期中解答題精選50題（提升版）1．（2020·北京市第十二中學(xué)高二期中）如圖，在三棱柱中，平面，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）存在；．【詳解】（1）證明：因?yàn)闉槿庵?，所以?cè)面為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面；（2）解：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以，即，令，則，，故，所以，因?yàn)槠矫媾c平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為；（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)與平面所成的角為，則，所以，解得或（舍），所以在線段上存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，此時(shí)．2．（2021·北京市朝陽(yáng)區(qū)北京教育學(xué)院朝陽(yáng)分院高二期中）如圖，在三棱錐中，底面為等邊三角形，，且平面平面．（1）求三棱錐的體積；（2）求二面角的余弦值；（3）判斷在線段上是否存在點(diǎn)Q，使得為直角三角形？若存在，找出所有符合要求的點(diǎn)Q，并求的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）4；（2）；（3）存在，或.【詳解】（1）如圖，過(guò)P作，∵平面平面，∴平面．在中，，∴，∴．∴三棱錐的體積．（2）取的中點(diǎn)分別為M，N，連接．在等邊中，∵O、N分別為的中點(diǎn)，∴．由（1）可知：平面，∴，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．．∴，．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則且．∴，令，則．∴．∵x軸⊥平面，∴取作為平面的法向量．設(shè)二面角的大小為，由圖可知．∴．∴二面角的余弦值為．（3）在線段上存在點(diǎn)Q，使得為直角三角形．設(shè)．則，，．①當(dāng)時(shí)，則，得，解得或1．當(dāng)時(shí)，Q與O重合，為直角三角形，且；當(dāng)時(shí)，Q與M重合，為直角三角形，且；②當(dāng)時(shí)，則，得，解得，不符合題意，應(yīng)舍去；③當(dāng)時(shí)，則，得，解得，不符合題意，應(yīng)舍去．綜上可知：在線段上存在點(diǎn)Q，使得為直角三角形，且或．3．（2021·北京市朝陽(yáng)區(qū)北京教育學(xué)院朝陽(yáng)分院高二期中）在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，Q為中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫妫裕郑⒁訟為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸的空間直角坐標(biāo)系（如圖）．因?yàn)椋裕諵為中點(diǎn)，所以．所以，，所以，所以．（Ⅱ）解：設(shè)平面的法向量為，則因?yàn)椋?，所以，令，得，則．∵，∴直線與平面所成角的正弦值為.4．（2021·天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué)濱海學(xué)校高二期中（理））如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)．（1）求證：BD1//平面ACE；（2）求直線AD與平面ACE所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【詳解】（1）證明：設(shè)，連接EF，則，又∵面ACE，面ACE，∴面ACE.（2）以所在的直線為軸的正半軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，，，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，所以，即，令，則，所以，所以，所以直線AD與平面ACE所成角的正弦值為．5．（2021·江西豐城九中高二期中（理））如圖，多面體PQABCD中，四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，，，，．（1）設(shè)點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，求證：對(duì)任意的正數(shù)a，四邊形PQFA為平面四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】解：（1）取棱的中點(diǎn)，則有，，又，所以CD⊥平面AFQ，在菱形中，，所以，又平面，所以有，，所以CD⊥平面PAF．由AFQ與平面PAF均過(guò)點(diǎn)A可得平面AFQ與平面PAF重合．即P、Q、F、A共面，所以PQFA為平面四邊形；（2）分別以AB、AF、AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則當(dāng)時(shí)，由可得，設(shè)在平面內(nèi)的射影為，則有相似于，即，所以Q的坐標(biāo)為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則有，即，令，有．設(shè)直線與平面所成角為，則．即直線與平面所成角的正弦值為．6．（2020·天津市天津中學(xué)高二期中）如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點(diǎn)為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求點(diǎn)到直線的距離；（4）設(shè)為線段上的點(diǎn)，且，求直線和平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）；（4）.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則且，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，則且，又是正方形的中心，則，所以且，則四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，因?yàn)槠矫?，則平面的一個(gè)法向量為，所以，則二面角的正弦值為；（3）解：因?yàn)椋?，，則，，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為；（4）解：因?yàn)?，則，設(shè)，則，解得，故，所以，故直線和平面所成角的正弦值為.7．（2020·浙江瑞安中學(xué)高二期中）已知矩形中，，，，分別在，上，且，，沿將四邊形折成四邊形，使點(diǎn)在平面上的射影在直線上.（1）求證：∥平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）∵∥∥∴∥平面，∥平面∴平面∥平面∴∥平面（2）方法一：由（1）可知平面∥平面∴二面角與二面角互補(bǔ)過(guò)作于，連結(jié)∵平面∴∴平面∴∵，，∴∵∴又∵，∴∵∴過(guò)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)∵平面∴∴平面∴∴為二面角的平面角∵∴∴二面角的大小為方法二：如圖，過(guò)作∥，過(guò)作平面分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系∵在平面上的射影在直線上，設(shè)（）∵，，∴∴∴∴設(shè)平面的法向量為，又有∴又∵平面的法向量為設(shè)二面角的大小為，顯然為鈍角∴∴8．（2020·浙江瑞安中學(xué)高二期中）如圖，在四面體中，，，.（1）求點(diǎn)到面的距離；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，在平面內(nèi)作，垂足為，由，得，因?yàn)?，則、均為等邊三角形，所以，，為的中點(diǎn)，所以，，，故平面，平面，則，，，平面，，，則，為的中點(diǎn)，則，，，，則，故，在中，，，則，則，所以，點(diǎn)與點(diǎn)重合，故，所以，點(diǎn)到面的距離為；（2），則，所以，，所以，異面直線與所成角的余弦值為.9．（2020·青海湟川中學(xué)高二期中）在正四棱柱中，，為的中點(diǎn).求證：（1）平面.（2）平面.【詳解】根據(jù)題意以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則，，，，，，，，，（1）設(shè)平面的法向量，，，由，即，取，則，，得，又，因?yàn)?，所以，且平?所以平面．（2）由（1）可知平面的法向量，，，所以，所以平面．10．（2021·安徽華星學(xué)校（理））如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱⊥底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè).（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接.依題意得.因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以點(diǎn)是此正方形的中心，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，即，而平面，且平面，因此平面．（2），因?yàn)椋?，所?由已知得，且，所以平面，所以平面的一個(gè)法向量為.，設(shè)平面的法向量為，則取，則，即，則，設(shè)二面角的平面角為，因?yàn)椋裕娼堑恼抑荡笮椋?1．（2021·上海楊浦·復(fù)旦附中高二期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上的動(dòng)點(diǎn).（1）試確定點(diǎn)F的位置，使得平面；（2）若F是CD的中點(diǎn)，求二面角的大?。唬?）若F是CD的中點(diǎn)，求到面的距離.【答案】（1）F為中點(diǎn)；（2）；（3）2.【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)，則要使平面，則由得∴即，此時(shí)，∴平面，∴F是CD的中點(diǎn)時(shí)平面.（2）設(shè)平面的法向量為，又所以，∴，令，，設(shè)平面的法向量為，則可取，∴，∴二面角的大小為；（3）因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，由上知平面的法向量為又，∴到面的距離為.12．（2021·河北高二期中）如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求的值【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）因?yàn)锳BCD是直角梯形，，，所以.又因?yàn)?，，所以平面PAD，又因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面平面ABCD.（2）由（1）知平面PAD，平面PAD，所以，又，所以，即，又，所以平面ABCD，又，即，則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以向量，，的正方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，.則，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由即，令，得，設(shè)，由，得，所以，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，得，令，得平面PAM的一個(gè)法向量為，，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，所以，解得或，因?yàn)?，所?13．（2021·上海市亭林中學(xué)高二期中）在四棱錐中，底面是矩形，平面，且，，是的中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）求直線和平面所成角的大?。唬?）求異面直線和所成角的大小.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）.【詳解】（1）∵底面是矩形，∴，又平面，平面，∴，又，，平面，∴平面.（2）方法一：∵平面，∴為在平面的射影，∴即為直線和平面所成角，∵，∴，又，∴在中，，∴，即，∴直線和平面所成角的大小為.方法二：如圖所示以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，由（1）知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線和平面所成角為，則，∴直線和平面所成角的大小為.（3）∵是的中點(diǎn)，∴又∴，∴∴異面直線和所成角的大小為.14．（2021·南澗彝族自治縣民族中學(xué)高二期中（理））如圖，在水平放置的四棱錐中，平面，，，.（1）為線段上動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使并證明；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）為線段的中點(diǎn)，證明見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）為線段的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，則，且，因?yàn)?，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)椋c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫妫裕驗(yàn)椋?，因?yàn)椋悦妫?，所以，因?yàn)椋?，所以面，所以面，因?yàn)槊?，所以；?）因?yàn)閮蓛纱怪?，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，則，，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由則，解得可得，所以因?yàn)槊?，所以為平面的一個(gè)法向量，所以，因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的余弦值為，所以二面角的正弦值為.15．（2020·興安縣興安中學(xué)高二期中（文））如圖，直三棱柱中，，、分別為、的中點(diǎn)，，二面角的大小為．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求與平面所成的角的大小．【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）．【詳解】（Ⅰ）證明：取得中點(diǎn)，連結(jié)、，則，且，，且∴，且，∴四邊形為平行四邊形∴，又平面，平面∴平面．（Ⅱ）解：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，，，則，，，，∴，∵面，∴，∴，∴，設(shè)面的法向量則，∴，令，則，，∴又面的法向量由已知得：，∴∴∴，又∴與面所成角為．16．（2021·汕頭市東方中學(xué)高二期中）如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，，是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若為的中點(diǎn)，證明平面；（2）求證：不論點(diǎn)在何位置，都有；（3）在（1）的條件下，求二面角的大小．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【詳解】（1）如圖，連接與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸钦叫危允侵悬c(diǎn)，因?yàn)槭莻?cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）因?yàn)椋?，，所以，，同理可得，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榈酌媸钦叫危?，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，所?（3）如圖，以為原點(diǎn)，、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，，設(shè)二面角的大小為，則，結(jié)合圖像易知，二面角的大小為.17．（2021·江蘇揚(yáng)州·）已知在四棱錐中，平面為的中點(diǎn).（1）求證;平面;（2）若，求銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)為，分別連接又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且又因?yàn)樗裕运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以又平面平面所以平面?）解：由題意三條直線兩兩相互垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，因?yàn)樵谒倪呅沃?，所以點(diǎn)在線段的垂直平分線上.又因?yàn)樗运杂悬c(diǎn)，，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令得易知平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?，所以銳二面角的余弦值為.18．（2021·寧夏吳忠中學(xué)（理））如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】解：（1）設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)榈酌媸蔷匦危詾橹悬c(diǎn).又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，.因?yàn)榈酌鏋榫匦危?因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面平面.所以平面，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，所以.令，則，，所以.平面的法向量為，則.如圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.19．（2020·安徽立人中學(xué)高二期中（理））如圖，在矩形中，，E為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得平面平面．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】解：（1）設(shè)，則，∴，∴．∵平面平面，平面平面，∴平面．（2）取中點(diǎn)O，連接，∵，∴，∴平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取可得，設(shè)平面的法向量為，則，取可得，所以，由圖可得二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為．20．（2020·安徽立人中學(xué)高二期中（理））如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，在底面上的射影D在棱上，且平面．（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)O，連接，所以O(shè)為的中點(diǎn)，則平面平面，∵平面，∴，∵O為的中點(diǎn)，∴D為的中點(diǎn)，∴，∵平面，∴，∴，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）以所在的直線為的正半軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，∴，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為．21．（2021·江西豐城九中高二期中（理））如下圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面都是矩形，是的中點(diǎn)，.（1）求證：；（2）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長(zhǎng)度.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】解：（1）因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面是矩形，所以，又因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）由（1）可知，又因?yàn)椋?，所以平?設(shè)為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則有，即，令，有．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則有，即，令，有．由平面與平面所成的銳二面角的大小為，得，解得.22．（2021·江西豐城九中高二期中（理））如圖，高為的等腰梯形，，為的四等分點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使平面平面，連接、．（1）若，且滿足平面，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)點(diǎn)為邊中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）連接交于，連接.梯形中，，則，由平面，平面，平面平面，在中，.即，所以．（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，在平面中，，所以平?建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，.則有，即，令，有．.故點(diǎn)到平面的距離為．23．（2020·海安市曲塘中學(xué)高二期中）在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，△ABC為等邊三角形，PA＝2AB＝2，AC⊥CD，直線PD與平面PAC所成角的正切值為．（1）證明：BC∥平面PAD；（2）若M是BP的中點(diǎn)，求二面角P-CD-M的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【詳解】（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD；因?yàn)镻A⊥CD，AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA、AC平面PAC，所以CD⊥平面PAC，所以直線PD與平面PAC所成角為∠DPC；在Rt△PCD中，PC＝，tan∠DPC＝，所以CD＝；在Rt△ACD中，AC＝1，CD＝，所以AD＝2，∠DAC＝60°；在四邊形ABCD中，因?yàn)椤螪AC＝∠ACB，所以BC∥AD；因?yàn)锽C∥AD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD；（2）取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)AN.在等邊△ABC中，AN⊥BC，又BC∥AD，所以AN⊥AD；因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AN、AD平面ABCD，所以PA⊥AN，PA⊥AD；以{，，}這組正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，所以P(0，0，2)，B(，－，0)，C(，，0)，M(，－，1)，D(0，2，0)；設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量＝(x1，y1，z1)，由·＝0，·＝0得，，其一組解為，所以＝(，1，1)；設(shè)平面MCD的一個(gè)法向量＝(x2，y2，z2)，由·＝0，·＝0得，，其一組解為，所以＝(，，1)；因?yàn)閏os<，>＝＝，所以二面角P-CD-M的平面角的余弦值為．24．（2021·江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)）在四棱錐中，平面，，，，，，M是棱的中點(diǎn)．（1）求與平面所成的角的大小；（2）在棱上是否存在點(diǎn)Q，使得平面與平面所成的銳二面角的大小為60°？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在，【詳解】如圖，以所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，（1），，設(shè)平面的法向量，則所以可取，設(shè)與平面所成的角為則，所以與平面所成的角為；（2）平面的法向量可取設(shè)，則所以，設(shè)平面的法向量為，則可取因?yàn)槠矫媾c平面所成的銳二面角的大小為60°.所以，所以解得或（舍）所以，所以25．（2021·江蘇儀征中學(xué)高二期中）如圖，在三棱錐中，，，分別為棱，，的中點(diǎn).已知，，，.求證：平面平面；求二面角平面角的余弦值.【答案】證明見(jiàn)解析；.【詳解】解：證明：連接，，為，中點(diǎn)，.，為，中點(diǎn)，.，.，.，，.，平面.平面，平面平面.由知，為中點(diǎn)，，則，又平面，.，平面.即,,兩兩垂直，所以建立以為原點(diǎn)，以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，平面，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則設(shè)二面角大小為，由圖可知為銳角，則.26．（2020·北京市第十二中學(xué)高二期中）已知圓：過(guò)點(diǎn)．（1）求圓的面積；（2）直線：交軸于點(diǎn)，交圓于，兩點(diǎn)，直線，分別交軸于點(diǎn)，，記，的面積分別為，，求證：為定值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【詳解】（1）解：因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)，則，所以圓的面積為；（2）證明：設(shè)，，，，且，，由題意可知，，，聯(lián)立方程組，可得，所以，解得，，，所以，，則，故，所以，則，所以，故為定值2．27．（2020·北京市平谷區(qū)第五中學(xué)高二期中）已知直線和的交點(diǎn)為．（1）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線平行，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，求的面積（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．【答案】（1）；（2）30【詳解】解：（1）由，解得：，可得直線和的交點(diǎn)為，由于直線l3的斜率為，故過(guò)點(diǎn)P且與直線平行的直線l的方程為，即；（2）由題意知：直線m的斜率存在且不為零，設(shè)直線m的斜率為k，則直線m的方程為，由于直線m與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且為線段AB的中點(diǎn)，故：，，解得，故，故的面積為.28．（2020·天津市天津中學(xué)高二期中）已知圓的圓心在直線上，且與直線：相切于點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程.【答案】（1）；（2）或.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)與直線：垂直的直線的斜率為，所以直線的方程為，即.由，解得.所以.故圓的方程為：.（2）①若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，即直線是，與圓相切，符合題意；②若過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè)直線方程為，即，若直線與圓相切，則有，解得.此時(shí)直線的方程為，即.綜上，切線的方程為或.29．（2020·永豐縣永豐中學(xué)高二期中（文））在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，.（1）求邊所在直線的方程；（2）邊上中線的方程為，且的面積等于7，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）或.【詳解】（1）∵，采用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程：∴（2）∵點(diǎn)在中線上，把點(diǎn)坐標(biāo)代入，點(diǎn)到直線的距離∵即或所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為或30．（2020·浙江）已知兩條直線，相交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在上取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn)（在的下方），若的面積為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）將兩直線方程聯(lián)立得，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）由題意可知點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，，所以，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：，即，所以或，因?yàn)辄c(diǎn)在的下方，所以，點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的斜率為：，所以直線的方程為即.31．（2021·荊州市沙市第五中學(xué)高二期中）已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，圓心在直線上，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與圓相交于，兩點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）設(shè)圓的方程為，則依題意，得解得∴圓的方程為（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，將，代入并整理，得，∴，∴，即，解得，又當(dāng)時(shí)，∴，∴直線的方程為32．（2020·安徽立人中學(xué)高二期中（理））已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心C在直線上，直線l的方程為．（1）求圓C的方程；（2）證明：直線l與圓C一定相交；（3）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【詳解】（1）因?yàn)?，所以的中垂線為上，由，解得，所以圓心為，又半徑，∴圓C的方程為．（2）直線l的方程可化為，令可得，，∴直線l過(guò)定點(diǎn)，由可知M在圓內(nèi)，∴直線l與圓C一定相交．（3）設(shè)圓心C到直線l的距離為d，弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，則，∵，即，∴，即弦長(zhǎng)的取值范圍是．33．（2018·四川雅安市·雅安中學(xué)高二期中（文））已知直線．（1）求證：無(wú)論為何實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)一定點(diǎn)；（2）若直線過(guò)點(diǎn)，且與軸負(fù)半軸、軸負(fù)半軸圍成三角形面積最小，求直線的方程．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）證明：將直線的方程化為，解方程組，解得，故直線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，令，可得，令，可得，由已知可得，解得，所以，三角形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線的方程為，即.34．（2021·臺(tái)州市書生中學(xué)高二期中）已知圓，直線．（1）求證：對(duì)，直線與圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；（2）設(shè)與圓交與不同兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）若直線過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)分弦為，求此時(shí)直線的方程．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）或.【詳解】（1）圓的圓心，半徑為，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，故對(duì)，直線與圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；（2）當(dāng)與不重合時(shí)，連接，則，所以，設(shè)，則，整理得，當(dāng)與重合時(shí)，也滿足，故弦的中點(diǎn)的軌跡方程為;（3）設(shè)，由，得，所以，即，又，消去得，所以，，由得，將帶入得，所以此時(shí)直線的方程為或.35．（2020·大連市紅旗高級(jí)中學(xué)高二期中）已知直線方程為.（1）證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）為何值時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為多少?（3）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）時(shí)，距離最大，最大值為；（3）面積的最小值為，此時(shí)直線方程為.【詳解】（1）由直線方程整理可得：，由得：，直線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）由（1）知：直線恒過(guò)定點(diǎn)，則當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，又所在直線方程為：，即，當(dāng)與直線垂直時(shí)，，解得：；則最大值；（3）由題意知：直線斜率存在且不為零，令得：，即；令得：，即；又位于軸的負(fù)半軸，，解得：；，令，則，，，，，則當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)直線的方程為：.36．（2020·遼寧高二期中）已知圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為.（1）若，切點(diǎn)，求直線；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由題意，直線切于點(diǎn)，則，又切點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，故直線的方程為，即.聯(lián)立直線和，解得即，所以直線的斜率為，故直線的方程為.（2）設(shè)，由，可得，即，即滿足的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，所以問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)，所以，即，解得.37．（2021·浙江杭州·高二期中）已知圓的圓心為，且圓與直線相切．（1）求圓的方程；（2）圓與軸交于兩點(diǎn)，若一條動(dòng)直線交圓于兩點(diǎn)，記圓心到直線的距離為．（i）當(dāng)時(shí)，求的值．（ii）當(dāng)時(shí)，試問(wèn)是否為定值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）為定值，理由見(jiàn)詳解.【詳解】（1）依題意得圓的半徑，又圓心為，所以，圓的方程為；（2）由，令得，所以.（i）聯(lián)立得或，所以.則直線的方程為，即.圓心到直線的距離，，（ii）因?yàn)?，所以?lián)立得.則直線的方程為，即.圓心到直線的距離，，所以，，故為定值.38．（2020·黑龍江哈爾濱·哈九中高二期中（理））已知圓C經(jīng)過(guò)三點(diǎn).（1）求圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)A在圓C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且點(diǎn)M滿足，記點(diǎn)M的軌跡為.①求的方程；②試探究：在直線上是否存在定點(diǎn)T(異于原點(diǎn)O)，使得對(duì)于上任意一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）①；②存在，定點(diǎn)為．【詳解】（1）設(shè)圓C的方程為，將三點(diǎn)分別代入得，解得，所以圓C的方程為；（2）①設(shè)，則：，∴，∴，∵點(diǎn)A在圓C上運(yùn)動(dòng)，∴，即：∴∴，所以點(diǎn)M的軌跡方程為，它是一個(gè)以為圓心，以1為半徑的圓；②假設(shè)存在一點(diǎn)滿足(其中為常數(shù))，設(shè)，則：，整理化簡(jiǎn)得：，∵P在軌跡上，∴，化簡(jiǎn)得：，所以，整理得，∴，解得：；∴存在滿足題目條件．39．（2020·黑龍江哈爾濱·哈九中高二期中（理））已知圓與軸相切，圓心點(diǎn)在直線上，且直線被圓所截得的線段長(zhǎng)為.（1）求圓的方程；（2）若圓與軸正半軸相切，從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)直線反射，反射光線剛好通過(guò)圓的圓心，求反射光線所在直線的方程.【答案】（1）圓或；（2）.【詳解】（1）設(shè)圓，由題意得：…①，…②，…③，由①得，則，代入③得：；當(dāng)時(shí)，，，圓；當(dāng)時(shí)，，圓；綜上所述：圓或.（2）圓與軸正半軸相切，圓，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得：，，反射光線所在直線的斜率，反射光線所在直線方程為：，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的基本方法如下：①與連線與直線垂直，即；②中點(diǎn)在直線上，即；③與到直線的距離相等，即；上述三個(gè)等量關(guān)系中任選兩個(gè)構(gòu)成方程組，即可求得對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).40．（2020·黑龍江哈爾濱·哈九中高二期中（文））已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段的中點(diǎn)，且直線過(guò)定點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）記（1）中求得的圖形的圓心為，（i）若直線與圓相切，求直線的方程；（ii）若直線與圓交于兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.【答案】（1）；（2）（i）或；（ii）面積的最大值為，此時(shí)方程為：或.【詳解】（1）設(shè)，，是線段中點(diǎn)，，整理可得：，在圓上，，整理可得點(diǎn)軌跡方程為：.（2）（i）由（1）知：圓心，半徑，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，是圓的切線，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，圓心到直線距離，解得：，；綜上所述：直線的方程為或；（ii）由直線與圓交于兩點(diǎn)知：直線斜率存在且不為，設(shè)其方程為：，即，圓心到直線距離，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），由得：，解得：或，面積的最大值為，此時(shí)方程為：或.41．（2020·廣東佛山市·佛山一中）已知直線，若直線在軸上的截距為，且.（1）求直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知直線經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，且在軸上截距是在軸上的截距的倍，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【詳解】（1）設(shè)的方程為，.因?yàn)樵谳S上的截距為，所以，解得，即：，聯(lián)立，得所以直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）當(dāng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，的方程為，當(dāng)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)的方程為，又直線經(jīng)過(guò)與的交點(diǎn)，所以，得，的方程為，綜上，的方程為或.42．（2020·永豐縣永豐中學(xué)高二期中（文））已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設(shè)所求圓的方程為由題意得，解得所以，圓的方程為（2）由（1）得，則圓心為，半徑為1；而表示圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)，不妨設(shè)直線方程為：，即，則圓心到直線的距離為，解得，因此的取值范圍是；43．（2021·全國(guó)高二期中）設(shè)圓的半徑為，圓心是直線與直線的交點(diǎn)．（1）若圓過(guò)原點(diǎn)，求圓的方程；（2）已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由，得，所以圓心.又圓過(guò)原點(diǎn)，，圓的方程為：；（2）設(shè)，由，得：，化簡(jiǎn)得.點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上.又點(diǎn)在圓上，，即，.44．（2020·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）高二期中）已知圓C的圓心在射線2x+y=0，(x≥0)上，截x，y軸的弦的長(zhǎng)度分別為和.（1）求圓C的方程；（2）是否存在斜率k=1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若存在求出直線l的方程，若不存在說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，直線l的方程為或.【詳解】(1)依題意，設(shè)圓心C(a，-2a)(a≥0)，半徑為r，因圓C截x，y軸的弦的長(zhǎng)度分別為和，則，解得a=1，r=3，即圓心C(1，-2)，所以圓C的方程為；(2)假定存在斜率k=1的直線l滿足條件，設(shè)l的方程為，由消去y得，，即，設(shè)，則有，，因直線l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，即，，，即，解得或，滿足，所以或，直線l的方程為或.45．（2020·永豐縣永豐中學(xué)高二期中（理））已知直線，圓和點(diǎn)．（1）求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程；（2）直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，求的面積的取值范圍．【答案】（1）或；（2）．【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為2過(guò)點(diǎn)的圓C的切線，則圓心到切線的距離為2當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線的方程為當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為：則圓心到切線的距離為，解得此時(shí)切線方程為，即所以過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為：或（2）直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，則所以圓心到直線的