混頻振蕩器的耦合設(shè)計IoanGrosu,1RanjibBanerjee,2ProdyotK.Roy,3和SyamalK.Dana2Gr.T.Popa醫(yī)藥學(xué)院生物工程系，羅馬尼亞70115中心儀印度醫(yī)學(xué)生物學(xué)研究所,院長學(xué)院，Kolkata700032,我們一般是用公式表示一個理想狀態(tài)下的同步，非同步耦合函數(shù)，震蕩消失和一個差值的混頻震蕩。耦合函數(shù)可分為單向耦合，相互耦合和矩陣耦合三種耦合類型。尤其是矩陣耦合能夠在不同的狀態(tài)變量反應(yīng)系統(tǒng)中產(chǎn)生同步，非同步耦合函數(shù)，震蕩消失。耦合的應(yīng)用例子有spiking-burstingHindmarsh-Rose的神經(jīng)元模型R?ssler振蕩器Lorenz系統(tǒng),Sprott系統(tǒng)和一個雙軸系統(tǒng)。我們用比例定律來定義一個同步轉(zhuǎn)化的過程。介紹動力學(xué)系統(tǒng)同步的概念可以解釋許多自然系統(tǒng)和人工系統(tǒng)觀察到的空間模型，耦合系統(tǒng)的集體反應(yīng)。這些觀察資料開創(chuàng)在復(fù)雜的生物系統(tǒng)潛在的應(yīng)用，比如在心臟，大腦和工程系統(tǒng)里的弱磁場感應(yīng)和安全通信。從應(yīng)用的角度看，同步的控制和在動力學(xué)系統(tǒng)中協(xié)調(diào)反應(yīng)的操作能力是很重要的。同步和失步的控制，與動力學(xué)大腦尤其重要。在耦合振蕩器中相位同步的自動控制應(yīng)該早點在工程學(xué)，生態(tài)學(xué)，醫(yī)學(xué)中應(yīng)用。最近，人們在探索理想狀態(tài)的工程學(xué)，比如連續(xù)模型和失步在很多使用反饋控制的振蕩器。用公式表示一個合適的動力學(xué)耦合函數(shù)對實現(xiàn)和控制理想的協(xié)調(diào)反應(yīng)，比如完全同步·滯后于同步·同步產(chǎn)生的PS和存在時間間隔的同步，顯得很重要。耦合振蕩器中的同步狀態(tài)在相同的耦合器中實現(xiàn)耦合消失是另一個具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。我們用可以實現(xiàn)普通類型和混合類型的同步的混頻耦合器的耦合函數(shù)公式得出一般公式。在普通同步類型中，所有的混頻耦合器的狀態(tài)變量獲得同步的一種形式（CS,或AS）。在混合同步中，分離狀態(tài)變量獲得同步的微分方程。最近正嘗試在一種適應(yīng)性的方法在根據(jù)李雅普諾夫方程穩(wěn)定性的相同耦合器來獲得CS,AS共存。這種方法在數(shù)字研究和實用性受到限制。相反，我們用相加性開環(huán)和閉環(huán)方式描述一種更普遍的·按自然規(guī)律可實現(xiàn)的耦合定義來獲得CS和AS，還可以在任何相同或差值的反應(yīng)系統(tǒng)中產(chǎn)生AD。在近期的一份信中，我們發(fā)現(xiàn)單向的相加性開環(huán)和閉環(huán)耦合的一種延伸的實例與實驗證明差值。這里，我們把單相耦合的詳細信息加起來，再介紹在相同反應(yīng)系統(tǒng)中的AD。我們獲得了在任何獨立系統(tǒng)都遵循比例定理的同步轉(zhuǎn)換途徑，更進一步延伸了實現(xiàn)AS的相互耦合定理。相互相加性開環(huán)和閉環(huán)耦合只對CS超前。然而，AS只在相互相加性開環(huán)和閉環(huán)耦合下被限制轉(zhuǎn)化為動力學(xué)系統(tǒng)，這相類似于所說的在載普通線性單向耦合和相互耦合下對AS超前。最后，我們介紹矩陣類型單相耦合，用這種矩陣耦合，混頻驅(qū)動器在反應(yīng)系統(tǒng)中：例如，一對相似的狀態(tài)變量能夠產(chǎn)生AS，另一對狀態(tài)變量能夠產(chǎn)生CS，然而另一個反應(yīng)變量難以產(chǎn)生靜止狀態(tài)或AD，可以產(chǎn)生不同可能性的相關(guān)動力學(xué)結(jié)合。矩陣耦合在需要控制不同比例的化學(xué)成分的集中反應(yīng)情況下在產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)和催化作用中來獲得一種理想的輸出很用用處。結(jié)構(gòu)如下：1相互相加性開環(huán)和閉環(huán)耦合理論2（1）顯示關(guān)于AS·CS和AD的相同振蕩器的數(shù)字例子InSec2（2）同步的轉(zhuǎn)換路徑和比例反應(yīng)InSec2（3）關(guān)于AS的相互相加性開環(huán)和閉環(huán)耦合（OPCL）InSec。3.InSec。4含有數(shù)字例子的矩陣耦合。5InSec中總結(jié)的結(jié)果。OPCL耦合：單向單向的OPCL耦合在兩個相同的混頻振蕩器中首先產(chǎn)生ＣＳ然后擴展其網(wǎng)絡(luò)。為實現(xiàn)ＣＳ，ＡＳ和混頻的放大和衰減我們擴展了差值振蕩器理論。耦合函數(shù)因差值的實例簡單描述如下：混頻驅(qū)動器被定義為其中包含了差值項。含參數(shù)的混頻振蕩器模型假定已知，它驅(qū)動另一個混頻耦合器達到理想動態(tài)，其中＠是一常數(shù)。耦合后，反應(yīng)系統(tǒng)耦合函數(shù)被定義為是動態(tài)系統(tǒng)的雅可比行列式，H是一個任意的n維方陣當f(x可以用泰勒展開式表示，耦合系統(tǒng)的錯誤信號定義為e=x-g。保留Eq中的一階項來替換Eq，有誤差的動態(tài)e=He由Eq獲得。如果H為所有特征值都含有負實部的Hurwitz矩陣，e趨于0，t趨于0，我們就可以獲得漸進穩(wěn)定的同步。用來獲得同步的耦合函數(shù)的重要性是由相互作用的振蕩器的雅克比模型建立的H矩陣元素的選擇。矩陣的元素當是常數(shù)時獲得。如果存在任何狀態(tài)變量，它就被一常數(shù)替換。另一關(guān)于耦合函數(shù)定義的重要因素是參數(shù)值p的適當選擇.它們的選擇應(yīng)滿足勞斯-赫爾維茲準則，以確保所有特征值都含有負實部，這樣H就被定義為Hurwitz矩陣。對于一個三維系統(tǒng)，H矩陣的特征方程為其中a都為常數(shù)并且都大于0時求得勞斯-赫爾維茲準則，H矩陣的勞斯-赫爾維茲準則求完后，一個漸進穩(wěn)定的同步可以甚至在參數(shù)差值的情況下也建立起來。目標動態(tài)中的常倍數(shù)a可以作為控制參數(shù)來實現(xiàn)另一種相關(guān)動態(tài)：CS(a=1,AS(a=-1,衰減(，放大(。當a=0時AD（震蕩消失）也能產(chǎn)生。耦合的一般形式同步類型的轉(zhuǎn)變和放大、衰減的控制就能完成。轉(zhuǎn)換的能力在消息編碼中的應(yīng)用具有很大的潛力。數(shù)字仿真：相同的耦合器我們用一種spiking-burstingHindmarsh-Rose神經(jīng)元模型來詳細敘述單向OPCL耦合，y(1是膜電位，y(2,y(3是關(guān)于快和慢的膜電流，I是偏壓電流。雅克比式模型逆矩陣，HR模型由上面解釋的他的雅克比式獲得H=我們把模型作為驅(qū)動器，另一個相同的HR系統(tǒng)作為響應(yīng)，耦合函數(shù)用Eqs求得。求得HR耦合器耦合反應(yīng)：為了Eq中的H矩陣成為Hurwitz矩陣，應(yīng)該選擇合適的參數(shù)(p1,p2來滿足HR準則，p(1假定p（2）=0.為了仿真，我們分別選擇p(1=-1.5實現(xiàn)CS，a=1，-1來實現(xiàn)AS。圖1顯示反應(yīng)神經(jīng)元和驅(qū)動神經(jīng)元的，時間序列x(1,x(2。選擇a=0，驅(qū)動神經(jīng)元可在單項反應(yīng)神經(jīng)元中產(chǎn)生AD和靜止狀態(tài)：盡管圖中fig1顯示的只有一個反應(yīng)變量x(1,所有的反應(yīng)變量下降到0幅度。另一種選擇是選擇來產(chǎn)生衰減。然而，如果用那些驅(qū)動器不同狀態(tài)下的反應(yīng)變量：任何反應(yīng)的狀態(tài)變量保持諧振，在類似的驅(qū)動變量下發(fā)展成AS、DS，或另一種衰減狀態(tài)甚至達到靜止狀態(tài)。這為控制不同的同步提供了可能性，也就是神經(jīng)元細胞膜兩邊的膜電壓和快慢電流，維持著不同形式的同步數(shù)字仿真：差值的震蕩器我們現(xiàn)在來描述Rossler系統(tǒng)的差值實例，圖1.HR耦合神經(jīng)元模型：a=1.0,b=3.0,c=1.0,d=5.0,S=5.0,r=0.003,I=4.1,andp1=?1.5.Time，圖a中時間序列x(1,y(1和x(1對y(1a=1是的CS圖。C圖中時間序列y(1(實線x(1（虛線），圖d中顯示的x(1和y(1當a=-1的AS。為了視覺清晰把圖c中的x(1縮減了。圖e中的諧振y(1和反應(yīng)x(1在0水平下確保為AD類型。是參數(shù)的差。耦合函數(shù)用Eqs定義后，從Rossler模型的雅克比式中重新獲得H矩陣，差值的震蕩器耦合后的反應(yīng)是：注意用Eq的耦合含有非線性成分，另外，每個差值的參數(shù)都會存在線性耦合項目。在第一個例子中可看出，線性耦合項會因為相同的振蕩器消失。這種線性耦合在同步穩(wěn)定中起著至關(guān)重要的作用。仍然會因為不同參數(shù)的選擇下成為Hurwitz矩陣，其產(chǎn)生的不同的˙=He和同步穩(wěn)定會導(dǎo)致動態(tài)誤差。對于電流仿真，我們在圖2相位圖中一系列可能值選擇p(1=10,p(2=-10,參數(shù)空間會因為H矩陣的所有特征值含有負的實部存在暗區(qū)，我們可以在相位圖中很容易地選擇參數(shù)來實現(xiàn)AS或CS。類似的相位圖因為H矩陣參數(shù)的不同選擇來實現(xiàn)RH準則，相位圖會移動成不同的動態(tài)系統(tǒng)。對于a=1,-1，這里只顯示了時間序列x(1,y(1,但也適應(yīng)其他驅(qū)動和反應(yīng)的狀態(tài)變量。注意，盡管Rossler振蕩器不是反向?qū)ΨQ系統(tǒng)，AS也可以形成。這個事實會隨著軸對稱Lorenz系統(tǒng)的例子更進一步詳述，含有差值的驅(qū)動Lorenz系統(tǒng)：為差值，當耦合函數(shù)用Eqs.(2和Eqs.(3時系統(tǒng)獲得Eq，Lorenz系統(tǒng)3維H矩陣獲得：然后耦合獲得后的反應(yīng)系統(tǒng)盡管耦合用Eq表示顯得復(fù)雜，但是可以通過H矩陣的合適參數(shù)來使耦合簡化。當滿足RH準則并且H成為Hurwitz矩陣時的典型選擇是p(2=0,p(3=0,p(4=0,p(1<1-r。為了進一步減少耦合的復(fù)雜性，除了r+驅(qū)動器應(yīng)選擇相同的反應(yīng)。我們在Eq中插入一個調(diào)節(jié)變量來核對像因為差值的線性耦合作用。是同步的漸進穩(wěn)定的關(guān)鍵值，成對的Lorenz系統(tǒng)的數(shù)字仿真的結(jié)果在圖4中顯示。時間序列x(1,y(1的圖像，y(1對x(1的CS圖（a=1時）和AS圖（a=-1）.盡管圖4中只顯示了一個狀態(tài)變量，但是所有的時間序列當a=-1時幅度相同，相位相反，因此在軸對稱Lorenz系統(tǒng)中也適應(yīng)。我們可以獲得與文獻知識相對立的完整AS，因此，單向的OPCL耦合控制只在反向?qū)ΨQ系統(tǒng)可以獲得AS的局限。下一步，我們舉個含有一個二次非線性的Sprott系統(tǒng)的例子，另外一個作為驅(qū)動的差值Sprott系統(tǒng)：耦合后反應(yīng)變成了：對實際應(yīng)用會更加簡單。Sprott系統(tǒng)通過重新插入一個參數(shù)，連接電流仿真。驅(qū)動器和反應(yīng)對于a=0.225,_a=0.025參數(shù)耦合前是混亂的。選擇p=-1,在圖5的左面，控制參數(shù)a=-1,驅(qū)動和反應(yīng)序列在AS狀態(tài)下H成為了Hurwitz矩陣。右邊的x(1對y(1的圖也能保證AS狀態(tài)。注意盡管不是一個反向?qū)ΨQ系統(tǒng)，隨著驅(qū)動器變化的所有的狀態(tài)變量都在AS狀態(tài)下。同步轉(zhuǎn)化途徑正如上面討論的，因為相同的振蕩器只有非線性成分。另外在Rossler系統(tǒng)，Lorenz振蕩器，和Sprott系統(tǒng)的例子中，如果差值與微分方程的線性項有關(guān)，那耦合是線性的。然而，如果差值參數(shù)與微分方程的非線性項有關(guān)耦合就是非線性的。而外，以線性電流為例，由于差值對于同步的影響，而耦合會對使種影響無效。為了解釋同步轉(zhuǎn)化過程的作用，我們已經(jīng)在Eq中插入?yún)?shù)的各自的Lorenz振蕩器和Sprott系統(tǒng)。這個控制參數(shù)由兩個關(guān)鍵值協(xié)調(diào)：正負變量大小的差值。一個相似的函數(shù)因不同的變量用來評估驅(qū)動和反應(yīng)之間的同步誤差相似函數(shù)是一個在相似的帶任意延遲的驅(qū)動振蕩器和反應(yīng)振蕩器的兩個狀態(tài)變量_x1和y1_之間的誤差衡量的統(tǒng)計學(xué)。它作為同步的衡量標準，尤其在試驗中非常有用。對于在耦合振蕩器固有耦合強度，它表明隨著延遲的變化而周期性變化，但有全局極小值。當全局極小值在.的有限值時相似函數(shù)識別LS。但是，當全局極小值也能依靠a值的符號鑒定CS和AS類型。它只需要驅(qū)動器和反應(yīng)的相似的兩個狀態(tài)變量來評估在試驗條件下測量有限接近同步誤差時具有很大的優(yōu)勢。對于含有差值的Sprott系統(tǒng)中，當含有差值的Sprott系統(tǒng)，當時，我們用數(shù)字仿真時間序列，然后畫出圖6（a）中的當延遲為0時，對所有的yiblilen,min都是非零值,除了在的關(guān)鍵值處yiblilen當時傾斜，這種比例定理能對如圖6(c,6(d所示中各種的Lorenz系統(tǒng)和Sprott系統(tǒng)成立，對于其他系統(tǒng)，比如Rossler同樣成立，無論是CS或AS轉(zhuǎn)變也保持不變。如果我們仔細觀察Eqs(14和Eqs(17，我們發(fā)現(xiàn)耦合加上了反應(yīng)中的匹配項到驅(qū)動器的差值項，當反應(yīng)和驅(qū)動相同時，反應(yīng)中的匹配項實際上由yiblilen調(diào)制直到在關(guān)鍵值處保證同步。我們必須提到OPCL耦合的定義和方式與普通的線性耦合不同。在普通的線性耦合下，在關(guān)鍵耦合驅(qū)動的附近可以觀察到轉(zhuǎn)變或開關(guān)間歇。這種同步中差值導(dǎo)致的不穩(wěn)定通過增強耦合強度來克服：在這過程中，隨著增強耦合強度，在差值的振蕩器中出現(xiàn)PS和LS，幾乎CS狀態(tài)最終由強烈的耦合獲得。然而，成對的振蕩器甚至在同步獲得后都會保持差值。另一方面，在OPCL耦合中，同步在關(guān)鍵值處一旦被建立起來，成對的振蕩器會變得相同。這是在OPCL耦合和普通線性耦合下的同步過程的顯著不同，我們同樣已經(jīng)核對了=附近沒有發(fā)現(xiàn)開關(guān)間斷點。因此，OPCL耦合對成對的振蕩器有內(nèi)在的能力處理差值、通過協(xié)調(diào)控制參數(shù)yiblilen為穩(wěn)定同步提供免疫。這種控制參數(shù)的協(xié)調(diào)能力可以用來評估參數(shù)。OPCL方法：相互耦合相互影響的混頻振蕩器的OPCL耦合更早為了實現(xiàn)CS被研究，但那時沒研究AS?，F(xiàn)在我們把相互的OPCL耦合延伸到AS，在OPCL耦合的兩個相互影響的振子：耦合項定義為當s(t=(x(t+y(t/2時是多面的同步。由=He和它0的錯誤解法產(chǎn)生的動態(tài)誤差，或者通過選擇合適的參數(shù)來滿足HR準則的Hurwitz矩陣一旦確定同步將漸進穩(wěn)定。在Ref[19]中詳細呈現(xiàn)出數(shù)字結(jié)果。用相互耦合來實現(xiàn)AS，我們修改Eqs（20）和（21）中的耦合各自變成Eqs.(22和Eqs.(23當s(t=(x(t+y(t/2時是多面的同步。然而，對于AS模型系統(tǒng)的f(y…。。.的對稱轉(zhuǎn)換的附加條件必須滿足。當AS的誤差狀態(tài)為e=(x+y,動態(tài)誤差遵循。=He，H矩陣是Hurwitz矩陣時同步穩(wěn)定。真如上面提到的，在線性的相互耦合和單向耦合下，對于AS，這種動態(tài)系統(tǒng)的對稱轉(zhuǎn)換的局限普遍存在，在單向的OPCL耦合下被禁止。對于數(shù)字性證明，我們用一個通過定義為的雙軸系統(tǒng)的對稱轉(zhuǎn)換。這個系統(tǒng)是三次非線性，用適當?shù)膮?shù)時顯示一軸或二軸紊亂。OPCL相互耦合建立后，成對的雙軸系統(tǒng)獲得如下：AS雙軸系統(tǒng)的數(shù)字結(jié)果在圖7中顯示出來了，保證AS，成對的振蕩器的時間序列x(1和y(1,y(1對x(1的圖像。OPCL耦合：矩陣類型現(xiàn)在我們來介紹OPCL耦合的矩陣類型。我們用單向耦合實現(xiàn)同步，當y(t=[y1y2y3]是驅(qū)動狀態(tài)并且a是一個常數(shù)時用Eq建立一個目標動態(tài)g(t=ay(t.結(jié)果，因為驅(qū)動變量a值的選擇，所有反應(yīng)系統(tǒng)的變量被迫成為了CS或AS狀態(tài)，甚至a=0時反應(yīng)變量產(chǎn)生AD狀態(tài)。我們在不同的狀態(tài)變量下通過定義一個新的目標動態(tài)g(t用這個結(jié)果來同時獲得CS、AS和AD剩下的原理和Sec.Ⅱ中所述很容易得到。注意對單向OPCL耦合Eq.(28是Eq.(2的一般形式；如果a相等，用兩個類似的振蕩器【】可以吧Eq.(2存在Eq.(28中。為了圖解說明，我們舉個Sprott系統(tǒng)（15）的例子，耦合前反應(yīng)和驅(qū)動系統(tǒng)被認為相同，因此，除了在Eq.(16中的差值為0，各自在Eq.(15和Eq.(16中的模型保持不變。耦合后，反應(yīng)變成對一個反應(yīng)系統(tǒng)不同的狀態(tài)變量，允許通過設(shè)置a(i的目標動態(tài)，如圖8所示。當CS，AD在不同的反應(yīng)變量狀態(tài)實現(xiàn)AS。類似地，一些衰減和放大可以通過選擇合適的參數(shù)a值來產(chǎn)生。像上面所提的，從實際應(yīng)用（工業(yè)