ProfessionalCourse第七節(jié)線性變換了解線性空間以及線性變換的定義及其簡單性質(zhì)。會求標(biāo)準(zhǔn)考點1：線性空間及線性變設(shè)V是一個空間集合，P是一個數(shù)域。在集合V的元 算，在數(shù)域P與 的 間定義了稱為數(shù)乘的運算，如果對于, 都V ，又對任意kP,V 都有kV，則稱V為數(shù)域P上的線性空間，線（1）（2）()(（3）存在零元素0V，使0（4）存在的負元素V（5）1（6）k(l)(kl)（7）(kl)kl（8）k()kk任一元素的負元素是唯一的；記做00,k00,(1)k0，則k0或0如 性空間V中，如果存在n個元素1,2 n，滿足（1）1,2 n（2）V中任意一個元素都可以用1,2 n線性表示那么1,2 n就稱為線性空間V的一組基，n稱為線性空間的維數(shù)設(shè)VP上的線性空間，若變換:VV,V,kk則稱為線性空間V () krr則 11

A

002111

A

AR2上的任意點(xy)T0021

(x,y)T有

A

0 y 對任意一點

(x,

A確定的變換將任意一點1 x2(xy)Ty1 x2

101

y2xy0M-P(x,y)y2xy0yyP(xy)，則yy

1x。即

xy

yyxy)y0y2 yy考點2：二次x)n x2x)n x22a x2+2a x x 2ax 2a xx2axx +an32 x2aii2

2aijxixi1 i

a1nA a2n n nnx)n記X(x,x x)T則f(xx)n

TAXAfxxxn xn

2

2 2 p（3）正定二次型：如果當(dāng)x1,x2 xn不全為0（X0）時，一定f(xx xXTAX0 矩陣A0；A的特征值都是正數(shù)；（4）負定二次型：如果當(dāng)x1,x2 xn不全為0（X0）時，一定f(xx xXTAX0 矩陣A00；A的特征值都是負數(shù)；【2016 二次型x23xyy2是（A.正定 B.負定 C.不定 【2016 二次型x23xyy2是（A.正定 B.負定 C.不定 3 2 2A

1 D ，

，

1 考點3：歐氏空設(shè)V是實數(shù)域R上的線性空間，對V中任意兩個向量,，定義一個二元實函數(shù)，記作)，若)滿足性質(zhì)：,,V,kR(,)(k,)k(,)(,),(,(,0當(dāng)且僅當(dāng)0時(,0anbn則稱為和的內(nèi)積，并稱這種定義了內(nèi)積的線性空間anbn(a1a2 an),(b1,b2 ,bn)(,a1b1a2b23. 先把線性無關(guān)的向量組 ,m,

(2,1)2 2

(1,1

j1(j,i ,1 ,1

,i

i,

,再單位化得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組1,

，i

|i

i,i11 1(2,1)(1,1 1

(1,1,1 (2,2

33 (4

, (2,2 (3,3)1

1|11

( ,0,0)22222

|2

2 , ,0)161626 161626

|

12 1231212 1212

(1,

1,

1,144|444

則1,2,3,4 0 】設(shè)A 1，求子空間A(R3){Aa|aR3}的一組正交基 1 0 】設(shè)A 1，求子空間A(R3){Aa|aR3}的一組正交基 1 A(R3{Aa|aR3,, (,,) 1初等變換后為 1

0 所以rank(1,2,3)3又因為1