優(yōu)培15平行垂直關(guān)系的證例1：在三棱柱43C-481G中，＞平面Z8C,AB=BC,D,￡分別為工。，BB,的中點(diǎn).證明：BD//平面AEC一例2:如圖，在四棱錐產(chǎn)一/BCD中，底面48C。是正方形，側(cè)面尸，底面N8CD,若E,廠分別為48,PC的中點(diǎn)，求證：EF〃平面「/。.例3:如圖，在四棱錐尸—ZBCD中，底面4SCD為正方形，PQ_L平面N88,PD=AB,點(diǎn),E,F,G分別為PC,pa,8c的中點(diǎn).

E(1)求證：PB1EF(2)求證：EG〃平面PC°.例4:如圖，在直三棱柱444G中，點(diǎn)。，E分別是邊sc,4G中點(diǎn)，且AB=AC,一、解答題.如圖，正方體44GA的棱長(zhǎng)為］,線段44上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F且求證：(1)AC1BE-2)EF//平面ABCD..已知四棱錐P一48CO,R4J.平面/8CO,底面/8CO為等腰梯形，AB//DCAB=2DC,AD=^-DC,M是PB中點(diǎn).(1)求證：CM//平面產(chǎn)/。；(2)求證：PDLBC..如圖，在直三棱柱'80—4同￡中，N8NC=90。，45=44，點(diǎn)"N分別為月乃和4cl的中點(diǎn)，

(1)求證：1w〃平面力/cq；(2)求證：平面48C，平面M4c..如圖，三角形尸8所在的平面與等腰梯形Z6C。所在的平面垂直,AB-AD—CD,AB//CD,CP_LCD,A/為PD的中點(diǎn).(1)求證：NAf〃平面尸8。；(2)求證：BD1平面PBC..如圖，在三棱錐/一8。中，AB=AD,BDLCD,點(diǎn)E、歹分別是棱BC、8。的中點(diǎn).(1)求證：EF〃平面月C。；(2)求證：AE1BD..如圖，在三棱柱力BC—4月G中，B￡LCG，點(diǎn)E,E分別是8C,4g的中點(diǎn),平面4G。1平面scctB,.A：(1)求證：BG1AXC;(2)求證：EE〃平面4G。..在三棱錐尸-N5C中，AB=BC,P4_L平面/8C,。為尸C的中點(diǎn)，E為4c的中點(diǎn).(1)求證：BD1AC；(2)若M為的中點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)線段℃上是否存在一點(diǎn)N,使得MN〃平面8OE?若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)N的位置，并說(shuō)明理由？若不存在，也請(qǐng)說(shuō)明理由.7T.如圖，矩形/。后廠和菱形/BCD所在平面互相垂直，已知N4OC=],點(diǎn)N是線段的中點(diǎn).(1)求證：CN上AF；(2)試問(wèn)在線段BE上是否存在點(diǎn)M,使得直線/尸〃平面MNC?若存在，請(qǐng)證明〃平面MNC,并求出絲的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由..如圖，在四棱錐5c。中，尸/_L平面ZB。。，CD±ADtBC//AD,BC=CD=-AD.(1)求證：CD_LPD；(2)求證：80,平面/MB;(3)在棱PO上是否存在點(diǎn)M,使CM〃平面尸Z8,若存在，確定點(diǎn)〃的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由..已知四棱錐中，平面尸Z81平面力8cO,底面48co為矩形，且PA=PB=4,AB=2,BC=3,。為Z8的中點(diǎn)，點(diǎn)E在』。上，且=(1)證明：ECLPE-(2)在PB上是否存在一點(diǎn)F,使OR〃平面PEC,若存在，試確定點(diǎn)尸的位置.優(yōu)培15平行垂直關(guān)系的證例1：證明見(jiàn)解析.如圖，連接4c交/G于點(diǎn)。，連接eo.因?yàn)?。分別為"G,"的中點(diǎn)，mOD//c'c,OD=2C'C因?yàn)椤妗?占，CC=B1B,所以O(shè)D//EB,OD=EB所以四邊形"BE為平行四邊形，所以8O〃°E.因?yàn)?。平面ZEG外，OE在平面內(nèi)AEG，所以BD//平面AEC,.例2:證明見(jiàn)解析.設(shè)加為PO的中點(diǎn)，連接M4,MF（如圖），則A/E為△POC的中位線,所以期〃〃且披［dc,???四邊形48C。是正方形，E為的中點(diǎn)，J./E〃八C且=故〃/IE且A/E=/E,.?.四邊形ZEEA/為平行四邊形，貝IJE/〃/A/,又因平面4。，4加匚平面尸/。，所以，￡尸〃平面P/O.

例3：(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.(1)連接力C,BD,/8CO為正方形，則因?yàn)镻0J_平面/8CO,ZCu平面/8CO,所以PO_L4C,PDRBD=D,所以“C，平面P8O,PBu平面PBD,所以“C_LP8,因?yàn)辄c(diǎn)E,尸分別為PC,P/的中點(diǎn)，所以E/〃ZC,所以(2)取4。中點(diǎn)"，連接印"HG,因?yàn)辄c(diǎn)E,G分別為尸/,8c的中點(diǎn)，所以FH〃PD,HG//CD,又HFa平面PCD,PDu平面PCD,所以HFu平面PCD,同理"G〃平面PC。，而HFCHG=H,HF,HGu平面FHG,所以平面FHG〃平面PC。，又FGu平面FHG,所以FG//平面PCD.例4:(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.證明：(1).?.在直三棱柱Z8C-44G中，點(diǎn)。，E分別是邊8C,81G中點(diǎn),EG〃且=80,二四邊形BDC[E是平行四邊形，,BE"C[D,BEC平面4CQ,CiDu平面AQD，,Bg//平面AC{D.(2)?直三棱柱NBC""481cl中，CGJ?平面Z5C,AD±CC,???點(diǎn)o,后分別是邊8C,4G中點(diǎn)，且= .?.4C8C,BCA0G=C,adJ_平面BCC'B],,/C}Du平面BCC、B\ AD±CXD一、解答題1.(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.(1)連接80,因?yàn)樗倪呅?8co為正方形，所以/C,BO,又因?yàn)椤Ｆ矫?8C0,所以。。_LZC,而DQRBD=D,故“C_L平面烏。84，而B(niǎo)Eu平面DtDBB],所以ACLBE,(2)根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，平面44GR〃平面/BCD,而EgBQi,FeBR,所以EFu平面44GA，故EF//平面ABCD.(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.(1)證明：取尸力的中點(diǎn)N,連接"N,DN,在△P4B中，M是PB中息.：.MN//AB且MN=^AB,2又?..等腰梯形48co中，AB//DC,AB=2DC,MN//CD,且MN=CD,.?.四邊形物VDC是平行四邊形,：.CM//DN,。川仁平面P/。，DNu平面P4D,CA/〃平面,(2)證明：連接。與的中點(diǎn)〃,根據(jù)題意，等腰梯形中，AB//DC,AB=2DC,二四邊形是平行四邊形，BC//DH

設(shè)/8=2a,則Z>C=NH=a,AD-BC=~^a<：.AD2+DH2=AH2,：.AD1DH,-BC//DH,：.ADlBCtPA1平面ABCD,BCc=平面ABCD,■：PALBCt-.-PA^AD^A^P/u平面〃尸O,4Ou平面/PO,BC_L平面/PQ,■rPDu平面APD,PD1BC.（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.證明：（D連結(jié)"4，"G在三棱柱NBC—/4G中，44〃BB,,AA}=BB、所以四邊形原出國(guó)為平行四邊形,因?yàn)镸為力避的中點(diǎn)，所以W為幺片的中點(diǎn),又因?yàn)镹為gG的中點(diǎn)，所以mn〃“g,因?yàn)殓跥u平面4/cq,mn仁平面a}acc\

所以MV〃平面//CG.⑵因?yàn)椤?冽，點(diǎn)"為4臺(tái)的中點(diǎn)，所以W48,在直三棱柱ABC_4A￡中，_L平面/6C,因?yàn)榱U平面ABC,所以J-AC因?yàn)閆8/1C=9O。，即又48rl44]=4/5,44]U平面所以ZCJ_平面因?yàn)?8u平面,所以/C_L4B,因?yàn)?朋"[?/。=/,NCu平面M4C,所以481,平面〃幺。，因?yàn)?5u平面48C,所以平面4BCJ■平面M4c.（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.證明：（1）如圖，取尸C的中點(diǎn)N,連MN,BN,為尸。的中點(diǎn)，N為PC的中點(diǎn)，.?.A/N〃C0,MN=\CD.2又AB〃CD,AB=gcD,MN//AB,MNAB,??四邊形ZBNM為平行四邊形，AM//BN.又AM<z平面PBC)BNu平面PBC)AM//平面PBC.(2)如圖，在等腰中梯形/8CO中，取8的中點(diǎn)T,連BT.：AB=-CD,AB//CD,AB=DT,AB//DT,2??四邊形為平行四邊形.又= ，四邊形Z8T。為菱形，，47180.同理，四邊形/8CT為菱形，：.4T〃BC.:AT1BD,.-.BC1BD.?.?平面PCD1平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,CPLCDtCPu平面PC。，CP1平面ABCD,又BDu平面ABCD，」.CPLBD.■：BC1BDt8CnC?=C,二臺(tái)。，平面PBC.5.(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.(1)因?yàn)辄c(diǎn)E、尸分別是棱6C、8。的中點(diǎn)，所以EF是ABCD的中位線，所以EF〃CD,又因?yàn)椤陸羧势矫?CD,CQu平面NCQ,EE〃平面4CD.(2)由(1)得，EF//CD,又因?yàn)?DJ_CD,所以所，6￡>,因?yàn)?8=4。，點(diǎn)/是棱8。的中點(diǎn)，所以/尸，8。，又因?yàn)? 所以6。，平面4EE,又因?yàn)?Eu平面4EF,所以4E1.BD.(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.(1)因?yàn)?1G上。。，平面4GC平面8cq用，平面4￡CZA平面BCCAB[=G。，81Gu平面BCClB[則4G，平面/CG4.又因?yàn)?0u平面4cle/,所以4G_l/c.(2)取4G的中點(diǎn)G,連接FG,GC.在△4B?中，因?yàn)槭?，G分別是4片，4G的中點(diǎn)，所以FG//BG,且FG=；B￡在平行四邊形80G片中，因?yàn)镋是8c的中點(diǎn)，所以EC//B￡,且“0一/￡所以EC〃尸G,且EC=FG,在平行四邊形FECG是平行四邊形，所以EF//GC.又因?yàn)轷湃势矫?Gd,GCu平面4G。/,所以EF〃平面a(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，點(diǎn)N是線段PC上靠近點(diǎn)P的四等份點(diǎn)，詳見(jiàn)解析.(1)證明：?.?/￡=EC,PD=CDtDE//AP,又PA1平面ABC,DE//AP,DE1平面ABC,ACu平面ABC，二DE±AC,?AB=BCAE=EC-BELAC,,,,,,；AC上DE,ACLBE,BEC\DE=E,BEu平面BDE,￡>Eu平面8OE,NC，平面BOE.又；BDu平面BDE,BD上AC.(2)假設(shè)線段PC上存在一點(diǎn)N,使得MN//平面BDE，如圖，取/E的中點(diǎn)。，連M。、NQ,：MB=MA,AQ=QE,:.MQ//BE,又平面BOE, M0〃平面8￡>E,?.?MNu平面MAQ,MQu平面A/?VQ,MN[}MQ=M,MN//平面BDE,MQ//平面BDE,平面MNQ//平面BDE,又NQu平面MNQ,，NQ〃平面BDE,?.?平面尸/CPI平面8￡>E=O￡,NQ〃平面BDE,NQu平面p/。,.NQ//DE又...4Q=QE,NQ//DE,...N為線段PQ的中點(diǎn)，故假設(shè)成立，線段PC上存在一點(diǎn)N,使得MN//平面BDE,此時(shí)點(diǎn)N是線段尸。上靠近點(diǎn)尸的四等份點(diǎn).8.（D證明見(jiàn)解析；（2）存在‘證明見(jiàn)解析’黑=2.JT(1)菱形/8C。，AD=DC,^ADC=-,則△/OC是等邊三角形,又N是線段NO的中點(diǎn)，「.CNJ.NO.又平面ADEF1平面ABCD,平面ADEFD平面ABCD=AD,所以CN,平面力.又；AFu平面ADEF,故CN_L4/.(2)取EE的中點(diǎn)P,連接05交BE于點(diǎn)”，M點(diǎn)即為所求的點(diǎn).證明：連接附，???PE//AD,AD//BC,PE//BC,所以C尸與CE相交于點(diǎn)M,?.■N是40的中點(diǎn)，P是尸E的中點(diǎn)，,PN〃“產(chǎn)，又PNu平面MNC,AF(Z平面MNC,，直線4尸〃平面腦VC.(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)存在，M是的中點(diǎn).(1)證明：因?yàn)槭琙1平面”8CZ),COu平面力8CZ),所以COJ.PZ.因?yàn)镃O_LNO,PAC\AD=A,所以C0_L平面P/O.因?yàn)镻Du平面尸40,所以C￡>_LPD.(2)因?yàn)槭?1平面48CD,BDu平面48CD,所以8O1/M.在直角梯形48。。中，BC=CD=^-AD,由題意可得=80=&6C,^AD2^AB2+BD2,所以 .因?yàn)槭?8=/,所以30,平面045.(3)解：在棱上存在點(diǎn)A1,使CM〃平面PN6,且M是尸。的中點(diǎn).證明：取PN的中點(diǎn)修，連接，BN,r1因?yàn)橄鲜鞘５闹悬c(diǎn)，所以MN〃且=74。.因?yàn)锽C〃且=340,所以M