直線與圓培優(yōu)講義直線與圓培優(yōu)講義直線與圓培優(yōu)講義直線與圓培優(yōu)講義編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:培優(yōu)講義一、概念理解：1、傾斜角：①找α：直線向上方向、x軸正方向；②平行：α=0°；③范圍：0°≤α＜180°。2、斜率：①找k：k=tanα（α≠90°）；②垂直：斜率k不存在；③范圍：斜率k∈R。斜率與坐標(biāo)：①構(gòu)造直角三角形（數(shù)形結(jié)合）；②斜率k值于兩點(diǎn)先后順序無(wú)關(guān)；③注意下標(biāo)的位置對(duì)應(yīng)。直線與直線的位置關(guān)系：①相交：斜率（前提是斜率都存在）特例----垂直時(shí)：<1>；<2>斜率都存在時(shí)：。②平行：<1>斜率都存在時(shí)：；<2>斜率都不存在時(shí)：兩直線都與x軸垂直。③重合：斜率都存在時(shí)：；二、方程與公式：1、直線的五個(gè)方程：①點(diǎn)斜式：將已知點(diǎn)直接帶入即可；②斜截式：將已知截距直接帶入即可；③兩點(diǎn)式：將已知兩點(diǎn)直接帶入即可；④截距式：將已知截距坐標(biāo)直接帶入即可；⑤一般式：，其中A、B不同時(shí)為0用得比較多的是點(diǎn)斜式、斜截式與一般式。2、求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可3、距離公式：①兩點(diǎn)間距離：②點(diǎn)到直線距離：③平行直線間距離：4、中點(diǎn)、三分點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)①AB中點(diǎn)：②AB三分點(diǎn)：靠近A的三分點(diǎn)坐標(biāo)靠近B的三分點(diǎn)坐標(biāo)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，在求對(duì)稱點(diǎn)、第四章圓與方程中，經(jīng)常用到。三分點(diǎn)坐標(biāo)公式，用得較少，多見(jiàn)于大題難題。5.直線的對(duì)稱性問(wèn)題已知點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱:設(shè)這個(gè)點(diǎn)為P（x0，y0）,對(duì)稱后的點(diǎn)坐標(biāo)為P’（x，y），則pp’的斜率與已知直線的斜率垂直，且pp’的中點(diǎn)坐標(biāo)在已知直線上。解題指導(dǎo)與易錯(cuò)辨析：1、解析法（坐標(biāo)法）：①建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，依據(jù)幾何性質(zhì)關(guān)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)；②依據(jù)代數(shù)關(guān)系（點(diǎn)在直線或曲線上），進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算，并得出相關(guān)結(jié)果；yxo③將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果，翻譯成幾何中“所求或所要證明yxo動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離“最值問(wèn)題”：①的最小值：找對(duì)稱點(diǎn)再連直線，如右圖所示：②的最大值：三角形思想“兩邊之差小于第三邊”；③的最值：函數(shù)思想“轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，找對(duì)稱軸”。直線必過(guò)點(diǎn)：①含有一個(gè)參數(shù)----y=(a-1)x+2a+1=>y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0=>必過(guò)點(diǎn)(-2,3)②含有兩個(gè)參數(shù)----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=>m(3x+y)+n(2y-x-1)=0令：3x+y=0、2y-x-1=0聯(lián)立方程組求解=>必過(guò)點(diǎn)(-1/7,3/7)易錯(cuò)辨析：①討論斜率的存在性：解題過(guò)程中用到斜率，一定要分類討論：<1>斜率不存在時(shí)，是否滿足題意；<2>斜率存在時(shí)，斜率會(huì)有怎樣關(guān)系。②注意“截距”可正可負(fù)，不能“錯(cuò)認(rèn)為”截距就是距離，會(huì)丟解；（求解直線與坐標(biāo)軸圍成面積時(shí)，較為常見(jiàn)。）③直線到兩定點(diǎn)距離相等，有兩種情況：<1>直線與兩定點(diǎn)所在直線平行；<2>直線過(guò)兩定點(diǎn)的中點(diǎn)。圓的方程定義：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)以定長(zhǎng)繞一周所形成的圖形叫做圓，其中定點(diǎn)稱為圓的圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑.圓的方程表示方法：第一種：圓的一般方程——其中圓心，半徑.當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，方程無(wú)圖形.第二種：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程——.其中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓第三種：圓的參數(shù)方程——圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）注：圓的直徑方程：已知3.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)及圓.①在圓內(nèi)②在圓上③在圓外4.直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)圓圓：；直線：；圓心到直線的距離.①時(shí)，與相切；②時(shí)，與相交；，③時(shí)，與相離.圓的切線方程：①一般方程若點(diǎn)(x0,y0)在圓上，則(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特別地，過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為.(注:該點(diǎn)在圓上，則切線方程只有一條)②若點(diǎn)(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程.（注：過(guò)圓外的點(diǎn)引切線必定有兩條,若聯(lián)立的方程只有一個(gè)解，那么另外一條切線必定是垂直于X軸的直線。）6.圓系方程：過(guò)兩圓的交點(diǎn)的圓方程：假設(shè)兩圓方程為：C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0則過(guò)兩圓的交點(diǎn)圓方程可設(shè)為：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0過(guò)兩圓的交點(diǎn)的直線方程：x2+y2+D1x+E1y+F1-x2+y2+D2x+E2y+F2=0（兩圓的方程相減得到的方程就是直線方程）7.與圓有關(guān)的計(jì)算：弦長(zhǎng)的計(jì)算：AB=2*√R2-d2其中R是圓的半徑，d等于圓心到直線的距離AB=（√1+k2）*∣X1-X2∣其中k是直線的斜率，X1與X2是直線與圓的方程聯(lián)立之后得到的兩個(gè)根過(guò)圓內(nèi)的一點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)是垂直于過(guò)圓心的直線圓內(nèi)的最長(zhǎng)弦是直徑8.圓的一些最值問(wèn)題①圓上的點(diǎn)到直線的最短距離=圓心到直線的距離減去半徑②圓上的點(diǎn)到直線的最長(zhǎng)距離=圓心到直線的距離加上半徑③假設(shè)P（x，y）是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（x-a）/（y-b）的最值可以轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與該點(diǎn)（a，b）的斜率問(wèn)題，即先求過(guò)該定點(diǎn)的切線，得到的斜率便是該分式的最值。④假設(shè)P（x，y）是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則求x+y或x-y的最值可以轉(zhuǎn)化為：設(shè)T=x+y或T=x-y，在圓上找到點(diǎn)(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y軸上的截距最值化。9.圓的對(duì)稱問(wèn)題①已知圓關(guān)于已知的直線對(duì)稱，則對(duì)稱后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關(guān)于該直線對(duì)稱后得到的圓心坐標(biāo)即可。②若某條直線無(wú)論其如何移動(dòng)都能平分一個(gè)圓，則這個(gè)直線必過(guò)某定點(diǎn)，且該定點(diǎn)是圓的圓心坐標(biāo)1.【2015高考重慶，理8】已知直線l：x+ay-1=0（aR）是圓C：的對(duì)稱軸.過(guò)點(diǎn)A（-4，a）作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|=（）A、2B、C、6D、2.【2015高考新課標(biāo)2，理7】過(guò)三點(diǎn)，，的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則()A．2B．8C．4D．103.【2015高考廣東，理5】平行于直線且與圓相切的直線的方程是（）A．或B.或C.或D.或4.【2015高考山東，理9】一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓QUOTE相切，則反射光線所在直線的斜率為（）（A）或（B）QUOTE或QUOTE-23（C）或（D）或5.【2015高考陜西，理15】設(shè)曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線與曲線上點(diǎn)處的切線垂直，則的坐標(biāo)為．6.【2015高考湖北，理14】如圖，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于兩點(diǎn)（在的上方），且．（Ⅰ）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)任作一條直線與圓相交于兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③．其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）7.【2015江蘇高考，10】在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為8.【2015高考廣東，理20】已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，．（1）求圓的圓心坐標(biāo)；（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)：若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．14.（2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考文科·Ｔ20）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓在軸上截得線段長(zhǎng)為，在軸上截得線段長(zhǎng)為。（1）求圓心的軌跡方程；（2）若點(diǎn)到直線的距離為，求圓的方程。作業(yè)一、選擇題1.（2013·重慶高考文科·Ｔ4）設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為()A.6C.3D.22.(2013·天津高考文科·T5)已知過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線ax-y+1=0垂直,則a=() A. B.1 C.2 D.3.（2013·安徽高考文科·Ｔ6）直線x+2y-5+=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長(zhǎng)為（）D.4.（2013·重慶高考理科·Ｔ7）已知圓：，圓：，、分別是圓、上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為()A.B.C.D.5.（2013·廣東高考文科·Ｔ7）垂直于直線且與圓相切于第一象限的直線方程是（） A．B．C．D．6.（2013·陜西高考文科·Ｔ8）已知點(diǎn)M(a,b)在圓外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是() A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定7.（2013·江西高考理科·Ｔ9）過(guò)點(diǎn)（QUOTE，0）引直線l與曲線相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于（）A.QUOTE B. C. D.8.（2013·山東高考理科·Ｔ9）過(guò)點(diǎn)（3，1）作圓（x-1）2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為

（）+y-3=0

=0

=0

+y-3=0二、填空題9.（2013·山東高考文科·Ｔ13）過(guò)點(diǎn)(3，1)作圓的弦，其中最短的弦長(zhǎng)為_(kāi)_________10.(2013·浙江高考文科·T13)直線y=2x+3被圓x2+y2-6x-8y=0所截得的弦長(zhǎng)等于.11.（2013·江西高考文科·Ｔ14）若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（4，0），且與直線y=1相切，則圓C的方程是.12.（2013·湖北高考文科·Ｔ14）已知圓：，直線：（）.設(shè)圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，則.三、解答題13.(2013·江蘇高考數(shù)學(xué)科