第27講衛(wèi)星(天體)追及相遇模型I真題示例I真題示例(全國高考)太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動。當(dāng)?shù)厍蚯『眠\行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，天文學(xué)稱為“行星沖日據(jù)報道，2014年各行星沖日時間分別是：1月6日木星沖日；4月9日火星沖日；5月11日土星沖日；8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示，則下列判斷正確的是地球火星木星土星天王星海王星軌道半徑(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都會出現(xiàn)沖日現(xiàn)象B.在2015年內(nèi)一定會出現(xiàn)木星沖日C.天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半D.地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短一.知識回顧如果有兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)兩個不同軌道上同向繞地球做勻速圓周運動，a衛(wèi)星的角速度為3a，b衛(wèi)星的角速度為(Ob，某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面同一點正上方，相距最近，如圖甲所示，則當(dāng)它們轉(zhuǎn)過的角度之差△。=兀，即滿足(OaAt-3bAt=7t時，兩衛(wèi)星第一次相距最遠，如圖乙所示。兩衛(wèi)星相距最遠的條件是(oaAt-o)bAt=(2n+l)7t(n=0,l,2,3--)>相距最近的條件是(oaAt-a)bAt=2ri7c(n=0,1,2,3...)o甲 乙二.例題精析例1.如圖是在同一平面不同軌道上同向運行的兩顆人造地球衛(wèi)星。設(shè)它們運行的周期分別是Ti、T2(Ti<T2),且某時刻兩衛(wèi)星相距最近。問：(1)兩衛(wèi)星再次相距最近的時間是多少？(2)兩衛(wèi)星相距最遠的時間是多少？?? 、」 、??.((???(多選)例2.2020年6月23日，“北斗三號”最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點火升空，中國終于有了自己的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，未來將向全世界開放，也會成為70多億人生活的一部分。北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)有55顆衛(wèi)星，若其中在同一平面不同軌道上同向運行的兩顆人造地球衛(wèi)星甲和乙，它們運行的周期分別是2小時、16小時，且某時刻兩衛(wèi)星相距最近。則下列說法中正確的是()A.兩顆衛(wèi)星再次相距最近的時間是個小時7B.兩顆衛(wèi)星相距最遠的時間是(16k+4)(k—0,1?2,...)小時C.乙衛(wèi)星點火加速可以與甲衛(wèi)星對接D.甲、乙兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為1：4三.舉一反三，鞏固練習(xí).(多選)如圖是在同一平面不同軌道上運行的兩顆人造地球衛(wèi)星.設(shè)它們運行的周期分別是Ti、T2,(Ti<T2),且某時刻兩衛(wèi)星相距最近.( )A.兩衛(wèi)星再次相距最近的時間是1="耳2T1B.兩衛(wèi)星相距最遠的時間是tn/1%2T1)C.兩衛(wèi)星再次相距最近的時間是1=“2T1)D.兩衛(wèi)星相距最遠的時間是士=孥(其中k=0.1.2…)如圖所示，有A、B兩顆衛(wèi)星繞同顆質(zhì)量未知，半徑為R的行星做勻速圓周運動，旋轉(zhuǎn)方向相同，其中A為近地軌道衛(wèi)星，周期為Ti，B為靜止軌道衛(wèi)星，周期為T2,在某一時刻兩衛(wèi)星相距最近，試用已知量求解下列問題：(引力常量G為已知)(1)經(jīng)過多長時間，兩行星再次相距最近？(2)同步衛(wèi)星離地面的高度h=?(3)該行星的平均密度p=?2. '"1一二A、B兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)繞地球做勻速圓周運動。地球半徑為R,A衛(wèi)星離地面的高度為R，周期為T,B衛(wèi)星離地面高度為3R,則：(結(jié)果可用根式表示)(1)A、B兩衛(wèi)星周期之比是多少？(2)若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點的正上方，則經(jīng)過多長時間兩衛(wèi)星再次相距最近？(3)若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點的正上方，則經(jīng)過多長時間兩衛(wèi)星相距最遠？3.如圖所示，A、B是地球的兩顆衛(wèi)星，衛(wèi)星A、B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，運行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。衛(wèi)星A離地面高度為7R,衛(wèi)星B離地面高度為R,R為地球半徑，地球表面的重力加速度為g,O為地球中心。(I)求衛(wèi)星A、B的運行周期之比。(2)若某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近(O、B、A在同一直線上)，則至少經(jīng)過多長時間，它們再一次相距最近？??TOC\o"1-5"\h\z■?? 、// '、\、、\ 」:、.、* ，/*'? “嫦娥一號”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，準確進入預(yù)定軌道。隨后，“嫦娥一號”經(jīng)過變軌和制動成功進入環(huán)月軌道。如圖所示，陰影部分表示月球，設(shè)想衛(wèi)星在圓形軌道I上做勻速圓周運動，在圓軌道I上飛行n圈所用時間為t,到達A點時經(jīng)過短暫的點火變速，進入橢圓軌道II,在到達軌道I【近月B點時再次點火變速，進入近月圓形軌道III(軌道半徑近似為月球半徑)，而后衛(wèi)星在軌道ni上繞月球做勻速圓周運動，在圓軌道ni上飛行n圈所用時間為:，不考慮其他星體對衛(wèi)星的影響。(1)求月球的平均密度。(2)求衛(wèi)星從軌道II上遠月點A運動至近月點B所用的時間。(3)如果在I、HI軌道上有兩顆衛(wèi)星，它們繞月球飛行方向相同，某時刻兩衛(wèi)星相距最近(兩衛(wèi)星在月球球心的同側(cè)，且兩衛(wèi)星與月球球心在同一直線上)，則至少經(jīng)過多長時間，它們又會相距最近？

II一2014年3月8日馬航客機MH370失聯(lián)，多國衛(wèi)星在搜尋中發(fā)揮了重要作用.如圖所示為某兩顆搜尋衛(wèi)星的運行示意圖，A是地球的同步衛(wèi)星.另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h,已知地球半徑為R,地球自轉(zhuǎn)周期為T.地球表面的重力加速度為q,O為地球中心.（1）求衛(wèi)星B的運行角速度3;（2）若衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經(jīng)過多長時間，它們再一次相距最近?線上），則至少經(jīng)過多長時間，它們再一次相距最近?第27講衛(wèi)星(天體)追及相遇模型I真題示例I真題示例(全國高考)太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動。當(dāng)?shù)厍蚯『眠\行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，天文學(xué)稱為“行星沖日據(jù)報道，2014年各行星沖日時間分別是：1月6日木星沖日；4月9日火星沖日：5月11日土星沖日：8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示，則下列判斷正確的是地球火星木星土星天王星海王星軌道半徑(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都會出現(xiàn)沖日現(xiàn)象B.在2015年內(nèi)一定會出現(xiàn)木星沖日C.天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半D.地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短答案：BD解析：考察角追及和萬有引力定律。由引力提供向心力可知inra)2相鄰兩次沖日的時間間隔———其中。。表示的是地球的公轉(zhuǎn)角速度，a)x表示的是行星.的公轉(zhuǎn)角速度。將第一式中一做的結(jié)果代入到第二式中有設(shè)行星的半徑是地球半徑的k倍，則上式可化為設(shè)行星的半徑是地球半徑的k倍，則上式可化為27r上式中y=刀三，也就是地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期，即一年的時間。IGM小丁，e -vL53 、， 1.5x1.2 ,cl”對于火星k=1.5,t=一7 丫? Y=1-257a/TF-I1-5x1.2-1對于木星k=5.2,y=1.09y5.2>2對于木星k=5.2,y=1.09y2x2.3-1至此可知，后面的行星沖日時間間隔大約都是1年，但又大于1年，因為只有2-8時才恰恰為一年。知識回顧如果有兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)兩個不同軌道上同向繞地球做勻速圓周運動，a衛(wèi)星的角速度為3“6衛(wèi)星的角速度為某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面同一點正上方，相距最近，如圖甲所示，則當(dāng)它們轉(zhuǎn)過的角度之差△〃=n,即滿足3"Xt—3bxt=Ji時，兩衛(wèi)星第一次相距最遠，如圖乙所示。兩衛(wèi)星相距最遠的條件是w.,At-t=(2/7+1)n(/7=0,1,2,3-),相距最近的條件是t~3bA(/7=o,1,2,3…)。甲 乙二.例題精析例1.如圖是在同一平面不同軌道上同向運行的兩顆人造地球衛(wèi)星。設(shè)它們運行的周期分別是Ti、T2(Ti<T2),且某時刻兩衛(wèi)星相距最近。問：(1)兩衛(wèi)星再次相距最近的時間是多少？(2)兩衛(wèi)星相距最遠的時間是多少？【解答】解：(1)依題意，T|<T2,根據(jù)開普勒第三定律可知，==k,周期大

的軌道半徑大，故在外層軌道的衛(wèi)星運行一周所需的時間長。27r設(shè)經(jīng)過At兩衛(wèi)星再次相距最近，則它們運行的角度之差△e=2m27r2鞏一ct—-2tt12解得t=(2)兩衛(wèi)星相距最遠時，它們運行的角度之差△0=(2k+1)n(k=0,1,2,?,,)r27r 27r即一t-^t=(2k+l)n(k=0,1,2,…)At2解得t=第喏(k=0,1,2-)o2T1)答：(1)兩衛(wèi)星再次相距最近的時間是型-0(2)兩衛(wèi)星相距最遠的時間是"U送(k=0,1,2…)。2(Rf)(多選)例2.2020年6月23日，''北斗三號”最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點火升空，中國終于有了自己的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，未來將向全世界開放，也會成為70多億人生活的一部分。北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)有55顆衛(wèi)星，若其中在同一平面不同軌道上同向運行的兩顆人造地球衛(wèi)星甲和乙，它們運行的周期分別是2小時、16小時，且某時刻兩衛(wèi)星相距最近。則下列說法中正確的是( )A.兩顆衛(wèi)星再次相距最近的時間是半小時B.兩顆衛(wèi)星相距最遠的時間是(16k+4)(k=0,1,2,…)小時C.乙衛(wèi)星點火加速可以與甲衛(wèi)星對接D.甲、乙兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為1：4【解答】解：A、設(shè)兩顆衛(wèi)星運行的周期分別為「、27TAt27TAtT2,設(shè)經(jīng)過At時間兩衛(wèi)星再次相距最近，則它們運行的角度之差△0=2n,即——-——=2mTiT2解得△t=￥小時，故A正確；B、兩衛(wèi)星相距最遠時，它們運行的角度之差△e=(2k+l)ir(k=0、1、2……)，即生絲一生竺=%T2(2k+l)n(k=0、1、2 ),解得41=丹把(k=0、1、2 )小時，故B錯誤；GMm v2C、乙衛(wèi)星點火加速，v突然增大，—<m—乙衛(wèi)星將做離心運動，不可能與甲衛(wèi)星對接,丫乙 T故c錯誤;

D、根據(jù)開普勒第三定律可知，W，解得口=±故D正確。呼瑤r24故選：AD。三.舉一反三，鞏固練習(xí).（多選）如圖是在同一平面不同軌道上運行的兩顆人造地球衛(wèi)星.設(shè)它們運行的周期分別是Ti、T2.（Ti<T2）,且某時刻兩衛(wèi)星相距最近.（ ）兩衛(wèi)星再次相距最近的時間南=晚兩衛(wèi)星再次相距最近的時間南=晚B.兩衛(wèi)星相距最遠的時間是"城餐C.兩衛(wèi)星再次相距最近的時間是"忌治D.兩衛(wèi)星相距最遠的時間是t=警.林（其中k=012??）27r【解答】解：AC、兩衛(wèi)星再次相距最近時，轉(zhuǎn)動的角度相差2ir,即:27r2n-yr-t—2n12解得：1=岸和。故c錯誤，A正確。BD、兩衛(wèi)星相距最遠時，轉(zhuǎn)動的角度相差（2k+l）tt（其中k=0.1.2…），即:—t-^t=(2k+l)n,(k=0.L2…)解得：t=駕±口^-(k=0.12“)。故B錯誤，D正確。TxT2 2T2-Tx故選：ADo2.如圖所示，有A、B兩顆衛(wèi)星繞同顆質(zhì)量未知，半徑為R的行星做勻速圓周運動，旋轉(zhuǎn)方向相同，其中A為近地軌道衛(wèi)星，周期為Ti，B為靜止軌道衛(wèi)星，周期為T2,在某一時刻兩衛(wèi)星相距最近，試用已知量求解下列問題：（引力常量G為已知）（1）經(jīng)過多長時間，兩行星再次相距最近？（2）同步衛(wèi)星離地面的高度h=?（3）該行星的平均密度p=?【解答】解：（1）衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力有:GMm 47r2rr2 T2

周期T=2nJ器,某時刻兩衛(wèi)星相距最近，則可知經(jīng)過時間t兩衛(wèi)星再次相距最近時，A衛(wèi)星比BE星多轉(zhuǎn)過2n弧度，,. 27r2n即有：（———）t=2nAt2得丁1丁2T2-T1,（2）衛(wèi)星做勻速圓周運動萬有引力提供向心力有:GMm4712r——=m——r2T2A為近地軌道衛(wèi)星，周期為Ti，23所以行星質(zhì)量M=駕-GTi同步衛(wèi)星周期為T2,所以同步衛(wèi)星離地面的高度h=-R?同步衛(wèi)星周期為T2,所以同步衛(wèi)星離地面的高度h=-R?（3）根據(jù)密度的定義得:行星的平均密度p=y_行星的平均密度p=y~GTi°答：（1）經(jīng)過尹-，兩行星再次相距最近。同步衛(wèi)星離地面的高度h=T2f同步衛(wèi)星離地面的高度h=(2)（3）該行星的平均密度p=簫。3.A、B兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)繞地球做勻速圓周運動。地球半徑為R,A衛(wèi)星離地面的高度3.為R,周期為T,B衛(wèi)星離地面高度為3R,則：（結(jié)果可用根式表示）（1）A,B兩衛(wèi)星周期之比是多少？（2）若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點的正上方，則經(jīng)過多長時間兩衛(wèi)星再次相距最近?（3）若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點的正上方，則經(jīng)過多長時間兩衛(wèi)星相距最遠？【解答】解：（1）地球半徑為R,A衛(wèi)星離地面的高度等于R,B衛(wèi)星離地面高度為3R,所以Ra=2R,Rb=4R由開普勒第三定律可知解得：Ta：Tb=1：2V2o(2)設(shè)經(jīng)過t時間，兩衛(wèi)星再次相距最近2n2n此時A比B多轉(zhuǎn)一圈，即(———)1=2tttaTb解得：t=牛1其中：Ta=T則t=肚箸T。(3)設(shè)經(jīng)過t'時間，兩衛(wèi)星相距最遠此時A比B多轉(zhuǎn)(n+0.5)圈，n=0、1,2 2n2n(———)t,=(n+0.5)2n,n=0>1、2 TaTb解得：t'=片生(2n+l)T,n=0、1、2 答：(1)A、B兩衛(wèi)星周期之比是1：2V2o8+2V2(2)若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點的正上方，則經(jīng)過一匚丁兩衛(wèi)星再次相距最近。(3)74+V2若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點的正上方，則經(jīng)過一2」(2n+l)T,n=0、1、2……，兩衛(wèi)7星相距最遠。4.如圖所示，A、B是地球的兩顆衛(wèi)星，衛(wèi)星A、B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，運行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。衛(wèi)星A離地面高度為7R,衛(wèi)星B離地面高度為R,R為地球半徑，地球表面的重力加速度為g,O為地球中心。(1)求衛(wèi)星A、B的運行周期之比。(2)若某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近(0、B、A在同一直線上)，則至少經(jīng)過多長時間，它們再一次相距最近？JVJfJL r ￡?ILA【解答】解：由萬有引力提供I可心力：Gk=m=murr=m(―)2r解

O)A=gR

(7R+R)(2)由O)A=gR

(7R+R)(2)由3=gR

(R+R)3得它們再一次相距最近時，一定是B比A多轉(zhuǎn)了一圈，有:(3B-3a)t=2ir由以上各式可得：t由以上各式可得：t=327r叵

~~小丁答：(1)求衛(wèi)星A、B的運行周期之比為8：1。(2)若某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近(O、B、A在同一直線上)，則至少經(jīng)過它們再一次相距最近?！版隙鹨惶枴痹谖鞑l(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，準確進入預(yù)定軌道。隨后，“嫦娥一號”經(jīng)過變軌和制動成功進入環(huán)月軌道。如圖所示，陰影部分表示月球，設(shè)想衛(wèi)星在圓形軌道I上做勻速圓周運動，在圓軌道I上飛行n圈所用時間為t,到達A點時經(jīng)過短暫的點火變速，進入橢圓軌道H,在到達軌道H近月B點時再次點火變速，進入近月圓形軌道HI(軌道半徑近似為月球半徑)，而后衛(wèi)星在軌道HI上繞月球做勻速圓周運動，在圓軌道IIL上飛行n圈所用時間為，不考慮其他星體對衛(wèi)星的影響。(1)求月球的平均密度。(2)求衛(wèi)星從軌道II上遠月點A運動至近月點B所用的時間。(3)如果在I、III軌道上有兩顆衛(wèi)星，它們繞月球飛行方向相同，某時刻兩衛(wèi)星相距最近(兩衛(wèi)星在月球球心的同側(cè)，且兩衛(wèi)星與月球球心在同一直線上)，則至少經(jīng)過多長時間，它們又會相距最近?

【解答】解：(I)設(shè)月球的質(zhì)量為M,半徑為R,“嫦娥一號”的質(zhì)量為m,衛(wèi)星在圓軌道山上的運動周期為：73=普由萬有引力提供向心力有：G爺=m*聯(lián)立解得：p=當(dāng)gt11927m2又根據(jù)：M=p聯(lián)立解得：p=當(dāng)gt11927m2(2)設(shè)衛(wèi)星在軌道I上的運動周期為Ti，在軌道1上，由萬有引力提供向心