考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練21三角形與全等三角形一、選擇題1．(2011·大理)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和6，第三邊的長(zhǎng)是方程x2－6x＋8＝0的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是()A．9B．11C．13D答案C解析方程x2－6x＋8＝0的兩根為2和4，只有4與3、6可組成三角形，其周長(zhǎng)為4＋3＋6＝13.2．(2011·濟(jì)寧)若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2∶7∶6，那么這個(gè)三角形是()A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形答案B解析這個(gè)三角形的最大角為eq\f(7,2＋7＋6)×180°＝eq\f(7,15)×180°＝84°，是銳角．3．(2011·連云港)小華在電話中問(wèn)小明：“已知一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別是4,9,12，如何求這個(gè)三角形的面積？小明提示說(shuō)：“可通過(guò)作最長(zhǎng)邊上的高來(lái)求解．”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是()答案C解析三角形最長(zhǎng)邊是12，過(guò)其所對(duì)角的頂點(diǎn)作這邊的垂線段，可知C是正確的．4．(2011·懷化)如圖所示，∠A、∠1、∠2的大小關(guān)系是()A．∠A>∠1>∠2B．∠2>∠1>∠AC．∠A>∠2>∠1D．∠2>∠A>∠1答案B解析∠2是∠1所在三角形中與∠1不相鄰的外角，所以∠2>∠1，同理∠1>∠A，故∠2>∠1>∠A.5．(2011·宿遷)如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是()A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA答案B解析當(dāng)∠1＝∠2，AD＝AD，BD＝CD時(shí)，邊邊角不一定能使兩個(gè)三角形全等．二、填空題6．(2011·麗水)已知三角形的兩邊長(zhǎng)為4,8，則第三邊的長(zhǎng)度可以是______(寫(xiě)出一個(gè)即可)．答案答案不唯一，在4<x<12之間的數(shù)都可．7．(2011·綿陽(yáng))如圖，AB∥CD，CP交AB于O，AO＝PO，若∠C＝50°，則∠A＝______.答案25°解析因?yàn)锳B∥CD，所以∠POB＝∠C＝50°.又AO＝PO，得∠A＝∠P，由∠A＋∠P＝∠POB，可知2∠A＝50°，∠A＝25°.8．(2011·無(wú)錫)如圖，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BC的垂直平分線分別交AB、BC于D、E，則△答案8解析因?yàn)镈E垂直平分BC，所以DB＝DC，故△ACD的周長(zhǎng)AC＋AD＋DC＝AC＋AD＋DB＝AC＋AB＝5＋3＝8cm.9．(2011·大理)如圖，AB＝AD，∠1＝∠2，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使得△ABC≌△ADE，則需添加的條件是________(只要寫(xiě)出一個(gè)即可)．答案∠D＝∠B，或∠DEA＝∠C，或AE＝AC等．10．(2011·江西)如圖所示，兩塊完全相同的含30°角的直角三角板疊放在一起，且∠DAB＝30°.有以下四個(gè)結(jié)論：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O為BC的中點(diǎn)；④AG∶DE＝eq\r(3)∶4，其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________．答案①②③④解析∵∠DAB＝30°，∠DAE＝90°，∴∠BAE＝60°，∠AFB＝90°，AF⊥BC；由AD＝AC，∠D＝∠C＝60°，∠DAB＝∠CAE＝30°，可證得△ADG≌△ACF；在Rt△ABF中，∠B＝30°，可知AF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)AE＝EF，EF⊥BC，所以BC垂直平分AE，連AO，則有OA＝OE，∠OAE＝∠E＝30°，∠OAC＝∠C＝60°，△AOC是等邊三角形，OC＝AC＝eq\f(1,2)BC，O為BC中點(diǎn)；設(shè)DG＝k，則有AG＝eq\r(3)k，EG＝3k，DE＝4k，故AG∶DE＝eq\r(3)∶4k＝eq\r(3)∶4，綜上，①②③④均正確．三、解答題11．(2011·東莞)已知：如圖，E、F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B.求證：AE＝CF.解∵AD∥CB，∴∠A＝∠C.又∵AD＝CB，∠D＝∠B，∴△ADF≌△CBE.∴AF＝CE.∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.12．(2011·菏澤)已知：如圖，∠ABC＝∠DCB，BD、CA分別是∠ABC、∠DCB的平分線．求證：AB＝DC.證明∵BD平分∠ABC，CA平分∠DCB，∴∠ACB＝eq\f(1,2)∠DCB，∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC.∵∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠DBC.在△ABC與△DCB中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠ABC＝∠DCB已知，,∠ACB＝∠DBC已證，,BC＝BC公共邊，))∴△ABC≌△DCB，∴AB＝DC.13．(2011·江津)在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE＝CF.(1)求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF度數(shù)．解(1)證明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE＝CF,AB＝BC，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．(2)解：∵AB＝BC,∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∵∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°，由(1)得Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°，∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝45°＋15°＝60°.14．(2011·揚(yáng)州)已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，且OB＝OC.(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的角平分線上，并說(shuō)明理由．解(1)證明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.又∵BC＝BC，∴△BEC≌△CDBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AAS)).∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．(2)解：點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上．理由如下：∵△BEC≌△CDB，∴BD＝CE.∵OB＝OC，∴OD＝OE.又∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上．15．(2011·邵陽(yáng))數(shù)學(xué)課堂上，徐老師出示一道試題：如圖所示，在正三角形ABC中，M是BC邊(不含端點(diǎn)B、C)上任意一點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN＝60°，求證：AM＝MN.(1)經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的證明過(guò)程．請(qǐng)你將證明過(guò)程補(bǔ)充完整．證明：在AB上截取EA＝MC，連接EM，得△AEM.∵∠1＝180°－∠AMB－∠AMN，∠2＝180°－∠AMB－∠B，∠AMN＝∠B＝60°，∴∠1＝∠2.又CN平分∠ACP，∠4＝eq\f(1,2)∠ACP＝60°，∴∠MCN＝∠3＋∠4＝120°.①又∵BA＝BC，EA＝MC，∴BA－EA＝BC－MC，即BE＝BM.∴△BEM為等邊三角形．∴∠6＝60°.∴∠5＝180°－∠6＝120°.②∴由①②得∠MCN＝∠5.在△AEM和△MCN中，________________________________________________________________________∴△AEM≌△MCN(ASA)．∴AM＝MN.(2)若將試題中的“正三角形ABC”改為“正方形A1B1C1D1”(如圖)，N1是∠D1C1P1的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠A1M1N1＝90°時(shí)，結(jié)論A1M1＝M1N1是否還成立(3)若將題中的“正三角形ABC”改為“正多邊形AnBnCnDn…Xn”，請(qǐng)你猜想：當(dāng)∠AnMnNn＝________°時(shí)，結(jié)論AnMn＝MnNn仍然成立？(直接寫(xiě)出答案