選擇題的自由粒子的波函數(shù)在坐標(biāo)表象中的表示是,它在動(dòng)量表象中的表示是DA..B..C..D..對(duì)應(yīng)于本征值為的本征函數(shù)在坐標(biāo)表象中的表示是AA..B..C..D..,其中、是其能量本征函數(shù),那么在能量表象中的表示是DA..B..C..D..在能量表象中的表示是CA..B..C..D..103.線性諧振子的能量本征函數(shù)在能量表象中的表示是DA..B..C..D..104.在()的共同表象中,波函數(shù),在該態(tài)中的平均值為AA..B..C..D.0.只有分立的本征值,對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)是,那么算符在表象中的矩陣元的表示是BA..B..C..D..A以本征值為對(duì)角元素的對(duì)角方陣.B一個(gè)上三角方陣.C.一個(gè)下三角方陣.D.一個(gè)主對(duì)角線上的元素等于零的方陣.在動(dòng)量表象中的微分形式是AA..B..C..D..BA..B..C..D..表象中,其本征值是AA..B.0.C..D..110.在表象中,的歸一化本征態(tài)分別為AA..B..C..D..AA..B..C..D..BA.不改變算符的本征值,但可改變其本征矢.B.不改變算符的本征值,也不改變其本征矢.C.改變算符的本征值,但不改變其本征矢.D.即改變算符的本征值,也改變其本征矢.,那么對(duì)易關(guān)系式等于BA..B..C..D..填空題1.表象是以的本征函數(shù)系為基底的表象，在這個(gè)表象中，有2.算符對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣〔方陣〕，矩陣元是3.選定表象后，算符和量子態(tài)都用表示。矩陣4.平均值公式是5.歸一化條件是6.本征值方程是7.在量子力學(xué)中，兩個(gè)表象之間的變換是幺正變換，滿足；8.在量子力學(xué)中，兩個(gè)表象之間的變換是幺正變換，滿足；態(tài)的變換是。9.在量子力學(xué)中，兩個(gè)表象之間的變換是幺正變換，滿足；態(tài)的變換是；算符的變換是。10.幺正變換不改變算符的。本征值11.量子態(tài)可用狄拉克符號(hào)或表示。右矢左矢12.坐標(biāo)表象，用狄拉克符號(hào)表示為13.坐標(biāo)表象，用狄拉克符號(hào)表示為14.坐標(biāo)表象，用狄拉克符號(hào)表示為15.坐標(biāo)表象，用狄拉克符號(hào)表示為16.坐標(biāo)表象，用狄拉克符號(hào)表示為17.坐標(biāo)表象，用狄拉克符號(hào)表示為18.坐標(biāo)表象，用狄拉克符號(hào)表示為19.坐標(biāo)表象，用狄拉克符號(hào)表示為20.湮滅算符的表達(dá)式為21產(chǎn)生算符的表達(dá)式為22.粒子數(shù)算符的表達(dá)式為23.常用的表象有、、、能量表象坐標(biāo)表象動(dòng)量表象自身表象24.任意態(tài)Ψ〔x,t〕在坐標(biāo)表象的表示是Ψ〔x,t〕25.假設(shè)某一態(tài)波函數(shù)是以坐標(biāo)為自變量,那么它就是在表象的表示,就是某一態(tài)以展開的系數(shù).坐標(biāo)坐標(biāo)本征函數(shù)26.坐標(biāo)的本征函數(shù)在坐標(biāo)表象里表示為27.動(dòng)量的本征函數(shù)在動(dòng)量表象里表示為28.量子力學(xué)表示體系的一切可能狀態(tài)的態(tài)矢量構(gòu)成空間希爾伯特29.表示動(dòng)量算符的本征態(tài)，本征值為30.右矢空間和左矢空間稱為伴空間或?qū)ε伎臻g31.<ψ|和|ψ>稱為。伴矢量32.左矢表示右矢的共軛矢量，二者的性質(zhì)不同，不能相加，它們?cè)谕槐硐笾谢楣曹棌?fù)數(shù)33.如果右矢在Q表象中的分量為那么左矢在Q表象中的分量為34.對(duì)于一個(gè)自由運(yùn)動(dòng)的粒子，當(dāng)描述它的波函數(shù)給定后，如果測(cè)量其位置，那么粒子出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率密度為。35.對(duì)于一個(gè)自由運(yùn)動(dòng)的粒子，當(dāng)描述它的波函數(shù)給定后，如果測(cè)量其位置，那么粒子出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率密度為。如果測(cè)量其動(dòng)量，那么測(cè)得動(dòng)量為的幾率密度為。36.如果本征值有簡(jiǎn)并，那么和這一本征值對(duì)應(yīng)有無窮多本征矢。這些本征矢形成一個(gè)空間。線性矢量37.厄米算符F對(duì)應(yīng)于不同本征值得本征矢。相互正交38.問答題1.全同粒子體系的波函數(shù)應(yīng)滿足什么條件？答：描寫全同粒子體系的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或是反對(duì)稱的，且它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。2.幺正變換具有什么性質(zhì)？答：不改變矩陣對(duì)本征值、不改變矩陣的跡。3.狄拉克符號(hào)的最大好處是？答；它可以不依賴于表象來闡述量子力學(xué)理論，而且運(yùn)算簡(jiǎn)潔。4.什么是粒子占有數(shù)表象？答；以線性諧振子的粒子數(shù)算符N或者哈密頓的本征態(tài)為基矢的表象。5.什么叫表象？答；量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式成為表象6.什么叫Q表象？答；量子力學(xué)把選定的算符與正交歸一完備的本征函數(shù){Un}稱之為Ｑ表象。7.Δ表象表示與三維空間的矢量表示類比。答；三維空間的矢量表示a.取一個(gè)坐標(biāo)系，相當(dāng)取三個(gè)基矢：三個(gè)基矢是正交歸一的：ei·ej=δijb.任一矢量Ａ可按基矢{ei}展開：Ａ＝x1e1+x2e2+x3e3矢量Ａ可按展開系數(shù)即坐標(biāo)來表示：Ａ＝(x1,x2,x3)c.同一矢量，取不同的坐標(biāo)系，其坐標(biāo)表示是不同的。不同的坐標(biāo)系的基矢之間可以變換。表象與三維空間的類比答；→三維空間坐標(biāo)系；Ｑ表象本征函數(shù)(基矢)→三維空間坐標(biāo)系的基矢,都是正交歸一,但Ｑ表象是多維的，甚至是無限維的。b.態(tài)函數(shù)〔叫態(tài)矢〕→三維空間的矢量；Ｑ表象態(tài)函數(shù)的表示→三維空間矢量坐標(biāo)表示,都用展開的系數(shù)來表示。c.同一態(tài)矢在不同表象的表示是不同的，不同表象的基矢之間可以變換〔叫表象變換〕→坐標(biāo)系之間變換。二者變換都是么正變換。9.推導(dǎo)平均值公式。答；先將波函數(shù)按Q的本征函數(shù)展開〔1〕代入平均值公式：〔2〕〔2〕式寫成矩陣相乘形式為：或者簡(jiǎn)寫為：〔3〕10.么正變換的主要性質(zhì)？答；〔1〕么正變換不改變算符的本征值〔2〕么正變換不改變矩陣的跡〔3〕矩陣方程式經(jīng)過么正變換保持不變11.狄喇克符號(hào)的兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)是？答；一是運(yùn)算簡(jiǎn)捷，二是無須用具體表象討論問題。這一節(jié)將介紹狄喇克符號(hào)的有關(guān)規(guī)定。12.|A>和<B|的關(guān)系是？答；1〕在同一確定表象中，各分量互為復(fù)共軛；2〕由于二者屬于不同空間，所以它們不能相加，只有同一空間的矢量才能相加；3〕右矢空間中任一右矢可以和左矢空間中任一左矢進(jìn)行標(biāo)積運(yùn)算，其結(jié)果為一復(fù)數(shù)。13.列舉幾個(gè)關(guān)于量子力學(xué)公式用狄喇克符號(hào)表示的式子。答；平均值公式：本征方程：，對(duì)力學(xué)量算符：，薛定諤方程：14.力學(xué)量F的本征方程在Q表象中可表示成？答；即：15.簡(jiǎn)述a,的物理意義。答；〔6〕〔7〕將a作用在能量本征態(tài)上：〔8〕由遞推公式：〔9〕〔10〕〔9〕、〔10〕代入〔8〕式得：〔11〕用Dirac符號(hào)表示為：〔12〕同理有：〔13〕〔14〕其中|n>,|n-1>,|n+1>等都是H的本征基矢，En,En-1,En+1是相應(yīng)本征值因?yàn)檎褡幽芰恐荒芤驭貫閱挝蛔兓?，所以ω能量單位可以看成是一個(gè)粒子，稱為“聲子〞，狀態(tài)|n>表示體系在此態(tài)中有n個(gè)粒子〔聲子〕稱為n個(gè)聲子態(tài)。顯然有,為振子基態(tài)的基矢由〔12〕可看出算符a為粒子湮滅算符，由〔14〕可看出為粒子產(chǎn)生算符。下面進(jìn)一步考察的物理意義。因?yàn)椋和恚骸从米饔谩舱婵諔B(tài)〕n次，將產(chǎn)生n個(gè)聲子16.簡(jiǎn)述N的物理意義。上式說明，n是N算符的本征值，描寫粒子的數(shù)目，故N稱為粒子數(shù)算符。17.寫出湮滅算符a的矩陣元。答寫成矩陣形式：的矩陣元。答；即：答；所以N的矩陣元為：注意：0，1，2，3……矩陣的行列式按此順序編號(hào)20.簡(jiǎn)述態(tài)矢量滿足疊加原理。答；如果，是兩個(gè)態(tài)矢量，那么：(1)也是一個(gè)態(tài)矢量，其中，是兩個(gè)任意復(fù)數(shù)。21.態(tài)矢量的點(diǎn)積有什么特性？答；①是一個(gè)復(fù)數(shù)②兩個(gè)矢量點(diǎn)積的共軛，等于它們各自的共軛按相反的方向取點(diǎn)積：〔1〕③由于是一個(gè)普通的復(fù)數(shù)，所以它的共軛就是復(fù)共軛，因而〔2〕由于(1)，(2)兩式可知：Hilbert空間中算符的定義。答；Hilbert空間中算符F是一種對(duì)應(yīng)規(guī)那么，它將Hilbert空間中的任意矢量對(duì)應(yīng)成另一矢量：(1)注意：①由于矢量本身是抽象的矢量，所以算符F也不能寫成具體形式，只能用對(duì)應(yīng)關(guān)系式(1)來定義。為此，我們?cè)谒惴厦嫖醇印奶?hào)，以區(qū)別具體表象中的算符。②如果算符F滿足以下條件(2)那么稱F為線性算符。F的厄米共軛算符定義。答；于是：顯然有：如果線性算符F和它自身厄米共軛那么稱F為厄米自共軛算符，簡(jiǎn)稱厄米算符。24.證明題1.設(shè)兩個(gè)全同粒子角動(dòng)量，耦合成總角動(dòng)量，〔1〕利用系數(shù)的對(duì)稱性，證明由此證明，無論是Bose子或Fermi子，都必須取偶數(shù)證：由式〔1〕，把,利用系數(shù)的對(duì)稱性(2)對(duì)于Fermi子，半奇數(shù)，奇數(shù)，但要求，即要求，所以必須為偶數(shù)。，〔情況，只能構(gòu)成交換對(duì)稱態(tài)，為什么？〕因此可驗(yàn)證：態(tài)的總數(shù)為。[]。對(duì)于Bose子，整數(shù)，偶數(shù)，但要求即，故也必須為偶數(shù)2.設(shè)原子中有兩個(gè)價(jià)電子，處于能級(jí)上，按耦合方案，，，〔總角動(dòng)量〕證明：〔a〕必為偶數(shù)；〔b〕。當(dāng)時(shí)，〔偶〕；時(shí)，，可以為奇，也可以為偶。證：自旋的耦合：，軌跡角動(dòng)量的耦合：，其中偶是對(duì)稱態(tài)，奇是反對(duì)稱態(tài)，總的波函數(shù)〔對(duì)于交換全部坐標(biāo)，包括自旋〕要求反對(duì)稱，所以時(shí)，時(shí)，在兩種情況下，都為偶數(shù)，但對(duì)于，偶；，?？梢詾槠?，也可以為偶3.大小相等的兩個(gè)角動(dòng)量耦合成角動(dòng)量為的態(tài)，證明的幾率卻相等，即。提示：利用證：Dirac符號(hào)表示，有，〔1〕在此題的情況下，，，。那么〔1〕成為〔2〕其中即為耦合表象中的態(tài)用無耦合表象基矢展開時(shí)的展開式系數(shù)—CG系數(shù)，其模即表示體系處于態(tài)時(shí)，測(cè)得取值〔同時(shí)取值，取各可能值〕的幾率。由提示，〔3〕〔4〕即，對(duì)于給定的所合成的態(tài)，的幾率與的具體取值無關(guān)，皆為。4.在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。證：在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài)S-方程為①將式中的代換，得②利用，得③比擬①、③式可知，都是描寫在同一勢(shì)場(chǎng)作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫的是同一個(gè)狀態(tài)，因此之間只能相差一個(gè)常數(shù)。方程①、③可相互進(jìn)行空間反演而得其對(duì)方，由①經(jīng)反演，可得③，④由③再經(jīng)反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價(jià)的。⑤④乘⑤，得可見，當(dāng)時(shí)，，具有偶宇稱，當(dāng)時(shí)，，具有奇宇稱，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿足時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱5.證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是證：電子的電流密度為在球極坐標(biāo)中為式中為單位矢量中的和局部是實(shí)數(shù)。∴可見，6.證明泡利矩陣滿足關(guān)系?！咀C】.

7.試在一維情況下證明哈密頓算符是厄米算符。證明：考慮一維情況

為厄密算符,為厄密算符,為實(shí)數(shù)

為厄密算符

為厄密算符8.證明：證明：由對(duì)易關(guān)系及反對(duì)易關(guān)系，得上式兩邊乘，得∵∴9.證明幺正變換不改變矩陣的本征值。證：設(shè)在A表象中的本征值方程為，為本征值，為本征矢。將和從A表象變換到B表象，那么有。在B表象中，即。從而說明算符在B表象中的本征值仍是。10.證明么正變換不改變厄密矩陣的厄密性證明：設(shè)在A表象中，，那么在B表象中：所以：證明完畢！矩陣方程式經(jīng)過么正變換保持不變假設(shè)矩陣方程表象A：那么表象B：證明：么正變換不改變矩陣的跡設(shè)經(jīng)過么正變換后，矩陣F變?yōu)椋敲矗阂驗(yàn)椋杭矗旱嫩E等于F的跡么正變換不改變算符的本征值設(shè)F在A表象中的本征方程為：Fa=λa，那么在B表象中：〔因?yàn)椤晨梢?，不同的表象中，力學(xué)量算符F對(duì)應(yīng)同一狀態(tài)〔a和b描寫同一狀態(tài)〕的本征值不變，基于這一性質(zhì)，解F的本征值問題最好是把該力學(xué)量從某一表象變到自身表象，使F矩陣對(duì)角化。14.求證變換矩陣S是么正矩陣，即證證明：取Q表象，因?yàn)椋核裕和砜勺C：由逆矩陣的定義可知：所以：S為么正矩陣15.寫出坐標(biāo)表象下的線性諧振子的哈密頓量。答；16.寫出坐標(biāo)表象下的線性諧振子的波函數(shù)表達(dá)式。答；17.寫出坐標(biāo)表象下的線性諧振子的能級(jí)表達(dá)式。答；求證：證明：19.證明：矢量與的并矢是一個(gè)算符。證明：設(shè)是任意矢量那么：其中是一個(gè)復(fù)數(shù)乘以矢量仍為矢量，設(shè)于是上式說明：并矢作用在一個(gè)任意矢量上后，將變成另一個(gè)矢量。這樣，我們就證明了并矢是一個(gè)算符。當(dāng)時(shí)，稱為投影算符〔即相同矢量的并矢，稱為投影算符〕20證明厄米算符不同本征值得本征矢相互正交。證明：設(shè)，且用和分別點(diǎn)乘兩個(gè)本征方程可得：(1)(2)(1)式兩邊同時(shí)取復(fù)共軛得：(3)(3)-(2)式可得：(4)由于，所以(5)即：屬于不同本征值的本征矢相互正交。21.如果和是對(duì)應(yīng)于厄米算符F的本征值的線性獨(dú)立本征矢，那么它們的線性疊加也是對(duì)應(yīng)于同一本征值的本征矢，即：設(shè)，那么：證明：利用線性算符的定義式：可得：得證。22.定義一個(gè)新的算符(8)證明：算符是厄米算符。證；23..證明由于算符是厄米算符，所以它的本征值是實(shí)數(shù)。證：設(shè)的本征方程為為本征值，為與對(duì)應(yīng)的本征矢。用左乘上式，可得：(1)假定算符作用在態(tài)矢量上，得到另一個(gè)矢量，即：(2)(2)取厄米共軛：于是由(1)式得：(3)表示矢量的模的平方，恒正∴24..由對(duì)易關(guān)系式，可以證明：如果，而，那么：也是算符的本征矢，對(duì)應(yīng)的本征值為。證：將算符作用到上，并利用式，即證25..由對(duì)易關(guān)系式，還可以證明：也是算符的本征矢，對(duì)應(yīng)的本征值為。證：即證26..五．計(jì)算題1.在8.2節(jié)式〔21〕中給出了自旋〔〕與軌跡角動(dòng)量〔〕耦合成總角動(dòng)量的波函數(shù)，這相當(dāng)于的耦合。試由8.2節(jié)中式〔21〕寫出表9.1〔a〕中的CG系數(shù)解：8.2節(jié)式〔21a〕〔21b〕:〔21a〕〔21b〕此二式中的相當(dāng)于CG系數(shù)中的，而,。因此，〔21a〕式可重寫為〔21a’〕對(duì)照CG系數(shù)表，可知：當(dāng),時(shí)，而時(shí)，對(duì)于的〔21b〕式，有2.在表象(以為基矢)中，的子空間的維數(shù)為3，求在此三維空間中的矩陣表示，再利用矩陣方法求出的本征值和本征態(tài)解：在表象中，的子空間中的基矢為，。由于。對(duì)于此題，以上方式中，，，不難求得。在此三維空間中的矩陣表示為［表象］〔1〕設(shè)的本征值為，本征矢為，那么本征方程為〔2〕此方程有非平庸解的條件為系數(shù)行列式等于零，由此可解得本征值：.〔3〕將代入〔2〕，可得，，。由此得，歸一化，取?！?〕同理，將分別代入〔2〕，可求得；3.求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量的矩陣元和的矩陣元。解：4.求能量表象中，一維無限深勢(shì)阱的坐標(biāo)與動(dòng)量的矩陣元。解：基矢：能量：對(duì)角元：當(dāng)時(shí)，5.求線性諧振子哈密頓量在動(dòng)量表象中的矩陣元。解：6.求連續(xù)性方程的矩陣表示解：連續(xù)性方程為∴而∴ 寫成矩陣形式為7.計(jì)算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。解：由選擇定那么，知是禁戒的故只需計(jì)算的幾率而2p有三個(gè)狀態(tài)，即(1)先計(jì)算z的矩陣元(2)計(jì)算x的矩陣元(3)計(jì)算的矩陣元(4)計(jì)算8.求的本征值和所屬的本征函數(shù)。解：的久期方程為∴的本征值為。設(shè)對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為由本征方程，得由歸一化條件，得即∴對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為設(shè)對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為由本征方程由歸一化條件，得即∴對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為同理可求得的本征值為。其相應(yīng)的本征函數(shù)分別為9.求自旋角動(dòng)量方向的投影本征值和所屬的本征函數(shù)。在這些本征態(tài)中，測(cè)量有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)？的平均值是多少？解：在表象，的矩陣元為其相應(yīng)的久期方程為即：所以的本征值為。設(shè)對(duì)應(yīng)于的本征函數(shù)的矩陣表示為，那么由歸一化條件，得取，得可見，的可能值為相應(yīng)的幾率為同理可求得對(duì)應(yīng)于的本征函數(shù)為在此態(tài)中，的可能值為相應(yīng)的幾率為10.設(shè)粒子處在寬度為的無限深勢(shì)阱中，求能量表象中粒子坐標(biāo)和動(dòng)量的矩陣表示。[解]一維無限深方勢(shì)阱的歸一化波函數(shù)是：這波函數(shù)是能量本征函數(shù)，任何力學(xué)量的矩陣元是：此公式用于坐標(biāo)矩陣：此式不適用于對(duì)角矩陣元，后者另行推導(dǎo)。當(dāng)m=n時(shí)，得對(duì)角矩陣元：⑵動(dòng)量矩陣元〔非對(duì)角的〕⑶⑷11.厄密算符和是二行二列矩陣，且

，

〔1〕求算符的本征值，〔2〕在A表象下求算符的矩陣表示。解：〔1〕

設(shè)的本征值為,本征函數(shù)為,

那么

又

同理算符的本征值也為.〔2〕

在A表象，算符的矩陣為一對(duì)角矩陣,對(duì)角元素為本征值，即

設(shè)利用

B為厄密算符即

又

取：

12.試在為對(duì)角的表象中，〔1〕求的本征值和所屬的本征函數(shù)；〔2〕在的本征值為的本征態(tài)中，求的平均值；〔3〕在的本征值為的本征態(tài)中，測(cè)的可能值及相應(yīng)的幾率。解：〔1〕設(shè)的本征態(tài)及所屬的本征值為和，那么由此可得：，由得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，〔2〕的本征值為的本征態(tài)為所以，〔3〕將的本征值的本征態(tài)展開為：兩邊相等，得所以，當(dāng)時(shí)幾率當(dāng)時(shí)幾率13.設(shè)帶電粒子在互相垂直的均勻電場(chǎng)和均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求能級(jí)本征值和本征。解：以電場(chǎng)方向?yàn)檩S，磁場(chǎng)方向?yàn)檩S，那么，〔1〕去電磁場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)和矢勢(shì)為，〔2〕滿足關(guān)系，粒子的Hamiton量為〔3〕取守恒量完全集為，它們的共同本征函數(shù)可寫成〔4〕其中和為本征值，可取任意函數(shù)。滿足能量本證方程：因此滿足方程〔5〕亦即，對(duì)于來說，和式等價(jià)：〔6〕其中〔7〕式〔6〕相當(dāng)于一維諧振子能量算符再加上兩項(xiàng)函數(shù)，因此此題