3.5.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定條件反饋系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）均有負(fù)的實(shí)部。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）位于s平面的左半開平面。S平面3.5.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)

——無需求解特征根穩(wěn)定的必要條件1.勞斯穩(wěn)定判據(jù)給出特征根具有負(fù)的實(shí)部的必要條件是：特征方程式中各系數(shù)同號(hào)且不缺項(xiàng)?？刂葡到y(tǒng)特征方程式=03.5.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)特征方程：ansn+an-1sn-1+an-2sn-2+…+a1s+a0=0勞斯表：Snanan-2an-4an-6sn-1an-1an-3an-5an-7sn-2(an-1.an-2-an.an-3)/an-1b2b3…SS0a02.勞斯表可用一正數(shù)乘或除某一整行，結(jié)論不變3.5.3Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)特征方程：D(s)

=

ansn+an-1sn-1+an-2sn-2+…+a1s+a0=0勞斯判據(jù)：D(s)具有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)，等于勞斯表第一列中元素符號(hào)變化的次數(shù)。2.系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：勞斯表第一列元素的符號(hào)不變化例4:(3-5-2)已知系統(tǒng)框圖，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。解閉環(huán)傳遞函數(shù)和特征方程為1.勞斯表任一行中第一個(gè)元素為零，其余元素不全為零。

列勞斯表時(shí)用一個(gè)小正數(shù)代替零元素繼續(xù)列表。例如系統(tǒng)的特征方程為第一列元素符號(hào)改變兩次，有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。兩種特殊情況2.勞斯表任一行中所有元素均為零。此時(shí)方程中存在一對(duì)大小相等、符號(hào)相反的實(shí)根，或一對(duì)純虛根，或?qū)ΨQ于s平面原點(diǎn)的共軛復(fù)根。

列表時(shí)先用全零行的上一行構(gòu)成輔助方程（階次為偶數(shù)，它的根就是這些特殊根）。再將輔助方程對(duì)s求導(dǎo)，用求導(dǎo)后的方程系數(shù)代替全零行。例如系統(tǒng)的特征方程為

勞斯表為：

勞斯表第一列元素符號(hào)相同，故系統(tǒng)不含正實(shí)部的根，而含一對(duì)純虛根，可由輔助方程解出，為。(s1全0行的處理)系統(tǒng)有極點(diǎn)實(shí)部=0，其余實(shí)部均負(fù)，則臨界穩(wěn)定例5:(3-5-3)已知系統(tǒng)的特征方程為根據(jù)輔助方程求特征根。解勞斯表為第一列元素符號(hào)改變一次，有一個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定?？筛鶕?jù)輔助方程課堂實(shí)練3.6.1誤差的基本概念H(s)=1時(shí)，偏差信號(hào)就是誤差信號(hào)。H(s)1，則先求穩(wěn)態(tài)偏差，再求誤差信號(hào)。誤差與偏差誤差信號(hào)E1(s)=穩(wěn)態(tài)偏差除以H(s)，即E1(s)=E(s)/H(s)被控量期望值Cr(t)定義：偏差信號(hào)e(t)=0時(shí)的被控量的值Cr(t)。E(s)=0，則C(s)=Cr(s)G1(s)H(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)Y(s)F(s)R(s)-H(s)Cr(s)=03.6.1誤差的基本概念計(jì)算誤差目的：如何選擇控制器，以便減小輸入信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差、抑制擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響線性系統(tǒng)，若R(s)和F(s)都存在，則用疊加原理求總的偏差。G1(s)H(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)Y(s)F(s)3.6.2利用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差終值定理：

求穩(wěn)態(tài)誤差，通常只求穩(wěn)態(tài)誤差終值e1ss()條件：若存在，或的全部極點(diǎn)（原點(diǎn)除外）具有負(fù)實(shí)部，則穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)偏差例3-6-1r(t)=t,f(t)=-1(t)，求穩(wěn)態(tài)誤差終值。解單位負(fù)反饋，誤差就是偏差。sE(s)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，用勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即sE(s)極點(diǎn)全具負(fù)實(shí)部，可用終值定理：3.6.3給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算討論給定輸入信號(hào)作用下產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差H(S)G(S)R(S)E(s)C(s)根據(jù)終值定理：單位負(fù)反饋系統(tǒng)系統(tǒng)的型別v

系統(tǒng)的型別數(shù)v：是開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)所含s=0的極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，亦所含積分環(huán)節(jié)的數(shù)目，亦系統(tǒng)偏差信號(hào)對(duì)參考輸入信號(hào)的閉環(huán)傳函e(s)中s=0的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。v反映了系統(tǒng)跟蹤參考輸入信號(hào)的能力(故按v數(shù)值對(duì)系統(tǒng)分型)3.6.3給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算1.單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)0型系統(tǒng)稱為有差系統(tǒng)（對(duì)單位負(fù)反饋系統(tǒng)）靜態(tài)誤差系數(shù)法3.6.3給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算2.單位斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)（對(duì)單位負(fù)反饋系統(tǒng)）靜態(tài)誤差系數(shù)法3.6.3給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算3.單位加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)減小或消除參考輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差的方法：提高系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K和系統(tǒng)型別數(shù)。（對(duì)單位負(fù)反饋系統(tǒng)）靜態(tài)誤差系數(shù)法參考輸入的穩(wěn)態(tài)偏差(匯總)（對(duì)單位負(fù)反饋系統(tǒng)）靜態(tài)誤差系數(shù)法系統(tǒng)的型別數(shù)：是開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)所含s=0的極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，亦所含積分環(huán)節(jié)的數(shù)目3.6.3給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算例3-6-2單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差終值。解：因輸入為斜坡函數(shù)信號(hào)，

又是1型單位負(fù)反饋穩(wěn)定系統(tǒng)。3.6.3給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算例3-6-3單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差終值。解：因輸入為斜坡函數(shù)信號(hào)，又是1型單位負(fù)反饋穩(wěn)定系統(tǒng)。3.6.3給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算課堂實(shí)練：系統(tǒng)如圖，求當(dāng)輸入r(t)=3t2時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：1）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性寫出特征方程R(S)E(s)C(s)勞斯表：S313s242s15/2S02因系統(tǒng)穩(wěn)定，故可用終值定理。3.6.3給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算課堂練習(xí)：系統(tǒng)如圖，求當(dāng)輸入r(t)=3t2時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。2）寫出誤差E(s)。可直接用靜態(tài)誤差系數(shù)法求取。因輸入是加速度函數(shù)信號(hào)，故R(S)E(s)C(s)又r(t)=3t2=6t2/2單位加速度函數(shù)例3-6-4單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求r(t)=1(t)，r(t)=t時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。解該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)為零型系統(tǒng)。例3-6-5單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為分別求出

時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差終值。解用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可知閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1）輸入階躍信號(hào)，2）輸入斜坡信號(hào)3