第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析2022/12/19第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析2022/12/18第3章1后面所說(shuō)的力或力矩都是“廣義的”。工業(yè)機(jī)器人作業(yè)時(shí)，外界對(duì)手部的作用力將導(dǎo)致各關(guān)節(jié)產(chǎn)生相應(yīng)的作用力。假定工業(yè)機(jī)器人各關(guān)節(jié)“鎖住”，關(guān)節(jié)的“鎖定用”力與外界環(huán)境施加給手部的作用力取得靜力學(xué)平衡。工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)就是分析手部上的作用力與各關(guān)節(jié)“鎖定用”力之間的平衡關(guān)系，從而根據(jù)外界環(huán)境在手部上的作用力求出各關(guān)節(jié)的“鎖定用”力，或者根據(jù)已知的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力求解出手部的輸出力。

工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)的任務(wù)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]后面所說(shuō)的力或力矩都是“廣義的”。工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)的任務(wù)第2工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的任務(wù)工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有兩類(lèi)：(1)動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題：已知關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力，求工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，包括關(guān)節(jié)位移、速度和加速度。(2)動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)上的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的任務(wù)工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有兩類(lèi)：第3章3研究工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的目的動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題對(duì)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)仿真是非常有用的。動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題對(duì)實(shí)現(xiàn)工業(yè)機(jī)器人實(shí)時(shí)控制是相當(dāng)有用的。利用動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制，以期達(dá)到良好的動(dòng)態(tài)性能和最優(yōu)指標(biāo)。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]研究工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的目的動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題對(duì)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)仿真是4工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的用途主要用于工業(yè)機(jī)器人的設(shè)計(jì)和離線編程。在設(shè)計(jì)中需根據(jù)連桿質(zhì)量、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)特征和負(fù)載大小進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，對(duì)其性能進(jìn)行分析，從而決定工業(yè)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)和傳動(dòng)方案，驗(yàn)算設(shè)計(jì)方案的合理性和可行性。在離線編程時(shí)，為了估計(jì)工業(yè)機(jī)器人高速運(yùn)動(dòng)引起的動(dòng)載荷和路徑偏差，要進(jìn)行路徑控制仿真和動(dòng)態(tài)模型的仿真。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的用途主要用于工業(yè)機(jī)器人的設(shè)計(jì)和離線編程5動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的困難工業(yè)機(jī)器人是一個(gè)非線性的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解比較困難，而且需要較長(zhǎng)的運(yùn)算時(shí)間。因此，簡(jiǎn)化求解過(guò)程，最大限度地減少工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)在線計(jì)算的時(shí)間是一個(gè)受到關(guān)注的研究課題。在這一章里，我們將首先討論與工業(yè)機(jī)器人速度和靜力學(xué)有關(guān)的雅可比矩陣，然后介紹工業(yè)機(jī)器人的靜力學(xué)問(wèn)題和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的困難工業(yè)機(jī)器人是一個(gè)非線性的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。63.2工業(yè)機(jī)器人速度雅可比與速度分析3.2.1工業(yè)機(jī)器人速度雅可比數(shù)學(xué)上雅可比矩陣(Jacobianmatrix)是一個(gè)多元函數(shù)的偏導(dǎo)矩陣。假設(shè)有六個(gè)函數(shù)，每個(gè)函數(shù)有六個(gè)變量，即：第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.2工業(yè)機(jī)器人速度雅可比與速度分析3.2.1工業(yè)機(jī)器7可寫(xiě)成：Y＝F(X)將其微分，得：(3-1)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]可寫(xiě)成：(3-1)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]8也可簡(jiǎn)寫(xiě)成：(3-2)(3-3)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]也可簡(jiǎn)寫(xiě)成：(3-2)(3-3)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及9式(3-3)中的(6×6)矩陣叫做雅可比矩陣。在工業(yè)機(jī)器人速度分析和以后的靜力學(xué)分析中都將遇到類(lèi)似的矩陣，我們稱(chēng)之為工業(yè)機(jī)器人雅可比矩陣，或簡(jiǎn)稱(chēng)雅可比。一般用符號(hào)J表示。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]式(3-3)中的(6×6)矩陣叫做雅可比矩陣。在工業(yè)機(jī)器人10圖3-1為二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人（2R工業(yè)機(jī)器人），其端點(diǎn)位置x，y與關(guān)節(jié)變量1、2的關(guān)系為：X0Y0O0l1l221(x，y)T端點(diǎn)圖3-1二自由度平面關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]圖3-1為二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人（2R工業(yè)機(jī)器人），11將其微分，得：(3-4)即：(3-5)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]將其微分，得：(3-4)即：(3-5)第3章工業(yè)機(jī)器12將其寫(xiě)成矩陣形式為：令：(3-6)(3-7)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]將其寫(xiě)成矩陣形式為：令：(3-6)(3-7)第3章工業(yè)13式(3-6)可簡(jiǎn)寫(xiě)為：dX＝Jd (3-8)式中：我們將J稱(chēng)為圖3-1所示二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人的速度雅可比，它反映了關(guān)節(jié)空間微小運(yùn)動(dòng)d與手部作業(yè)空間微小位移dX之間的關(guān)系。注意：dX此時(shí)表示微小線位移。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]式(3-6)可簡(jiǎn)寫(xiě)為：式中：我們將J稱(chēng)為圖3-1所示二自由度14若對(duì)式(3-7)進(jìn)行運(yùn)算，則2R工業(yè)機(jī)器人的雅可比寫(xiě)為：(3-9)從J中元素的組成可見(jiàn)，J陣的值是1及2的函數(shù)。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]若對(duì)式(3-7)進(jìn)行運(yùn)算，則2R工業(yè)機(jī)器人的雅可比寫(xiě)為：(15廣義關(guān)節(jié)變量q＝[q1

q2…qn]T轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)：qi＝i，移動(dòng)關(guān)節(jié)：qi＝di

dq＝[dq1dq2…dqn]T反映了關(guān)節(jié)空間的微小運(yùn)動(dòng)。手部在操作空間的運(yùn)動(dòng)參數(shù)用X表示，它是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，即X＝X(q)，并且是一個(gè)6維列矢量。dX＝[dxdydz

x

y

z]TdX反映了操作空間的微小運(yùn)動(dòng)，它由工業(yè)機(jī)器人手部微小線位移和微小角位移(微小轉(zhuǎn)動(dòng))組成。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]廣義關(guān)節(jié)變量q＝[q1q2…qn]T第3章工業(yè)機(jī)器人靜16參照(3-8)式可寫(xiě)出類(lèi)似的方程式，即：dX＝J(q)dq (3-10)式中J(q)是6×n的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱(chēng)為n自由度工業(yè)機(jī)器人速度雅可比矩陣。它反映了關(guān)節(jié)空間微小運(yùn)動(dòng)dq與手部作業(yè)空間微小運(yùn)動(dòng)dX之間的關(guān)系。它的第i行第j列元素為：(3-11)i＝1，2，…，6；j＝1，2，…，n

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]參照(3-8)式可寫(xiě)出類(lèi)似的方程式，即：(3-11)i＝1173.2.2工業(yè)機(jī)器人速度分析對(duì)式(3-10)左、右兩邊各除以dt，得：(3-12)即：(3-13)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.2.2工業(yè)機(jī)器人速度分析對(duì)式(3-10)左、右兩邊各18式(3-13)中：V——工業(yè)機(jī)器人手部在操作空間中的廣義速度，V=；——工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度；J(q)——確定關(guān)節(jié)空間速度與操作空間速度V之間關(guān)系的雅可比矩陣。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]式(3-13)中：第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]19圖3-1所示二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人手部的速度為：假如1及2是時(shí)間的函數(shù)，1=f1(t)，2=f2(t)，則可由此式求出手部的瞬時(shí)速度V＝f(t)。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]圖3-1所示二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人手部的速度為：假如20對(duì)于圖3-1所示2R工業(yè)機(jī)器人，若令J1、J2分別為式(3-9)所示雅可比的第一列矢量和第二列矢量，則式(3-13)可寫(xiě)成：式中右邊第一項(xiàng)表示僅由第一個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度；右邊第二項(xiàng)表示僅由第二個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度；總的端點(diǎn)速度為這兩個(gè)速度矢量的合成。工業(yè)機(jī)器人速度雅可比的每一列表示其它關(guān)節(jié)不動(dòng)而某一關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的端點(diǎn)速度。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]對(duì)于圖3-1所示2R工業(yè)機(jī)器人，若令J1、J2分別為式(321反之，假如給定工業(yè)機(jī)器人手部速度，可由式(3-13)解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度，即：(3-14)式中：J-1稱(chēng)為工業(yè)機(jī)器人逆速度雅可比。式(3-14)是一個(gè)很重要的關(guān)系式。例如，d當(dāng)希望工業(yè)機(jī)器人手部在空間按規(guī)定的速度進(jìn)行作業(yè)，那么用式(3-14)可以計(jì)算出沿路徑上每一瞬時(shí)相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]反之，假如給定工業(yè)機(jī)器人手部速度，可由式(3-13)解出相22一般來(lái)說(shuō)，求J-1是比較困難的，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)奇異解，就無(wú)法解算關(guān)節(jié)速度。通常J-1出現(xiàn)奇異解的情況有下面兩種：1)工作域邊界上奇異。當(dāng)臂全部伸展開(kāi)或全部折回而使手部處于工作域的邊界上或邊界附近時(shí)，出現(xiàn)J-1奇異，這時(shí)工業(yè)機(jī)器人相應(yīng)的形位叫做奇異形位。2)工作域內(nèi)部奇異。奇異也可以是由兩個(gè)或更多個(gè)關(guān)節(jié)軸線重合所引起的。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]一般來(lái)說(shuō)，求J-1是比較困難的，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)奇異解，就無(wú)法解23當(dāng)工業(yè)機(jī)器人處在奇異形位時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生退化現(xiàn)象，喪失一個(gè)或更多自由度。這意味著在空間某個(gè)方向(或子域)上，不管工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)速度怎樣選擇手部也不可能實(shí)現(xiàn)移動(dòng)。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]當(dāng)工業(yè)機(jī)器人處在奇異形位時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生退化現(xiàn)象，喪失一個(gè)或更24[例3-1]如圖3-2所示二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)械手。手部某瞬時(shí)沿固定坐標(biāo)系X0軸正向以1.0m/s速度移動(dòng)，桿長(zhǎng)為l1＝l2＝0.5m。假設(shè)該瞬時(shí)1＝30，1＝-60。求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。

1X0Y0O0l1l2圖3-2二自由度機(jī)械手手爪沿X0方向運(yùn)動(dòng)2V2X2Y2O2第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-1]如圖3-2所示二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)械手。手部某25[例3-1]解由式(3-9)知，二自由度機(jī)械手的速度雅可比為：因此，逆速度雅可比為：(3-15)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-1]解由式(3-9)知，二自由度機(jī)械手的速度26[例3-1]解（續(xù)）已知端點(diǎn)速度為：因此，由式(3-14)可得：因此可得：第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-1]解（續(xù)）已知端點(diǎn)速度為：因此，由式(3-27[例3-1]解（續(xù)）第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-1]解（續(xù)）第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分28[例3-1]奇異討論從式(3-15)知，當(dāng)l1l2s2＝0時(shí)無(wú)解。因?yàn)閘10，l20，所以，在2＝0或2＝180時(shí)，二自由度工業(yè)機(jī)器人逆速度雅可比J-1奇異。這時(shí)，該工業(yè)機(jī)器人二臂完全伸直，或完全折回，即兩桿重合，工業(yè)機(jī)器人處于奇異形位。在這種奇異形位下，手部正好處在工作域的邊界上，該瞬時(shí)手部只能沿著一個(gè)方向(即與臂垂直的方向)運(yùn)動(dòng)，不能沿其它方向運(yùn)動(dòng)，退化了一個(gè)自由度。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-1]奇異討論從式(3-15)知，當(dāng)l1l2s29六自由度機(jī)器人速度雅可比J在三維空間中作業(yè)的六自由度工業(yè)機(jī)器人，其速度雅可比J是一個(gè)6×6矩陣，和V分別是6×1列陣，即：V(61)＝J(q)(66)(61)手部速度矢量V是由3×1線速度矢量和3×1角速度矢量組合而成的6維列矢量。關(guān)節(jié)速度矢量是由6個(gè)關(guān)節(jié)速度組合而成的6維列矢量。雅可比矩陣J的前三行代表手部線速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比；后三行代表手部角速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比。而雅可比矩陣J的第i列則代表第i個(gè)關(guān)節(jié)速度對(duì)手部線速度和角速度的傳遞比。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]六自由度機(jī)器人速度雅可比J在三維空間中作業(yè)的六自由度工業(yè)機(jī)器303.3工業(yè)機(jī)器人力雅可比與靜力學(xué)分析工業(yè)機(jī)器人在作業(yè)過(guò)程中，當(dāng)手部（或末端操作器）與環(huán)境接觸時(shí)，會(huì)引起各個(gè)關(guān)節(jié)產(chǎn)生相應(yīng)的作用力。工業(yè)機(jī)器人各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)裝置提供關(guān)節(jié)力矩，通過(guò)連桿傳遞到手部，克服外界作用力。本節(jié)討論操作臂在靜止?fàn)顟B(tài)下力的平衡關(guān)系。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3工業(yè)機(jī)器人力雅可比與靜力學(xué)分析工業(yè)機(jī)器人在作業(yè)過(guò)程31我們假定各關(guān)節(jié)“鎖住”，工業(yè)機(jī)器人成為一個(gè)結(jié)構(gòu)體。關(guān)節(jié)的“鎖定用”力與手部所支持的載荷或受到外界環(huán)境作用的力取得靜力學(xué)平衡。求解這種“鎖定用”的關(guān)節(jié)力矩，或求解在已知驅(qū)動(dòng)力作用下手部的輸出力就是對(duì)工業(yè)機(jī)器人操作臂進(jìn)行靜力學(xué)分析。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]我們假定各關(guān)節(jié)“鎖住”，工業(yè)機(jī)器人成為一個(gè)結(jié)構(gòu)體。關(guān)節(jié)的“鎖323.3.1操作臂中的靜力學(xué)這里以操作臂中單個(gè)桿件為例分析受力情況。如圖3-3所示，桿件i通過(guò)關(guān)節(jié)i和i+1分別與桿件i-1和桿件i+1相連接，兩個(gè)坐標(biāo)系{i-1}和{i}分別如圖所示。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.1操作臂中的靜力學(xué)這里以操作臂中單個(gè)桿件為例分析33關(guān)節(jié)iO0Y0X0Z0i驅(qū)動(dòng)器imig桿i-1Oi-1ni-1，iZi-1fi-1，i桿i桿i+1ri+ciri-1，i關(guān)節(jié)i+1-ni，i+1-fi，i+1ZiOiCi圖3-3桿i上的力和力矩第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]關(guān)節(jié)iO0Y0X0Z0i驅(qū)動(dòng)器imig桿i-1Oi-1ni34圖3-3中力和力矩fi-1，i及ni-1，i——i-1桿通過(guò)關(guān)節(jié)i作用在i桿上的力和力矩；fi，i+1及ni，i+1——i桿通過(guò)關(guān)節(jié)i+1作用在i+1桿上的力和力矩；-fi，i+1及-ni，i+1——i+1桿通過(guò)關(guān)節(jié)i+1作用在i桿上的反作用力和反作用力矩；fn，n+1及nn，n+1——工業(yè)機(jī)器人最末桿對(duì)外界環(huán)境的作用力和力矩；-fn，n+1及-nn，n+1——外界環(huán)境對(duì)工業(yè)機(jī)器人最末桿的作用力和力矩；f0，1及n0，1——工業(yè)機(jī)器人底座對(duì)桿1的作用力和力矩；mig——連桿i的重量，作用在質(zhì)心Ci上。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]圖3-3中力和力矩fi-1，i及ni-1，i——i-1桿通35連桿i的靜力學(xué)平衡條件連桿i的力和力矩平衡方程式為：fi-1，i+(-fi，i+1)+mig＝0 (3-16)ni-1，i+(-ni，i+1)+(ri-1，i+

ri，ci)×fi-1，i

+(ri，ci)×(-fi，i+1)＝0 (3-17)式中：ri-1，i——坐標(biāo)系{i}的原點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系{i-1}的位置矢量；ri，ci——質(zhì)心相對(duì)于坐標(biāo)系{i}的位置矢量。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]連桿i的靜力學(xué)平衡條件連桿i的力和力矩平衡方程式為：第3章363.3.1操作臂中的靜力學(xué)(續(xù))假如已知外界環(huán)境對(duì)工業(yè)機(jī)器人最末桿的作用力和力矩，那么可以由最后一個(gè)連桿向第零號(hào)連桿(機(jī)座)依次遞推，從而計(jì)算出每個(gè)連桿上的受力情況。為了便于表示工業(yè)機(jī)器人手部端點(diǎn)的力和力矩(簡(jiǎn)稱(chēng)為端點(diǎn)力F)，可將fn，n+1和nn，n+1合并寫(xiě)成一個(gè)6維矢量：(3-18)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.1操作臂中的靜力學(xué)(續(xù))假如已知外界環(huán)境對(duì)工業(yè)機(jī)器373.3.1操作臂中的靜力學(xué)(續(xù))各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)力或力矩可寫(xiě)成一個(gè)n維矢量的形式，即：(3-19)式中：n——關(guān)節(jié)的個(gè)數(shù)；——關(guān)節(jié)力矩(或關(guān)節(jié)力)矢量，簡(jiǎn)稱(chēng)廣義關(guān)節(jié)力矩。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.1操作臂中的靜力學(xué)(續(xù))各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)力或力矩383.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比假定關(guān)節(jié)無(wú)摩擦，并忽略各桿件的重力，則廣義關(guān)節(jié)力矩與工業(yè)機(jī)器人手部端點(diǎn)力F的關(guān)系可用下式描述：＝J

TF (3-20)式中：J

T為n×6階工業(yè)機(jī)器人力雅可比矩陣或力雅可比。上式可用下述虛功原理證明如下：第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比假定關(guān)節(jié)無(wú)摩擦，并忽略各桿件393.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))考慮各個(gè)關(guān)節(jié)的虛位移為qi，手部的虛位移為X，如圖3-4所示。圖3-4手部及各關(guān)節(jié)的虛位移X0Y0O0iqi-nn，n+1-fn，n+1d第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))考慮各個(gè)關(guān)節(jié)的虛位移為403.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))式中，d＝[dx

dy

dz]T和＝[xyz]T分別對(duì)應(yīng)于手部的線虛位移和角虛位移（作業(yè)空間）；q為由各關(guān)節(jié)虛位移qi組成的工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)虛位移矢量（關(guān)節(jié)空間）。及q＝[q1，q2…qn]T(3-21)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))式中，d＝[d413.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))

假設(shè)發(fā)生上述虛位移時(shí)，各關(guān)節(jié)力矩為i(i＝1，2，…，n)，環(huán)境作用在工業(yè)機(jī)器人手部端點(diǎn)上的力和力矩分別為-fn，n+1和-nn，n+1。由上述力和力矩所做的虛功可以由下式求出：W＝1q1+2q2+…+nqn

-fn，n+1d

-nn，n+1或?qū)懗桑篧＝Tq-F

TX (3-22)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))假設(shè)發(fā)生上述虛位423.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))

根據(jù)虛位移原理，工業(yè)機(jī)器人處于平衡狀態(tài)的充分必要條件是對(duì)任意符合幾何約束的虛位移，有：W＝0注意到虛位移q和X并不是獨(dú)立的，是符合桿件的幾何約束條件的。利用式(3-10)，dX＝Jdq，將式(3-22)改寫(xiě)成：W＝Tq-F

TJq＝(-JTF)Tq (3-23)式中的q表示幾何上允許位移的關(guān)節(jié)獨(dú)立變量，對(duì)于任意的q，欲使W＝0，必有：＝JTF證畢。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))根據(jù)虛位移原理，433.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))

式(3-23)表示在靜力平衡狀態(tài)下，手部端點(diǎn)力F向廣義關(guān)節(jié)力矩映射的線性關(guān)系。式中JT與手部端點(diǎn)力F和廣義關(guān)節(jié)力矩之間的力傳遞有關(guān)，故叫作工業(yè)機(jī)器人力雅可比。很明顯，力雅可比JT正好是工業(yè)機(jī)器人速度雅可比J的轉(zhuǎn)置。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))式(3-23)443.3.3工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)的

兩類(lèi)問(wèn)題從操作臂手部端點(diǎn)力F與廣義關(guān)節(jié)力矩之間的關(guān)系式＝JTF可知，操作臂靜力學(xué)可分為兩類(lèi)問(wèn)題：(1)已知外界環(huán)境對(duì)工業(yè)機(jī)器人手部作用力F(即手部端點(diǎn)力F＝-F)，求相應(yīng)的滿(mǎn)足靜力學(xué)平衡條件的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩。(2)已知關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩，確定工業(yè)機(jī)器人手部對(duì)外界環(huán)境的作用力F或負(fù)荷的質(zhì)量。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.3工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)的

兩類(lèi)問(wèn)題從操作臂手部端點(diǎn)力453.3.3靜力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題(續(xù))第二類(lèi)問(wèn)題是第一類(lèi)問(wèn)題的逆解。這時(shí)F＝(JT)-1但是，由于工業(yè)機(jī)器人的自由度可能不是6，比如n＞6，力雅可比矩陣就有可能不是一個(gè)方陣，則JT就沒(méi)有逆解。所以，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的求解就困難得多，在一般情況下不一定能得到唯一的解。如果F的維數(shù)比的維數(shù)低，且J是滿(mǎn)秩的話(huà)，則可利用最小二乘法求得F的估值。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.3靜力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題(續(xù))第二類(lèi)問(wèn)題是第一類(lèi)問(wèn)題的46[例3-2]圖3-5所示的一個(gè)二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)械手，已知手部端點(diǎn)力F＝[Fx，F(xiàn)y]T，求相應(yīng)于端點(diǎn)力F的關(guān)節(jié)力矩(不考慮摩擦)。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-2]圖3-5所示的一個(gè)二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)械手，已47[例3-2](續(xù))Y01FFxFy1=0X02=90l1l22(b)圖3-5手部端點(diǎn)力F與關(guān)節(jié)力矩X011l122l2F=[Fx，F(xiàn)y]T(a)Y0第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-2](續(xù))Y01FFxFy1=0X02=9048[例3-2](解)(續(xù))已知該機(jī)械手的速度雅可比為：則該機(jī)械手的力雅可比為：第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-2](解)(續(xù))已知該機(jī)械手的速度雅可比為：49[例3-2](解)(續(xù))根據(jù)＝JTF，得：所以：1=-[l1sin1+l2sin(1+2)]Fx+[l1cos1+l2cos(1+2)]Fy2=-l2sin(1+2)Fx+l2cos(1+2)Fy第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-2](解)(續(xù))根據(jù)＝JTF，得：所以：第50[例3-2](解)(續(xù))若如圖3-5(b)所示，在某瞬時(shí)1＝0，2＝90，則在該瞬時(shí)與手部端點(diǎn)力相對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩為：1=-l2Fx+l1Fy2=-l2Fx第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-2](解)(續(xù))若如圖3-5(b)所示，在某51工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究的是各桿件的運(yùn)動(dòng)和作用力之間的關(guān)系。工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析是工業(yè)機(jī)器人設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)仿真和動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)控制的基礎(chǔ)。在本章開(kāi)頭說(shuō)過(guò)，工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有兩類(lèi)：動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題——已知關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩，求工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（包括關(guān)節(jié)位移、速度和加速度）。動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題——已知運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)上的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出所需要的關(guān)節(jié)力矩。3.4工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究的是各桿件的運(yùn)動(dòng)和作用力之間的關(guān)系。工業(yè)52工業(yè)機(jī)器人是由多個(gè)連桿和多個(gè)關(guān)節(jié)組成的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，具有多個(gè)輸入和多個(gè)輸出。存在著錯(cuò)綜復(fù)雜的耦合關(guān)系和嚴(yán)重的非線性。因此，對(duì)于工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的研究，引起了十分廣泛的重視，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛頓—?dú)W拉方法(Newton-Euler)方法、高斯(Gauss)方法、凱恩(Kane)方法；旋量對(duì)偶數(shù)方法、羅伯遜—魏登堡(Roberson-WitTenburg)方法等。3.4工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析(續(xù))第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]工業(yè)機(jī)器人是由多個(gè)連桿和多個(gè)關(guān)節(jié)組成的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，具53拉格朗日方法不僅能以最簡(jiǎn)單的形式求得非常復(fù)雜的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，而且具有顯式結(jié)構(gòu)，物理意義比較明確，對(duì)理解工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)比較方便。因此，本節(jié)只介紹拉格朗日方法，而且用簡(jiǎn)單實(shí)例進(jìn)行分析。工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解比較困難，而且需要較長(zhǎng)的運(yùn)算時(shí)間。因此，簡(jiǎn)化求解的過(guò)程，最大限度地減少工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)在線計(jì)算的時(shí)間是一個(gè)受到關(guān)注的研究課題。3.4工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析(續(xù))第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]拉格朗日方法不僅能以最簡(jiǎn)單的形式求得非常復(fù)雜的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程54

1)拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)L的定義是一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)能Ek和勢(shì)能Eq之差，即：L＝Ek-Eq (3-24)令qi(i＝1，2，…，n)是使系統(tǒng)具有完全確定位置的廣義關(guān)節(jié)變量，是相應(yīng)的廣義關(guān)節(jié)速度。由于系統(tǒng)動(dòng)能Ek是qi和的函數(shù)，系統(tǒng)勢(shì)能Eq是qi的函數(shù)，因此拉格朗日函數(shù)也是qi和的函數(shù)。3.4.1拉格朗日方程第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]1)拉格朗日函數(shù)3.4.1拉格朗日方程第3章工業(yè)機(jī)器人55

2)拉格朗日方程

系統(tǒng)的拉格朗日方程為：3.4.1拉格朗日方程(續(xù))i＝1，2，…，n(3-25)式中，F(xiàn)i稱(chēng)為關(guān)節(jié)i的廣義驅(qū)動(dòng)力。如果是移動(dòng)關(guān)節(jié)，則Fi為驅(qū)動(dòng)力；如果是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，則Fi為驅(qū)動(dòng)力矩第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]2)拉格朗日方程3.4.1拉格朗日方程(563)用拉格朗日法建立工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的步驟：(1)選取坐標(biāo)系，選定完全而且獨(dú)立的廣義關(guān)節(jié)變量qi(i＝1，2，…，n)(2)選定相應(yīng)的關(guān)節(jié)上的廣義力Fi：當(dāng)qi是位移變量時(shí)，則Fi為力；當(dāng)qi是角度變量時(shí)，則Fi為力矩。(3)求出工業(yè)機(jī)器人各構(gòu)件的動(dòng)能和勢(shì)能，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。(4)代入拉格朗日方程求得工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程3.4.1拉格朗日方程(續(xù))第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3)用拉格朗日法建立工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的步驟：3.4.1571)廣義關(guān)節(jié)變量及廣義力的選定如圖3-6所示，選取笛卡爾坐標(biāo)系。連桿l和連桿2的關(guān)節(jié)變量分別為轉(zhuǎn)角1和2，相應(yīng)的關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的力矩是1和2。連桿1和連桿2的質(zhì)量分別是ml和m2，桿長(zhǎng)分別為ll和l2，質(zhì)心分別在kl和k2處，離關(guān)節(jié)中心的距離分別為pl和p2。3.4.2二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]1)廣義關(guān)節(jié)變量及廣義力的選定3.4.2二自由度平面關(guān)節(jié)58圖3-6二自由度工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的建立l1k1m2k2m121p2l2p1X0Y03.4.2(續(xù))

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]圖3-6二自由度工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的建立l1k1m2k2593.4.2(續(xù))

桿1質(zhì)心kl的位置坐標(biāo)為： x1＝p1sin1 y1＝-p1cos1桿1質(zhì)心kl的速度平方為：第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.4.2(續(xù))桿1質(zhì)心kl的位置坐標(biāo)為：603.4.2(續(xù))

桿2質(zhì)心k2的位置坐標(biāo)為： x2＝llsinl+p2sin(l+2) y2＝-llcosl-p2cos(l+2)桿2質(zhì)心k2的速度平方為：第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.4.2(續(xù))桿2質(zhì)心k2的位置坐標(biāo)為：612)系統(tǒng)動(dòng)能第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]2)系統(tǒng)動(dòng)能第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]623)系統(tǒng)勢(shì)能第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3)系統(tǒng)勢(shì)能第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]634)拉格朗日函數(shù)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]4)拉格朗日函數(shù)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]645)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)拉格朗日方程

i＝1，2，…，n

可計(jì)算各關(guān)節(jié)上的力矩，得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]5)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)拉格朗日方程i＝1，2，…，n可65計(jì)算關(guān)節(jié)1上的力矩1：因?yàn)?/p>

所以

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]計(jì)算關(guān)節(jié)1上的力矩1：因?yàn)樗缘?章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力66計(jì)算關(guān)節(jié)1上的力矩1：(續(xù))

上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為：

由此可得

(3-26)(3-27)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]計(jì)算關(guān)節(jié)1上的力矩1：(續(xù))上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為：由此可得67計(jì)算關(guān)節(jié)2上的力矩2：因?yàn)?/p>

所以

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]計(jì)算關(guān)節(jié)2上的力矩2：因?yàn)樗缘?章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力68計(jì)算關(guān)節(jié)2上的力矩2：(續(xù))

上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為：

由此可得

(3-28)(3-29)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]計(jì)算關(guān)節(jié)2上的力矩2：(續(xù))上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為：由此可得(693.4.2(續(xù))

式(3-26)、(3-27)及式(3-28)、(3-29)分別表示了關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩與關(guān)節(jié)位移、速度、加速度之間的關(guān)系，即力和運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，稱(chēng)為圖3-6所示二自由度工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程。對(duì)其進(jìn)行分析可知：第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.4.2(續(xù))式(3-26)、(3-2703.4.2(續(xù))

(1)含有或的項(xiàng)表示由于加速度引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)，其中：含有D11和D22的項(xiàng)分別表示由于關(guān)節(jié)1加速度和關(guān)節(jié)2加速度引起的慣性力矩項(xiàng)；含有D12的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)2的加速度對(duì)關(guān)節(jié)1的耦合慣性力矩項(xiàng)；含有D21的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)1的加速度對(duì)關(guān)節(jié)2的耦合慣性力矩項(xiàng)。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.4.2(續(xù))(1)含有或713.4.2(續(xù))

(2)含有和的項(xiàng)表示由于向心力引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)，其中：含有D122的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)2速度引起的向心力對(duì)關(guān)節(jié)1的耦合力矩項(xiàng)；含有D211的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)1速度引起的向心力對(duì)關(guān)節(jié)2的耦合力矩項(xiàng)。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.4.2(續(xù))(2)含有723.4.2(續(xù))

(3)含有的項(xiàng)表示由于哥氏力引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)，其中：含有D112的項(xiàng)表示哥氏力對(duì)關(guān)節(jié)1的耦合力矩項(xiàng)；含有D212的項(xiàng)表示哥氏力對(duì)關(guān)節(jié)2的耦合力矩項(xiàng)。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.4.2(續(xù))(3)含有733.4.2(續(xù))

(4)只含關(guān)節(jié)變量1、2的項(xiàng)表示重力引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)。其中：含有D1的項(xiàng)表示連桿1、連桿2的質(zhì)量對(duì)關(guān)節(jié)1引起的重力矩項(xiàng)；含有D2的項(xiàng)表示連桿2的質(zhì)量對(duì)關(guān)節(jié)2引起的重力矩項(xiàng)。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.4.2(續(xù))(4)只含關(guān)節(jié)變743.4.2(續(xù))

從上面推導(dǎo)可以看出，很簡(jiǎn)單的二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人其動(dòng)力學(xué)方程已經(jīng)很復(fù)雜了，包含很多因素，這些因素都在影響工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)特性。對(duì)于復(fù)雜一些的多自由度工業(yè)機(jī)器人，動(dòng)力學(xué)方程更龐雜了，推導(dǎo)過(guò)程也更為復(fù)雜。不僅如此，對(duì)工業(yè)機(jī)器人實(shí)時(shí)控制也帶來(lái)不小的麻煩。通常，有一些簡(jiǎn)化問(wèn)題的方法：第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.4.2(續(xù))從上面推導(dǎo)可以看753.4.2(續(xù))

(1)當(dāng)桿件質(zhì)量不很大，重量很輕時(shí)，動(dòng)力學(xué)方程中的重力矩項(xiàng)可以省略；(2)當(dāng)關(guān)節(jié)速度不很大，工業(yè)機(jī)器人不是高速工業(yè)機(jī)器人時(shí)，含有、、等項(xiàng)可以省略；(3)當(dāng)關(guān)節(jié)加速度不很大，也就是關(guān)節(jié)電機(jī)的升降速不是很突然時(shí)，那么含、的項(xiàng)有可能給予省略。當(dāng)然，關(guān)節(jié)加速度的減少，會(huì)引起速度升降的時(shí)間增加，延長(zhǎng)了工業(yè)機(jī)器人作業(yè)循環(huán)的時(shí)間。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.4.2(續(xù))(1)當(dāng)桿件質(zhì)量76

1)關(guān)節(jié)空間和操作空間

n個(gè)自由度操作臂的手部位姿X由n個(gè)關(guān)節(jié)變量所決定，這n個(gè)關(guān)節(jié)變量也叫做n維關(guān)節(jié)矢量q，所有關(guān)節(jié)矢量q構(gòu)成了關(guān)節(jié)空間。而手部的作業(yè)是在直角坐標(biāo)空間中進(jìn)行的，即操作臂手部位姿又是在直角坐標(biāo)空間中描述的，因此把這個(gè)空間叫做操作空間。運(yùn)動(dòng)學(xué)方程X＝X(q)就是關(guān)節(jié)空間向操作空間的映射；而運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解則是由映射求其在關(guān)節(jié)空間中的原像。在關(guān)節(jié)空間和操作空間中操作臂動(dòng)力學(xué)方程有不同的表示形式，并且兩者之間存在著一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。3.4.3關(guān)節(jié)空間和操作空間動(dòng)力學(xué)

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]1)關(guān)節(jié)空間和操作空間3.4.3關(guān)節(jié)空間和操作空間77

2)關(guān)節(jié)空間動(dòng)力學(xué)方程將式(3-26)、(3-27)及式(3-28)、(3-29)寫(xiě)成矩陣形式，則：3.4.3(續(xù))(3-30)式中：；；；第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]2)關(guān)節(jié)空間動(dòng)力學(xué)方程3.4.3(78所以3.4.3(續(xù))(3-31)(3-32)(3-33)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]所以3.4.3(續(xù))(3-31)(3-379式(3-30)就是操作臂在關(guān)節(jié)空間中的動(dòng)力學(xué)方程的一般結(jié)構(gòu)形式，它反映了關(guān)節(jié)力矩與關(guān)節(jié)變量、速度、加速度之間的函數(shù)關(guān)系。對(duì)于n個(gè)關(guān)節(jié)的操作臂，D(q)是n×n的正定對(duì)稱(chēng)矩陣，是q的函數(shù)，稱(chēng)為操作臂的慣性矩陣；H(q，)是n×1的離心力和哥氏力矢量；G(q)是n×1的重力矢量，與操作臂的形位n有關(guān)。3.4.3(續(xù))第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]式(3-30)就是操作臂在關(guān)節(jié)空間中的動(dòng)力學(xué)方程的一般結(jié)構(gòu)形80

3)操作空間動(dòng)力學(xué)方程與關(guān)節(jié)空間動(dòng)力學(xué)方程相對(duì)應(yīng)，在笛卡爾操作空間中，可以用直角坐標(biāo)變量即手部位姿的矢量X來(lái)表示工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程。因此，操作力量與手部加速度之間的關(guān)系可表示為：3.4.3(續(xù))(3-34)式中，Mx(q)、Ux(q，)和Gx(q)分別為操作空間中的慣性矩陣、離心力和哥氏力矢量、重力矢量，它們都是在操作空間中表示的；F是廣義操作力矢量。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3)操作空間動(dòng)力學(xué)方程3.4.381演講完畢，謝謝聽(tīng)講!再見(jiàn)，seeyouagain3rew2022/12/19第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]演講完畢，謝謝聽(tīng)講!再見(jiàn)，seeyouagain3rew82第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析2022/12/19第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析2022/12/18第3章83后面所說(shuō)的力或力矩都是“廣義的”。工業(yè)機(jī)器人作業(yè)時(shí)，外界對(duì)手部的作用力將導(dǎo)致各關(guān)節(jié)產(chǎn)生相應(yīng)的作用力。假定工業(yè)機(jī)器人各關(guān)節(jié)“鎖住”，關(guān)節(jié)的“鎖定用”力與外界環(huán)境施加給手部的作用力取得靜力學(xué)平衡。工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)就是分析手部上的作用力與各關(guān)節(jié)“鎖定用”力之間的平衡關(guān)系，從而根據(jù)外界環(huán)境在手部上的作用力求出各關(guān)節(jié)的“鎖定用”力，或者根據(jù)已知的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力求解出手部的輸出力。

工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)的任務(wù)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]后面所說(shuō)的力或力矩都是“廣義的”。工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)的任務(wù)第84工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的任務(wù)工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有兩類(lèi)：(1)動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題：已知關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力，求工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，包括關(guān)節(jié)位移、速度和加速度。(2)動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)上的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的任務(wù)工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有兩類(lèi)：第3章85研究工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的目的動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題對(duì)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)仿真是非常有用的。動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題對(duì)實(shí)現(xiàn)工業(yè)機(jī)器人實(shí)時(shí)控制是相當(dāng)有用的。利用動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制，以期達(dá)到良好的動(dòng)態(tài)性能和最優(yōu)指標(biāo)。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]研究工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的目的動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題對(duì)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)仿真是86工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的用途主要用于工業(yè)機(jī)器人的設(shè)計(jì)和離線編程。在設(shè)計(jì)中需根據(jù)連桿質(zhì)量、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)特征和負(fù)載大小進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，對(duì)其性能進(jìn)行分析，從而決定工業(yè)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)和傳動(dòng)方案，驗(yàn)算設(shè)計(jì)方案的合理性和可行性。在離線編程時(shí)，為了估計(jì)工業(yè)機(jī)器人高速運(yùn)動(dòng)引起的動(dòng)載荷和路徑偏差，要進(jìn)行路徑控制仿真和動(dòng)態(tài)模型的仿真。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的用途主要用于工業(yè)機(jī)器人的設(shè)計(jì)和離線編程87動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的困難工業(yè)機(jī)器人是一個(gè)非線性的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解比較困難，而且需要較長(zhǎng)的運(yùn)算時(shí)間。因此，簡(jiǎn)化求解過(guò)程，最大限度地減少工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)在線計(jì)算的時(shí)間是一個(gè)受到關(guān)注的研究課題。在這一章里，我們將首先討論與工業(yè)機(jī)器人速度和靜力學(xué)有關(guān)的雅可比矩陣，然后介紹工業(yè)機(jī)器人的靜力學(xué)問(wèn)題和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的困難工業(yè)機(jī)器人是一個(gè)非線性的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。883.2工業(yè)機(jī)器人速度雅可比與速度分析3.2.1工業(yè)機(jī)器人速度雅可比數(shù)學(xué)上雅可比矩陣(Jacobianmatrix)是一個(gè)多元函數(shù)的偏導(dǎo)矩陣。假設(shè)有六個(gè)函數(shù)，每個(gè)函數(shù)有六個(gè)變量，即：第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.2工業(yè)機(jī)器人速度雅可比與速度分析3.2.1工業(yè)機(jī)器89可寫(xiě)成：Y＝F(X)將其微分，得：(3-1)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]可寫(xiě)成：(3-1)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]90也可簡(jiǎn)寫(xiě)成：(3-2)(3-3)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]也可簡(jiǎn)寫(xiě)成：(3-2)(3-3)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及91式(3-3)中的(6×6)矩陣叫做雅可比矩陣。在工業(yè)機(jī)器人速度分析和以后的靜力學(xué)分析中都將遇到類(lèi)似的矩陣，我們稱(chēng)之為工業(yè)機(jī)器人雅可比矩陣，或簡(jiǎn)稱(chēng)雅可比。一般用符號(hào)J表示。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]式(3-3)中的(6×6)矩陣叫做雅可比矩陣。在工業(yè)機(jī)器人92圖3-1為二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人（2R工業(yè)機(jī)器人），其端點(diǎn)位置x，y與關(guān)節(jié)變量1、2的關(guān)系為：X0Y0O0l1l221(x，y)T端點(diǎn)圖3-1二自由度平面關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]圖3-1為二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人（2R工業(yè)機(jī)器人），93將其微分，得：(3-4)即：(3-5)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]將其微分，得：(3-4)即：(3-5)第3章工業(yè)機(jī)器94將其寫(xiě)成矩陣形式為：令：(3-6)(3-7)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]將其寫(xiě)成矩陣形式為：令：(3-6)(3-7)第3章工業(yè)95式(3-6)可簡(jiǎn)寫(xiě)為：dX＝Jd (3-8)式中：我們將J稱(chēng)為圖3-1所示二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人的速度雅可比，它反映了關(guān)節(jié)空間微小運(yùn)動(dòng)d與手部作業(yè)空間微小位移dX之間的關(guān)系。注意：dX此時(shí)表示微小線位移。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]式(3-6)可簡(jiǎn)寫(xiě)為：式中：我們將J稱(chēng)為圖3-1所示二自由度96若對(duì)式(3-7)進(jìn)行運(yùn)算，則2R工業(yè)機(jī)器人的雅可比寫(xiě)為：(3-9)從J中元素的組成可見(jiàn)，J陣的值是1及2的函數(shù)。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]若對(duì)式(3-7)進(jìn)行運(yùn)算，則2R工業(yè)機(jī)器人的雅可比寫(xiě)為：(97廣義關(guān)節(jié)變量q＝[q1

q2…qn]T轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)：qi＝i，移動(dòng)關(guān)節(jié)：qi＝di

dq＝[dq1dq2…dqn]T反映了關(guān)節(jié)空間的微小運(yùn)動(dòng)。手部在操作空間的運(yùn)動(dòng)參數(shù)用X表示，它是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，即X＝X(q)，并且是一個(gè)6維列矢量。dX＝[dxdydz

x

y

z]TdX反映了操作空間的微小運(yùn)動(dòng)，它由工業(yè)機(jī)器人手部微小線位移和微小角位移(微小轉(zhuǎn)動(dòng))組成。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]廣義關(guān)節(jié)變量q＝[q1q2…qn]T第3章工業(yè)機(jī)器人靜98參照(3-8)式可寫(xiě)出類(lèi)似的方程式，即：dX＝J(q)dq (3-10)式中J(q)是6×n的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱(chēng)為n自由度工業(yè)機(jī)器人速度雅可比矩陣。它反映了關(guān)節(jié)空間微小運(yùn)動(dòng)dq與手部作業(yè)空間微小運(yùn)動(dòng)dX之間的關(guān)系。它的第i行第j列元素為：(3-11)i＝1，2，…，6；j＝1，2，…，n

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]參照(3-8)式可寫(xiě)出類(lèi)似的方程式，即：(3-11)i＝1993.2.2工業(yè)機(jī)器人速度分析對(duì)式(3-10)左、右兩邊各除以dt，得：(3-12)即：(3-13)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.2.2工業(yè)機(jī)器人速度分析對(duì)式(3-10)左、右兩邊各100式(3-13)中：V——工業(yè)機(jī)器人手部在操作空間中的廣義速度，V=；——工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度；J(q)——確定關(guān)節(jié)空間速度與操作空間速度V之間關(guān)系的雅可比矩陣。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]式(3-13)中：第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]101圖3-1所示二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人手部的速度為：假如1及2是時(shí)間的函數(shù)，1=f1(t)，2=f2(t)，則可由此式求出手部的瞬時(shí)速度V＝f(t)。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]圖3-1所示二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人手部的速度為：假如102對(duì)于圖3-1所示2R工業(yè)機(jī)器人，若令J1、J2分別為式(3-9)所示雅可比的第一列矢量和第二列矢量，則式(3-13)可寫(xiě)成：式中右邊第一項(xiàng)表示僅由第一個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度；右邊第二項(xiàng)表示僅由第二個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度；總的端點(diǎn)速度為這兩個(gè)速度矢量的合成。工業(yè)機(jī)器人速度雅可比的每一列表示其它關(guān)節(jié)不動(dòng)而某一關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的端點(diǎn)速度。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]對(duì)于圖3-1所示2R工業(yè)機(jī)器人，若令J1、J2分別為式(3103反之，假如給定工業(yè)機(jī)器人手部速度，可由式(3-13)解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度，即：(3-14)式中：J-1稱(chēng)為工業(yè)機(jī)器人逆速度雅可比。式(3-14)是一個(gè)很重要的關(guān)系式。例如，d當(dāng)希望工業(yè)機(jī)器人手部在空間按規(guī)定的速度進(jìn)行作業(yè)，那么用式(3-14)可以計(jì)算出沿路徑上每一瞬時(shí)相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]反之，假如給定工業(yè)機(jī)器人手部速度，可由式(3-13)解出相104一般來(lái)說(shuō)，求J-1是比較困難的，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)奇異解，就無(wú)法解算關(guān)節(jié)速度。通常J-1出現(xiàn)奇異解的情況有下面兩種：1)工作域邊界上奇異。當(dāng)臂全部伸展開(kāi)或全部折回而使手部處于工作域的邊界上或邊界附近時(shí)，出現(xiàn)J-1奇異，這時(shí)工業(yè)機(jī)器人相應(yīng)的形位叫做奇異形位。2)工作域內(nèi)部奇異。奇異也可以是由兩個(gè)或更多個(gè)關(guān)節(jié)軸線重合所引起的。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]一般來(lái)說(shuō)，求J-1是比較困難的，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)奇異解，就無(wú)法解105當(dāng)工業(yè)機(jī)器人處在奇異形位時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生退化現(xiàn)象，喪失一個(gè)或更多自由度。這意味著在空間某個(gè)方向(或子域)上，不管工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)速度怎樣選擇手部也不可能實(shí)現(xiàn)移動(dòng)。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]當(dāng)工業(yè)機(jī)器人處在奇異形位時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生退化現(xiàn)象，喪失一個(gè)或更106[例3-1]如圖3-2所示二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)械手。手部某瞬時(shí)沿固定坐標(biāo)系X0軸正向以1.0m/s速度移動(dòng)，桿長(zhǎng)為l1＝l2＝0.5m。假設(shè)該瞬時(shí)1＝30，1＝-60。求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。

1X0Y0O0l1l2圖3-2二自由度機(jī)械手手爪沿X0方向運(yùn)動(dòng)2V2X2Y2O2第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-1]如圖3-2所示二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)械手。手部某107[例3-1]解由式(3-9)知，二自由度機(jī)械手的速度雅可比為：因此，逆速度雅可比為：(3-15)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-1]解由式(3-9)知，二自由度機(jī)械手的速度108[例3-1]解（續(xù)）已知端點(diǎn)速度為：因此，由式(3-14)可得：因此可得：第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-1]解（續(xù)）已知端點(diǎn)速度為：因此，由式(3-109[例3-1]解（續(xù)）第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-1]解（續(xù)）第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分110[例3-1]奇異討論從式(3-15)知，當(dāng)l1l2s2＝0時(shí)無(wú)解。因?yàn)閘10，l20，所以，在2＝0或2＝180時(shí)，二自由度工業(yè)機(jī)器人逆速度雅可比J-1奇異。這時(shí)，該工業(yè)機(jī)器人二臂完全伸直，或完全折回，即兩桿重合，工業(yè)機(jī)器人處于奇異形位。在這種奇異形位下，手部正好處在工作域的邊界上，該瞬時(shí)手部只能沿著一個(gè)方向(即與臂垂直的方向)運(yùn)動(dòng)，不能沿其它方向運(yùn)動(dòng)，退化了一個(gè)自由度。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-1]奇異討論從式(3-15)知，當(dāng)l1l2s111六自由度機(jī)器人速度雅可比J在三維空間中作業(yè)的六自由度工業(yè)機(jī)器人，其速度雅可比J是一個(gè)6×6矩陣，和V分別是6×1列陣，即：V(61)＝J(q)(66)(61)手部速度矢量V是由3×1線速度矢量和3×1角速度矢量組合而成的6維列矢量。關(guān)節(jié)速度矢量是由6個(gè)關(guān)節(jié)速度組合而成的6維列矢量。雅可比矩陣J的前三行代表手部線速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比；后三行代表手部角速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比。而雅可比矩陣J的第i列則代表第i個(gè)關(guān)節(jié)速度對(duì)手部線速度和角速度的傳遞比。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]六自由度機(jī)器人速度雅可比J在三維空間中作業(yè)的六自由度工業(yè)機(jī)器1123.3工業(yè)機(jī)器人力雅可比與靜力學(xué)分析工業(yè)機(jī)器人在作業(yè)過(guò)程中，當(dāng)手部（或末端操作器）與環(huán)境接觸時(shí)，會(huì)引起各個(gè)關(guān)節(jié)產(chǎn)生相應(yīng)的作用力。工業(yè)機(jī)器人各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)裝置提供關(guān)節(jié)力矩，通過(guò)連桿傳遞到手部，克服外界作用力。本節(jié)討論操作臂在靜止?fàn)顟B(tài)下力的平衡關(guān)系。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3工業(yè)機(jī)器人力雅可比與靜力學(xué)分析工業(yè)機(jī)器人在作業(yè)過(guò)程113我們假定各關(guān)節(jié)“鎖住”，工業(yè)機(jī)器人成為一個(gè)結(jié)構(gòu)體。關(guān)節(jié)的“鎖定用”力與手部所支持的載荷或受到外界環(huán)境作用的力取得靜力學(xué)平衡。求解這種“鎖定用”的關(guān)節(jié)力矩，或求解在已知驅(qū)動(dòng)力作用下手部的輸出力就是對(duì)工業(yè)機(jī)器人操作臂進(jìn)行靜力學(xué)分析。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]我們假定各關(guān)節(jié)“鎖住”，工業(yè)機(jī)器人成為一個(gè)結(jié)構(gòu)體。關(guān)節(jié)的“鎖1143.3.1操作臂中的靜力學(xué)這里以操作臂中單個(gè)桿件為例分析受力情況。如圖3-3所示，桿件i通過(guò)關(guān)節(jié)i和i+1分別與桿件i-1和桿件i+1相連接，兩個(gè)坐標(biāo)系{i-1}和{i}分別如圖所示。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.1操作臂中的靜力學(xué)這里以操作臂中單個(gè)桿件為例分析115關(guān)節(jié)iO0Y0X0Z0i驅(qū)動(dòng)器imig桿i-1Oi-1ni-1，iZi-1fi-1，i桿i桿i+1ri+ciri-1，i關(guān)節(jié)i+1-ni，i+1-fi，i+1ZiOiCi圖3-3桿i上的力和力矩第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]關(guān)節(jié)iO0Y0X0Z0i驅(qū)動(dòng)器imig桿i-1Oi-1ni116圖3-3中力和力矩fi-1，i及ni-1，i——i-1桿通過(guò)關(guān)節(jié)i作用在i桿上的力和力矩；fi，i+1及ni，i+1——i桿通過(guò)關(guān)節(jié)i+1作用在i+1桿上的力和力矩；-fi，i+1及-ni，i+1——i+1桿通過(guò)關(guān)節(jié)i+1作用在i桿上的反作用力和反作用力矩；fn，n+1及nn，n+1——工業(yè)機(jī)器人最末桿對(duì)外界環(huán)境的作用力和力矩；-fn，n+1及-nn，n+1——外界環(huán)境對(duì)工業(yè)機(jī)器人最末桿的作用力和力矩；f0，1及n0，1——工業(yè)機(jī)器人底座對(duì)桿1的作用力和力矩；mig——連桿i的重量，作用在質(zhì)心Ci上。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]圖3-3中力和力矩fi-1，i及ni-1，i——i-1桿通117連桿i的靜力學(xué)平衡條件連桿i的力和力矩平衡方程式為：fi-1，i+(-fi，i+1)+mig＝0 (3-16)ni-1，i+(-ni，i+1)+(ri-1，i+

ri，ci)×fi-1，i

+(ri，ci)×(-fi，i+1)＝0 (3-17)式中：ri-1，i——坐標(biāo)系{i}的原點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系{i-1}的位置矢量；ri，ci——質(zhì)心相對(duì)于坐標(biāo)系{i}的位置矢量。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]連桿i的靜力學(xué)平衡條件連桿i的力和力矩平衡方程式為：第3章1183.3.1操作臂中的靜力學(xué)(續(xù))假如已知外界環(huán)境對(duì)工業(yè)機(jī)器人最末桿的作用力和力矩，那么可以由最后一個(gè)連桿向第零號(hào)連桿(機(jī)座)依次遞推，從而計(jì)算出每個(gè)連桿上的受力情況。為了便于表示工業(yè)機(jī)器人手部端點(diǎn)的力和力矩(簡(jiǎn)稱(chēng)為端點(diǎn)力F)，可將fn，n+1和nn，n+1合并寫(xiě)成一個(gè)6維矢量：(3-18)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.1操作臂中的靜力學(xué)(續(xù))假如已知外界環(huán)境對(duì)工業(yè)機(jī)器1193.3.1操作臂中的靜力學(xué)(續(xù))各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)力或力矩可寫(xiě)成一個(gè)n維矢量的形式，即：(3-19)式中：n——關(guān)節(jié)的個(gè)數(shù)；——關(guān)節(jié)力矩(或關(guān)節(jié)力)矢量，簡(jiǎn)稱(chēng)廣義關(guān)節(jié)力矩。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.1操作臂中的靜力學(xué)(續(xù))各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)力或力矩1203.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比假定關(guān)節(jié)無(wú)摩擦，并忽略各桿件的重力，則廣義關(guān)節(jié)力矩與工業(yè)機(jī)器人手部端點(diǎn)力F的關(guān)系可用下式描述：＝J

TF (3-20)式中：J

T為n×6階工業(yè)機(jī)器人力雅可比矩陣或力雅可比。上式可用下述虛功原理證明如下：第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比假定關(guān)節(jié)無(wú)摩擦，并忽略各桿件1213.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))考慮各個(gè)關(guān)節(jié)的虛位移為qi，手部的虛位移為X，如圖3-4所示。圖3-4手部及各關(guān)節(jié)的虛位移X0Y0O0iqi-nn，n+1-fn，n+1d第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))考慮各個(gè)關(guān)節(jié)的虛位移為1223.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))式中，d＝[dx

dy

dz]T和＝[xyz]T分別對(duì)應(yīng)于手部的線虛位移和角虛位移（作業(yè)空間）；q為由各關(guān)節(jié)虛位移qi組成的工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)虛位移矢量（關(guān)節(jié)空間）。及q＝[q1，q2…qn]T(3-21)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))式中，d＝[d1233.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))

假設(shè)發(fā)生上述虛位移時(shí)，各關(guān)節(jié)力矩為i(i＝1，2，…，n)，環(huán)境作用在工業(yè)機(jī)器人手部端點(diǎn)上的力和力矩分別為-fn，n+1和-nn，n+1。由上述力和力矩所做的虛功可以由下式求出：W＝1q1+2q2+…+nqn

-fn，n+1d

-nn，n+1或?qū)懗桑篧＝Tq-F

TX (3-22)第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))假設(shè)發(fā)生上述虛位1243.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))

根據(jù)虛位移原理，工業(yè)機(jī)器人處于平衡狀態(tài)的充分必要條件是對(duì)任意符合幾何約束的虛位移，有：W＝0注意到虛位移q和X并不是獨(dú)立的，是符合桿件的幾何約束條件的。利用式(3-10)，dX＝Jdq，將式(3-22)改寫(xiě)成：W＝Tq-F

TJq＝(-JTF)Tq (3-23)式中的q表示幾何上允許位移的關(guān)節(jié)獨(dú)立變量，對(duì)于任意的q，欲使W＝0，必有：＝JTF證畢。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))根據(jù)虛位移原理，1253.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))

式(3-23)表示在靜力平衡狀態(tài)下，手部端點(diǎn)力F向廣義關(guān)節(jié)力矩映射的線性關(guān)系。式中JT與手部端點(diǎn)力F和廣義關(guān)節(jié)力矩之間的力傳遞有關(guān)，故叫作工業(yè)機(jī)器人力雅可比。很明顯，力雅可比JT正好是工業(yè)機(jī)器人速度雅可比J的轉(zhuǎn)置。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù))式(3-23)1263.3.3工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)的

兩類(lèi)問(wèn)題從操作臂手部端點(diǎn)力F與廣義關(guān)節(jié)力矩之間的關(guān)系式＝JTF可知，操作臂靜力學(xué)可分為兩類(lèi)問(wèn)題：(1)已知外界環(huán)境對(duì)工業(yè)機(jī)器人手部作用力F(即手部端點(diǎn)力F＝-F)，求相應(yīng)的滿(mǎn)足靜力學(xué)平衡條件的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩。(2)已知關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩，確定工業(yè)機(jī)器人手部對(duì)外界環(huán)境的作用力F或負(fù)荷的質(zhì)量。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.3工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)的

兩類(lèi)問(wèn)題從操作臂手部端點(diǎn)力1273.3.3靜力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題(續(xù))第二類(lèi)問(wèn)題是第一類(lèi)問(wèn)題的逆解。這時(shí)F＝(JT)-1但是，由于工業(yè)機(jī)器人的自由度可能不是6，比如n＞6，力雅可比矩陣就有可能不是一個(gè)方陣，則JT就沒(méi)有逆解。所以，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的求解就困難得多，在一般情況下不一定能得到唯一的解。如果F的維數(shù)比的維數(shù)低，且J是滿(mǎn)秩的話(huà)，則可利用最小二乘法求得F的估值。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]3.3.3靜力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題(續(xù))第二類(lèi)問(wèn)題是第一類(lèi)問(wèn)題的128[例3-2]圖3-5所示的一個(gè)二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)械手，已知手部端點(diǎn)力F＝[Fx，F(xiàn)y]T，求相應(yīng)于端點(diǎn)力F的關(guān)節(jié)力矩(不考慮摩擦)。第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-2]圖3-5所示的一個(gè)二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)械手，已129[例3-2](續(xù))Y01FFxFy1=0X02=90l1l22(b)圖3-5手部端點(diǎn)力F與關(guān)節(jié)力矩X011l122l2F=[Fx，F(xiàn)y]T(a)Y0第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-2](續(xù))Y01FFxFy1=0X02=90130[例3-2](解)(續(xù))已知該機(jī)械手的速度雅可比為：則該機(jī)械手的力雅可比為：第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-2](解)(續(xù))已知該機(jī)械手的速度雅可比為：131[例3-2](解)(續(xù))根據(jù)＝JTF，得：所以：1=-[l1sin1+l2sin(1+2)]Fx+[l1cos1+l2cos(1+2)]Fy2=-l2sin(1+2)Fx+l2cos(1+2)Fy第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-2](解)(續(xù))根據(jù)＝JTF，得：所以：第132[例3-2](解)(續(xù))若如圖3-5(b)所示，在某瞬時(shí)1＝0，2＝90，則在該瞬時(shí)與手部端點(diǎn)力相對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩為：1=-l2Fx+l1Fy2=-l2Fx第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1][例3-2](解)(續(xù))若如圖3-5(b)所示，在某133工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究的是各桿件的運(yùn)動(dòng)和作用力之間的關(guān)系。工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析是工業(yè)機(jī)器人設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)仿真和動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)控制的基礎(chǔ)。在本章開(kāi)頭說(shuō)過(guò)，工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有兩類(lèi)：動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題——已知關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩，求工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（包括關(guān)節(jié)位移、速度和加速度）。動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題——已知運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)上的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出所需要的關(guān)節(jié)力矩。3.4工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究的是各桿件的運(yùn)動(dòng)和作用力之間的關(guān)系。工業(yè)134工業(yè)機(jī)器人是由多個(gè)連桿和多個(gè)關(guān)節(jié)組成的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，具有多個(gè)輸入和多個(gè)輸出。存在著錯(cuò)綜復(fù)雜的耦合關(guān)系和嚴(yán)重的非線性。因此，對(duì)于工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的研究，引起了十分廣泛的重視，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛頓—?dú)W拉方法(Newton-Euler)方法、高斯(Gauss)方法、凱恩(Kane)方法；旋量對(duì)偶數(shù)方法、羅伯遜—魏登堡(Roberson-WitTenburg)方法等。3.4工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析(續(xù))第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]工業(yè)機(jī)器人是由多個(gè)連桿和多個(gè)關(guān)節(jié)組成的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，具135拉格朗日方法不僅能以最簡(jiǎn)單的形式求得非常復(fù)雜的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，而且具有顯式結(jié)構(gòu)，物理意義比較明確，對(duì)理解工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)比較方便。因此，本節(jié)只介紹拉格朗日方法，而且用簡(jiǎn)單實(shí)例進(jìn)行分析。工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解比較困難，而且需要較長(zhǎng)的運(yùn)算時(shí)間。因此，簡(jiǎn)化求解的過(guò)程，最大限度地減少工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)在線計(jì)算的時(shí)間是一個(gè)受到關(guān)注的研究課題。3.4工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析(續(xù))第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[1]拉格朗日方法不僅能以最簡(jiǎn)單的形式求得非常復(fù)雜的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程136

1)拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)L的定義是一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)能Ek和勢(shì)能Eq之差，即：L＝Ek-Eq (3-24)令qi(i＝1，2，…，n)是使系統(tǒng)具有完全確定位置的廣義關(guān)節(jié)變量，是相應(yīng)的廣義關(guān)節(jié)速度。由于系統(tǒng)動(dòng)能Ek是qi和的函數(shù)，系統(tǒng)勢(shì)能Eq是qi的函數(shù)，因此拉