導數(shù)的概念導數(shù)的概念13.1導數(shù)的概念

1.曲線的切線βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點,Q(x0+Δx,y0+Δy)為P鄰近一點,PQ為C的割線,PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的傾斜角.3.1導數(shù)的概念1.曲線的切線βy=f(x)PQMΔx2PQoxyy=f(x)割線切線T請看當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時,割線PQ繞著點P逐漸轉動的情況.PQoxyy=f(x)割線切線T請看當3我們發(fā)現(xiàn),當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:這個概念:①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質——函數(shù)平均變化率的極限.要注意,曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關;2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.我們發(fā)現(xiàn),當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→4例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:先利用切線斜率的定義求出切線的斜率,然后利用點斜式求切線方程.例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方5例2:已知曲線上一點P(1,2),用斜率的定義求過點P的切線的傾斜角和切線方程.故過點P的切線方程為:y-2=1?(x-1),即y=x+1.練習:求曲線上一點P(1,-1)處的切線方程.答案:y=3x-4.例2:已知曲線上一點P(1,62.瞬時速度

已知物體作變速直線運動,其運動方程為s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示時間),求物體在t0時刻的速度．如圖設該物體在時刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在時刻t0+Δt的位置是s(t0+Δt)=OA1,則從t0到t0+Δt這段時間內,物體的位移是:在時間段(t0+Dt)－t0=Dt內，物體的平均速度為:2.瞬時速度已知物體作變速直線運動,其運動方程為7

平均速度反映了物體運動時的快慢程度,但要精確地描述非勻速直線運動,就要知道物體在每一時刻運動的快慢程度,也即需要通過瞬時速度來反映.

如果物體的運動規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體在t到t+Δt這段時間內，當Δt0時的平均速度:例1:物體作自由落體運動,運動方程為：其中位移單位是m,時間單位是s,g=10m/s2.求：(1)物體在時間區(qū)間[2,2.1]上的平均速度；(2)物體在時間區(qū)間[2,2.01]上的平均速度；(3)物體在t=2(s)時的瞬時速度.平均速度反映了物體運動時的快慢程度,但要精確8解:(1)將Δt=0.1代入上式，得:(2)將Δt=0.01代入上式，得:即物體在時刻t0=2(s)的瞬時速度等于20(m/s).當時間間隔Δt逐漸變小時,平均速度就越接近t0=2(s)時的瞬時速度v=20(m/s).解:(1)將Δt=0.1代入上式，得:(2)將Δt=09練習:某質點沿直線運動,運動規(guī)律是s=5t2+6,求:(1)2≤t≤2+Δt這段時間內的平均速度,這里Δt取值范圍為1;(2)t=2時刻的瞬時速度.練習:某質點沿直線運動,運動規(guī)律是s=5t2+6,求:103.導數(shù)的概念從上面兩個實例,一個是曲線的切線的斜率,一個是瞬時速度,具體意義不同,但通過比較可以看出它們的數(shù)學表達式結構是一樣的,即計算極限,這就是我們要學習的導數(shù)的定義.定義：設函數(shù)y=f(x)在點x0處及其附近有定義,當自變量x在點x0處有改變量Δx時函數(shù)有相應的改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果當Δx0時,Δy/Δx的極限存在,這個極限就叫做函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)(或變化率)記作即:3.導數(shù)的概念從上面兩個實例,一個是曲線的切線11如瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù).是函數(shù)f(x)在以x0與x0+Δx為端點的區(qū)間[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均變化率,而導數(shù)則是函數(shù)f(x)在點x0處的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度．如果函數(shù)y=f(x)在點x=x0存在導數(shù),就說函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,如果極限不存在,就說函數(shù)f(x)在點x0處不可導.如瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù).12由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的基本方法是:注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負.自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對應的形式.由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點x013例1:(1)求函數(shù)y=x2在x=1處的導數(shù);(2)求函數(shù)y=x+1/x在x=2處的導數(shù).例1:(1)求函數(shù)y=x2在x=1處的導數(shù);14導數(shù)的概念優(yōu)秀課件115如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內每一點都可導,就說函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內可導.這時,對每一個x(a,b)都有唯一確定的導數(shù)值與它對應,這樣在區(qū)間(a,b)內就構成一個新的函數(shù).這個新的函數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內的導函數(shù),記作,即:在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,那么函數(shù)在點x0處連續(xù)．如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內每一點都16求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)可分如下三步:求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)可分如下三步:17導數(shù)的概念優(yōu)秀課件1184.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.故曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程是:例1:設f(x)為可導函數(shù),且滿足條件,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率.故所求的斜率為-2.4.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點x0處19例2:如圖,已知曲線,求:

(1)點P處的切線的斜率;(2)點P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點P處的切線的斜率等于4.

(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.例2:如圖,已知曲線20例1:判斷下列各命題的真假:(1)已知函數(shù)y=f(x)的圖象上的點列P1,P2,P3,…Pn…,則過P0與Pn兩點的直線的斜率就是函數(shù)在點P0處的導數(shù).答:由函數(shù)在點P0處的導數(shù)的幾何意義知:函數(shù)在點P0處的導數(shù)是過P0點曲線(即函數(shù)y=f(x)的圖象)的切線的斜率,而不是割線P0Pn的斜率,故它是一個假命題.(2)若物體的運動規(guī)律是S=f(t),則物體在時刻t0的瞬時速度V等于答:由于它完全符合瞬時速度的定義,故它是一個真命題.(3)若函數(shù)y=f(x)的定義域為A,則對任一只要函數(shù)在x0處連續(xù),則就必存在.5.例題選講例1:判斷下列各命題的真假:答:由函數(shù)在點P0處的導數(shù)的幾何21答:它是一個假命題.例如,函數(shù)在x=0處連續(xù),但它在x=0處的導數(shù)不存在.(4)設是函數(shù)y=f(x)的圖象上的三點,且函數(shù)在P1,P2,P3

三點處的導數(shù)均存在.若,則必有答:,由于f(x)的導函數(shù)未必是單調增函數(shù).因此,不一定成立,例如f(x)=x3,則顯然有故是假命題.說明:要正確判斷命題的真假,需真正理解:曲線在點P處切線的斜率、瞬時速度、連續(xù)與可導等概念,還要把握好要確定一個命題為真命題,則需給出論證,而要給出否定的結論,舉一個反例就足夠了.答:它是一個假命題.例如,函數(shù)在x=0處連22例2:設函數(shù)f(x)在點x0處可導,求下列各極限值:分析:利用函數(shù)f(x)在點x0處可導的條件,將題目中給定的極限恒等變形為導數(shù)定義的形式.注意在導數(shù)定義中,自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對應的形式.例2:設函數(shù)f(x)在點x0處可導,求下列各極限值:分析:利23例3:證明:(1)可導的偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù);(2)可導的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù).證:(1)設偶函數(shù)f(x),則有f(-x)=f(x).(2)仿(1)可證命題成立,在此略去,供同學們在課后練習用.例3:證明:(1)可導的偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù);證:(1)設24練習1:設函數(shù)f(x)在點x0處可導,求下列各極限值:練習2:設函數(shù)f(x)在點x=a處可導,試用a、f(a)和練習1:設函數(shù)f(x)在點x0處可導,求下列各極限值:練習225例4:判斷函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處是否可導.從而函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處不可導.注:這是一個函數(shù)在某點連續(xù)但不可導的例子.例4:判斷函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處是否可導.從而函26練習3:函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處是否有導數(shù)?若有,求出來,若沒有,說明理由.故函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處沒有導數(shù),即不可導.練習3:函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處是否有導276.小結a.導數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù)學表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物理意義了認識這一概念的實質，學會用事物在全過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。b.要切實掌握求導數(shù)的三個步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數(shù)。c.弄清“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”、“導函數(shù)”、“導數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。（2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內任意點x而言的,就是函數(shù)f(x)的導函數(shù)。6.小結a.導數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù)b.28（3）如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a,b)內每一點都可導,就說函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導，這時，對于開區(qū)間內每一個確定的值x0，都對應著一個確定的導數(shù)，這樣就在開區(qū)間(a,b)內可構成一個新的函數(shù)，稱作f(x)的導函數(shù)。（4）函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)就是導函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，即。這也是求函數(shù)在點x0處的導數(shù)的方法之一。d.函數(shù)f(x)在點x0處有導數(shù)，則在該點處函數(shù)f(x)的曲線必有切線，且導數(shù)值是該切線的斜率；但函數(shù)f(x)的曲線在點x0處有切線，而函數(shù)f(x)在該點處不一定可導。如函數(shù)在x=0處有切線，但不可導。e.求切線方程的步驟：（3）如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a,b)內每一點都可導,29（1）求出函數(shù)在點x0處的變化率，得到曲線在點(x0,f(x0))的切線的斜率。（2）根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即f.無限逼近的極限思想是建立導數(shù)概念、用導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)的基本思想，丟掉極限思想就無法理解導數(shù)概念。（1）求出函數(shù)在點x0處的變化率，得到30

85.每一年，我都更加相信生命的浪費是在于：我們沒有獻出愛，我們沒有使用力量，我們表現(xiàn)出自私的謹慎，不去冒險，避開痛苦，也失去了快樂。――[約翰·B·塔布]86.微笑，昂首闊步，作深呼吸，嘴里哼著歌兒。倘使你不會唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一來，你想讓自己煩惱都不可能。――[戴爾·卡內基]87.當一切毫無希望時，我看著切石工人在他的石頭上，敲擊了上百次，而不見任何裂痕出現(xiàn)。但在第一百零一次時，石頭被劈成兩半。我體會到，并非那一擊，而是前面的敲打使它裂開。――[賈柯·瑞斯]88.每個意念都是一場祈禱。――[詹姆士·雷德非]89.虛榮心很難說是一種惡行，然而一切惡行都圍繞虛榮心而生，都不過是滿足虛榮心的手段。――[柏格森]90.習慣正一天天地把我們的生命變成某種定型的化石，我們的心靈正在失去自由，成為平靜而沒有激情的時間之流的奴隸。――[托爾斯泰]91.要及時把握夢想，因為夢想一死，生命就如一只羽翼受創(chuàng)的小鳥，無法飛翔。――[蘭斯頓·休斯]92.生活的藝術較像角力的藝術，而較不像跳舞的藝術；最重要的是：站穩(wěn)腳步，為無法預見的攻擊做準備。――[瑪科斯·奧雷利阿斯]93.在安詳靜謐的大自然里，確實還有些使人煩惱.懷疑.感到壓迫的事。請你看看蔚藍的天空和閃爍的星星吧!你的心將會平靜下來。[約翰·納森·愛德瓦茲]94.對一個適度工作的人而言，快樂來自于工作，有如花朵結果前擁有彩色的花瓣。――[約翰·拉斯金]95.沒有比時間更容易浪費的,同時沒有比時間更珍貴的了，因為沒有時間我們幾乎無法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的歡欣，就是在于你自認正在為一個偉大目標運用自己；而不是源于獨自發(fā)光.自私渺小的憂煩軀殼，只知抱怨世界無法帶給你快樂。――[蕭伯納]97.有三個人是我的朋友愛我的人.恨我的人.以及對我冷漠的人。愛我的人教我溫柔；恨我的人教我謹慎；對我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]98.過去的事已經一去不復返。聰明的人是考慮現(xiàn)在和未來，根本無暇去想過去的事。――[英國哲學家培根]99.真正的發(fā)現(xiàn)之旅不只是為了尋找全新的景色，也為了擁有全新的眼光。――[馬塞爾·普勞斯特]100.這個世界總是充滿美好的事物，然而能看到這些美好事物的人，事實上是少之又少。――[羅丹]101.稱贊不但對人的感情，而且對人的理智也發(fā)生巨大的作用，在這種令人愉快的影響之下，我覺得更加聰明了，各種想法，以異常的速度接連涌入我的腦際。――[托爾斯泰]102.人生過程的景觀一直在變化，向前跨進，就看到與初始不同的景觀，再上前去，又是另一番新的氣候――。[叔本華]103.為何我們如此汲汲于名利，如果一個人和他的同伴保持不一樣的速度，或許他耳中聽到的是不同的旋律，讓他隨他所聽到的旋律走，無論快慢或遠近。――[梭羅]104.我們最容易不吝惜的是時間，而我們應該最擔心的也是時間；因為沒有時間的話，我們在世界上什么也不能做。――[威廉·彭]105.人類的悲劇，就是想延長自己的壽命。我們往往只憧憬地平線那端的神奇【違禁詞，被屏蔽】，而忘了去欣賞今天窗外正在盛開的玫瑰花。――[戴爾·卡內基]106.休息并非無所事事，夏日炎炎時躺在樹底下的草地，聽著潺潺的水聲，看著飄過的白云，亦非浪費時間。――[約翰·羅伯克]107.沒有人會只因年齡而衰老，我們是因放棄我們的理想而衰老。年齡會使皮膚老化，而放棄熱情卻會使靈魂老化。――[撒母耳·厄爾曼]108.快樂和智能的區(qū)別在于：自認最快樂的人實際上就是最快樂的，但自認為最明智的人一般而言卻是最愚蠢的。――[卡雷貝·C·科爾頓]109.每個人皆有連自己都不清楚的潛在能力。無論是誰，在千鈞一發(fā)之際，往往能輕易解決從前認為極不可能解決的事。――[戴爾·卡內基]110.每天安靜地坐十五分鐘·傾聽你的氣息，感覺它，感覺你自己，并且試著什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆]111.你知道何謂沮喪---就是你用一輩子工夫，在公司或任何領域里往上攀爬，卻在抵達最高處的同時，發(fā)現(xiàn)自己爬錯了墻頭。－－[坎伯]112.「偉大」這個名詞未必非出現(xiàn)在規(guī)模很大的事情不可；生活中微小之處，照樣可以偉大。――[布魯克斯]113.人生的目的有二：先是獲得你想要的；然后是享受你所獲得的。只有最明智的人類做到第二點。――[羅根·皮沙爾·史密斯]114.要經常聽.時常想.時時學習，才是真正的生活方式。對任何事既不抱希望，也不肯學習的人，沒有生存的資格。――[阿薩·赫爾帕斯爵士]115.旅行的精神在于其自由，完全能夠隨心所欲地去思考.去感覺.去行動的自由。――[威廉·海茲利特]116.昨天是張退票的支票，明天是張信用卡，只有今天才是現(xiàn)金；要善加利用。――[凱·里昂]117.所有的財富都是建立在健康之上。浪費金錢是愚蠢的事，浪費健康則是二級的謀殺罪。――[B·C·福比斯]118.明知不可而為之的干勁可能會加速走向油盡燈枯的境地，努力挑戰(zhàn)自己的極限固然是令人激奮的經驗，但適度的休息絕不可少，否則遲早會崩潰。――[邁可·漢默]119.進步不是一條筆直的過程，而是螺旋形的路徑，時而前進，時而折回，停滯后又前進，有失有得，有付出也有收獲。――[奧古斯汀]120.無論那個時代，能量之所以能夠帶來奇跡，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。無論何處，活力皆是所謂“人格力量”的原動力，也是讓一切偉大行動得以持續(xù)的力量。――[史邁爾斯]121.有兩種人是沒有什么價值可言的：一種人無法做被吩咐去做的事，另一種人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯]122.對于不會利用機會的人而言，機會就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成為不會孵化的蛋。――[喬治桑]123.未來不是固定在那里等你趨近的，而是要靠你創(chuàng)造。未來的路不會靜待被發(fā)現(xiàn)，而是需要開拓，開路的過程，便同時改變了你和未來。――[約翰·夏爾]124.一個人的年紀就像他的鞋子的大小那樣不重要。如果他對生活的興趣不受到傷害，如果他很慈悲，如果時間使他成熟而沒有了偏見。――[道格拉斯·米爾多]125.大凡宇宙萬物，都存在著正、反兩面，所以要養(yǎng)成由后面.里面，甚至是由相反的一面，來觀看事物的態(tài)度――。[老子]126.在寒冷中顫抖過的人倍覺太陽的溫暖，經歷過各種人生煩惱的人，才懂得生命的珍貴。――[懷特曼]127.一般的偉人總是讓身邊的人感到渺?。坏嬲膫ト藚s能讓身邊的人認為自己很偉大。――[G.K.Chesteron]128.醫(yī)生知道的事如此的少，他們的收費卻是如此的高。――[馬克吐溫]129.問題不在于：一個人能夠輕蔑、藐視或批評什么，而是在于：他能夠喜愛、看重以及欣賞什么。――[約翰·魯斯金]導數(shù)的概念優(yōu)秀課件131導數(shù)的概念導數(shù)的概念323.1導數(shù)的概念

1.曲線的切線βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點,Q(x0+Δx,y0+Δy)為P鄰近一點,PQ為C的割線,PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的傾斜角.3.1導數(shù)的概念1.曲線的切線βy=f(x)PQMΔx33PQoxyy=f(x)割線切線T請看當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時,割線PQ繞著點P逐漸轉動的情況.PQoxyy=f(x)割線切線T請看當34我們發(fā)現(xiàn),當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:這個概念:①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質——函數(shù)平均變化率的極限.要注意,曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關;2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.我們發(fā)現(xiàn),當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→35例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:先利用切線斜率的定義求出切線的斜率,然后利用點斜式求切線方程.例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方36例2:已知曲線上一點P(1,2),用斜率的定義求過點P的切線的傾斜角和切線方程.故過點P的切線方程為:y-2=1?(x-1),即y=x+1.練習:求曲線上一點P(1,-1)處的切線方程.答案:y=3x-4.例2:已知曲線上一點P(1,372.瞬時速度

已知物體作變速直線運動,其運動方程為s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示時間),求物體在t0時刻的速度．如圖設該物體在時刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在時刻t0+Δt的位置是s(t0+Δt)=OA1,則從t0到t0+Δt這段時間內,物體的位移是:在時間段(t0+Dt)－t0=Dt內，物體的平均速度為:2.瞬時速度已知物體作變速直線運動,其運動方程為38

平均速度反映了物體運動時的快慢程度,但要精確地描述非勻速直線運動,就要知道物體在每一時刻運動的快慢程度,也即需要通過瞬時速度來反映.

如果物體的運動規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體在t到t+Δt這段時間內，當Δt0時的平均速度:例1:物體作自由落體運動,運動方程為：其中位移單位是m,時間單位是s,g=10m/s2.求：(1)物體在時間區(qū)間[2,2.1]上的平均速度；(2)物體在時間區(qū)間[2,2.01]上的平均速度；(3)物體在t=2(s)時的瞬時速度.平均速度反映了物體運動時的快慢程度,但要精確39解:(1)將Δt=0.1代入上式，得:(2)將Δt=0.01代入上式，得:即物體在時刻t0=2(s)的瞬時速度等于20(m/s).當時間間隔Δt逐漸變小時,平均速度就越接近t0=2(s)時的瞬時速度v=20(m/s).解:(1)將Δt=0.1代入上式，得:(2)將Δt=040練習:某質點沿直線運動,運動規(guī)律是s=5t2+6,求:(1)2≤t≤2+Δt這段時間內的平均速度,這里Δt取值范圍為1;(2)t=2時刻的瞬時速度.練習:某質點沿直線運動,運動規(guī)律是s=5t2+6,求:413.導數(shù)的概念從上面兩個實例,一個是曲線的切線的斜率,一個是瞬時速度,具體意義不同,但通過比較可以看出它們的數(shù)學表達式結構是一樣的,即計算極限,這就是我們要學習的導數(shù)的定義.定義：設函數(shù)y=f(x)在點x0處及其附近有定義,當自變量x在點x0處有改變量Δx時函數(shù)有相應的改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果當Δx0時,Δy/Δx的極限存在,這個極限就叫做函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)(或變化率)記作即:3.導數(shù)的概念從上面兩個實例,一個是曲線的切線42如瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù).是函數(shù)f(x)在以x0與x0+Δx為端點的區(qū)間[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均變化率,而導數(shù)則是函數(shù)f(x)在點x0處的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度．如果函數(shù)y=f(x)在點x=x0存在導數(shù),就說函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,如果極限不存在,就說函數(shù)f(x)在點x0處不可導.如瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù).43由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的基本方法是:注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負.自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對應的形式.由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點x044例1:(1)求函數(shù)y=x2在x=1處的導數(shù);(2)求函數(shù)y=x+1/x在x=2處的導數(shù).例1:(1)求函數(shù)y=x2在x=1處的導數(shù);45導數(shù)的概念優(yōu)秀課件146如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內每一點都可導,就說函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內可導.這時,對每一個x(a,b)都有唯一確定的導數(shù)值與它對應,這樣在區(qū)間(a,b)內就構成一個新的函數(shù).這個新的函數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內的導函數(shù),記作,即:在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,那么函數(shù)在點x0處連續(xù)．如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內每一點都47求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)可分如下三步:求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)可分如下三步:48導數(shù)的概念優(yōu)秀課件1494.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.故曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程是:例1:設f(x)為可導函數(shù),且滿足條件,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率.故所求的斜率為-2.4.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點x0處50例2:如圖,已知曲線,求:

(1)點P處的切線的斜率;(2)點P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點P處的切線的斜率等于4.

(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.例2:如圖,已知曲線51例1:判斷下列各命題的真假:(1)已知函數(shù)y=f(x)的圖象上的點列P1,P2,P3,…Pn…,則過P0與Pn兩點的直線的斜率就是函數(shù)在點P0處的導數(shù).答:由函數(shù)在點P0處的導數(shù)的幾何意義知:函數(shù)在點P0處的導數(shù)是過P0點曲線(即函數(shù)y=f(x)的圖象)的切線的斜率,而不是割線P0Pn的斜率,故它是一個假命題.(2)若物體的運動規(guī)律是S=f(t),則物體在時刻t0的瞬時速度V等于答:由于它完全符合瞬時速度的定義,故它是一個真命題.(3)若函數(shù)y=f(x)的定義域為A,則對任一只要函數(shù)在x0處連續(xù),則就必存在.5.例題選講例1:判斷下列各命題的真假:答:由函數(shù)在點P0處的導數(shù)的幾何52答:它是一個假命題.例如,函數(shù)在x=0處連續(xù),但它在x=0處的導數(shù)不存在.(4)設是函數(shù)y=f(x)的圖象上的三點,且函數(shù)在P1,P2,P3

三點處的導數(shù)均存在.若,則必有答:,由于f(x)的導函數(shù)未必是單調增函數(shù).因此,不一定成立,例如f(x)=x3,則顯然有故是假命題.說明:要正確判斷命題的真假,需真正理解:曲線在點P處切線的斜率、瞬時速度、連續(xù)與可導等概念,還要把握好要確定一個命題為真命題,則需給出論證,而要給出否定的結論,舉一個反例就足夠了.答:它是一個假命題.例如,函數(shù)在x=0處連53例2:設函數(shù)f(x)在點x0處可導,求下列各極限值:分析:利用函數(shù)f(x)在點x0處可導的條件,將題目中給定的極限恒等變形為導數(shù)定義的形式.注意在導數(shù)定義中,自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對應的形式.例2:設函數(shù)f(x)在點x0處可導,求下列各極限值:分析:利54例3:證明:(1)可導的偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù);(2)可導的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù).證:(1)設偶函數(shù)f(x),則有f(-x)=f(x).(2)仿(1)可證命題成立,在此略去,供同學們在課后練習用.例3:證明:(1)可導的偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù);證:(1)設55練習1:設函數(shù)f(x)在點x0處可導,求下列各極限值:練習2:設函數(shù)f(x)在點x=a處可導,試用a、f(a)和練習1:設函數(shù)f(x)在點x0處可導,求下列各極限值:練習256例4:判斷函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處是否可導.從而函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處不可導.注:這是一個函數(shù)在某點連續(xù)但不可導的例子.例4:判斷函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處是否可導.從而函57練習3:函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處是否有導數(shù)?若有,求出來,若沒有,說明理由.故函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處沒有導數(shù),即不可導.練習3:函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處是否有導586.小結a.導數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù)學表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物理意義了認識這一概念的實質，學會用事物在全過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。b.要切實掌握求導數(shù)的三個步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數(shù)。c.弄清“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”、“導函數(shù)”、“導數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。（2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內任意點x而言的,就是函數(shù)f(x)的導函數(shù)。6.小結a.導數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù)b.59（3）如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a,b)內每一點都可導,就說函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導，這時，對于開區(qū)間內每一個確定的值x0，都對應著一個確定的導數(shù)，這樣就在開區(qū)間(a,b)內可構成一個新的函數(shù)，稱作f(x)的導函數(shù)。（4）函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)就是導函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，即。這也是求函數(shù)在點x0處的導數(shù)的方法之一。d.函數(shù)f(x)在點x0處有導數(shù)，則在該點處函數(shù)f(x)的曲線必有切線，且導數(shù)值是該切線的斜率；但函數(shù)f(x)的曲線在點x0處有切線，而函數(shù)f(x)在該點處不一定可導。如函數(shù)在x=0處有切線，但不可導。e.求切線方程的步驟：（3）如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a,b)內每一點都可導,60（1）求出函數(shù)在點x0處的變化率，得到曲線在點(x0,f(x0))的切線的斜率。（2）根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即f.無限逼近的極限思想是建立導數(shù)概念、用導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)的基本思想，丟掉極限思想就無法理解導數(shù)概念。（1）求出函數(shù)在點x0處的變化率，得到61

85.每一年，我都更加相信生命的浪費是在于：我們沒有獻出愛，我們沒有使用力量，我們表現(xiàn)出自私的謹慎，不去冒險，避開痛苦，也失去了快樂。――[約翰·B·塔布]86.微笑，昂首闊步，作深呼吸，嘴里哼著歌兒。倘使你不會唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一來，你想讓自己煩惱都不可能。――[戴爾·卡內基]87.當一切毫無希望時，我看著切石工人在他的石頭上，敲擊了上百次，而不見任何裂痕出現(xiàn)。但在第一百零一次時，石頭被劈成兩半。我體會到，并非那一擊，而是前面的敲打使它裂開。――[賈柯·瑞斯]88.每個意念都是一場祈禱。――[詹姆士·雷德非]89.虛榮心很難說是一種惡行，然而一切惡行都圍繞虛榮心而生，都不過是滿足虛榮心的手段。――[柏格森]90.習慣正一天天地把我們的生命變成某種定型的化石，我們的心靈正在失去自由，成為平靜而沒有激情的時間之流的奴隸。――[托爾斯泰]91.要及時把握夢想，因為夢想一死，生命就如一只羽翼受創(chuàng)的小鳥，無法飛翔。――[蘭斯頓·休斯]92.生活的藝術較像角力的藝術，而較不像跳舞的藝術；最重要的是：站穩(wěn)腳步，為無法預見的攻擊做準備。――[瑪科斯·奧雷利阿斯]93.在安詳靜謐的大自然里，確實還有些使人煩惱.懷疑.感到壓迫的事。請你看看蔚藍的天空和閃爍的星星吧!你的心將會平靜下來。[約翰·納森·愛德瓦茲]94.對一個適度工作的人而言，快樂來自于工作，有如花朵結果前擁有彩色的花瓣。――[約翰·拉斯金]95.沒有比時間更容易浪費的,同時沒有比時間更珍貴的了，因為沒有時間我們幾乎無法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的歡欣，就是在于你自認正在為一個偉大目標運用自己；而不是源于獨自發(fā)光.自私渺小的憂煩軀殼，只知抱怨世界無法帶給你快樂。――[蕭伯納]97.有三個人是我的朋友愛我的人.恨我的人.以及對我冷漠的人。愛我的人教我溫柔；恨我的人教我謹慎；對我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]98.過去的事已經一去不復返。聰明的人是考慮現(xiàn)在和未來，根本無暇去想過去的事。――[英國哲學家培根]99.真正的發(fā)現(xiàn)之旅不只是為了尋找全新的景色，也為了擁有全新的眼光。――[馬塞爾·普勞斯特]100.這個世界總是充滿美好的事物，然而能看到這些美好事物的人，事實上是少之又少。――[羅丹]101.稱贊不但對人的感情，而且對人的理智也發(fā)生巨大的作用，在這種令人愉快的影響之下，我覺得更加聰明了，各種想法，以異常的速度接連涌入我的腦際。――[托爾斯泰]102.人生過程的景觀一直在變化，向前跨進，就看到與初始不同的景觀，再上前去，又是另一番新的氣候――。[叔本華]103.為何我們如此汲汲于名利，如果一個人和他的同伴保持不一樣