§2.2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一、調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和函數(shù)三、構(gòu)造解析函數(shù)§2.2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一、調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和一、調(diào)和函數(shù)考察三維空間中某無旋無源力場(或流速場)的勢函數(shù)。

引例沿閉路做功為零(即做功與路徑無關(guān))。又稱為保守場或者梯度場或者有勢場。存在勢函數(shù)使得即(1)無旋場設(shè)該力場為一、調(diào)和函數(shù)考察三維空間中某無旋無源力場(或流速場)的勢函數(shù)考察三維空間中某無旋無源力場(或流速場)的勢函數(shù)。

一、調(diào)和函數(shù)引例設(shè)該力場為(1)無旋場(2)無源場散度為零，

無旋無源力場的勢函數(shù)滿足特別地，對于平面力場即考察三維空間中某無旋無源力場(或流速場)的勢函數(shù)。一、調(diào)和一、調(diào)和函數(shù)則稱為區(qū)域

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。若二元實函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，定義且滿足拉普拉斯

(

Laplace

)

方程：注泊松

(

Poission

)

方程

P36定義

2.3

(

算子與算子)一、調(diào)和函數(shù)則稱為區(qū)域D內(nèi)的同理證明由解析，有(?)(?)(?)證明由解析，同理有(?)(?)(?)

P36定理

2.3

一、調(diào)和函數(shù)同理證明由二、共軛調(diào)和函數(shù)設(shè)函數(shù)及均為區(qū)域

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，定義函數(shù)

在區(qū)域

D

內(nèi)解析的充要定理條件是：在區(qū)域D內(nèi)，v

是

u

的共軛調(diào)和函數(shù)。則稱

v

是

u

的共軛調(diào)和函數(shù)。注意

v

是

u

的共軛調(diào)和函數(shù)

u

是

v

的共軛調(diào)和函數(shù)。

且滿足

C

-

R

方程：

P37定義

2.4

P37定理

2.4

二、共軛調(diào)和函數(shù)設(shè)函數(shù)及三、構(gòu)造解析函數(shù)問題已知實部u，求虛部v

(或者已知虛部v，求實部u

)，使解析，且滿足指定的條件。注意

必須首先檢驗

u

或

v

是否為調(diào)和函數(shù)。方法

偏積分法

全微分法構(gòu)造解析函數(shù)的依據(jù)：依據(jù)

(1)u

和

v

本身必須都是調(diào)和函數(shù)；

(2)u

和

v

之間必須滿足

C

-

R

方程。三、構(gòu)造解析函數(shù)問題已知實部u，求虛部v(或者已知虛部方法

偏積分法三、構(gòu)造解析函數(shù)(

不妨僅考慮已知實部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程(2)將

(A)

式的兩邊對變量y

進(jìn)行(偏)積分得：其中，已知，而待定。(3)將

(C

)

式代入

(B

)

式，求解即可得到函數(shù)得到待定函數(shù)

v的兩個偏導(dǎo)數(shù)：(A)(B

)(C

)方法偏積分法三、構(gòu)造解析函數(shù)(不妨僅考慮已知實部u的C方法三、構(gòu)造解析函數(shù)

全微分法(

不妨僅考慮已知實部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程得到待定函數(shù)

v

的全微分：(2)利用第二類曲線積分(與路徑無關(guān))

得到原函數(shù)：C0C1C2其中，或P39

C方法三、構(gòu)造解析函數(shù)全微分法(不妨僅考慮已知實部u故是調(diào)和函數(shù)。由解(1)驗證為調(diào)和函數(shù)P38例2.6修改

故是調(diào)和函數(shù)。由解(1)驗證解由由(2)求虛部。

方法一：

偏積分法解由由(2)求虛部。方法一：解(2)求虛部。

由方法二：

全微分法C1C2解(2)求虛部。由方法二：全微解(3)求確定常數(shù)

c根據(jù)條件將代入得即得解(3)求確定常數(shù)c根據(jù)條件將故是調(diào)和函數(shù)。由解(1)驗證為調(diào)和函數(shù)驗證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實部▲P40例2.8

故是調(diào)和函數(shù)。由解(1)驗證由由解(2)求虛部。

方法一：

偏積分法驗證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實部▲由由解(2)求虛部。方法一：由方法二：

全微分法(利用第二類曲線積分)C1C2驗證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實部▲解(2)求虛部。

由方法二：全微分法(利用第二類曲線積分)C1C2驗證由方法三：

全微分法(利用“反微分”法)驗證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實部▲解(2)求虛部。

由方法三：全微分法(利用“反微分”法)驗證由方法四：

直接利用已知的解析函數(shù)與“唯一性”故是解析函數(shù)的實部，驗證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實部▲解(2)求虛部。

由方法四：直接利用已知的解析函數(shù)與“唯一性”故解(3)求確定常數(shù)

c根據(jù)條件將代入得即得驗證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實部▲解(3)求確定常數(shù)c根據(jù)條件將休息一下……休息一下……附：知識廣角——算子與算子哈密頓

(

Hamilton

)

算子“那布拉”拉普拉斯

(

Laplace

)

算子“德爾塔”則梯度設(shè)為向量場，則設(shè)為數(shù)量場，例如拉普拉斯

(

Laplace

)

方程泊松

(

Poission

)

方程例如散度旋度(返回)附：知識廣角——算子與算子哈密頓(§2.2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一、調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和函數(shù)三、構(gòu)造解析函數(shù)§2.2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一、調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和一、調(diào)和函數(shù)考察三維空間中某無旋無源力場(或流速場)的勢函數(shù)。

引例沿閉路做功為零(即做功與路徑無關(guān))。又稱為保守場或者梯度場或者有勢場。存在勢函數(shù)使得即(1)無旋場設(shè)該力場為一、調(diào)和函數(shù)考察三維空間中某無旋無源力場(或流速場)的勢函數(shù)考察三維空間中某無旋無源力場(或流速場)的勢函數(shù)。

一、調(diào)和函數(shù)引例設(shè)該力場為(1)無旋場(2)無源場散度為零，

無旋無源力場的勢函數(shù)滿足特別地，對于平面力場即考察三維空間中某無旋無源力場(或流速場)的勢函數(shù)。一、調(diào)和一、調(diào)和函數(shù)則稱為區(qū)域

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。若二元實函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，定義且滿足拉普拉斯

(

Laplace

)

方程：注泊松

(

Poission

)

方程

P36定義

2.3

(

算子與算子)一、調(diào)和函數(shù)則稱為區(qū)域D內(nèi)的同理證明由解析，有(?)(?)(?)證明由解析，同理有(?)(?)(?)

P36定理

2.3

一、調(diào)和函數(shù)同理證明由二、共軛調(diào)和函數(shù)設(shè)函數(shù)及均為區(qū)域

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，定義函數(shù)

在區(qū)域

D

內(nèi)解析的充要定理條件是：在區(qū)域D內(nèi)，v

是

u

的共軛調(diào)和函數(shù)。則稱

v

是

u

的共軛調(diào)和函數(shù)。注意

v

是

u

的共軛調(diào)和函數(shù)

u

是

v

的共軛調(diào)和函數(shù)。

且滿足

C

-

R

方程：

P37定義

2.4

P37定理

2.4

二、共軛調(diào)和函數(shù)設(shè)函數(shù)及三、構(gòu)造解析函數(shù)問題已知實部u，求虛部v

(或者已知虛部v，求實部u

)，使解析，且滿足指定的條件。注意

必須首先檢驗

u

或

v

是否為調(diào)和函數(shù)。方法

偏積分法

全微分法構(gòu)造解析函數(shù)的依據(jù)：依據(jù)

(1)u

和

v

本身必須都是調(diào)和函數(shù)；

(2)u

和

v

之間必須滿足

C

-

R

方程。三、構(gòu)造解析函數(shù)問題已知實部u，求虛部v(或者已知虛部方法

偏積分法三、構(gòu)造解析函數(shù)(

不妨僅考慮已知實部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程(2)將

(A)

式的兩邊對變量y

進(jìn)行(偏)積分得：其中，已知，而待定。(3)將

(C

)

式代入

(B

)

式，求解即可得到函數(shù)得到待定函數(shù)

v的兩個偏導(dǎo)數(shù)：(A)(B

)(C

)方法偏積分法三、構(gòu)造解析函數(shù)(不妨僅考慮已知實部u的C方法三、構(gòu)造解析函數(shù)

全微分法(

不妨僅考慮已知實部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程得到待定函數(shù)

v

的全微分：(2)利用第二類曲線積分(與路徑無關(guān))

得到原函數(shù)：C0C1C2其中，或P39

C方法三、構(gòu)造解析函數(shù)全微分法(不妨僅考慮已知實部u故是調(diào)和函數(shù)。由解(1)驗證為調(diào)和函數(shù)P38例2.6修改

故是調(diào)和函數(shù)。由解(1)驗證解由由(2)求虛部。

方法一：

偏積分法解由由(2)求虛部。方法一：解(2)求虛部。

由方法二：

全微分法C1C2解(2)求虛部。由方法二：全微解(3)求確定常數(shù)

c根據(jù)條件將代入得即得解(3)求確定常數(shù)c根據(jù)條件將故是調(diào)和函數(shù)。由解(1)驗證為調(diào)和函數(shù)驗證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實部▲P40例2.8

故是調(diào)和函數(shù)。由解(1)驗證由由解(2)求虛部。

方法一：

偏積分法驗證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實部▲由由解(2)求虛部。方法一：由方法二：

全微分法(利用第二類曲線積分)C1C2驗證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實部▲解(2)求虛部。

由方法二：全微分法(利用第二類曲線積分)C1C2驗證由方法三：

全微分法(利用“反微分”法)驗證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實部▲解