中考專題訓練——二次函數(shù)綜合題.如圖，拋物線y=a(x+2)(x-3)與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,且過點(4,3).(1)如圖1,求拋物線的解析式；(2)如圖2,點P為第一象限的拋物線上一點，連接附交y軸于點￡>,設點尸的橫坐標為r(r>3),CO的長為d,求d與r的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量，的取值范圍)；(3)如圖3,在(2)的條件下，過點P作x軸的垂線，垂足為點”，連接CB,并將CB延長交PH于點G,連接OG,點E為拋物線上一點，分別連接OE、CE、EG,若NDEG=90",tanZCED=2,求E點的坐標..如圖1,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=f+bx+c"、c為常數(shù))與y軸交于點C,對稱軸為直線x=-3,點N(-4,-5)在該拋物線上.(1)求該拋物線的函數(shù)表達式：(2)連接CM點P是直線CN下方拋物線上一動點，過點尸作「“〃丫軸交直線CN于點、H,在射線C”上有一點G使得尸H=PG.當△PGH周長取得最大值時，求點P的坐標和△PG”周長的最大值；(3)如圖2,在(2)的條件下，直線/：y=」x-3與X軸、y軸分別交于點E、F,將2 2 '原拋物線沿著射線FE方向平移，平移后的拋物線與x軸的右交點恰好為點E,動點M在平移后的拋物線上，點7是平面內(nèi)任意一點，是否存在菱形ME7P,若存在，請直接寫出點7的橫坐標，若不存在，請說明理由..已知二次函數(shù)y=7-nu+zn(m為常數(shù)).（1）當機=4時.①求函數(shù)頂點坐標，并寫出函數(shù)值y隨x增大而減小時x的取值范圍.②若點P（nyi）和。（5,y2）在其圖象上，且時.則實數(shù)t的取值范圍是.（2）記函數(shù)y=/- （xW/w）的圖象為G.①當圖象G與直線y=-1只有一個交點時，求機的值.②矩形A8CO的對稱中心為坐標原點，且邊均垂直于坐標軸，其中點A的坐標為（2,2-m）,當圖象G在矩形ABC。內(nèi)部（包括邊界）對應的函數(shù)值y隨x的增大而逐漸減小，并且圖象G在矩形ABCC內(nèi)部（包括邊界）的最高點縱坐標和最低點縱坐標的差為2時，直接寫出機的值..如圖，在平面直角坐標系中，拋物線曠=0?+法+。（acWO）與x軸交于點A和點B（點A在點B的左側），與y軸交于點C.若線段04、08、OC的長滿足則這樣的拋物線稱為“黃金”拋物線.如圖，拋物線'=/+^+2（aWO）為“黃金”拋物線，其與x軸交點為A,B（其中B在A的右側），與y軸交于點C,且04=408.（1）求拋物線的解析式；（2）若P為4c上方拋物線上的動點，過點P作尸OLAC,垂足為O.①求的最大值；②連接PC,當△PC。與△ACO相似時，求點P的坐標..如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=/+bx+c經(jīng)過點A（0,-3）,與x軸的交點為B、C,直線/：y=2x+2與拋物線相交于點C,與y軸相交于點。，尸是直線/下方拋物線上一動點.（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）過點P作線段PM〃x軸，與直線/相交于點M,當PM最大時，求點P的坐標及PM的最大值；（3）把拋物線繞點。旋轉180。，再向上平移使得新拋物線過（2）中的P點，E是新拋物線與y軸的交點，F(xiàn)為原拋物線對稱軸上一點，G為平面直角坐標系中一點，直接寫出所有使得以8、E、F、G為頂點、為邊的四邊形是菱形的點G的坐標，并把求其中一個點G的坐標的過程寫出來.

.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點坐標為(2,9),與y軸交于點A(0,5),與x交于點E,B.(1)求二次函數(shù)＞=0?+加+。的表達式；(2)過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C,點尸為拋物線上的一點(點P在AC上方)，作尸。平行于y軸交A8于點Q,當點P在何位置時，四邊形4PCO的面積最大？求出最大面積；(3)若點M在拋物線上，點N在其對稱軸上，以A,E,N,M為頂點的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點M的坐標..如圖，拋物線的對稱軸是直線x=l,與x軸交于點4,8(3,0),與y軸交于點C(0,3).(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1,點。在拋物線的對稱軸上，連接4。，將線段4。以點。為旋轉中心順時針旋轉90°,得到線段。E,當點E落在拋物線上，求出此時點。的坐標；(3)如圖2,拋物線的對稱軸與直線BC相交于點E,于x軸交于點尸，點G在直線BC上，點，在拋物線上，是否存在以E,F,G,〃為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在,請直接寫出點”的坐標，若不存在，請說明理由.

8.如圖，拋物線頂點坐標為點C（1,4）,交x軸于點A（3,0）,交y軸于點B.（1）求拋物線和直線AB的解析式;（2）設點尸是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點，是否存在一點P,使5△以8面積最大，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.（3）設點Q（異于C點）是拋物線上的一個動點，是否存在一點。，使SaqabuSacab.若（1）求拋物線的解析式;請說明理由.B(3,0),交y軸于C(0,3).（1）求拋物線的解析式;請說明理由.（2）尸是直線BC上方的拋物線上的一個動點，設P的橫坐標為r,P到BC的距離為兒求〃與，的函數(shù)關系式，并求出〃的最大值:（3）設點M是x軸上的動點，在平面直角坐標系中，存在點N,使得以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形，直接寫出所有符合條件的點N坐標..如圖1,直線y=2x+3與拋物線y=）交于點A、B,直線y=H-好5與48交于點C,與拋物線交于點。、E.(1)點A、8、C的坐標分別為；(2)如圖2,若OC=2CE,求上的值：(3)如圖3,直線￡>A、BE交于點Q,求0Q的最小值..如圖1,在直角坐標系中，拋物線。：y=ax2+bx+3(aWO)與x軸交于A,B兩點(A在B的左側)，與y軸交于點C,已知tanNCAO=2,B(4,0).(1)求拋物線Cl的表達式；(2)若點P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點P作PE〃x軸交BC于點E,求PE的最大值及此時點P的坐標：(3)如圖2,點尸是BC上一點，。尸平分△CO8的面積，將拋物線Ci沿射線CB方向平移，當拋物線恰好經(jīng)過點尸時，停止運動，記平移后的拋物線為C2.已知點M是原拋物線C1上的動點，在拋物線C2的對稱軸上是否存在一點M使得以點C、B、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出N點的坐標；若不存在，請說明理由..數(shù)學來源于生活，數(shù)學之美無處不在，在幾何圖形中，最美的角是45。，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我們把45°的角稱為一中美角，最美的等腰直角三角形稱為一中美三角.根據(jù)該約定，完成下列問題：(1)如圖1,已知正方形ABCO中。是對角線AC上一動點，過O作OPLOD,垂足為O,交BC邊于P,△POO是否為一中美三角，并說明理由；(2)如圖2,在平面直角坐標系中，點A(-2,0),點8(0,2),點P在第二象限內(nèi)，且在直線y=-2x-2上，若△ABP恰好構成一中美三角，求出此時P點的坐標；(3)如圖3,若二次函數(shù)y=-W+2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,P為第二象限上的點，在直線4c上，且NOP8恰好構成一中美角；。為x軸上方拋物線上的一動點，令。點橫坐標為m(0<m<3),當m為何值時，△PB。的面積最大，求出此時Q點坐標和最大面積..如圖，二次函數(shù)y=-7+加什3的圖象與x軸交于4、B兩點,與y軸交于點C,點O在函數(shù)圖象上，CC〃x軸且CD=2,直線/是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點.(1)則機=、A點的坐標、B點的坐標、E點的坐標；(2)如圖1,連接BE,線段OC上的點F關于直線/的對稱點戶恰好在線段BE上，求點F的坐標；(3)如圖2,拋物線的對稱軸上是否存在點T,使得線段以繞點7順時針旋轉90°后，點A的對應點4恰好也落在此拋物線上？若存在，求出點7的坐標；若不存在，請說明理由.(4)如圖3,動點P在線段08上，過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M、與拋物線交于點N.試問：拋物線上是否存在點。，使得△PQN與AAPM的面積相等，且線段NQ的長度最??？若存在，直接寫出。的坐標：若不存在，說明理由..如圖，已知二次函數(shù)y=/+bx+c經(jīng)過4,B兩點,BC_Lx軸于點C,且點A(-l,0),C(4,0),AC=BC.(1)求拋物線的解析式；(2)點E是線段48上一動點(不與A,B重合)，過點E作x軸的垂線，交拋物線于點、F,當線段EF的長度最大時，求點E的坐標及S"BF；(3)點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在這樣的P點，使AAB尸成為直角三角形？若存在，求出所有點尸的坐標；若不存在，請說明理由..如圖，已知拋物線y=/+fcr+c與x軸相交于A(-1,0),BCm,0)兩點，與y軸相交于點C(0,-3),拋物線的頂點為。.(1)求拋物線的解析式；(2)若點E在x軸上，且NECB=NCBD,求點E的坐標.(3)若尸是直線BC下方拋物線上任意一點，過點P作尸，，x軸于點4,與BC交于點M.①求線段尸M長度的最大值.②在①的條件下，若「為y軸上一動點，求PH+HF+返CF的最小值.備用圖.如圖，已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、8(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,3).(1)求拋物線的解析式；(2)點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(與點C、B不重合)，過點D作DFLx軸于點F，交直線BC于點￡,連接BO、CD.設點。的橫坐標為膽，的面積為S.求S關于m的函數(shù)解析式及自變量"?的取值范圍，并求出S的最大值；(3)已知M為拋物線對稱軸上一動點，若是以8c為直角邊的直角三角形，請直接寫出點M的坐標..如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線丫=--4or-6(a>0)與x軸交于A,B兩點，且08=304,與y軸交于點C,拋物線的頂點為。，對稱軸與x軸交于點￡(1)求該拋物線的解析式，并直接寫出頂點。的坐標：(2)如圖2,直線y=-1>x+〃與拋物線交于G，H兩點,直線4H,4G分別交y軸負半軸于M,N兩點，求OM+ON的值；(3)如圖1,點P在線段OE上，作等腰△BPQ,使得P8=PQ,且點。落在直線CO上，若滿足條件的點。有且只有一個，求點尸的坐標..如圖，在平面直角坐標系中，直線y=/x+2與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線了=-_l，+5x+c經(jīng)過4、C兩點，與x軸的另一交點為點B.2(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點。為直線AC上方拋物線上一動點；①連接8C、CD,設直線8。交線段AC于點E,的面積為Si,/kBCE的面積為S2,求包的最大值；S2②過點D作DFLAC,垂足為點F,連接CD,是否存在點D,使得△CDF中的某個角恰好等于N54C的2倍？若存在，求點。的橫坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖備用圖.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫=/+瓜+3經(jīng)過A(-3,0)、B(1,0)兩點，其頂點為。，連接AD,點P是線段AD上一個動點(不與A、。重合).(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點。的坐標；(2)如圖1,過點P作PE_Ly軸于點E.求面積S的最大值；(3)如圖2,拋物線上是否存在一點。，使得四邊形OAPQ為平行四邊形？若存在求出。點坐標，若不存在請說明理由..如圖，已知拋物線y=7+2x的頂點為A,直線y=x+2與拋物線交于B,C兩點.(1)求A,B,C三點的坐標；(2)作CO_Lx軸于點。，求證：AODC^AABC；(3)若點尸為拋物線上的一個動點，過點P作PMLx軸于點M,則是否還存在除C點外的其他位置的點，使以O,P，M為頂點的三角形與△A8C相似？若存在，請求出這樣的P點坐標：若不存在，請說明理由..如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yuo?+bx+c(a<0)與x軸交于A(-2,0)、B(4,0)兩點，與y軸交于點C,且OC=2O4.(1)試求拋物線的解析式；(2)直線丫=h+1(%>0)與y軸交于點。，與拋物線交于點P,與直線8c交于點M,記憶=里，試求m的最大值及此時點P的坐標；DM(3)在(2)的條件下，加取最大值時，點。是x軸上的一個動點，點N是坐標平面內(nèi)的一點，是否存在這樣的點Q、N,使得以P、。、Q、N四點組成的四邊形是矩形？如果存在，請求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由..如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=a?-2ar-3a交x軸于A、B兩點，交y的正半軸于點C,連接BC,且OB=OC.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2,點。為第一象限拋物線上一點，過點。作于點E,設點。的橫坐標為f,求d與f的函數(shù)關系式；(3)在(2)的條件下，點尸為拋物線的頂點，對稱軸交x軸于點G,連接。凡過。作尸交FG于點H,點M為對稱軸左側拋物線上一點，點N為平面上一點且tanN//￡?N=」Z,當四邊形。"MN為菱形時，求點N的坐標.5圖1圖1備用圖.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫=-1^2卷*+2交x軸于A，8兩點(A在B的左側)，交y軸于點C.(1)求直線BC的解析式；(2)求拋物線的頂點及對稱軸：(3)若點。是拋物線對稱軸上的一動點，線段AQ+C。是否存在最小值？若存在，求出點。的坐標：若不存在，說明理由：(4)若點P是直線BC上方的一個動點，APBC的面積是否存在最大值？若存在，求出點P的坐標及此時APBC的面積；若不存在，說明理由..在平面直角坐標系中，二次函數(shù)丫=??+加+2的圖象與x軸交于A(-3,0),B(1,0)兩點，與y軸交于點C.(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P,使的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；(3)點Q是直線AC上方的拋物線上一動點，過點。作QE垂直于x軸，垂足為E.是否存在點Q,使以點B、。、E為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點Q的坐標：若不存在，說明理由.參考答案與試題解析1.如圖，拋物線y=a(x+2)(x-3)與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,且過點(4,3).(1)如圖1,求拋物線的解析式；(2)如圖2,點P為第一象限的拋物線上一點，連接力交)，軸于點。，設點尸的橫坐標為r(f>3),CO的長為d,求d與t的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量f的取值范圍)；(3)如圖3,在(2)的條件下，過點P作x軸的垂線，垂足為點“，連接C8,并將CB延長交P”于點G,連接OG,點E為拋物線上一點，分別連接OE、CE、EG,若NDEG=90°,tanNCED=2,求E點的坐標.【分析】(1)將點(4,3)代入函數(shù)解析式，求出a的值，即可得出函數(shù)解析式；(2)過點尸作尸軸于點H,用r表示相應線段，再由得相似三角形的比例線段，求出O。的長，進而可求得“與，的函數(shù)關系式：(3)先求出直線BC的解析式，可證明四邊形OCG/Z為矩形，得CD=DG,連接EG,過點C作CM1.OE于點M,證明△CMCgZXOEG,得CM=DE,DM=EG,過點E作EQLDG于點Q,再設CM=OE=2/n,0D=y[^m,由勾股定理與三角函數(shù)求出EN與E。便可得結果.【解答】解：(1)將點(%3)代入函數(shù)解析式y(tǒng)=a(x+2)(x-3),：.a(4+2)X(4-3)=3,解得a=工，2...函數(shù)解析式為：y=l(x+2)(x-3)=1?--lx-3.TOC\o"1-5"\h\z,2 2 2(2)由(1)知函數(shù)解析式為：y=—x2---x-3.-2 2令y=0,則」■/-工1-3=0,解得x=-2或x=3," 2 2AA(-2,0),B(3,0),令x=0,解得y=-3,：.C(0,-3).過點P作尸軸于點如圖所示,點p在拋物線-3±,.,.點P的坐標為(r,—i2-Ar-3),2 2：.PH=^t2-2t-3,OH=t,2?'?A”=/+2,?：OD〃PH,：?1\OADsXhAP,:.PH：AH=OD：OA,即(A?-Ar-3):(f+2)=OD：2,2 2：.OD=t-3,V0C=3,.\CD=3+r-3=r,?.d=t\(3)設直線BC解析式為y=Ax+。(攵￡0),?:B(3,0),C(0,-3),.j3k+b=0,1b=-3解得，『，lb=-3；.BC的解析式為：y=x-3,"：PHLx^A,.,.點G縱坐標為t-3,：.GH=t-3=OD,"."OD//GH,：.四邊形ODGH為平行四邊形，VZDO//=90°,四邊形ODG4為矩形,ZCDG=90°,DG=OH=t,'：CD=t,：.CD=DG,如圖，連接EG,過點C作CMLOE于點M,VZEDC+ZEDG=90°,ZEDC+ZDCA/=90°,:.NEDG=NDCM,:NCMD=NDEG=90°,:.ACMD出/\DEG(AAS),：.CM=DE,DM=EG,VtanZCED=2,.更=2"ME'設CM=OE=2m,ME=m,：.DM=EG=m,由勾股定理得，CD=^m,：.DG=y/5m,過點E作EQLOG于點Q,作EN，y軸于點N,?.,tanNEZ)Q=區(qū)=工=粵DE=2m,E^+D^^ED1,DE2DQ?匚八_2v5八八_4v5??EQ=---m,DQ=---tn,5 5：.DN=EQ=^^-m,...CN=J?!叵如5二點E的坐標為E(生底⑤/5_m-3),5 5將E點的坐標代入拋物線曠=工(x+2)(x-3)中，得工(^Llm+2)(亞2心3)=2 2 5 53V5々5解得加1=0(舍去)，m2=—,8：.E(立，-9).2 82.如圖1,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=/+bx+c(6、c為常數(shù))與y軸交于點C,對稱軸為直線x=-3,點N(-4,-5)在該拋物線上.(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)連接CM點P是直線CN下方拋物線上一動點，過點P作2”〃、軸交直線CN于點，，在射線CH上有一點G使得戶”=PG.當△PG4周長取得最大值時，求點尸的坐標和△PG”周長的最大值：(3)如圖2,在(2)的條件下，直線/：尸去-"!■與x軸、y軸分別交于點E、F,將原拋物線沿著射線FE方向平移，平移后的拋物線與x軸的右交點恰好為點E,動點M在平移后的拋物線上，點T是平面內(nèi)任意一點，是否存在菱形若存在，請直接寫出點T的橫坐標，若不存在，請說明理【分析】(1)通過對稱軸可先求出b的值，再將N點坐標代入，即可求出二次函數(shù)的表達式；(2)找出△PGH的三邊關系比例，設出點P的坐標之后可列出△PGH的周長的解析式；(3)先設出M點的坐標，利用兩點間的距離公式可表示出M尸和ME的關系式，即可求出M點的坐標，最后運用全等三角形可求出T的坐標.住-3【解答】解：(1)根據(jù)題意得： 2 ,16-4b+c=-5

解得：產(chǎn)6,1c=3該拋物線的函數(shù)表達式為y=7+6x+3；(2)如圖1,過點尸作PKLCN于點K,設直線CN交x軸于點M,令x=0,得y=3,：.C(0,3),設直線CN的解析式為丫=履+〃，把C(0,3)、N(-4,-5)代入得:尸，I-4k+n=-5解得：儼2,In=3???直線CN的解析式為y=2x+3,令y=0,得2x+3=0,解得：x=-—,2：.M(-3,0),2在RtZ\CMO中，CM=^oc在RtZ\CMO中，CM=^oc2<)M2=/c2./3、2—2+份)—丁'設尸"，P+6什3),則“(62r+3),：.PH=(2f+3)-(?+6r+3)=-z2-4f,:?PG=-P-"*：PH=PG,PKLHG,：.HG=2HK,,:PKA.CN,:?/PKH=/MOC=90°,???p”〃y軸，:?/PHK=/MCO,:ZHKsAMCO,.HK=0C日n HK,,PHCM，-t2_4t3752

:(-?-4r),5(-?-4r),5二△PGH周長=PH+PG+HG=(-?-4r)+(-?-4/)+-^^-(-z2-4/)=-+投TOC\o"1-5"\h\z5 5(?+4f)=-4泥+1。G+2)2+16而+40,5 5..._4/5+10<Q>.4</<0i此時點P的坐標為(-2,-5)；此時點P的坐標為(-2,-5)；51 3(3)聯(lián)立方程組得＜y=Tx(3)聯(lián)立方程組得＜9x2-^29x2-^2X1=-l解得：.了1=-2：.E'(-1,-2),在y=Lr-旦中，令y=0,得工■工一旦二。，2 2 2 2解得:x=3,：.E(3.0),；原拋物線上的點E'(-1,-2)平移后得到E(3,0),.??原拋物線向右平移4個單位，向上平移2個單位，,原拋物線y=，+6x+3=(x+3)2-6,頂點坐標為(-3,-6),???平移后的拋物線頂點坐標為(1,-4),二平移后的拋物線解析式為：尸(x-1)2-4=/-2r-3,?.?動點M在平移后的拋物線上，.,.設A/(/n,m2-2zn-3),?菱形METP,和MT為對角線，:.MP=ME,VP(-2,-5),E(3,0),，“戶=的-(-2)]2+[m2-2m-3-(-5)]2A/E2=(zn-3)2+(m2-2/n-3-0)2,'：MP=ME,TOC\o"1-5"\h\z解得”?=上近_或上正_,2 2"2-2m-3=或」--52 2點的坐標為（上正，上近_）或（上應，蟲二殳），2 2 2 2①當M點的坐標為（上返，返二i）時：2 2如圖所示，過點M作軸于J,過r作y軸的平行線與過P點且平行于X軸的平行線交點L,過點M作MV〃x軸與ET交點、V,貝ljj(.lM,0),MV//PL,2:.ME=PT,ME//PT,:"EMV=NTPL,：.NMEJ=NTPL,在△M/E和△?!#中，'NMJE=NTLP-ZMEJ=ZTPL)ME=PL:.XMJE叁NLP(A4S),:"MJ=TL=,PL=JE=,2 2...點T的橫坐標為-2+&亞■=返上1,縱坐標為-5+殳返=至返,2 2 2 2TOC\o"1-5"\h\z...T點的坐標為（返良，一旦返），2 2②當M點的坐標為（上巫，旦應）時：2同理①可得T點的坐標為（上逅，近二0）,2 2綜上所述，7點的坐標為（運良，原二》）或（上返，在二》）.2 2 2 2圖I.已知二次函數(shù)y=/-儂+?。C為常數(shù)）.（1）當m=4時.①求函數(shù)頂點坐標，并寫出函數(shù)值y隨x增大而減小時x的取值范圍.②若點尸（f,yi）和Q（5,”）在其圖象上，且yi>”時.則實數(shù)，的取值范圍是」<-1或f>5.（2）記函數(shù)y=7- 的圖象為G.①當圖象G與直線y=-1-/77只有一個交點時，求m的值.②矩形A8CO的對稱中心為坐標原點，且邊均垂直于坐標軸，其中點A的坐標為（2,2-m）,當圖象G在矩形ABCO內(nèi)部（包括邊界）對應的函數(shù)值y隨x的增大而逐漸減小，并且圖象G在矩形A8CC內(nèi)部（包括邊界）的最高點縱坐標和最低點縱坐標的差為2時，直接寫出機的值.【分析】（1）①把m=4代入二次函數(shù)解析式中，并化為頂點式，再結合函數(shù)開口方向可得結論；②由二次函數(shù)開口可知，點離對稱軸水平距離越大，y值越大，由此可解答；（2）①需要分兩種情況，完整拋物線與x軸有一個交點和兩個交點的情況求解.②利用數(shù)形結合方法，分類討論拋物線頂點在矩形內(nèi)部與外部兩種情況.【解答】解：（1）①當m=4時，y=x2-4x+4=（x-2）2,函數(shù)的頂點為（2,0）,VI>0,...當x<2時，y隨x的增大而減小：@'：P(/,yi)和Q(5,y2)在其圖象上，yi>”，P(f,yi)到對稱軸的距離小于Q(5,y2)到對稱軸的距離，/.|r-2|>|5-2|,：.t<-1或>5,故答案為：/V-1或r>5；(2)①當二次函數(shù)y=W-mx-^-rn與y=-\-m有兩個交點時，即方程7-如+2根+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，可得A=m2-4(2機+1)>0,解得nt<4-2料或用>4+2遙，當二次函數(shù)y=/-nvc+m與y=-1-m有一個交點時，即方程7-znr+2/n+l=0有兩個相等的實數(shù)根，可得人=川-4(2w+l)=0,解得m-4-2%或加=4+2巡，當切=4-2強時，-^=2-75- 此時y=-1-機與圖象G無交點；當布=4+2病時，典=2+逐，此時y=-1與圖象G有一個交點.2 2當二次函數(shù)與直線x=m的交點恰為Cm,-1-m)時，m2-n^+m=-1-w,解得m=_1—-.2綜上可知，〃■或〃7=4+2>/^.②拋物線y=f- 〃，經(jīng)過定點(1,1),點A坐標為(2,2-/W),點3坐標為(2,m-2),當初20時，直線在頂點右側，當圖象G在矩形內(nèi)部對應的函數(shù)值y隨x的增大而逐漸減小時，

有典22,即加24,2,圖象與矩形最高點的縱坐標為m-2,最低點為y=4-m,'.m-2-(4-m)=2,解得膽=4.當-2</?W叫號時，-2<加40滿足題意，此時圖象最低點為(m,m),2拋物線與直線x=-2交點為(-2,3/n+4),當3m+4》2-m時，mN-0.5,此時拋物線與矩形交點縱坐標為2-機，.,.2-m-m=2,解得rn=0.當3/n+4V2-m時，a<-0.5,拋物線與矩形交點最高點縱坐標為3m+4,綜上所述，機的值為0或-1或4.4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫=蘇+法+<?(acWO)與x軸交于點A和點B(點A在點8的左側)，與y軸交于點C.若線段04、OB、0C的長滿足O(^=OA?OB,則這樣的拋物線稱為“黃金”拋物線.如圖，拋物線y=aAbx+2(”0)為“黃金”拋物線，其與x軸交點為A,8(其中8在A的右側)，與)，軸交于點C,且OA=4O8.(1)求拋物線的解析式；(2)若P為4C上方拋物線上的動點，過點P作尸OLAC,垂足為。.①求PO的最大值；②連接PC,當△PC。與△4CO相似時，求點P的坐標.【分析】(1)求出點A和點B的坐標，然后代入拋物線的關系式求得結果；(2)①作PFL48于F交AC于￡求出AC的關系式，然后設點P(m,--lm2-+2),E(m，-^-m+2).表示出PE=--j-m2-2m,求出PE的最值，根據(jù)△PCEs4AOC,進而求出尸。的最大值：②當△PCCs^AC。時，作尸F(xiàn)J_OA于凡交AC于E,可推出PC=PE,進而求得結果,當△尸CQs^cA。時，可得點P與點C關于拋物線對稱軸對稱，求得點尸的坐標.【解答】解：(1)由題意得，OC=2,OA=4OB,9：OA^OB=OC29.\4OB2=4,0B=1,OA=4,AA(-4,0), (1,0),.(a+b+2=0116a-4b+2=01b.J.123門y=?x3x+2；(2)①如圖1,作PFLAB于尸交AC于￡?.?OA=4,OC=2,ZAOC=90°,AC=VaO2-K)C2=2遙，可得AC的關系式是：y=/x+2，設點P(加，-/m?-微~ir+2),E(m,/m+2),：?PE=(-/m?-■1_n+2)一(/m+2)=一/m?-2/n=-](m+2)2+2,???當加=-2時，PE最大=2,VZPDE=ZAFE=90°,NPED=NAEF,：./DPE=NEAF,?:/PDE=ZAOCf.,.△PDE^AAOC,.PD=PE**0AAC?四陪=舞=酢陽②如圖2,當△PC￡)s/\CAO時，ZPCD=ZCAB,J.PC//AB,，點P與點C關于拋物線對稱軸對稱，：.P(-3,2),如圖3,當△PC￡>sZ\aco時，作尸凡L04于凡交AC于￡,由①知：△PE￡)sZ\acO,:APCDsAPED,:APCD學APED,：.PC=PE,(-—m2-2m)2=m2+(-—m2-—n)2,TOC\o"1-5"\h\z2 2 2.,.m=--,2當m=-S時，y=--X(-J.)2-J.X(-J.)+2=—,2 2 2 2 2 8：.P(一反，至)，2 8綜上所述，符合條件的P的坐標(-3,2)或者(-3,空).5.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=7+6x+c經(jīng)過點4(0,-3),與x軸的交點為8、C,直線/：y=2x+2與拋物線相交于點C,與y軸相交于點O,P是直線/下方拋物線上一動點.(1)求拋物線的函數(shù)表達式;

(2)過點尸作線段PM〃x軸，與直線/相交于點M,當PM最大時，求點尸的坐標及PM的最大值;(3)把拋物線繞點。旋轉180。，再向上平移使得新拋物線過(2)中的尸點，E是新拋物線與y軸的交點，尸為原拋物線對稱軸上一點，G為平面直角坐標系中一點，直接寫出所有使得以8、E、/、G為頂點、8尸為邊的四邊形是菱形的點G的坐標，并把求其中一個點G的坐標的過程寫出來.【分析】(中一個點G的坐標的過程寫出來.【分析】(1)先求出C點坐標為(-1,,0)代入函數(shù)解析式y(tǒng)=/+bx+c,求解即可:(2)設P(a,a1-2a-3),因為尸軸且點M在直線/：y=2r+2上，所以M(/cP,~a-—,a?-2a-3),則PM=a-(—a2-a--)=--a2+2a+—="—(x-2)

2 2 2 2 2 22+9,再根據(jù)二次函數(shù)的最值求法求解即可；2(3)因為拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)=7-2x-3,所以頂點坐標(1,-4),與x軸的交點B(3,0),C(-1,0),由旋轉可得，新拋物線的項點為(-1,4),與x軸的交點為(-3,0),(1,0),所以設新拋物線解析式為y=-(x+1)2+4,因為向上平移使得新拋物線過(2)中的P(2,-3)點，設平移后解析式為y=-(x+1)2+4+k,所以3=-(2+1/+4+%,解得k=2,所以平移后解析式為y=-(x+1>+4+2=-7-2x+5,所以E(0,5)；設F(1,力，G(.m,n),若以B、E、F、G為頂點，BF為邊的四邊形是菱形，則需要分線段BE是對角線或BE是邊兩種情況，分別根據(jù)菱形的性質求解即可.【解答】解：(1)???直線1：y=2x+2與拋物線相交于點C,工。點坐標為(-1,0),把4(0,-3),C(-1,0)代入函數(shù)解析式y(tǒng)=/+bx+c得:卜3 ,解得，b“2,Il-b+c=0Ic=-3拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)=7-2x-3.(2)設P(a,a2-2a-3),軸，縱坐標為a2-2a-3,;點M在直線/：y=2x+2±,M(—a2-a--,a2-2a-3),2 2'.PM—a-(—a2-a--)=--c^+2a+—=-—(x-2)2+—.2 2 2 2 2 2...當a=2時PM最大，最大值此時P點坐標(2,-3).2(3)?.?拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)=7-2x-3,...頂點坐標(1,-4),與x軸的交點B(3,0),C(-1,0),:把拋物線繞點。旋轉180°,二旋轉前后對應點關于原點對稱，二新拋物線的項點為(-1,4),與x軸的交點為(-3,0),(1,0),設新拋物線解析式為y=-(x+1)2+4,二向上平移使得新拋物線過(2)中的P(2,-3)點，設平移后解析式為y=-(x+D2+4+h/.3=-(2+1)2+4+Jt,解得％=2,...平移后解析式為y=-(x+1)*+4+2=-x2-2x+5,???E是平移后拋物線與y軸的交點，：.E(0,5),???尸為原拋物線對稱軸上一點，G為平面直角坐標系中一點,.?.設/(1,/),GCm,")(?.?以8、E、F、G為頂點，8尸為邊的四邊形是菱形，二線段BE可能是對角線也可能是邊，①當BE是對角線時，?.?菱形BFEG對角線BE,FG互相垂直平分，,:E(0,5),B(3,0),的中點坐標為(3,包)，22,:BE的中點坐標也是FG的中點，：.G(2,57),'：GE=GB,：.(2-0)2+(5-r-5)2=(2-3)2+(5-r-0)2,解得：r=衛(wèi)，即G點坐標(2,2士)；5 5②當BE為邊長時，BE=BF,由距離公式得，(3-0)2+(0-5)2=(3-1)2+(0-/)2,解得：r=±V30-???菱形BFGE對角線互相垂直平分，...由中點坐標公式可得，G(-2,百5+5)或(-2,-V30+5)：綜上，滿足題意的點G的坐標為：(-2,弋30+5)或(-2,-730+5)或(2,」且).56.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=o?+6x+c的頂點坐標為(2,9),與y軸交于點A(0,5),與x交于點E,B.(1)求二次函數(shù)y=o?+bx+c的表達式；(2)過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C,點尸為拋物線上的一點(點P在AC上方)，作尸。平行于y軸交A8于點。，當點P在何位置時，四邊形4PCO的面積最大？求出最大面積：(3)若點M在拋物線上，點N在其對稱軸上，以A,E,N,M為頂點的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點M的坐標.【分析】(1)設出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求解即可；(2)先求出直線AB解析式，設出點P坐標(x,-7+4x+5),建立函數(shù)關系式S四邊形APCD=-Z^+lOx,根據(jù)二次函數(shù)表達式求出極值：(3)先判斷出△“〃可絲△AOE,求出M點的橫坐標，從而求出點M的坐標.

【解答】解：(1)設拋物線解析式為y=a(x-2)2+9,?拋物線與y軸交于點A(0,5),，4〃+9=5,??-1,/+4x+5；y=-(x-2)2+9=-/+4；1+5,即二次函數(shù)曠=蘇+云+。的表達式是/+4x+5；(2)當y=0時，-/+4x+5=0,Axi=-1,X2=5,：.E(-1,0),B(5,0),設直線AB的解析式為y=mx^n,VA(0,5),B(5,0),由點A、8的坐標得，直線A8的解析式為y=-x+5；設尸(x,-7+4x+5),AD(x,-x+5),:,PD=-x2+4x+5+x-5=-/+5x,VAC=4,，S四邊形apcd=1?AC?尸￡>=2(-/+5x)=-Z^+lOx,2...當x=S時，2，即點P(—,—)時，S四邊彩4PCD版大=空：2 4 2(3)如圖，過M作垂直于對稱軸，垂足為”,'：MN//AE,HN//OA,：.NHNM=NOAE(兩角的兩邊相互平行，這兩角相等).又,；NMHN=NE0A=9Q°,MN=AE,：./\HMN^/\OEA(AAS),：.HM=OE=\,點的橫坐標為x=3或x=l,當x=l時，M點縱坐標為8,當x=3時，M點縱坐標為8,點的坐標為(1,8)或(3,8).7.如圖，拋物線的對稱軸是直線x=l,與x軸交于點A,8(3,0),與y軸交于點C(0,3).(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1,點。在拋物線的對稱軸上，連接A。，將線段AO以點。為旋轉中心順時針旋轉90°,得到線段OE,當點E落在拋物線上，求出此時點。的坐標；(3)如圖2,拋物線的對稱軸與直線BC相交于點E,于x軸交于點F,點G在直線BC上，點”在拋物線上，是否存在以￡,F,G,〃為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在,請直接寫出點”的坐標，若不存在，請說明理由.【分析】(1)由拋物線的對稱軸為直線x=l,可設拋物線的解析式為y=a(x-1)2+公根據(jù)拋物線經(jīng)過點8(3,0)和點C(0,3),用待定系數(shù)法即可解得y=-/+2x+3：(2)過點E作EM_L對稱軸，垂足為對稱軸交x軸相交于點N,證明TOC\o"1-5"\h\z(AAS),可得AN=￡>M,DN=ME,設點。的坐標為(1,M得 2+m),代入y=-f+2x+3上，即可解得，m\=\,mz=-2,故。(1,1)或。(1,-2)；(3)求出E(1,2),F(1,0),設G(〃，-n+3),H(n-?+2f+3),分三種情況：①以EF、G”為對角線，則ERGH的中點重合，可得，(空叵，土叵_)2 2或(2zYI工，二,②以EG、產(chǎn)//為對角線，可得H(2,3),③以EH、FG2 2

為對角線，可得h(3為對角線，可得h(3廿4),7.1V17)(3-/17,jiWrz)2 2 2 2【解答】解：(1)?.?拋物線的對稱軸為直線x=l,...設拋物線的解析式為y=a(x-1)2+上?拋物線經(jīng)過點B(3,0)和點C(0,3),代入y=a(x-1)2+k,.[4a+k=0,1a+k=3解得：卜=T,\k=4二拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4,即y=-/+2r+3；(2)過點E作EM,對稱軸，垂足為對稱軸交x軸相交于點N,，即可得到答案.得:如圖:在y=-/+2r+3中令y=0得x=-1或x=3,(-1,0),由已知得：AD=DE,ZADE=9O°,ZAND=ZDME=90°,:.NNDA+NMDE=90°,在RtZ\AN￡>中，ZNDA+ZNAD=9O°,：.2NAD=4MDE,：.(AAS),:.AN=DM,DN=ME,設點D的坐標為(1,m),：.AN=DM=2,DN=ME=-m,'.E(1-w.2+/n).點E落在拋物線y=-？+2x+3上，?*.2+m=-(I-zn)2+2(1-zn)+3,即n^+m-2=0,解得，m\=\,W2=-2,：.D(1,1)或O(1,-2)；

（3）存在以E、F、G、，為頂點的四邊形是平行四邊形.理由如下:由點B(3,0)和點C(0,3)可得直線8c為曠=-x+3,在丫=-x+3中令x=l得y=2,：.E(1,2),對稱軸直線x=l與x軸交點尸（1,0）,設G（小-n+3）,H（r,-?+2r+3）,①以EF、GH為對角線，則EF、GH的中點重合，.J1+1=n+t9 ,解得尸受叵或尸生返；2+0=-n+3~t+2t+3 2 2：.h（赳?.zkVS.）或,2 2 2 2②以EG、FH為對角線，1+n=1+t：.\ ,解得r=l（此時G與E重合，舍去）或r=2,2-n+3=-t2+2t+3：.H（2,3）,③以EH、FG為對角線,l+t=l+n2-t2l+t=l+n2-t2+2t+3=-n+3解得好或『喑;H，而,-1W17)或(3海,-1而)2 2 2 2綜上所述，，的坐標為（空叵，士叵）或（圭乂立，二1±叵）或（2,3）.2 2 2 28.如圖，拋物線頂點坐標為點C（1,4）,交x軸于點A（3,0）,交y軸于點B.（1）求拋物線和宜線AB的解析式；（2）設點P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點，是否存在一點P,使S△以8面積最大，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.（3）設點。（異于C點）是拋物線上的一個動點，是否存在一點Q,使5aqab=5aCab.若存在，直接寫出。點的坐標；若不存在，請說明理由.【分析】(1)根據(jù)頂點坐標為點C(l,4)設拋物線的解析式為：y=a(X-1)2+4,代入A點坐標到二次函數(shù)解析式中，求出系數(shù)。的值，從而求二次函數(shù)解析式，再利用A,B兩點的坐標求出直線AB解析式；(2)如圖2,設尸(X,-x2+2x+3)(0<x<3),利用面積差可表示△以B的面積，配方后可得當x=2■時，△FB有最大面積，由此可得點P的坐標：2(3)分兩種情況：根據(jù)&qab=SaCab可知：在4B的上方和下方作平行線，這條平行線與拋物線的交點就是。點，建立方程，解方程可得答案.【解答】解：(1)如圖1,設拋物線的解析式為：y=a(x-1)2+4,把A(3,0)代入解析式求得a=7,.'.y=-(x-1)2+4=-/+2x+3,當x=0時，y=3,：.B(0,3),設直線A8的解析式為：y=kx^b,把A(3,0),B(0,3)代入中，得：Jb=3l3k+b=0解得：(k=T，lb=3直線A8的解析式為：y=-x+3；(2)存在，如圖2,連接OP,設尸(x,-?+2x+3)(0<x<3),=Jl?3x+L?3(-f+2r+3)-2X3X3TOC\o"1-5"\h\z2 2 2=一旦(x2-3x+9-9)2 44=一3(廠3)2+”2 2 8v-J.<o,2.,.當x=3時，△加B的面積最大，此:時—2 2 4(3)存在，分兩種情況：①當Q在AB的上方時，如圖3,過點C作CD〃A8,交拋物線于Q,連接QB,QA,此時S△ACB=S&Q4B,設CD的解析式為：y=-x+m,把C(1,4)代入得：4=-1+故,??tTl5?:.-/+2x+3=-x+5，解得：XI=1,X2=1)???點。與點C不重合，：.Q(2,3)；②當。在A8的下方時，由①知：直線CO與y軸的交點為(0,5),即直線AB向上平移2個單位，二將直線AB向下平移2個單位得到y(tǒng)=-x+\,??-x-+2x+3=-x+1,解得：加=坦血工，也=生義五TOC\o"1-5"\h\z2 2...Q(赳叵士ZH)或(生逗，也豆).2 2 2 2綜上，點Q的坐標是(2,3)或(生2叵，上叵)或(3：叵，二1區(qū)立).2 2 2 29.如圖，拋物線與x軸交于4(-1,0)、8(3,0),交y軸于C(0,3).(1)求拋物線的解析式；(2)尸是直線BC上方的拋物線上的一個動點，設尸的橫坐標為，，P到BC的距離為〃，求力與，的函數(shù)關系式，并求出〃的最大值；(3)設點M是x軸上的動點，在平面直角坐標系中，存在點N,使得以點A、C、M.N為頂點的四邊形是菱形，直接寫出所有符合條件的點N坐標.【分析】(1)由4、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；(2)過點P作PO_Lx軸于點O,交BC于點E,PHLBC于點H,連接P8、PC,可先求得直線BC的解析式，則可用/分別表示出E的坐標，從而可表示出PE的長，再可用f表示出8c的面積，再利用等積法可用r表示出〃，利用二次函數(shù)的性質可求得//的最大值；(3)分AM、CM和AC為對角線三種情況，分別根據(jù)菱形的性質可求得N點的坐標.【解答】解：(1)\?拋物線y=a?+bx+c過A(-1,0)、8(3,0),C(0,3)三點，a-b+c=0 a=~l:9a+3b+c=0?解得<b=2，c=3 c=3

拋物線的解析式為y=-/+2r+3；(2)如圖1,過點P作POJ_x軸于點。，交BC于點E, 于點H,連接尸8、PC,圖1圖1,:B(3,0)、C(0,3),：.OB=OC=3,fiC=^QB2+oc2= .設直線BC解析式為、=丘+〃，則(3kS=0,解得fk=-lIn=3In=3???直線3。解析式為y=-x+3,:點、P的橫坐標為t,且在拋物線y=-/+2x+3上，?*.P(t,-?+2r+3),又???POLx軸于點3,交BC于點E,：.D(r,0),E(t,-r+3),：.PE=(-a+2r+3)-(-r+3)=-P+3f,TOC\o"1-5"\h\z/.SaPBC=—PE*(xb-xc)=—(-?+3/)X3="—?+—t,2 2 2 2又,：Sapbc=LBC?PH=Lx3小仁漢口，2 2 2...當巨人=-3?+旦/,2 22二〃與r的函數(shù)關系式為：〃=-返7+虺返(0<rV3),2 2..V22,3V2回/3x2,9V2.h=-t,1=丁(5萬).?.當r=2■時，〃有最大值為也2；2 8(3)存在.①若AM為菱形對角線，如圖2,1'：.N(0,-3)；②若CM為菱形對角線，如圖3和圖4,則CN=AM=AC=、12+32=V10，：.N(-V10>3)或可(V10，3)；③若4c為菱形對角線，如圖5,設A/(m,0),由C"2=a/，得川+32=(w+])2解得w=4,:.CN=AM=CM=5,：.N(-5,3).綜上可知存在點M使得以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形，符合條件的點N有4個：(0,-3)或(-VI3，3)或(-/10，3)或(-5,3).10.如圖1,直線y=2x+3與拋物線y=,交于點A、B,直線y=fcv7+5與A8交于點C,與拋物線交于點。、E.(1)點A、B、C的坐標分別為(-1,1),(3,9),(1,5)(2)如圖2,若DC=2CE,求人的值；(3)如圖3,直線D4、BE交于點Q,求OQ的最小值.圖1 圖2 圖3【分析】(1)聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，可以求出交點4,8的坐標，由直線+5,發(fā)現(xiàn)其經(jīng)過定點(1,5),且直線y=2x+3也經(jīng)過點(I,5),C即為(1,5)；(2)如圖1,利用“斜化直”思想，將0c=2CE,轉化成0G=2〃￡：,CG=2CH,利用根與系數(shù)的關系，得到相關的方程，最后轉化成關于人的方程，即可求解：(3)先求出直線AO的解析式，再求出直線8E的解析式，聯(lián)立兩條直線解析式，求得交點。的坐標，發(fā)現(xiàn)。在定直線上運動，設。(x,y),用x的式子表示出OQ的長度，用函數(shù)思想求出最值.fy=2x+3【解答】解：(1)聯(lián)立《 ，y=x化簡得，/-2%-3=0,，x=3或-1,當x=3時，y=9,當x=-1時，y=\,

?.?直線與拋物線交于A,B兩點,且A在8點左側，(-1,1),B(3,9),'."y=kx-k+5=k(x-1)+5?.?.當x=l時，y=5,(1,5)既在直線-A+5上，且滿足直線y=2x+3,...點(1,5)是兩條直線的交點，：.C(1,5),故答案為(7,1),(3,9),(1,5)；(2)過點。，E分別作x軸平行線，過，作y軸平行線，交兩平行線分別于點G,H,如圖1,：.ZDGC=ZEHC=90°,又NDCG=NECH,:.△DGCs^EHC,.DGCG=DC門"EH"chCE"2，設O(xi,yi),E(x2,y2)?化簡得，x2-kx+k-5=0,???xi,r是該方程的兩根,??x\^xi=kyx\x2=k-5,VG(1,yi),H(1,yi),.1-x.1-xl5-y1y2-5.?.xi+2x2=3①，yi+2y2=15@,由①得，X2=3-(xi+%2)=3-k,；?xi=2k-3,由②得，Xi2+2x2z=15，:.⑵-3)2+2(3-k)2=5：.0-4k+2=0,?'-k=2±&：⑶由(2)可得，D(X[,x/)，E(x2，X22)設直線4。為丫=,”(x+1)+1.代入點。的坐標得,

m=x\-1,直線AD為y=(xi-1)(x+1)+1,同理，直線8￡為丫=(X2+3)(x-3)+9,聯(lián)立.解得，y=(xj-1)(x+1)+1y=(x2+3)(x-3)+9k+2x2聯(lián)立.解得，x=2x2-k+47k~20-6y= 2x2-k+4k+2x9 7k-20-6x9???o( —, ^)，^2x2-k+4 2x2-k+4.. k+2x27k-20-6x2_?9? - =5,2x2-k+4 2x2~k+4???Q在直線2x-y=5上運動，設Q(x，y)，O02=x2+y2=5(x-2)2+525.?.OQ的最小值為遙.圖111.如圖1,在直角坐標系中，拋物線Ci：y=ax1+bx+3(a#0)與x軸交于A,B兩點(A在8的左側)，與y軸交于點C,已知tanNC4O=2,B(4,0).(1)求拋物線。的表達式；(2)若點P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點尸作PE〃x軸交8c于點E,求PE的最大值及此時點P的坐標；(3)如圖2,點尸是BC上一點，。尸平分aCOB的面積，將拋物線。沿射線CB方向平移，當拋物線恰好經(jīng)過點尸時，停止運動，記平移后的拋物線為C2.已知點“是原拋物線。上的動點，在拋物線C2的對稱軸上是否存在一點N,使得以點C、B、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出N點的坐標；若不存在，請說明理由.圖1 圖2【分析】(1)利用正切值求出A點坐標，再利用交點式求出二次函數(shù)解析式；(2)過點P作尸F(xiàn)〃y軸交直線BC于點凡利用相似，將尸E的最值轉化成尸產(chǎn)的最值，再利用配方求尸產(chǎn)的最值即可；(3)平行四邊形兩定兩動問題，①以MN、8c為對角線，則MN的中點即是8c中點，②以NC、為對角線，則NC中點即是8M中點，③以NB、CM為對角線，分別列方程組即可求解.【解答】解：(I)在丁=0?+法+3中，令x=0得y=3,：.C(0,3),OC=3,：tanNCAO=2,：.AO=^-,2,1'A(-y?0).?：B(4,0),.,.設y=a(x垮)(x-4)1將C(0,3)代入得：a=」，2,,y=-(x-^)(x-4),即y=-4^x+3，(2)過點P作PF〃丫軸交直線8c于點凡如圖:?.?PE〃x軸，尸尸〃y軸，：?NPEF=NCBO,/EFP=/BCO,:.ACBO?/\FEP,?PEPF?一.-二,OBOC.PEPF?―= f43. 4??PE-^PF，o設P(m,~^-in2-^m+3)?由8(4,0)、C(0,3)得直線8C解析式為：y=-lx+3，, 3,,F(m，ym+3)，,:PF=yp-y尸，,?PE=^(-^-m2-?*pn+3*+^-x-3)??e,Pe4(-4~m2+2m)=-^~m2+Ym=-z|"(m2-4m)=4(m2-4m+4-4)=- (/n-2)S/ Ooo o O2+a,3二當m=2時，PEmax=|>此時P(2,')；(3)存在，理由如下：；OF平分△COB面積，:.F為BC中點,即F(2,—)?由題意可知，拋物線。沿射線CB平移，且過點F,則C平移至點尸時，向右平移2個單位，再向下平移3個單位，2

，C2解析式為：y=-(x-2) (x-2)即y=- -3,.??C2的對稱軸為：X=23,4.?.設N卓，t)-M(〃，-尹+全+3)，而C(0,3),B(4,0),①以MN、BC為對角線，則MN的中點即是BC中點，如圖：②以NC、8M為對角線，則NC中點即是中點，如圖:

③以NB、CM為對角線，如圖:.?.綜上所述：滿足條件的n點坐標為：(區(qū)，-21)或(23,-39)或n(型，4 32 4 32 4359、3212.數(shù)學來源于生活，數(shù)學之美無處不在，在幾何圖形中，最美的角是45°,最美的直角三角形是等腰直角三角形，我們把45°的角稱為一中美角，最美的等腰直角三角形稱為一中美三角.根據(jù)該約定，完成下列問題：(1)如圖1,已知正方形4BCD中。是對角線AC上一動點，過。作OP_LO￡),垂足為0,交BC邊于P,△POO是否為一中美三角，并說明理由；(2)如圖2,在平面直角坐標系中，點A(-2,0),點8(0,2),點P在第二象限內(nèi)，且在直線y=-2x-2上，若△ABP恰好構成一中美三角，求出此時P點的坐標；(3)如圖3,若二次函數(shù)y=-/+2x+3的圖象與x軸交于4、B兩點、,與y軸交于點C,P為第二象限上的點，在直線AC上，且NOPB恰好構成一中美角；Q為x軸上方拋物線上的一動點，令。點橫坐標為m(0<m<3),當，”為何值時，△尸8。的面積最大，求出此時Q點坐標和最大面

【分析】（【分析】（1）過。作EF_L8C于凡交AO于E,證明△OEO烏/XOF尸可得OO=OP,從而△P。。是等腰直角三角形，即△POO為一中美三角；(2)設PCm,-2m-2),4/=(m+2)2+(-2w-2)2=5/n2+12m+8,5/^=//12+(-2m-2-2)2=5w2+16;n+16,AB2=(-2-0)2+(0-2)2=8,/XABP構成一中美三角，即等腰直角三角形，分三種情況討論：①若AP、BP為腰，5切2+12切+8=5機2+16加+16且5nr+12m+S+5m2+16m+16=8,②若ARAB為腰，5w2+12/h+8=8且5m2+12w+8+8=5m2+16/n+16,③若BP、48為腰，則5川+16"?+16=8且5/n2+i6/?+16+8=5/?2+i2ni+8,分別解方程即可得答案；（3）連接8C,作BC中點。，連接OP,過。作QM〃y軸交8P于由NOPB=NTOC\o"1-5"\h\zBCO知P、8、C、0共圓，即尸在△BOC的外接圓上，根據(jù)P￡）=-1bC=W^2,P（t,2 23r+3）,可列（t-3）2+（3什3-2）2=（4巨）2得p（-3,反），從而可得直線

2 2 2 55B尸為y=-2x+l,由Q（/n,-w2+2m+3）.M（m,-—m+\）,有QM=-序+工，"+2,3 3 3故 （xb-xp）=-—（w-—）2+J21.,即可得根=2■時，S^pbq有最大2 5 6 20 6值為121值為121~20【解答】解：（1）△POO為一中美三角，理由如下:過。作EF_LBC于F,交A。于E,如圖:

D?.?四邊形ABC。是正方形，D?.?四邊形ABC。是正方形，EF1BC,.*.ZACfi=45°,四邊形EFCC是矩形,...△OFC是等腰直角三角形，ED=FC,：.OF=FC,：.OF=ED,'JOPVOD,?,.Z2=900-Z3=Z1,在△OEO和△OFP中，rZl=Z2<OF=ED>ZDE0=Z0FP：./\DEO^^OFP(ASA),：.OD=OP,又NDOP=90°,...△POO是等腰宜角三角形，即△POO為一中美三角：(2)設P(m,-2/n-2)?,點A(-2,0),點8(0,2),二4產(chǎn)=(m+2)2+(-2m-2)2=5/n2+12/n+8,BP2=m2+(-2m-AB2=(-2-0)2+(0-2)2=8,△AB尸構成一中美三角，即等腰直角三角形，如圖：2-2)2=5m2+16m+16,①若AP、8P為腰，則需滿足：AP=BPfiAP2+BP2=AB2,5/n2+12/n+8=5/n2+16/m+16且5/n2+12/n+8+5/n2+16m+16=8,解得m=-2,：.P(-2,2)；②若AP、AB為腰，同理可得：5zn2+12/n+8=8且5zn2+12/n+8+8=5m2+16m+16,滿足兩個方程的，”=0，此時不存在尸，使△ABP構成一中美三角；③若BP、A8為腰，貝I」5/??+16^+16=8且5%2+16m+16+8=5機2+12m+8,沒有，”能同時滿足兩個方程，故此時不存在P,使△A8P構成一中美三角；綜上所述，ZVIB尸構成一中美三角，則P(-2,2)；(3)連接BC,作BC中點￡),連接。P,過。作。何〃y軸交BP于M,如圖:..}=-7+2r+3的圖象與x軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,(-1,0),8(3,0),C(0,3),：.OB=OC,BC=3近,3(3,—),22；.NBCO=45°,,.?/OPB恰好構成一中美角，即NOP8=45。，:.NOPB=NBCO,：.P.B、C、O共圓，即P在△BOC的外接圓上，VZBOC=90",：.D為△BOC的外接圓圓心，:.pd=Lbc=^^~,2 2設直線AC為嚴質+6,則［°i+b,I3=b解得［片3,lb=3*,?直線AC為y=3x+3,設尸(r,3r+3),c-3)2+⑶+3-2)2=2 2解得t=-3或r=0(舍去)，5:.p(-S,且)，55設直線BP為y=sx+r,(6 3—=一，s+p叫55SF,0=3s+r'_1解得.s-萬，r=l直線82為丫=--lx+i,???。點橫坐標為加，二Q(/n,-nii+2m+3),M(m,TOC\o"1-5"\h\z.,.QM=(-m2+2/n+3)-(-—m+1)="n^+—m+2,3 3?'?S^pbq=—QM'(.xb-xp)=—(-n^+—m+2)X(3+—)=-—Cm--)2+-^i,2 2 3 5 5 6 20-2<o,5時，Sapbq有最大值為2紅，6 20此時Q(2，.6 3613.如圖，二次函數(shù)y=-f+/nx+3的圖象與x軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,點。在函數(shù)圖象上，CC〃x軸且CQ=2,直線/是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點.(1)則m=2、4點的坐標(-1,0) 、8點的坐標(3,0) 、E點的坐標(1,4)；(2)如圖1,連接BE,線段OC上的點尸關于直線/的對稱點尸恰好在線段BE上，求點尸的坐標；(3)如圖2,拋物線的對稱軸上是否存在點T,使得線段以繞點7順時針旋轉90°后，點A的對應點4恰好也落在此拋物線上？若存在，求出點7的坐標；若不存在，請說明理由.(4)如圖3,動點尸在線段08上，過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M、與拋物線交于點N.試問：拋物線上是否存在點。，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長度最??？若存在，直接寫出。的坐標；若不存在，說明理由.【分析】(1)由拋物線的對稱性可求m的值，即可求解；(2)可設F(0,a),則可表示出P的坐標，由8、E的坐標可求得直線BE的解析式，把F'坐標代入直線BE解析式可得到關于a的方程，可求得F點的坐標；(3)分兩種情況討論，利用旋轉的性質和全等三角形的性質可求解；(4)設點尸坐標為(力0),可表示出附、PB.PN的長，作QRJ_PN,垂足為R,則可求得QR的長，用n可表示出。、R、N的坐標，在RtAQRN中，由勾股定理可得到關于”的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質可知其取得最小值時〃的值，則可求得Q點的坐標.【解答】解：(1)軸，CD=2,拋物線對稱軸為x=l, ——_-1,2X(-1)??機=2,工拋物線解析式為：y=-f+2x+3=-(x-1)2+4,，點E(1,4),?,二次函數(shù)y=-/+21葉3的圖象與x軸交于A、B兩點，，0=-jv2+2x+3,?Xl=3,X2^-1,...點A(-1,0),點8(3,0),故答案為：2,(-1,0),(3,0),(1,4)；(2)設點F的坐標為(0,a),對稱軸為直線x=l,點廣關于直線/的對稱點尸的坐標為(2,a),直線BE經(jīng)過點8(3,0),E(1,4),直線BE的表達式為y=-2x+6,;點、F'在BE上，-2X2+6=2,.?.點F的坐標為(0,2)；(3)如圖2-1,若點T在x軸上方時，設對稱軸與x軸交點為G點，過點A作EG于H點、,設7(1,c),則TG=c,.,將線段TA繞點T順時針旋轉90°：.AT=A'T,NA7A'=90°,...NATG+NA7H=90°,又；乙476+/竊6=90°,ZA'TH=ZTAG,又?.,NA7/7'=NAG7'=90°,：.^\ATG^￡\TA'H(A4S),：.AG=HT=2,TG^A'H=c,.?.點4(1-c,c+2),.?點4在拋物線上，：.c+2=-(1-c-1)2+4,*.Cl=1,C2=-2(舍去)，.,.點7(1,1):若點T在x軸下方時，當AG=GT=GB=2時，，NGAT=ZATG=45°=ZABT=NBTG,：.AT=BT,ZATB=90",線段TA繞點T順時針旋轉90°得到TB,.,.點T（1,-2）,綜上所述：點T坐標為（1,1）或（1,-2）；（4）存在點。滿足題意.設點P坐標為（〃，0）,則B4=〃+l,PB=PM=3-n,PN=-n2+2n+3.作QRJ_PN,垂足為R,圖3,?*Sapqn=S〉apm,/.A(n+l)(3-n)=A(-n2+2n+3)?QR,2 2：.QR=1.①點Q在直線PN的左側時，。點的坐標為(〃-1,-〃2+4”)，r點的坐標為(人.〃2+4〃)，N點的坐標為(”，-/+2〃+3)..?.在RtZ\QRN中，2VQ2=1+(2n-3)2,.?.〃=3時，NQ取最小值1,2此時。點的坐標為(工，至)；2 4②點。在直線PN的右側時，。點的坐標為(n+l,-M+4).同理，NQ2=i+(2n-1)2,.?.〃=/時，NQ取最小值1,此時。點的坐標為(3,生)；2 4綜上所述可得：存在滿足題意的點。其坐標為(』，型)或(3,至).2 4 2 4.如圖，已知二次函數(shù)丫=/+以+。經(jīng)過4,B兩點,8C_Lx軸于點C,且點A(-l,0),C(4,0),AC=BC.(1)求拋物線的解析式；(2)點E是線段AB上一動點(不與A,8重合)，過點E作x軸的垂線，交拋物線于點凡當線段EF的長度最大時，求點E的坐標及(3)點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在這樣的尸點，使AAB尸成為直角三角形？若存在，求出所有點尸的坐標；若不存在，請說明理由.【分析】(1)先求得點8的坐標，然后將點A和點8的坐標代入拋物線的解析式可得到關于氏c的方程組，從而可求得氏c的值；(2)設點E的坐標為(/,什1),則點F的坐標為F(r,?-2r-3),則可得到EF與x的函數(shù)關系式，利用配方法可求得EF的最大值以及點E的坐標，最后根據(jù)EF的最大值可得AAB尸的面積；(3)存在，設尸(1,m),分三種情況：分別以A,B,P為直角頂點，根據(jù)勾股定理和兩點的距離公式列方程，解方程即可.【解答】解：(1)?.?點4(-1,0),C(4,0),：.AC=5,OC=4,'：AC=BC=5,：.B(4,5),把A(-1,0)和B(4,5)代入二次函數(shù)y=/+bx+c中得：］『b+c=0,解得：產(chǎn)-2,116+4b+c=5Ic=-3...二次函數(shù)的解析式為：y=7-2r-3；(2)如圖1,?..直線AB經(jīng)過點A(-1,0),B(4,5),設直線AB的解析式為y=kx+b,...「k+b=0,解得"k=l,l4k+b=5Ib=l直線AB的解析式為：y=x+l,:二次函數(shù)y=7-2x-3,圖1二設點E(r,r+1),則/(r,?-2r-3).：.EF=(z+1)-(?-2r-3)=-(r-J.)2+25,2 4.?.當r=3時，e/的最大值為空，2 4.?.點E的坐標為(旦，5),22SaA"=Jef"(xB-xA)=yX-^-X(4+1)=-^-(3)存在，y=x2--2x-3=(x-1)2-4,...設P(1,m),分三種情況：①以點B為直角頂點時，由勾股定理得：PB1+AB1=PA1,：.(4-1)2+(m-5)2+(4+1)2+52=(1+1)2+m2,解得：w=8,:.P(1,8)；②以點A為直角頂點時，由勾股定理得：PA2+AB2=PB2,：.(1+1)2+w2+(4+1)2+52=(4-1)2+(m-5)2,解得：/n=-2,:.P(1,-2)；③以點P為直角頂點時，由勾股定理得：PB1+PA1=BA1,：.(1+1)2+m2+(4-1)2+(m-5)2=(4+1)2+52,解得：/W=6或-1,：.P(1,6)或(1,-1)；綜上，點尸的坐標為(1,8)或(1,-2)或(1,6)或(1,-1)..如圖，已知拋物線y=r+fcr+c與x軸相交于A(-1,0),BCm,0)兩點，與y軸相交于點C(0,-3),拋物線的頂點為。.(1)求拋物線的解析式；(2)若點E在x軸上，且NECB=NCBD,求點E的坐標.(3)若尸是直線BC下方拋物線上任意一點，過點P作尸，，x軸于點4,與BC交于點M.①求線段尸M長度的最大值.②在①的條件下，若「為y軸上一動點，求PH+HF+隼CF的最小值.備用圖【分析】(1)將A(-1,0)、C(0,-3)代入y=/+bx+c,待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；(2)根據(jù)待定系數(shù)法，可得BO的解析式，根據(jù)平行線的判定和兩平行直線的函數(shù)解析式的關系，根據(jù)待定系數(shù)法，可得CE的解析式，進一步可得答案；(3)①根據(jù)BC的解析式和拋物線的解析式，設x2-2x-3),則M(x,x-3),表示PM的長，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得：當x=3時，PAf的最大值；2②當PM的最大值時，尸(3,-生)，確定F的位置：在x軸的負半軸了取一點K,2 4使/OCK=45°,過F作FNLCK于N,當N、F、H三點共線時，如圖2,FH+FN最小，即PH+4F+返CF的值最小，根據(jù)45度的直角三角形的性質可得結論.2【解答】解：(1)把A(-1,0),點C(0,-3)代入拋物線y=x2+bx+c中得：(l-b+c=0lc=-3解得：片2Ic=-3拋物線的解析式為：y=7-2r-3；(2)Vy=x2-2x-3=(x-1)2-4二頂點。(1,-4),當y=0時，x2-2x-3=0,(x-3)(x+1)=0,x=3或-1,：.B(3,0)；如圖1>連接B￡>,設8。所在直線的解析式為：y=A（x-3）,將。點坐標代入函數(shù)解析式，得-2k=-4,解得％=2,故8力所在直線的解析式為：y=2r-6,'：NECB=NCBD,J.CE//BD,設CE