第十七講平面幾何中的定值問(wèn)題定值問(wèn)題的證明或計(jì)算，一般是通過(guò)圖形的定量，如線段和定角來(lái)討論的.如果問(wèn)題中已明確給出定值，那么一般通過(guò)線段和角的和、差、倍、分的推導(dǎo)或計(jì)算來(lái)解決；如果問(wèn)題中未給出定值，可以利用特殊的方法推測(cè)出定值，然后再加以一般化的證明.下面舉幾個(gè)例題，說(shuō)明上述思考方法.例1如圖3—80.已知△ABC中，AB=ACP是其底邊BC上任一點(diǎn)，設(shè)AP交△ABC勺外接圓于Q點(diǎn)，求證：AP-AQ為定值.圄3-60圄3-60分析欲證AP-AQ為定值，我們先用特殊化方法找出這個(gè)定值是什么，然后再給以一般化的證明.為此，我們?nèi)與B（或C）重合，則Q點(diǎn)也必與B（或C）重合，則AP-AQ應(yīng)等于AB（定值），以下證明這個(gè)推測(cè).證連結(jié)BQ因?yàn)锳B=AC所以/ABCNACB又因?yàn)?ACBWAQB所以/ABCNAQB又因?yàn)?BAQ=PAB所以AaepccAaqb.AaepccAaqb.AB_AJAQ=AT'所以AP?AQ=AB定值）.注意如果連結(jié)QC將怎樣證明？請(qǐng)讀者思考.例2如圖3-81.已知△ABC中，AB=AC如果直線EF,MNS垂直于BC,試證明：不論MNEF怎樣平行移動(dòng)，只要MN|EF之間的距離不變，五邊形AMNFE勺周長(zhǎng)是一個(gè)定值.

A國(guó)3-81A國(guó)3-81分析從圖3—81中可以發(fā)現(xiàn)，如果引ADIBC于D,由已知條件可知AB（或AC）,ADNF,BD域CD郁為定值，因此，若五邊形AMNFE勺周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為以上各線段的表達(dá)式，則可判定其為定值.證作AD±BC于D,則MN_BN_AD=BD=BA所以同理所以同理所以所以NF_2&-（MN4EF）BD=ADNF_2&-（MN4EF）BD=ADMN+EJ=2AD *ADBD又因?yàn)镸A_NDEA_DFAB-'BD^=育所以MA+EA_ffl）4DF_NF-AB-=CD-=CD所以NFMA+EA=—*AB.所以所以KFNFMN+EF+MA4AE+NFKFNF-2AD- ?AB+ *AB+NF.ED LD由于AAB可確定的等腰（AB=AC尸角形，所以ADBRCRAB為定值，又因?yàn)镋F,MN^間距離為定長(zhǎng)，所以NF為定值.所以五邊形AMNFE勺周長(zhǎng)為定值.例3設(shè)OAOB是已知圓0的任意兩條半徑，過(guò)B引BE!OA于E,過(guò)E作EP，AB于P.求證：OP+EP為定值（圖3—82）.分析由已知A,B為。。上任意兩點(diǎn),分析由已知A,B為。。上任意兩點(diǎn),如果固定A,讓B在圓上移動(dòng),當(dāng)B點(diǎn)移動(dòng)到半圓中點(diǎn)時(shí)，BE變成了半徑r,E與O重合,EP與OP重合（圖3一83）,那么OP=PA=PB=：AB,即OF=EP='AB心 白&所以下面證明這個(gè)推?贓吉論.證延長(zhǎng)OP交。。于C,D（圖3—82）.因?yàn)樵谥苯侨切蜛EB中，/AEB=90,EP,AB于P,所以EP=AP?PB=CPPD=(OGOP)?(OD+OP)=r2-OP,所以EP+OP=r2（定值）.所以例4若P為圓。內(nèi)一定點(diǎn)，過(guò)P任作一弦AG分別過(guò)AC引圓的切線，再過(guò)P分別作兩切線的垂線，垂足為Q,R（如圖3—84）,證明m七限為定值.圉3-84圉3-35圉3-84圉3-35分析根據(jù)已知，AC為過(guò)圓O內(nèi)定點(diǎn)P的任意一弦，為了找定值，使AC特殊化，令A(yù)C為直徑，則P是直徑AC上的一個(gè)定點(diǎn)，這時(shí)由于PGPQ同時(shí)垂直于切線，所以Q,C兩點(diǎn)重合.同理A,R也重合（圖3—85）.于是，（定值）.1?1_1,1_（定值）.PQ4PK-r-OP+r+OP'7-。鏟下面證明這個(gè)推測(cè)結(jié)論.證在圖3—84中，作直徑AB,連BG并過(guò)OP作直徑EF.由于/ACB=90,于是△AB①AAPFR所以1_PR=PC*AC又因?yàn)椤鰽B6△PCQ所以因此上J_.ABAB.ABtAP'P。PQ+PR-AP*AC+PC?AC-AP?WPCAB*AC AB=AP-AC*PC=AP*PC2r 2r 2r史楂=PE*PF=(r+0P)?(r-OP)=r3-OP2,定值;'注意當(dāng)定點(diǎn)p恰好與。重合時(shí)，op=。，則定值為2.r例5設(shè)did2,d3是單位圓O的三條直徑，且兩兩交角為60°,在圓周上任一點(diǎn)P向a,d2,d3作垂線，垂足分別為A,B,C.證明：z\ABC為定三角形(圖3—86).分析因?yàn)镻為圓。上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到di的一個(gè)端點(diǎn)D時(shí)(P與D重合，見(jiàn)圖3-86),因?yàn)镈F，d3于F,DHd2于E,而/FOD=TEOD=60,所以/“，且DEmDFh=,所以△ABC為邊長(zhǎng)為j的正三角形.EDF=60證連OR彳BMLOA于M.因?yàn)?PAOWPBO=90,所以，A,P,B,。四點(diǎn)共圓，且OP=1因此，在△ABMWAOPEfr,/MAB=BPO/BMA=OBP=90所以△AMBoAPBO所以所以所以O(shè)BAE-―—―*OF-sin.X1=^―OB同理，= ,且/BCA=ZAOB=6CT,所以△妞纂邊長(zhǎng)為--的等邊三角形，即為定三角形.例6相交的兩圓的交點(diǎn)為A,B,經(jīng)過(guò)8點(diǎn)所作的任意直線與兩圓的交點(diǎn)分別是C,D,那么AC：AD是定值（圖3-87）.分析因CD^過(guò)B點(diǎn)的任意直線，為確定AC：AD,使CD#殊化，令其垂直于AB,這時(shí)因?yàn)?ABCWCAD=90，那么AGA"定是兩圓直徑.若設(shè)di,d2為兩圓直徑，則AC：AD=d：d2（定值）.卜面對(duì)以上推測(cè)做一般性證明.圖3-86圖3-86證在圖3—88中，設(shè)CD是過(guò)B點(diǎn)交兩圓于C,D的任一直線，過(guò)B作C'D'交兩圓于C',D',且使AB!CD'于B,連AD',D'D,AC',CC,易知/ADD=/ACC=90°.又/ADD=ZABD=/ACC,所以 z\ADDs△ac（C,所以AC：AD=AC:AD'=d：d?（定值）.練習(xí)十七.如圖3—89.直線I1//I2//I3,A,B是12上兩定點(diǎn)，P,Q分別為li和13上的動(dòng)點(diǎn).求證：四邊形PAQB勺面積為定化.如圖3-90.4ABC是正三角形，由其中任一點(diǎn)P,向三邊引垂線,設(shè)垂足分別為M,N,Q,求證：PM+PN+PQ定值..已知正方形ABCD以A為圓心，AB為半徑在正方形內(nèi)作圓飄近，在圓孤品上（B,D兩點(diǎn)除外）任取一點(diǎn)T,過(guò)T作圓嘴的切線分別交BGCDT