§8.3圓的方程【考試要求】1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.?落實(shí)主干知識(shí)【知識(shí)梳理】.圓的定義和圓的方程定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x—4)2+(y—人)2=戶(r>0)圓心C(a,b)半徑為r般x2+y2+Dx+￡y+F=0(￡>2+￡2—4F>0)圓心c半徑r=^\lDr+E2—4F.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(xo，yo)與圓C：(x—aA+Cy—5)2=/之間存在著下列關(guān)系：在圓夕卜,即(xo—4)2+。0—6)2>3臺(tái)“在圓外：(2)\MC\=r^M在圓上,即(xo—a)2+(yo—b)2=/OM在圓上；⑶在圓內(nèi),即(必一°)2+0()—8)2<戶㈡/在圓內(nèi).【常用結(jié)論】.以A(x”y。，B(X2，刃)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-xi)(x—X2)+(y-yi)(y—y2)=0..圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上..圓心在任一弦的垂直平分線上.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(V)(2)圓的半徑為a.(X)(3)方程Ajr+Bxy+Cf+Dx+Ey+F^表示圓的充要條件是A=CK0,8=0,3+爐一4AF>0.(-J)(4)若點(diǎn)M(xo,州)在圓/+9+瓜+￡\+尸=0外，則焉+4+。沏+及yo+QO.(-J)【教材改編題】.圓f+y2—4x+6y=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()

A.(2,3),3 B.(-2,3),小C.(-2,-3),13 D.(2,-3),V13答案D解析圓的方程可化為(x-2)2+(y+3)2=13,所以圓心坐標(biāo)是(2,-3),半徑.圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是()A.(x-l)2+(j-I)2=l B.(x+?+&+1)2=1C.(x+1>+。+1)2=2 D.(x-l)24-(y-l)2=2答案D解析因?yàn)閳A心為(1,1)且過原點(diǎn)，所以該圓的半徑7"?=取,則該圓的方程為。-1)2+&_1)2=2..若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓(X—機(jī))2+0+??)2=4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)，”的取值范圍為.答案(—取,y[2)解析\?原點(diǎn)(0,0)在圓。一團(tuán))2+。+機(jī))2=4的內(nèi)部，(0-w)2+(0+m)2<4,解得一也?探究?探究核心題型題型一圓的方程例1(1)(2022.深圳模擬)已知圓M與直線3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切，圓心在直線y=_x—4_h)則圓M的方程為()A.(x+3)2+(y—1)2=1 B.(X—3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+l)2=l D.(x-3)2+(y-l)2=l答案C解析到兩直線3x-4y=0,3x-4y+10=0的距離都相等的直線方程為3x-4y+5=0,聯(lián)立3x-4y+5=0,聯(lián)立3x-4y+5=0,j=x—4,|x=3,解得又兩平行線間的距離為2,所以圓M的半徑為1,從而圓M的方程為。+3)2+。+1)2=1.(2)已知圓的圓心在直線x-2y-3=0上，且過點(diǎn)A(2,-3),8(—2,-5),則圓的一般方程為.答案/+產(chǎn)+級(jí)+4丫5=0解析方法一設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)1+(y—b)2=r2,

(2—a)2+(—3—/>)2=r,由題意得y—2—。)2+(—5—6)2=/,2/>—3=0,解得故所求圓的方程為(x+l)2+(y+2)2=10,即x2+y2+2x+4y-5=0.方法二線段AB的垂直平分線方程為2r+y+4=0,聯(lián)立'2x+y+4=0,聯(lián)立'2x+y+4=0,x~2y—3=O,得交點(diǎn)坐標(biāo)0(—1,—2),又點(diǎn)O到點(diǎn)A的距離d=-\[\0,所以圓的方程為(x+l)2+(y+2)2=10,即x2+y2+2x+4y-5=0.【教師備選】1.已知圓E經(jīng)過三點(diǎn)A(0,l),8(2,0),C(0,-1),則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )3-42516,225+r=T答案C解析方法一(待3-42516,225+r=T答案C解析方法一(待定系數(shù)法)設(shè)圓E的一般方程為x1+y1+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),fl+E+F=0,則由題意得彳4+2。+/=0,U-￡+F=0,D=-1,E=0,所以圓E的一般方程為f+V-lx-UO,方法二(幾何法)因?yàn)閳AE經(jīng)過點(diǎn)4(0,1),仇2,0),所以圓E的圓心在線段A8的垂直平分線y-/=2(x-l)上.由題意知圓E的圓心在x軸上,

所以圓e的圓心坐標(biāo)為e，o).則圓E的半徑為|EB|=^2-1)2+(0-0)2=J,所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為卜-方+土磊2.在平面直角坐標(biāo)系。孫中，以點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線x—外+26+1=0相切的所有圓中,)B.f+0-1)2=2)B.f+0-1)2=2D.f+(y-l)2=16A./+(y—1)2=4C./+(j-1)2=8答案B解析由直線、一力+28+1=0可得該直線過定點(diǎn)4—1,2),設(shè)圓心為8(0,1),由題意可知要使所求圓的半徑最大，則rmax=h48|=y(_l_0)2+(2-l)2=啦,所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為f+(y—1>=2.思維升華(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心3,6)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a,b,r的值：②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。，E,尸的方程組，進(jìn)而求出3,E,尸的值.跟蹤訓(xùn)練1(1)圓心在y軸上，半徑長(zhǎng)為1,且過點(diǎn)4(1,2)的圓的方程是( )A./+(y-2)2=l B./+(y+2)2=lC.(x-1)2+(j-3)2=1 D.f+(y-3)2=4答案A解析根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為f+(y—b)2=l,因?yàn)閳A過點(diǎn)A(l,2),所以P+Q-勾2=1,解得6=2,所以所求圓的方程為f+6—2)2=1.(2)(2022?長(zhǎng)春模擬)若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和x軸都相切,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.(x-3)2+(y-l)2=l B.(x-2)2+(y-l)2=lC.(x+2)2+(y-l)2=l D.(x-2)2+(y+l)2=l答案B\4a~3b\-5-解析設(shè)\4a~3b\-5-由圓與直線4x-3y=0相切，可得圓心到直線的距離4=化簡(jiǎn)得|4°-3例=5,①又圓與X軸相切，可得步|=r=1,解得力=1或力=-1(舍去),把b=l代入①得4a—3=5或4a—3=-5,解得a=2或a=-1(舍去)，所以圓心坐標(biāo)為(2,1),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X—2)2+。-1)2=1.題型二與圓有關(guān)的軌跡問題例2已知RtZXABC的斜邊為AB,且A(—1,0),5(3,0).求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.解(1)方法一設(shè)C(x,y),因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線，所以y#0.因?yàn)?C_LBC,且BC,AC斜率均存在，所以kAckBc=-1.又以c=*'融c=言'所以#?言=一1,化簡(jiǎn)得/+丁一級(jí)一3=0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為f+y2-2x-3=0(jW0).方法二設(shè)A8的中點(diǎn)為。，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得0(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知|CC|=；|AB|=2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以。(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為。-1)2+產(chǎn)=4。彳0).(2)設(shè)M(x,y),C(x0,yo),因?yàn)?(3,0),M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得工=初廠，yp+o尸2'所以xo=2x—3,yo=2y.由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x-l)2+V=4SW0),將xo=2x—3,yo=2y代入得(2x—4)2+(2y)2=4,即(x—2)2+9=1。#0).因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-2)2+9=1GW0).【教師備選】已知圓/+/=4上一定點(diǎn)A(2,0),8(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P,。為圓上的動(dòng)點(diǎn).(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若NPBQ=90。，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.

解(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知點(diǎn)P坐標(biāo)為(2x-2,2y).因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓x2+尸=4上，所以(2x-2)2+(2y)2=4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(X—1)2+9=1.(2)設(shè)尸。的中點(diǎn)為N(x,y).在Rt/XPBQ中，\PN\=\BN\.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接0M圖略)，貝UON±PQ,所以|OF|2=|ON|2+|pm2=|0杯+網(wǎng)2,所以w+V+a—iy+cy—1)2=4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為j^-Vy1—x—y—1=0.思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程.(4)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.跟蹤訓(xùn)練2(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓/+尸=1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接它與定點(diǎn)Q(3,0),則線段產(chǎn)。的中點(diǎn)M的軌跡方程是()A.(x+3)2+y2=l B.(x—3>+丁=1C.(2x-3)2+4/=1 D.(2x+3)2+4/=1答案C解析設(shè)M(x,y),P(x0,y0),因?yàn)槭琎的中點(diǎn)為M,(xo+3x=2，所以《,yo+0l>=2'所以xo所以xo=2x-3,.yo=2y,又因?yàn)镻在圓/+y2=i上，所以(2%—3)2+4產(chǎn)=1，所以M的軌跡方程即為(版-3)2+4產(chǎn)=1.(2)自圓C：。-3)2+&+4)2=4外一點(diǎn)P(x,y)引該圓的一條切線，切點(diǎn)為Q,PQ的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)。的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程為( )

A.8x-6y-21=0 B.8x+6y—21=0C.6x+8y-21=0 D.6x—8y—21=0答案D解析由題意得，圓心C的坐標(biāo)為(3,-4),半徑r=2,連接PC,C。(圖略)，因?yàn)橐痢?1尸。1，且尸。_LC。，所以|PO|2+/=|PC|\所以a2+j2+4=(x—3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以點(diǎn)尸的軌跡方程為6x-8y-21=0.題型三與圓有關(guān)的最值問題命題點(diǎn)1利用幾何性質(zhì)求最值例3已知Af(x,y)為圓C：f+y2—4x—14y+45=0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)。(-2,3).⑴求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值：(3)求y-x的最大值和最小值.解(1)由圓C：f+V-4x-14y+45=0,可得。-2)2+。-7)2=8,二圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑「=2啦.又1。@=、(2+2)2+(7—3)2=4啦,工IMQImax=4啦+2啦=/|MQ|min=4啦一2啦=2<!(2)可知皆|表示直線MQ的斜率k.設(shè)直線MQ的方程為y—3=%(x+2),即kx—y+2%+3=0.???直線M。與圓C有交點(diǎn)，|2%-7+22+3]:|2%-7+22+3]:?小+正W2啦,的最大值為2+4,的最大值為2+4,最小值為2—小.(3)設(shè)y—x=b,則x~y+b=0.當(dāng)直線y=x+b當(dāng)直線y=x+b與圓C相切時(shí)，截距分取到最值,.|2-7+fe|,\l2+(-l)2-：.b=9或b=l..?.y-x的最大值為9,最小值為1.命題點(diǎn)2利用函數(shù)求最值例4(2022?湘潭質(zhì)檢)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓—3尸=1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,0),B(—2,0).則麗?麗的最大值為.答案12解析由題意，得B4=(2—x,—y),PB=(—2—x,—y),所以成?麗=/+9一4,由于點(diǎn)P(x,y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程f+(y-3)2=l,故/=—(y—3)2+1,所以該?麗=一。-3)2+1一4=6y—12.易知2<y<4,所以當(dāng)y=4時(shí)，前?麗的值最大，最大值為6義4-12=12.延伸探究若將本題改為“設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓(x-3)2+V=4上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)4(0,2),仇0,一2)”，則頑+麗|的最大值為.答案10解析由題意，知以=(—x,2-y),PB=(—x,—2—y),所以兩+麗=(-2r,~2y),由于點(diǎn)P(x,y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程。-3)2+9=4,故爐=一(x-3>+4,所以|兩+麗尸山^+但=2-\)6x—5.由圓的方程(x—3)2+9=4,易知lWx《5,所以當(dāng)x=5時(shí)，|荷+麗|的值最大，最大值為246X5—5=10.【教師備選】1.已知圓C：(x—3尸+0-4)2=1和兩點(diǎn)A(—0),B(m,0)(m>0).若圓C上存在點(diǎn)P,使得NAPB=90。，則tn的最大值為( )A.7B.6C.5D.4答案B解析?.?在RtZXAPB中，原點(diǎn)O為斜邊中點(diǎn)，[48|=2機(jī)(機(jī)>0),：.\OC\-r^m^\OP\^\OC\+r,又C(3,4),r=l,...4W|OP|<6,即4《/nW6.2.若點(diǎn)P為圓/+丁=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A(-l,0),8(1,0)為兩個(gè)定點(diǎn)，則|B4|+|PB|的最大值為()A.2B.2y[2C.4y[2D.4答案B解析由已知得線段A8為圓的直徑.所以照F+|pb|2=%由基本不等式得r\PA\+\PB[\.\PA\2+\PB\2、所以|刑+|P8區(qū)2yL當(dāng)且僅當(dāng)|B4|=|P8|=啦時(shí)，等號(hào)成立.思維升華與圓有關(guān)的最值問題的求解方法(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如〃=)二f=ar+/?y,(x—a)2+(y—6)2形式的最值問題.(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值.(3)求解形如1PM+1尸N|(其中M,N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：①“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對(duì)稱性解決.跟蹤訓(xùn)練3⑴已知A(—2,0),8(2,0),點(diǎn)P是圓C：3)2+。一巾)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則(4砰+逐尸|2的最小值為()A.9B.14C.16D.26答案D解析設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P(x,y),則忸2|2+|8/12=。+2)2+丁+0—2)2+產(chǎn)=2(f+V)+8=2|POF+8.圓C的圓心為C(3,巾)，半徑為r=l,OC=4,所以|POF的最小值為(OC-貨=(4-1>=9,

所以|AP|2+|BP|2的最小值為26.(2)已知x,y滿足f+產(chǎn)一以一29一4=0,則2x：j；+3的最大值為()cc17-29-134nA.2BqC.亍D.——答案B解析由x2+y2—4x—2y—4=0得(x-2)2+(y-l)2=9.2x+3y+3?y-1 .f~=2+3X3=2+3弧,其中4(一3,1)為定點(diǎn)，點(diǎn)P(x,y)為圓上一點(diǎn).設(shè)過定點(diǎn)4的直線/:y-l=?x+3)與圓相切,則一尸勾一=33解得仁專，1 3 3所以一4＜攵以《不所以空普2所以空普2的最大值為1743-4課時(shí)精練E基礎(chǔ)保分練.圓/+尸+4》-6丫-3=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為( )A.(4,-6),16 B.(2,-3),4C.(-2,3),4 D.(2,-3),16答案C解析將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x+2)2+。-3)2=16,則圓心坐標(biāo)為(-2,3),半徑為4..圓3—1)2+。-2)2=1關(guān)于直線丫=工對(duì)稱的圓的方程為()A.(x-2)2+(y-l)2=l B.(x+l)2+(y-2)2=lC.(x+2)2+(y—1)2=1 D.(x—l)2+(y+2)2=1答案A解析已知圓的圓心C(l,2)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)為C'(2,1),所以圓(x-l)2+(y-2)2=l關(guān)于直線y—X對(duì)稱的圓的方程為(x—2)2+(y—1)2=1.

.已知圓C的半徑為2,圓心在x軸正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C相切，則圓C的方程為()B.x2+y2+4x=0B.x2+y2+4x=0D.x1+y1-4x=0C.x2+y1+2x-3=0答案D解析設(shè)圓心為(a,0)(a>0),=r=2,解得a=2,所以圓心坐標(biāo)為(2,0),則圓C的方程為。-2)2+9=4,化簡(jiǎn)得f+丁-4x=0,故選D..點(diǎn)P(4,—2)與圓/+丁=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是( )A.(x-2)A.(x-2)2+(y+l)2=lC.(x+4)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y+1尸4D.(x+2)2+(y—1>=1答案解析解得，答案解析解得，xq=2jc-4,jo=2y+2.設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(xo,jo),PQ的中點(diǎn)為M(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)。在圓^+/=4上，所以高+4=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化簡(jiǎn)得(x-2)2+(y+1)2=1..(多選)已知aABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(-l,2),8(2,1),C(3,4),則下列關(guān)于△ABC的外接圓圓M的說(shuō)法正確的是()A.圓M的圓心坐標(biāo)為(1,3)B.圓M的半徑為小C.圓Af關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱D.點(diǎn)(2,3)在圓M內(nèi)答案ABD解析設(shè)△4BC的外接圓圓M的方程為/+9+￡)*+互y+F=0,‘1+4—O+2E+F=0, [D=-2,貝4+l+2O+E+F=0,解得；E=-6,、9+16+3O+4E+F=0, l尸=5.所以△ABC的外接圓圓M的方程為W+y2-2r-6y+5=0,即(工一"+6—3產(chǎn)=5.故圓M的圓心坐標(biāo)為(1,3),圓M的半徑為小，因?yàn)橹本€x+y=O不經(jīng)過圓M的圓心(1,3),所以圓M不關(guān)于直線x+y=O對(duì)稱.因?yàn)?2—1尸+(3—3)2=1<5,故點(diǎn)(2,3)在圓M內(nèi)..(多選)設(shè)有一組圓Q：(x-k)2+(y—k)2=4(k&R),下列命題正確的是()A.不論人如何變化，圓心C始終在一條直線上B.所有圓Q均不經(jīng)過點(diǎn)(3,0)C.經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓C*有且只有一個(gè)D.所有圓的面積均為47r答案ABD解析圓心坐標(biāo)為伏，k),在直線y=x上，A正確；令(3-斤>+(0—.2=4,化簡(jiǎn)得23-6%+5=0,VJ=36-40=-4<0,...2乒-64+5=0無(wú)實(shí)數(shù)根，AB正確；由(2—4+(2—?2=4,化簡(jiǎn)得好—4%+2=0,Vzf=16-8=8>0,有兩個(gè)不相等實(shí)根，經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓Ci有兩個(gè)，C錯(cuò)誤；由圓的半徑為2,得圓的面積為4兀，D正確..已知圓C的圓心在x軸上，并且經(jīng)過點(diǎn)4-1,1),8(1,3),若M(m,黃)在圓C內(nèi)，則機(jī)的取值范圍為.答案(。,4)解析設(shè)圓心為C(a,0),由|CA|=|C8|,得(a+1>+12=(。-1)2+3?,解得a=2.半徑r=|CA|=a/(2+1)2+12=Vk).故圓C的方程為(x—2)2+9=10.由題意知⑺-2)2+(、后)2<10,解得0<機(jī)<4..已知A(0,2),點(diǎn)P在直線x+y+2=0上，點(diǎn)。在圓C：x2+y2-4x-2y=0上，則|%|+伊。|的最小值是.答案24解析因?yàn)閳AC：W+y2—4x—2y=0,故圓C是以C(2,1)為圓心，半徑「=小的圓.設(shè)點(diǎn)A(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為A'(m,n),n+2

2卜n+2

2卜2=0,n—2

jn~0解得n=—2故A'(—4,—2).連接A'C交圓C于Q(圖略)，由對(duì)稱性可知\PA\+\PQ\=\A'P|+FQ|》H'QI=|A，C\~r=2y[5..已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)和8(—2,-2),且圓心在直線/：x+y-l=0上.(1)求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)尸在圓C上，點(diǎn)Q在直線x-y+5=0上，求|PQ|的最小值.解(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)2+(y—b)2=r2(r>0),?.,圓經(jīng)過點(diǎn)A(—1,1)和8(—2,-2),且圓心在直線/：x+y—1=0上，((―1-a)2+(l—Z?)2=r2,(—2—a)2+(~2—b)2=r2,la+6—1=0,解得a=3,b=—2,r=5,...圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為?！?)2+。+2)2=25.⑵?.?圓心C到直線x-y+5=0的距離為|3+2+5|rd-rz=5yj2>5,.?.直線與圓C相離，；.|PQ|的最小值為d—r=5立一5..已知點(diǎn)A(—3,0),仇3,0),動(dòng)點(diǎn)已滿足|網(wǎng)=2|尸風(fēng)(1)若點(diǎn)尸的軌跡為曲線C,求此曲線的方程；(2)若點(diǎn)。在直線/i：x+y+3=0上，直線6經(jīng)過點(diǎn)。且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M,求|QM的最小值.解(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則人(》+3)2+產(chǎn)=2\/(x-3)2+歹,化簡(jiǎn)可得。-5)2+產(chǎn)=16,此方程即為所求.(2)曲線C是以點(diǎn)(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示.由題意知直線，2是此圓的切線，連接CQ,則|QMriCQjcM?=a/|CQ|2-16,當(dāng)IQM最小時(shí)，|CQ最小，此時(shí)CQJJi,|5+3|I-icei=1-3-1=4-V2,則IQM的最小值為版32—16=4.C技能提升練.點(diǎn)A為圓。-1)2+產(chǎn)=1上的動(dòng)點(diǎn)，陽(yáng)是圓的切線，I以1=1，則點(diǎn)P的軌跡方程是()A.(x-l)2+y2=4 B.(x-l)2+y2=2C.y^—1x D.y^=-2x答案B解析V|M|=1,...點(diǎn)P和圓心的距離恒為正，又圓心坐標(biāo)為(1,0),設(shè)P(x,y),.?.由兩點(diǎn)間的距離公式，得。-1)2+9=2.12.等邊△ABC的面積為州3,且△ABC的內(nèi)心為M,若平面內(nèi)的點(diǎn)N滿足則麗?標(biāo)的最小值為()A.-5—2小 B.—5~4y/3C.—6~2y/3 D.~6—4y/3答案A解析設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a,則面積5=坐/=麗，解得a=6.以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.由M為AABC的內(nèi)心，則M在0C上，且OM=：OC,則A(—3,0),8(3,0),C(0,3小)，Af(0,小)，由|A/N|=1,則點(diǎn)N在以M為圓心，1為半徑的圓上.設(shè)Mx，y),則f+(y-S)2=l,即1+9-2小y+2=0,且由一1WyW1H-\/3,又兩=(-3-x,-y),NB=(3~x,-y),所以協(xié)?彷=(x+3)(x-3)+V+戶9=2弧一11^2^/3X(^/3-1)-11=-5-2a/3..(多選)已知圓C過點(diǎn)M(l,—2)且與兩坐標(biāo)軸均相切，則下列敘述正確的是( )A.滿足條件的圓C的圓心在一條直線上B.滿足條件的圓C有且只有一個(gè)C.點(diǎn)(2,—1)在滿足條件的圓C上D.滿足條件的圓C有且只有兩個(gè)，它們的圓心距為4啦答案ACD解析因?yàn)閳AC和兩個(gè)坐標(biāo)軸都相切，且過點(diǎn)M(l,-2),所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a)(a>0),故圓心在直線y=-x上，A正確；圓C的方程為(x-a)2+(y+a)2=a2,把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得6a+5=0,解得a=l或a=5,則圓心坐標(biāo)為(1