到或者預(yù)先知道，這時(shí)我們就利用伯努利大數(shù)定律，以頻率來代替概率。發(fā)芽率發(fā)芽粒數(shù)種子粒數(shù)2510701303107001500200030002496011628263913391806271510.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.9030.905

伯努利大數(shù)定律可以說是最早發(fā)現(xiàn)，也是最基本的大數(shù)定律，發(fā)芽率除了伯努利實(shí)驗(yàn)，對(duì)一般的事件

有沒有類似的大數(shù)定律？某學(xué)校有10000個(gè)學(xué)生，平均身高為a；1、隨意觀察1個(gè)學(xué)生的身高X1，則X1與a可能相差較大。2、隨意觀察10個(gè)學(xué)生的身高X1,

X2,…,

X10，則10個(gè)數(shù)據(jù)的均值(X1+X2+…+X10)/10與a較接近；3、隨意觀察100個(gè)學(xué)生的身高X1,

X2,…,

X100，則100個(gè)數(shù)據(jù)的均值(X1+X2+…+X100)/100與a更接近；4、隨意觀察1000個(gè)學(xué)生的身高X1,

X2,…,

X1000，則我們可以有很大把握認(rèn)為這些數(shù)據(jù)的均值(X1+X2+…+Xn

)/n與a

充分接近.除了伯努利實(shí)驗(yàn)，對(duì)一般的事件

有沒有類似的大數(shù)定律？某學(xué)校有對(duì)伯努利大數(shù)定律進(jìn)行演繹對(duì)伯努利大數(shù)定律進(jìn)行演繹切比雪夫弱大數(shù)定律注：這里的隨機(jī)變量不要求是同分布的，但是要求它們的方差有一致的上界。切比雪夫弱大數(shù)定律注：這里的隨機(jī)變量不要求是同分布的，辛欽弱大數(shù)定律注：這里的隨機(jī)變量序列是同分布的，但不要求它們的方差存在或有一致上界。辛欽弱大數(shù)定律注：這里的隨機(jī)變量序列是同分布的，說明：(1)切比雪夫弱大數(shù)定律和辛欽弱大數(shù)定律的條件是不同的，但它們都可以推導(dǎo)出伯努利大數(shù)定律.(2)以下我們僅就切比雪夫弱大數(shù)定律給出證明.切比雪夫弱大數(shù)定律里隨機(jī)變量序列不要求是同分布的，但是要求它們的方差有一致的上界。辛欽弱大數(shù)定律里隨機(jī)變量序列是同分布的，但不要求它們的方差存在或有一致上界。說明：(1)切比雪夫弱大數(shù)定律和辛欽弱大數(shù)定律的條件是不同第五章大數(shù)定律和中心極限定理講解課件切比雪夫弱大數(shù)定律的證明切比雪夫弱大數(shù)定律的證明5.1.3強(qiáng)大數(shù)定律前面講的一些大數(shù)定律都是弱大數(shù)定律，關(guān)于隨機(jī)變量平均和的刻畫都是用依概率收斂的形式表達(dá)，后來人們證明了更強(qiáng)的收斂形式，從而得到了相應(yīng)的強(qiáng)大數(shù)定律，這里的強(qiáng)弱之分就在于極限收斂形式的強(qiáng)弱之分。大數(shù)定律的命名：都可以數(shù)學(xué)嚴(yán)格證明，為什么不叫做定理？下面我們不加證明的給出幾個(gè)強(qiáng)大數(shù)定律。5.1.3強(qiáng)大數(shù)定律前面講的一些大數(shù)定律都是弱大數(shù)定律，關(guān)柯爾莫戈洛夫強(qiáng)大數(shù)定律1和2：注：上面的極限收斂形式稱為以概率1收斂，它可以推出依概率收斂，所以強(qiáng)大數(shù)定律可以推出對(duì)應(yīng)的弱大數(shù)定律?？聽柲曷宸驈?qiáng)大數(shù)定律1和2：注：上面的極限收斂形式稱為以概§5.2中心極限定理

討論獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布,

本節(jié)指出極限分布為正態(tài)分布.內(nèi)容提要：設(shè){Xn}為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記其和為§5.2中心極限定理討論獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布,內(nèi)容提獨(dú)立同分布的中心極限定理定理5.2.1

林德伯格—萊維中心極限定理設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望為,方差為2>0，則{Xn}服從中心極限定理，即獨(dú)立同分布的中心極限定理定理5.2.1林德伯格—萊維林德伯格—萊維中心極限定理的推論林德伯格—萊維中心極限定理的推論1.中心極限定理有很多，本書中只給出了這類定理中最簡(jiǎn)單，也是最重要的一種情況，即獨(dú)立同分布的情形：不論隨機(jī)變量服從何種分布，只要它們是獨(dú)立同分布的，則它們和的極限分布總是正態(tài)分布，這一事實(shí)增加了正態(tài)分布的重要性。

2.中心極限定理比大數(shù)定律更為精細(xì)的刻畫了獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列和的極限，它指出了分布特性。特別地，中心極限定理蘊(yùn)含了大數(shù)定律。

1.中心極限定理有很多，本書中只給出了這類定理中最簡(jiǎn)單，也是例1每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克.一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?解:設(shè)箱中第i

袋味精的凈重為Xi,則Xi

獨(dú)立同分布，且E[Xi]=100，Var[Xi]=100，

由中心極限定理得，所求概率為：=0.0002故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002.(很小)例1每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為100克，標(biāo)例2

設(shè)X為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.XP109876

0.80.10.050.020.03解:設(shè)Xi

為第i

次射擊命中的環(huán)數(shù)，則Xi

獨(dú)立同分布，且E[Xi]

=9.62，Var[Xi]

=0.82，故=0.00021例2設(shè)X為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為求100林德伯格—萊維定理的特殊情形：棣莫弗—拉普拉斯定理在林德伯格—萊維定理中，若對(duì)任意k有Xk～B(1,p)，則E[Xk]=p,Var[Xk]=p(1-p),從而有如下定理：注：該定理是歷史上最早的中心極限定理，1716年棣莫弗證明了的情形，后來拉普拉斯把它推廣到一般

p的情形。林德伯格—萊維定理的特殊情形：棣莫弗—拉普拉斯定理在林德伯格棣莫弗—拉普拉斯定理的另一種敘述形式：二項(xiàng)分布的正態(tài)近似：設(shè)Yn

為服從二項(xiàng)分布B(n,p)的隨機(jī)變量，則當(dāng)n

充分大時(shí)，有棣莫弗—拉普拉斯定理的另一種敘述形式：二項(xiàng)分布的正態(tài)近似：設(shè)二項(xiàng)分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以用正態(tài)分布作為二項(xiàng)分布的近似時(shí)，一般可作如下修正：注意點(diǎn)(1)注：當(dāng)n很大時(shí)，該修正影響不大；當(dāng)n不是很大時(shí)，該修正可提高精度！二項(xiàng)分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布，注意點(diǎn)(1)棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理的應(yīng)用：

注意點(diǎn)(2)

ii)已知n

和概率，求x

；

iii)已知x

和概率，求n.i)已知n

和x，求概率；

棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理的應(yīng)用：注意點(diǎn)(2)例5.2.2設(shè)某地區(qū)原有一家小電影院，現(xiàn)擬籌建一所較大的電影院。根據(jù)分析，該地區(qū)每天平均看電影者約有n=1600人，預(yù)計(jì)新電影院開業(yè)后，平均約有3/4的觀眾將去新電影院?，F(xiàn)計(jì)劃其座位數(shù)，要求座位數(shù)盡可能多，但“空座達(dá)到200或更多”的概率不能超過0.1，問設(shè)多少座位為好？解：設(shè)每天看電影的人編號(hào)1,2,3,…,1600,且令例5.2.2設(shè)某地區(qū)原有一家小電影院，現(xiàn)擬籌建一所假設(shè)各觀眾去不去電影院是獨(dú)立選擇的，則X1,…,

X1600是獨(dú)立的0-1分布的隨機(jī)變量。設(shè)座位數(shù)是m，按要求有

P(X1+X2+…+X1600≤m-200)≤0.1要在此條件下m最大，就是在上式取等號(hào)時(shí).假設(shè)各觀眾去不去電影院是獨(dú)立選擇的，則X1,…,X1600小結(jié)大數(shù)定律：

依概率收斂：契比雪夫弱大數(shù)定理、辛欽弱大數(shù)定理、伯努利大數(shù)定理。

以概率1收斂：柯爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律、博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律。中心極限定理：獨(dú)立同分布的中心極限定理——林德伯格-萊維定理；獨(dú)立B(1,p)