1990—2021年中科院量子力學考研真題及答案詳解試題名稱： 量子力學(理論型)說明：共五道大題，無選擇題，計分在題尾標出，滿分100分。一、在r=0,氫原子波函數(shù)為”(r,0)= 1^2^100+“210+ \+5'^匕1-1]其中右方函數(shù)下標表示量子數(shù)“加。忽略自旋和輻射躍遷。(1)此系統(tǒng)的平均能量是多少？(2)這系統(tǒng)在任意時刻處于角動量投影4=。的兒率是多少？二、利用坐標與動量算符之間的對易投影關(guān)系，證明￡(E"-Eo)K〃|x|o)『=常數(shù)n這里工是哈密頓量方=^+V(x)的本征能量，相應(yīng)的本征態(tài)為|力。求出該常數(shù)。2m三、設(shè)一質(zhì)量為〃的粒子在球?qū)ΨQ勢丫(「)=無(女＞0)中運動。利用測不準關(guān)系估算其基態(tài)的能量。四、電子偶素(e+e-束縛態(tài))類似于氫原子，只是用一個正電子代替質(zhì)子作為核，在非相對論極限下，其能量和波函數(shù)與氫原子類似。今設(shè)在電子偶素的基態(tài)里，存在一種接觸型自旋交換作用H'=-^-Me.Mp其中麻，和麻,，是電子和正電子的自旋磁矩⑹=工8,q=±e)o利用一級微擾論，計算此基態(tài)中自旋單態(tài)與三重態(tài)之間的能me量差，決定哪一個能量更低。對普通的氫原子，基態(tài)波函數(shù)：也,r^.-r/a0上￡-J_五、一質(zhì)量為〃的粒子被勢場丫(r)=%e-松(匕＞。＞0)所散射，用一級玻恩近似計算微分散射截面。試題名稱： 量子力學（實驗型）說明：共五道大題，無選擇題，計分在題尾標出，滿分100分。（1）光電效應(yīng)實驗指出：當光照射到金屬上，a）只有當光頻率大于一定值%時，才有光電子發(fā)射出；b）光電子的能量只與光的頻率有關(guān)，而與光的強度無關(guān)：c）只要光的頻率大于%,光子立即產(chǎn)生。試述：a）經(jīng)典理論為何不能解釋上述現(xiàn)象，或者說這些實驗現(xiàn)象與經(jīng)典理論矛盾何在？b）用愛因斯坦假說正確解釋上述實驗結(jié)果。（2）電子是微觀粒子，為什么在陰極射線實驗中，電子運動軌跡可用牛頓定律描述？（3）內(nèi)和匕為體系本征態(tài)，任一態(tài)為“=C1%+。2”2。如果%=0,試問：a）如乙和匕是經(jīng)典波，在〃態(tài)中必和憶態(tài)的兒率如何表示？b）如火和匕是幾率波，在材態(tài)中必和憶態(tài)的幾率如何表不？（4）如何知道電子存在自旋？二、一維諧振子的哈密頓量力=匹+1機療產(chǎn)，基態(tài)波函數(shù)2m2設(shè)振子處于基態(tài)。（1997年（實驗型I）第五題）（1）求<彳>和<p>；（2）寫出本征能量E,并說明它反映微觀粒子什么特征？（3）一維諧振子的維里定理是<T〉=<V>,試利用這個定理證明：上,其中2AX=V<X2>-<X>2,j\p=yJ<p2>~<p>2o三、精確到微擾論的一級近似，試計算由于不把原子核當作點電荷，而作為是半徑為R,均勻帶電荷Ze的球體所引起的類氫原子基態(tài)能量的修正。已知球內(nèi)靜電勢力）球外電勢為今類氫原子基態(tài)波函數(shù)獷"層"叫a為玻爾半徑。四、（1）用寫出/的表達式。（2）對于/=2,s=l/2,計算的可能值。（3）確定（2）中￡和6間夾角的可能值，并畫出￡,M和/的矢量模型圖。五、求在一維常虛勢場-"中運動粒子的波函數(shù)，計算幾率流密度，并證明虛勢代表粒子的吸收，求吸收系數(shù)（用丫表示）。

試題名稱： 量子力學(理論型)說明：共五道大題，無選擇題，計分在題尾標出，滿分100分。-、-個帶電粒子在電磁場中運動，請推導(dǎo)相應(yīng)的幾率守恒定律。求出兒率密度與幾率流密度的表達式。二、當兩個質(zhì)量為〃，的粒子通過球?qū)ΨQ勢叭r)=Aln(r/%),(A〉0,石>0為常數(shù))而束縛在一起，其第一激發(fā)態(tài)能量與基態(tài)能量之差為AE。今有一個質(zhì)量為m的粒子與另一個質(zhì)量為1840m的粒子通過同一位勢形成束縛態(tài)，則這一-系統(tǒng)的第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)能量之差是多少？說出理由，并證明之。三、一束極化的s波(/=0)電子通過一個不均勻的磁場后分裂為強度不同的兩束，其中自旋反平行于磁場的一束與自旋平行于磁場的一束之強度比為3:1,求入射電子自旋方向與磁場方向夾角的大小。四、質(zhì)量為〃的粒子在一個三維球方勢阱中運動,0,r>a一0,r>a一%,r<a(K>o)問：(1)存在S波束縛態(tài)的條件是什么？(2)當粒子能量E〉0時，求粒子的s波相移品;(3)證明1而品=〃7，〃為整數(shù)。五、質(zhì)量為加的粒子在一維勢場丫(z)=, (G〉o)中運動。[Gz,z>0(1)用變分法求基態(tài)能量，則在zNO區(qū)域中的試探波函數(shù)應(yīng)取下列函數(shù)中的哪一個？為什么？—aV" —ax ?z+az,e,ze,sinaz。(2)算出基態(tài)能量值。

試題名稱： 量子力學（實驗型）說明：共五道大題，無選擇題，計分在題尾標出，滿分100分。（1）電子雙縫實驗中，什么結(jié)果完全不能用粒子性而必須用波動性來解釋，為什么？（2）解釋鈉原子光譜主線系（叩->3s）的精細結(jié)構(gòu)。（3）量子力學角動量用矢量圖表示時，和經(jīng)典角動量有什么不同，為什么？1=0時，其歸一化波函數(shù)二、一個質(zhì)量為〃的粒子，處于1=0時，其歸一化波函數(shù),八、/8f, 7x）.兀xi//（x,Z=0）=J—I1+cos——Isin——求（2000年（實驗型）第二題）：（1）在后來某一時刻f 時的波函數(shù)；（2）在1=0和f="時的體系平均能量。三、精確到微擾的一級近似，試計算如圖所示寬度OB為a,A。為匕，4。8被切去的無限深方勢阱（如圖C4BD）的最低三個態(tài)的能量四、質(zhì)量為〃的粒子在勢場丫（一）=-9?常數(shù)（4〉0）中運動，試用測不準關(guān)系估算基態(tài)能量。五、如系統(tǒng)的哈密頓量不顯含時間，用算符對易關(guān)系［乂川，證明能量表象中有￡（E"-Em）kJ=Anoo其中〃為系統(tǒng)質(zhì)量，紇與恿是能量本征值，滿足閉力=耳,|力，H\m）=Ein\m），Yn是對I〃〉的完全求和。中國科學院一中國科技大學1992年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱： 量子力學(理論型)說明：共五道大題，無選擇題，計分在題尾標出，滿分100分。-、N個質(zhì)量都是加的粒子可在--寬為。的無限深方勢阱中運動，忽略彼此間的相互作用，請求出最低的4條能級，并寫下相應(yīng)的簡并度。.—*、(1)寫出角動量算符Ly,工及算符2之間的一切對易關(guān)系；(2)設(shè)“加是個與的本征態(tài)，本征值分別為/(/+1甫和“方，證明尹=(乙+八)”加亦為2與2的本征態(tài)，求出本征值；(3)證明當/=0時，態(tài)%”也是乙與4的本征態(tài)。三、請根據(jù)不確定關(guān)系估計氫原子基態(tài)的能量。四、有??個定域電子(作為近似模型，可以不考慮軌道運動)，受到均勻磁場的作用，磁場B指向正x方向，相互作用勢為方=四d=空瓦。設(shè)f=0時電子自旋朝上,2〃c 4c即邑=力/2,求，＞0時自旋6的平均值。五、假定氫原子內(nèi)的質(zhì)子是一個半徑為10-13cm的均勻帶電球殼，而不是點電荷，試用一級微擾論計算氫原子1s態(tài)能量的改變。六、一束中子射向氫分子而發(fā)生彈性碰撞。忽略電子對中子的作用，而兩個原子核與中子的作用可用下面的簡化勢代替：V(r)=-匕+a)+/任—明，其中匕是常數(shù)，。是常矢量(。與-。分別是兩核的位置矢量)。試求高能下的中子散射微分截面，并指出散射截面的一個極大的方向。

中國科學院一中國科技大學1992年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱:試題名稱:量子力學（實驗型）說明：共五道大題，無選擇題，計分在題尾標出，滿分100分。-、簡單回答下列問題：TOC\o"1-5"\h\z（1）舉出一個實驗事實說明微觀粒子具有波粒二象性。 、，R（2）量子力學的波函數(shù)與經(jīng)典的波場有何本質(zhì)的區(qū)別？ -41—1（3）如圖所示，一個光子入射到半透半反鏡面M,［和g為光電 /探測器，試分別按照經(jīng)典與量子的觀點說明［和P是否能同時 叵接收到光信號（4=4）。二、若厄密算符3與以具有共同本征態(tài)函數(shù)，即Ay/na=AWna、虬1a=BM“a，而且構(gòu)成體系狀態(tài)的完備函數(shù)組。試證明［4,占］=0。人2 12〃2'/LICO

h三、在一維諧振子的哈密頓量方=之一+2〃2'/LICO

h方y(tǒng)j/HCOh（1）證明（2）用a,，寫出哈密頓量力；（3）設(shè)|〃）為方的本征矢，本征值為E,,。證明為。的本征矢，本征值為（紇一方四、在反的對角表象（用泡利矩陣的形式表示）中，求出自旋算符瓦，Sy,瓦的本征值和本征矢五、在，=0五、在，=0時，氫原子的波函數(shù)材（尸,0）=Woo+〃21O+血材211+73^21-1式中波函數(shù)的下標分別是量子數(shù)〃，/,機的值，忽略自旋和輻射躍遷。（1）該體系的能量期待值是多少？（2）在，時刻體系處在/=1,m=1的態(tài)的兒率是多少？（1997年（實驗型【）第六題）

中國科學院一中國科技大學1993年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱： 量子力學(理論型)說明：共六道大題，選作五題，每題20分。一、質(zhì)量為加的粒子可在勢一、質(zhì)量為加的粒子可在勢V(x)=ab(x)￡<0,它的波函數(shù)可寫為(p{x)=4/+輦叫°(x)=人/"+(a>0)的作用下作一維運動。設(shè)粒子能量x<0x>0(1)計算矩陣(1)計算矩陣M：=M(2)求能量E的值，解出波函數(shù)。(3)求動量的兒率分布表達式。二、有一量子體系，其態(tài)空間三維，選擇基矢為{|1)，(2)求能量E的值，解出波函數(shù)。(3)求動量的兒率分布表達式。二、有一量子體系，其態(tài)空間三維，選擇基矢為{|1)，|2),二個力學量A月為’1oH=ha)002,00|3)},定義哈密頓量力及另0、'100、‘010、0,A=a001,B=b1002)、01、001,設(shè)”0時，系統(tǒng)狀態(tài)為卜(0)〉=；|1〉+32〉+33〉。，2 2 2在r=0時測量E,可得哪些結(jié)果，相應(yīng)幾率多大？計算方的平均值及⑵(3)5,△人正TW°如在，=0時測量Z,可能值及相應(yīng)兒率是多少？寫出測量后相應(yīng)的態(tài)矢量。計算》時刻a與與的平均值。%為泡利矩陣，證明JS=cosa+gsina(a為實數(shù))，并推廣矩陣cr=4tF]的情形(義，〃為實數(shù)，且萬+〃2=])。四、求在方向--四、求在方向--致，空間均勻但隨時間r的衰減的電場￡?)=<0, r<0￡”r>0 ?為"數(shù)，r>0)o中原先處于基態(tài)的氫原子最后處于2P態(tài)的幾率。已知產(chǎn)兒2 , ?r ]產(chǎn)兒▼3礪"200=衍五、一個質(zhì)量為〃的高能(E)粒子被中心勢丫⑺=Ae->//(A<0,a〉0)散射，求散射的總截面。五、六、兩個自旋為1/2的全同粒子在公共的各向同性諧振子場中運動，彼此之間沒有相互作用。設(shè)一個粒子處于諧振子基態(tài)，另一個處于沿Z方向運動的第一激發(fā)態(tài)，求：(1)兩粒子體系的波函數(shù)；(2)系統(tǒng)的總角動量(_/,啊)的可能值。中國科學院一中國科技大學1993年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱： 量子力學(實驗型)說明：共五道大題，無選擇題，計分在題尾標出，滿分100分?！?、設(shè)一維粒子由X=-00處以平面波％.(x)=e'"入射，在原點處受到勢能丫(x)=%b(x)的作用。(1)寫出波函數(shù)的一般表達式材(X)。(2)確定粒子波函數(shù)在原點處應(yīng)滿足的邊界條件。(3)求該粒子的透射系數(shù)和反射系數(shù)。(4)分別指出匕>0和％<0時的量子力學效應(yīng)。二、兩原子態(tài)間電偶極躍遷兒率與它們的偶極矩陣元平方成正比。已知氫原子波函數(shù)為(r)= (仇⑼，取玻爾半徑a=行你成為長度單位，貝URH/?2。=(；，(2-1)產(chǎn)，%=(；丁幺產(chǎn)0=(3]cos6>, sinM(1)算出〃=2的所有矩陣元0G)。(2)結(jié)合你的計算結(jié)果，討論這種矩陣元所涉及的有關(guān)△/選擇定則(不考慮自旋)。三、設(shè)堿金屬原子處于沿z向的均勻弱磁場與中，其哈密頓量為6=方。+迫￡一，其中2/jc,為無外場B時的哈密頓量，其本征函數(shù)和本征值分別為k加⑺=R,“(r)，(e,0)和￡nl;&=處￡一是微擾。2/ic(1)按簡并定態(tài)--級微擾論方法，求出對應(yīng)J的各定態(tài)能量E字和波函數(shù)材，(不)。(2)a)設(shè)此系統(tǒng)r時刻一般狀態(tài)材(尸,f)可以寫成什么形式？其能量平均值總是否隨r變化(寫出的總表示式)？b)設(shè)系統(tǒng)f=0時處于基態(tài)匕(元0),寫出，〉0時的態(tài)材(元。和能量平均值五的表示式，并說明其意義。(3)此系統(tǒng)再受到一個含時微擾方2⑺的作用，定性回答(2)中的兩個問題(a)與(b)。四、在討論磁性材料時，由于電子間的庫侖作用和泡利不相容原理，可導(dǎo)致兩相鄰電子之間如下自旋相互作用哈密頓量：方=成氐,其中J>0。此算符作用在兩電子的如T=諸自旋態(tài)上。試求出方的本征態(tài)和本征值(盡量利用角動量性質(zhì)來簡化計算)。五、帶電粒子（電荷為e）在均勻磁場中的哈密頓量為方=」-（3-￡,］，其中分=一訪V和h=（-為，0,0,）為矢量算符。（1）求出該粒子能譜（可假定態(tài)波函數(shù)形式為憶=0修+%外（〉-%），不必求解%的具體形式）。（2）a）試討論該體系波函數(shù)與自由粒子與諧振子波函數(shù)之間的關(guān)系。b）結(jié)經(jīng)典運動圖象，根據(jù)量子力學某些一般規(guī)律，討論本征譜的連續(xù)性和分立性。中國科學院一中國科技大學1994年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱： 量子力學(理論型)說明：共五道大題，無選擇題，計分在題尾標出，滿分100分。-、質(zhì)量為機的單粒子作一維束縛運動，兩個能量本征波函數(shù)分別為材i(X)=Ae-a*/2,%(用=6(/+bx+C)e-ak/2,(-00<X<00)A,6,b,c,a等均為實常數(shù)。試求這兩個態(tài)的能量間隔，并說明對參數(shù)Ac有什么限制。7-二、試求在氫原子能量本征態(tài)九如中，K?的平均值r7-三、自旋投影算符G?萬=2萬?萬，萬為泡利矩陣，五為單位方向矢量，無2=1。2(1)對于電子自旋朝上態(tài)乙(員的本征值為4/2),求5??力的可能值及相應(yīng)幾率。(2)對3?元的本征值為1的本征態(tài)，求巴的可能值及相應(yīng)的幾率。四、(1)已知帶電粒子在磁場月和勢場丫(r)中運動，求帶電粒子速度分量算符的對易關(guān)系［卻叫［為,幻，心幻的表達式。(2)質(zhì)量為機電荷為e的粒子在磁場中的哈密頓量為方=」-(方-￡耳］。求在什么2myc)條件下它可以寫成如下形式：方52一￡木方+J不。2mme2mc~(3)設(shè),=4cosw(凡為常矢量)，略去上式中的 項，求與 相應(yīng)的薛定評方程的解。五、質(zhì)量為m電荷為e的粒子被一個勢場V(r)散射，此勢場是一個球?qū)ΨQ電荷分布p{r}產(chǎn)生的靜電勢場。設(shè)p(r)隨rf8很快趨于零，并有Jp(r)Jr=0和J，p(r)dr=A(A為已知常數(shù))。試用一級玻恩近似計算向前散射微分截面。中國科學院一中國科技大學1994年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱： 量子力學(實驗型)說明：共五道大題，無選擇題，計分在題尾標出，滿分100分。(1)自由粒子能量為6=加/2根，寫出物質(zhì)波的色散關(guān)系，并證明物質(zhì)波包必然擴散。(2)寫出分立譜和連續(xù)譜的正交歸一和完備性關(guān)系式。(3)寫出尸表象(其基矢記為伏))中的薛定譚方程。二、證明一維體系的分立本征值總是非簡并的。三、試在動量表象中求解諧振子問題(即求哈密頓算符的本征值和本征函數(shù))。四、假定一電子狀態(tài)由波函數(shù)步=n=(e'*sin8+cose)g(r)描述，其中￡^(r)|2rdr=\,。與q分別是方位角和極角。求處于該態(tài)電子的軌道角動量z分量人的可能值，相應(yīng)幾率和期望值。五、試求其哈密頓量為H=H?+H'=-f，-d<+-mctrx2-+a?+/的能譜,式中a和。是

2mdx-2小的常數(shù)(精確到一級近似)。提示：^V?=—r+?+-^n+-j5+i)(“+2M+2

a|_2 v27 2六、具有磁矩后(G具有1/2的自旋幅)的粒子放在沿x軸方向的?常磁場中。在"0時，發(fā)現(xiàn)粒子具有邑=力/2,求在以后的任意時刻發(fā)現(xiàn)具有5,=±力/2粒子的幾率。中國科學院一中國科技大學1995年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱： 量子力學（理論型）說明：共五道大題，無選擇題，計分在題尾標出，滿分100分。QQ X<0X>4一、一個質(zhì)量為〃的粒子在勢阱丫（x）="'小'c' 中運動，其中。為常aoyx-a/2）,0<x<a數(shù)，試求第一激發(fā)態(tài)的能量。二、質(zhì)量為〃電荷為夕的粒子在均勻定常的磁場中運動，取不對稱規(guī)范：Ax=—By,Ay=A.=0,B為磁場大小,可知為=-0瓦/m是守恒量。證明也是守恒量，請問它與%是否可以同時被觀察？三、兩個相互耦合的一維諧振子由哈密頓算符方=￡'+甘+3〃1［（玉 +4（為_工2）［描寫，A>1/20請求出此體系的能量。四、算符b及其厄密共加b'滿足下面的關(guān)系：bb'+b'b=\,伍+7=0,b2=0o它們被稱為費米子算符，而N=b7是費米子數(shù)算符。（1）求N的本征值；（2000年（理論型）第六題）（2）在N表象中給出b與。'的表達式。五、電子偶素是由正電子和電子構(gòu)成的類氫體系。考慮處于基態(tài)的電子偶素3=0）。系統(tǒng)的哈密頓量可寫為H^HO+HS,其中凡是通常的與自旋無關(guān)的庫侖力部分，氏=4$.§是正電子與電子的自旋作用部分。請問在無外磁場存在時，選擇怎樣的自旋和角動量的本征態(tài)最為方便？對于這些態(tài)，計算由于且引起的能量的改變。中國科學院一中國科技大學1995年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱： 量子力學(實驗型)說明：共六道大題，選作五題，每題20分。、(1)簡要說明量子力學的態(tài)疊加原理與經(jīng)典波動力學的態(tài)疊加原理有何根本的區(qū)別。(2)試證明，在任何狀態(tài)下，厄密算符的平均值都是實數(shù)。(3)下列對稱性分別導(dǎo)致什么物理量守恒：空間反射不變性，空間平移不變性，空間轉(zhuǎn)動不變性，時間平移不變性。二、粒子在一維勢場丫(x)中運動，試證明：屬于不同能級的束縛態(tài)波函數(shù)相互正交。三、質(zhì)量為m,速度為v,能量為E=，〃//2的粒子沿x軸方向運動，其位置測量的誤差為Ax,設(shè)加=4^,試由不確定關(guān)系：Ax-A/?>—,導(dǎo)出能量和時間的不確定關(guān)系:v 2hAE-Ar>—o2四、一維諧振子的哈密頓量算符為方='52+1加1引入無量綱算符：2m2Q=\觸x,P=-J=P，a=-^(Q+iP),V力 y/mcofiv2 J2(1)計算[戶,Q],叫,[a:/a]。(2)將力用a,/表示；設(shè)舊是方的本征值為E”的本征態(tài)，求出全部能級七。(3)證明：〃)=〃]〃)，a\n\=Vn|n—1\, +111+1)。(4)證明能量表象中，計算a,Q,戶的矩陣元。五、測量一個電子(處于自由空間)自旋的z分量，結(jié)果為方/2。(1)緊接測量自旋的x分量，可能得到什么結(jié)果？(2)得到這些結(jié)果的兒率是多少？(3)如果測量自旋方向的軸與z軸成。角，測得各種可能值的幾率分別為多少?(4)在(3)中測得的期望值為多少？六、有一個兩能級體系，哈密頓量為方=&+方在冗表象，冗和方'表示為E,00e2方'微擾，〃表征微擾強度。試求冗的本征值和本征態(tài)。(1996年(理論型)第4題)中國科學院一中國科技大學1996年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱： 量子力學（理論型）說明：共六道大題，選作五題，每題20分。A2一、粒子作一維運動，H=-^—+V（x）,定態(tài)波函數(shù)為飽），即方=（1）證明：依舊％）=4“（%并求系數(shù)。加。（2）由此推導(dǎo)求和公式：2出-%）2Ml加?,曠=身心舊“『。n 〃⑶證明：2（凡-丹”）|@|川/曠=^-。n二、一個質(zhì)量為"的非相對論粒子在位勢丫（x）=-a5（x）a>0之下作一維束縛運動，試求坐標a>0,使得粒子在區(qū)域|尤|>a的兒率為1/2。三、在均勻磁場內(nèi)有一個電子（不考慮軌道運動）磁場豆指向正x方向，磁作用勢為H=—Sx=—（yx,q是泡利矩陣。設(shè)r=0時，電子的自旋向上，即?=々，求f>04c2〃c 2時i的平均值。四、有一個兩能級體系，哈密頓量為方=冗+方’。在冗表象，氏和方'表示為.（E.0"I八Co0H=1IH'=bI。Uoj方'微擾，E,>E2,〃表征微擾強度。試求才的本征值和本征態(tài)。（1995年（實驗型）第6題）五、一個量子體系處于角動量平方以與角動量在z軸方向投影乙共同本征態(tài)?？偨莿恿康钠椒狡骄禐?%2。已知測量角動量在y軸方向投影￡,得值為0的幾率為1/2,求測量2V得值為力的幾率。六、兩個質(zhì)量都是〃的?維耦合諧振子系統(tǒng)的哈密頓算符為A,a為參數(shù)，2>-1/2,-oo<xpx2<ooo試求系統(tǒng)的能量本征值。中國科學院一中國科技大學1996年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱： 量子力學（實驗型）說明：共六道大題，選作五題，每題20分。?、 試設(shè)計一個實驗來證實“單個電子作為整體是不可分割的”。在p表象中，歸一化波函數(shù)為= A= （力攵/2,k=mVQ/ti2o試計算Ax,4,驗證測不準關(guān)系。質(zhì)量為加的粒子在勢場V（x）中作一維運動，試建立動量表象中能量的本征方程。一個質(zhì)量為機的粒子被限制在r=a和r=b的兩個不可穿透的同心球面之間運動。不存在其它勢，求粒子的基態(tài)能量和歸一化波函數(shù)。（2007年第五題）有一個定域電子（不計及軌道運動）受到均勻磁場作用，磁場B指向正x方向，磁作用勢為方=4&=四2。設(shè)”0時，電子的自旋向上，即S,=￡求”0時2〃c 2?的平均值。方2 1一維諧振子，其能量算符方。=-<=7+上3?/,設(shè)此諧振子受到微擾2m改2方的作用（囚《1）,試求各能級的微擾修正（三級近似），并和精確解比較。（1997年（實驗型H）第三題）試題名稱： 量子力學（理論型）說明：共六道大題，選作五題，每題20分。-、質(zhì)量為m的粒子在一圓圈上（周長為L）運動，如果還存在5函數(shù)VM=a^x--）,a*Oo請求出系統(tǒng)的所有能級和相應(yīng)的歸-化本征函數(shù)。2二、自旋為1的帶電粒子（電荷為小質(zhì)量為加）受到均勻磁場月=8&的作用（0，為y

方向的單位矢量），其哈密頓量為方=里氏。（M,為自旋算符的y分量），如果，=0

me時粒子的自旋指向正X軸方向，求粒子自旋平均值的時間演化。三、設(shè)有算符白和〃滿足如下對易關(guān)系：bjb；+b；bj=即bjbj+bjbi=0,b；b；+b?；=0,（/,j=1,2）求：（1）哈密頓量H=力用“4+hco2b\b2,（g〉例＞0）的能譜和相應(yīng)的本征態(tài)；（2）在H和本征態(tài)表象中算符Q=々4和W=b：b；的矩陣表達式。四、諧振子的哈密頓量是冗=互+!機療/。設(shè)有微擾方，=4機療/（〃為正整數(shù)，2

2m2 2為正數(shù)，且之《1）。（1）請求出基態(tài)能量的一級和二級微擾修正；（2）如果〃=0,請將得到的結(jié)果與嚴格的結(jié)果比較。五、初始時"刻f=0時，-一維量子體系處于瓦）（不顯含r）的某--本征態(tài)以上。（1）求該體系在某一微弱的外界作用方'（x"）的影響下，由八躍遷到另一本征態(tài)5（/?；玫能S遷兒率心⑴的普遍的一級近似表達式。（2）若以為該系統(tǒng)的基態(tài)％,而。'（xj）=F（x）e-'",求在r》7時體系處于某一-激發(fā)態(tài)匕的幾率幾⑴（利用上題結(jié)果）（97實驗型H第四題）

試題名稱： 量子力學(實驗型I)一、在楊氏雙窄縫實驗中，假設(shè)光源5發(fā)射一個個光子，且每次只有??個光子通過比雙縫，在雙縫后的觀察屏上安置許多單光子探測器，問：(1)每次實驗的結(jié)果如何？(2)非常多次的實驗結(jié)果如何？(3)若采用某種方法確定光子經(jīng)過某個縫，實驗結(jié)果又如何？(4)單個光子能否產(chǎn)生干涉？二、設(shè)⑹為厄密算符戶的本征態(tài)。(1)證明戶表象的完備性關(guān)系式Z優(yōu)|協(xié)⑹=1；(2)寫出任意算符￡在戶表象的未征方程；(3)寫出動量表象的完備性關(guān)系式。(注：假設(shè)戶具有分立譜)三、質(zhì)量為m的粒子在均勻力場/(幻=-尸(尸〉0)中運動，運動范圍限制在xNO,試給出動量表象中定態(tài)薛定譚方程。四、粒子處于態(tài)：i+1式中i+1式中a>0,C為歸一化常數(shù)。求:=C(x+y+2z)e-ar(1)產(chǎn)的取值；(2)乙的平均值；(3)￡：=力的幾率；(4)乙的可能及相應(yīng)的兒率。五、一維諧振子的哈密頓量方=三+2機療/，基態(tài)波函數(shù)2m2/、Ia一。2Ph Ims設(shè)振子處于基態(tài)。(1990年(實驗型)第二題)(1)求<彳>和<〃>;(2)寫出本征能量綜，并說明它反映微觀粒子什么特征？(3)一維諧振子的維里定理是<7>=<丫〉，試利用這個定理證明：=g其中Ax= >-<x>2,Ap= >-<〃>2。八?、在r=0時，氫原子的波函數(shù)”(「,0)= 0G+“210+ ?+ ]式中波函數(shù)的下標分別是量子數(shù)〃，I,加的值，忽略自旋和輻射躍遷。(1)該體系的能量期待值是多少？(2)在t時刻體系處在/=1,m=1的態(tài)的幾率是多少？(1992年(實驗型)第五題)試題名稱： 量子力學（實驗型H）說明：共五道大題，無選擇題，計分在題尾標出，滿分100分。一、設(shè)算符K=LW,LM-ML=\,又設(shè)Q為K的本征矢，相應(yīng)的本征值為;I,求證〃三和v三也是K的本征態(tài)，并求出相應(yīng)的本征值。二、質(zhì)量為加和粒子在一維無限深方勢阱中運動，勢阱可表示為：0, 0<x<aV（x）={oo,x<0,x>a（1）求解能量本征值和歸-化的本征函數(shù)匕（x）。（2）求已知/=0時，該粒子的態(tài)為材（x,0）=，=[%（回+%（切，求t時刻該粒子的波v2函數(shù)。（3）求f時刻該粒子的哈密頓算符和坐標算符的平均值萬和7?！鰇2j21三、一維諧振子，其能量算符為：方。=—2二+上加療/。設(shè)粒子受到微擾2mcbr2方'=4機序/的作用，其中⑷2《屋（1996年（實驗型）第六題）（1）試求該粒子各能級的一級和二級微擾修正。（提示：坐標》的矩陣元/“=宿】（而Ta,.+冊程,1））（2）把上述結(jié)果與精確求解力=力。+方'得到的本征值相比較。四、初始時刻r=0時，一維量子體系處于方。（不顯含r）的某一本征態(tài)匕上。（1）求該體系在某一微弱的外界作用方'（x,f）的影響下，由心.躍遷到另■■本征態(tài)必（/#幻的躍遷兒率外⑴的普遍的一級近似表達式。（2）若〃*為該系統(tǒng)的基態(tài)％,而方'（x,f）=/（幻/",求在7時體系處于某一激發(fā)態(tài)匕的幾率，。⑺（利用上題結(jié)果）（1997年（理論型）第五題）五、給定（。,0）方向單位矢量五=（〃r，〃v，〃J=（sinecose，sinesin°,cos。）。在q表象中求

%=了?”的本征值和歸一-化的本征態(tài)矢。3=（0\,嗎,<7工）是3個2x2泡利矩陣。試題名稱： 量子力學（理論型）說明：共六道大題，選作五題，每題20分。一、質(zhì)量為加的粒子在一維勢場V（x）=|I （%〉。）中運動。-Vg,x\<a（1）求基態(tài)能量％滿足的方程：（2）求存在且僅存在一個束縛態(tài)的條件。 （1999年（理論型）第三題）二、自旋為*的帶電粒子（電荷為夕，質(zhì)量為“）受到均勻磁場月=B0v的作用（部為y2 , ，方向的單位矢量），其哈密頓量為方=力。+%?二。（梟為自旋算符的y分量），如果mef=0時粒子的自旋指向正x軸方向，求粒子自旋平均值的時間演化。（1999年（理論型）第四題）三、一個質(zhì)量為，”的粒子在一維勢場：oo, |x|>3a0,a<x<3aVW=.. .?%, |x|<a0,-3a<x<—q中運動。（1）匕=0時，求粒子的能譜；（2）乂#0時，用一級微擾法求基態(tài)能量。四、設(shè)有算符4和滿足如下對易關(guān)系（@是4的厄密共輒，仃=1,2）；afl^-ajai=%afl--ayaz=0,a；a；—n；a：=0試求哈密頓量（。0>q>0）方=力+a；/）+訪@（。：。2-的能譜。（提示：僅利用4和4，。：和&之間的線性變換，可將方化為二個不耦合的諧振子的哈密頓量之和。）五、將上題哈密頓量中與有關(guān)的部分當作微擾，請用定態(tài)微擾論求出第一激發(fā)態(tài)的修正。（第一激發(fā)態(tài)的二度簡并的。）試題名稱： 量子力學(實驗型)說明：共四道大題，無選擇題，計分在題首標出，滿分100分。一、設(shè)一維諧振子能量本征值為紇，相應(yīng)的本征函數(shù)為匕(X)。(6分)由厄米多項式”,,(x)的遞推關(guān)系：H,用(x)- (x)+2〃”,i(x)=0,H'n(x)=2nHz(幻。導(dǎo)出沖/?(x)及〃：(x)滿足的遞推關(guān)系。(4分)求6(x)上坐標及動量算符的平均值：%,(10分)求證簡諧振子的零點能&產(chǎn)力旬2是測不準關(guān)系—2Ap2N上的直接后果，其中一X)：Ap2=^p-p^o(5分)求出,(x)態(tài)上動能算符和勢能的平均值nVo它們之間的關(guān)系是什么？(可用的公式：</,,(%)=Nne~a'2Hn(ax),Nn= ?a=JM。)二、軌道角動量算符的三個分量jy,/滿足的對易關(guān)系是：［，,<］=血,［右,4］=熾,［工"」=西定義算符了=￥+，;+?黃=金土公。(15分)求對易關(guān)系：［產(chǎn)卻［金㈤，［3口。(10分)若了和^的共同本征函數(shù)為匕,“，其中/和m為相應(yīng)的量子數(shù)。求證也是『和;二的共同本征函數(shù)，并求出相應(yīng)的本征值。tj _ _三、(25分)把一個自旋為彳的粒子置于磁場豆中，若已知月=8o(sin。葭+cos。乏)，其中耳，耳為x,z方向的單位矢量，綜，。均為常數(shù)，體系的哈密頓量為方=_/.百，其中應(yīng)為自旋磁矩，萬=2〃$4為玻爾磁子，試求才和本征值和本征矢。四、(25分)-個質(zhì)量為m的粒子在一維勢V(x)中運動，勢的函數(shù)表達式為：18, |x|>3a二,丁丁%， \x\<a0,-3a<x<-a將匕部分視為在6a長的平坦勢(即：V=0,|x|<3a;V=oo,國>3。)上的微擾，用一級微擾方法求基態(tài)能量。中國科學院一中國科技大學1999年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱： 量子力學（理論型）（選作五題，每題20分）一、設(shè)x和0分別為位置和動量算符，滿足關(guān)系［乂5］=法求，（I）*”一麗=?（2）/麗［x,"'而］=?八2 1 二、設(shè)有哈密頓量方二——4--mco2x24-yjlmhx,求：2m2（1）方的能譜；（2）H的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的歸一波函數(shù)：（3）估計基態(tài)處于區(qū)間卜J患］幾率。0,Ixl<a三、質(zhì)量為m的粒子在一維勢場（匕>0）中運動。%,\x\>a（1）求％―8時粒子的能譜和歸一波函數(shù)。（2）求存在且僅存在三個束縛態(tài)的條件。（1998年（理論型）第一題）方 一四、自旋為5的帶電粒子（電荷為q,質(zhì)量為tn）受到均勻磁場B=Bey的作用（ey為y方向的單人 cB位矢量），其哈密頓量為“=力。+空白。（門為自旋算符的y分量），如果，=0時粒子的自旋me指向正x軸方向，求「時刻粒子自旋的平均值。（1998年（理論型）第二題）五、?維諧振子系統(tǒng)的能量本征態(tài)是|力=0,1,2,…，滿足方o=（〃+；卜回力，〈川昉=鬣”，r1 2 2_1設(shè)有一擾動w,滿足缶|叫力=|5n+m ，系統(tǒng)的哈密頓量為方=氏+位，如果r=o'??/［0,others時系統(tǒng)處于基態(tài)，求，時刻系統(tǒng)處于各個態(tài)上的幾率。試題名稱： 量子力學（實驗型）說明：共五道大題，無選擇題，計分在題尾標出，滿分100分。一、質(zhì)量為機的粒子在一維勢阱v（x）中運動。0,lx<a

V（x）= ,oo,\x\>a1）求粒子的能級線和歸一化的波函數(shù)匕（x）。（10分）2）求出粒子在態(tài)匕（x）上的位置平均值7。（5分）。3）設(shè)粒子所處的態(tài)由波函數(shù)C（a2-x2）,|x|<a（X）=ln、

0, \x\>a描述，其中C為常數(shù)。a）求在態(tài)”（x）中粒子取能量紇的兒率分布。（10分）b）求在態(tài)”（x）中粒子能量的平均值。（5分）軌道角動量算符Lx=yp:-zpy,Ly=zpx-xpz,L=xpy-ypx,i）求出與蒼y,z的對易關(guān)系,（5分）2）求出乙,￡,,￡：與瓦,八,人的對易關(guān)系。（5分）3）證明：[￡,丁+y2+z[=0,[￡,說+耳+Q；]=0,（i=x,y,z）。（10分）。三、設(shè)在方。表象中，哈密頓算符的矩陣表示為方=三、設(shè)在方。表象中，哈密頓算符的矩陣表示為方=E?c、

c”或Vc為常數(shù)。1）用微擾論求能量至二級修正。（10分）2）嚴格求解，與微擾論計算值比較。（10分）。四、3=0,%,q）為三個泡利矩陣，n=（nx,，電）=（sin0,cos6）為方向單位矢量。1）在q表象中，求亍?無的本征值和本征態(tài)。（10分）。2）給出在q=l的自旋本征態(tài)中3?萬的可能值及相應(yīng)的幾率。（5分）五、設(shè)一維諧振子在r=0時處于基態(tài)。此時加入一個與時間有關(guān)的微擾力'=-46一'/”,其中九，7為正常數(shù)。應(yīng)用一級微擾論計算當8時，該振子處于激發(fā)態(tài)的幾率。（有用的公式：坐標算符在諧振子能量本征態(tài)6（幻間的矩陣元+is…）（15分）中國科學院一中國科技大學2000年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱： 量子力學（理論型）（選作五題，每題20分）一、（20分）一個質(zhì)量為加的粒子被限制在一維區(qū)域04x4。運動。時的波函數(shù)為/小 C乃X、.冗xf=0）=Al+2cos——sin——Ia）a其中A為常數(shù)。（1）后來某一時刻的波函數(shù)為什么？（2）體系在》=0和f時的平均能量是多少？（3）在I。時于勢阱右半部（即a/24x4a）發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是多少？二、（20分）氫原子的基態(tài)能量為E0=-e2/2a,其中。=方2/?^為玻爾半徑，m為折合質(zhì)量。（1）寫出電子偶素（氫原子中質(zhì)子由正電子代替）的基態(tài)能量和玻爾半徑。（2）由于電子有自旋，電子偶素的基態(tài)的簡并度是多少？寫出具有確定總自旋值的可能波函數(shù)及相應(yīng)的本征值。（3）電子偶素的基態(tài)會發(fā)生衰變，湮滅為光子，這個過程中釋放的能量和角動量是多少？證明終態(tài)至少有兩個光子。三、（20分）設(shè)粒子處于九（仇9）狀態(tài)，計算角動量的x分量和y分量的平均平方差四、（20分）記力，cr2,丐為Pauli矩陣，定義cr±=巧+i4。⑴計算9+）\（ct_）2o（2）證明（4為常數(shù)）產(chǎn)cr±=o'土產(chǎn)e"2'（3）化簡下面二式：e^（Tte,656"小。五、（20分）設(shè)冗為一量子體系的能量算符，其本征態(tài)為性），|1）,|2），…，若體系受到微擾作用，微擾算符為方=“M，京］（%為實數(shù)），人為某一厄密算符，反C為另外的厄密算符，且如在微擾作用前的基態(tài)|o）中，A反e的平均值為已知的4，與，0。試對微擾后的基態(tài)（非簡并）計算厄密算符與的平均值〈份，精確到量級彳。六、（20分）以，和。表示費米子體系的某個單粒子態(tài)的產(chǎn)生和湮滅算符，滿足基本關(guān)系式{a,a*}ma"+a*a=l,（a）=0,/=。以n="a表示該單粒子態(tài)上的粒子數(shù)算符，求N的本征值，并計算兩個對易式［N,a［，［Ma］。（1995年（理論型）第四題）中國科學院一中國科技大學2000年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱： 量子力學（實驗型）一、（15分）在電子的雙縫干涉理想實驗中，什么結(jié)果完全不能用粒子性而必須用波動性來解釋？為什么？二、（20分）一個質(zhì)量為〃的粒子，在下述一維無窮深勢阱中運動\ （0<x<a）V（x）=<00, （X<O,X>6F）設(shè)f=0時，其歸化波函數(shù)為步（x,0）=J*（l+cosA）sine,求：V5aaaf=0時測得其能量所得的幾率性的結(jié)果（10分）：（2）八>0時的含時波函數(shù)及。時測其能量的結(jié)果（10分）。（1991年（實驗型）第二題）三、（15分）設(shè)一維運動粒子的坐標和動量分別為q和力，。為常數(shù)。求：（1）力學量算符力和e'此的對易關(guān)系。（8分）（2）若%是算符）的本征值，試證明Po+力。也是萬本征值（7分）。四、（25分）對于單個電子的運動：A（1）證明：軌道角動量算符Z和動量平方算符加對易（8分）。（2）論答：運動對于球?qū)ΨQ場V（r）中束縛定態(tài)的力學量完全集合應(yīng)該是什么（不計自旋）（7分）？（3）設(shè)丫（r）=—e2/「，用測不準關(guān)系估算其基態(tài)能量。（10分）五、（25分）設(shè)硼原子（原子序數(shù)為5）受到方'=/（r）肛的微擾作用。在簡并微擾一級近似下：（1）論答：其價電子2P能級分裂為幾個能級（10分）？（2）若已知其中一個能級移動值為A〉0,則其余諸能級移動值各為多少（8分）？（3）求出各分裂能級對應(yīng)的波函數(shù)（用原來的諸2P波函數(shù)表達）（7分）。（提示：球諧函數(shù)工,“（/9）對。的依賴體現(xiàn)在它所含的因子e"""上。）

中國科學院一中國科技大學2001年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱:試題名稱:量子力學（理論型）（選作五題，每題20分）一、（20分）一個質(zhì)量為〃的粒子在勢阱丫=1中運動。其中A8{x—a). 0<x<2aA>0為常數(shù)，求系統(tǒng)第三激發(fā)態(tài)的能量本征值。0XV0X>〃%, 0<x<a二、（20分）粒子被一維勢壘v（x）=' ' 散射。當粒子能量￡=%, 0<x<a一半粒子被反射回去，求粒子的質(zhì)量所滿足的方程。P/dCD三、（20分）在粒子表象中，諧振子的基態(tài)|0>滿足性質(zhì)：a|0〉=0,其中a為吸收算符P/dCD,試用此性質(zhì)求出基態(tài)在動量表象中的波函數(shù)顯示式〈p|o”四、（20分）基態(tài)M是角動量C和工的本征態(tài)：力加力|協(xié)，在此態(tài)下計算平均值（￡）和（4）。五、（20分）-電子在勢阱丫（%）=依2/2中作一維運動，同時受到x沿方向--均勻電場的微擾作用。電場強度為E。確定該系統(tǒng)由于電場存在所引起的能級移動。六、（20分）考慮一個二維諧振子，”=；（p：+p：）+g（x2+y2）,已知其最低三個能量本征態(tài)為設(shè)有--微擾V（x）=￡Ay，+y2）/2,（同《1）。試對上述態(tài)計算由V引起的，-級微擾修正。中國科學院一中國科技大學2001年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷試題名稱： 量子力學(實驗型)qqTV01*>/7一、(10分)設(shè)質(zhì)量為用的粒子在一維無限深勢阱V(x)=' ' 中運動。試用0, 0<x<adeBroglie的駐波條件，求粒子能量的可能取值。二、(10分)一個質(zhì)量為m的粒子束沿正方向以能量E向x=0處的勢壘運動，f0, x<0試用量子力學觀點回答：在x=0處被反射的反射系數(shù)R是多少？三、(20分)(1)在坐標表象中寫出一維量子體系的坐標算符。和動量算符力，并推導(dǎo)出其間的對易關(guān)系。(2)在動量表象中做(1)所要求做的問題。四、(20分)一個微觀粒子在球?qū)ΨQ的中心勢場V(x)中運動，且處于一個能量和軌道角動量的共同本征態(tài)。(1)在球坐標系中寫出能量本征函數(shù)的基本形式。寫出勢能V(x)在此態(tài)中平均值〈吩的表示式，并最后表示成徑向積分的形式。(2)設(shè)V(x)為r的單調(diào)上升函數(shù)(即對任意r,空口>0)。試證明：對任意給定的不,dr均有 /?(r)|2r2dr<0,其中R(r)的徑向波函數(shù)。五、(20分)設(shè)一個質(zhì)量為加的微觀粒子的哈密頓量不顯含時間，試證明：在能量表象中有 ￡(凡-凡，)氏，『=2其中￡為能量，x為次標。六、(20分)設(shè)一微觀體系的哈密頓量方=&)+/?,其中方'為微擾，在由一組正交歸一函數(shù)作為基的表象中，’100、’0c0、030C00、002、°0c.其中為常數(shù)。(1)求的精確本征值。(2)求的準確到微擾的二級修正的本征值。(3)比較(1)和Q)的結(jié)果，指出期間的關(guān)系。中國科學院一中國科技大學2002年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試題試題名稱： 量子力學（理論型）（選作五題，每題20分）一、（20分）-個質(zhì)量為〃的粒子在下面的勢阱中作束縛態(tài)運動：V（x）=A6（x）其中A<0為常數(shù)。求值a,使粒子處于范圍-a<x<a內(nèi)的幾率為25%。二、（20分）糾纏態(tài)可能在量子通訊中有重大應(yīng)用。兩個量子體系的復(fù)合系統(tǒng)的糾纏態(tài)是指不能用子系統(tǒng)的態(tài)的直積表示的態(tài)。例如，兩個自旋為1/2的粒子的各自的本征態(tài)為其中機=1/2,-1/2,為磁量子數(shù)，a=l,2,標記不同粒子，則復(fù)合系統(tǒng)的非耦合基如|加,1）|〃,2）,（利〃=1/2,-1/2）,就是些非糾纏態(tài)；而一個耦合基如|00）=（|%，以一月，2〉一|一%,1）|-％,2〉）/血就是個糾纏態(tài)。試作出此復(fù)合體系?套互相正交歸-的糾纏態(tài)（它們也可作為此復(fù)合系統(tǒng)的完備基）。三、（20分）設(shè)算符。具有連續(xù)本征值其本征函數(shù)〃（乂⑼構(gòu)成正交完備系。求方程（”-硝V（x）=E（x）的解，其中尸（x）為已知函數(shù)，1為某個特定的本征值。四、（20分）一個質(zhì)量為〃的粒子作一維無限運動，當其哈密頓算符為”=p2/2〃+V（x）時，能級為紇。如果哈密頓算符變?yōu)镠*=H+4p/〃，求此時的能級區(qū)。五、（20分）設(shè)力學量產(chǎn)和角動量4"=1,2,3）對易，即尸為標量算符。試證在（廠,人）的共同本征態(tài)|/昉中，F(xiàn)的平均值與量子數(shù)機無關(guān)。六、（20分）一個兩能級系統(tǒng)，哈密頓量為“，能級間隔大小為A?，F(xiàn)在此系統(tǒng)受到一個微擾”'。在H表象中，，'的表示為〃巧+%），其中巧，力是泡利矩陣。A為實數(shù)。請算出系統(tǒng)受擾后的能級間隔（精確到二級微擾修正）。

中國科學院一中國科技大學2002年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試題試題名稱： 量子力學（實驗型）（選作五題，每題20分）一、（20分）對于氫原子結(jié)構(gòu)，采用電子繞核做圓周運動的半經(jīng)典模型：（1）從德布羅意（駐）波的觀點導(dǎo)出玻爾關(guān)于定態(tài)軌道的量子化條件。（2）從牛頓定律和（1）的量子化條件導(dǎo)出氫原子量子化軌道半徑和能量。oo,x<0二、（20分）一個質(zhì)量為〃的粒子，處于勢阱V（x）=10,04x4。中，，=0時，其歸一oo,x>a化波函數(shù)為材(x"=化波函數(shù)為材(x"=0)= -4cos7TX.71X +sin——,求a（1）在后來某一時刻/=%時的波函數(shù);⑵在1=0和，=小時體系的平均能量。三、（20分）設(shè)方為厄密算符，證明在能量表象中下式成立：￡（紇-々）卬2=綱畫立印此

n 乙四、（20分）鈉原子（原子序數(shù)為11）處于沿z方向的強磁場3中；（1）計入自旋（但不計入自旋一軌道耦合）。寫出其價電子的哈密頓量（只計入3的一次項），并寫出相應(yīng)定態(tài)能量和波函數(shù)的通式（主要標志出對量子數(shù)和空間坐標的依賴性）。（2）說明此情形下鈉原子發(fā)射光譜中黃線的（正常）塞曼分裂現(xiàn)象。五、（20分）設(shè)質(zhì)量為機，電荷為夕的粒子被約束在諧振子勢丫（x）=g履2內(nèi)，現(xiàn)沿x方向加上一個恒定的常數(shù)電場E。試計算其基態(tài)|0〉和第一激發(fā)態(tài)的能級移動，準確到爐級。中國科學院一中國科技大學2003年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試題試題名稱：量子力學（3小時，閉卷，每大題30分）.如果厄密算符人對任何矢量|〃），有則稱'為正定算符，求證：算符是厄密正定算符。.如果4是任一線性算符，求證A+A是正定的厄密算符，它的跡等于4在任意表象中的矩陣元的模平方之和。試推導(dǎo)，當且僅當3=0時，7>（A+A）=0才成立。.求證：如果[[A可,4=[[A,b],B=0,則叫.求證：任一可觀測的平均值對時間的導(dǎo)數(shù)由下式給出：二、把傳導(dǎo)電子限制在金屬內(nèi)勢的一-種平均勢，對于下列一維模式（如圖）；丫（幻=卜%X<°[0, x>0試就E>0,-％<E<0兩種情況計算接近金屬表面的傳導(dǎo)電子的反射和透射幾率。三、對于一維諧振子，求消滅算符。的本征態(tài)，將其表示成各能量本征態(tài)|力的線性疊加。四、給定（，⑼方向單位矢量n=阮,〃v,〃J=（sin3cos,（p,sinOsinip,cos6）求q=萬?力的本征值和本征函數(shù)。（取q表象）五、有??個定域電子（不計及其軌道運動）受到均勻磁場作用，磁場B指向正x方向,磁作用勢為：4eBaehB-H=-crv/jc2〃c設(shè)f=0時電子的自旋“向上”，即邑=力/2,求f>0時M的平均值。中國科學院一中國科技大學2004年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試題試題名稱：量子力學(任選五題，每題30分)一、粒子在一維無限深方勢阱V(x)中運動，oo|x|>aV(x)=n0|x|<a處于狀態(tài)”=@+A+204。這里”=1,2,3,…是系統(tǒng)歸一化的能量本征態(tài)。請問.粒子具有基態(tài)能量工幾率；.粒子的平均能量(用基態(tài)能量目的倍數(shù)表示)；.態(tài)四中的節(jié)點數(shù)(在節(jié)點處，找到粒子的兒率密度為零)；.態(tài)A的宇稱。二、考慮一維體系方=，2/2〃+V(x),V(x)=Vox\匕>0,4=2,4,6,…。設(shè)育的本征波函數(shù)為九，.證明動量在態(tài)匕中的平均值為零；.求在態(tài)心中的動能平均值和勢能平均值之間的關(guān)系。三、設(shè)歸一化的狀態(tài)波函數(shù)H〉滿足薛定娉方程訪即功=才|2，定義密度算符(矩陣)為0=|協(xié)優(yōu)|。.證明，任意力學量戶在態(tài)中的平均值可表示為"("尸)；.求出0的本征值；.導(dǎo)出隨時間演化的方程。四、質(zhì)量為〃的粒子在三維各向同性諧振子勢為V(r)=3/2=k(x2+/+z2)/2中運動。求：.第二激發(fā)態(tài)的能量：.第一激發(fā)態(tài)的簡并度；.在基態(tài)中的不確定量ArAp,這里Ar是位置矢量的均方差根Ar=J<△產(chǎn)>=J<">+<加>+〈&2>。夕則為三維動量的均方差根。定義類似。五、兩個自旋都是1/2的粒子1和2組成的系統(tǒng)，處于由波函數(shù)H〉=40〉Jl〉2+b|l)/0)2描寫的狀態(tài)，其中|0)表示自旋朝下(沿-z方向)，|1)表示自旋朝上。當數(shù)a和b都不為0時，此態(tài)不能表示成兩個單個粒子狀態(tài)的直接乘積形式|),|〉2時稱為糾纏態(tài)。試求在上面的糾纏態(tài)。試求在上面的糾纏態(tài)中，.兩個粒子的自旋互相平行的兒率；.兩個粒子的自旋互相反平行的幾率；.此系統(tǒng)處于總自旋為0的幾率；.測量得到粒子1自旋朝上的幾率多大；發(fā)現(xiàn)粒子1自旋朝上時，粒子2處于什么狀態(tài)？六、考慮到自旋軌道耦合的氫原子，其哈密頓量為方=-工。+曠”）+夕「）￡42，.證明軌道角動量，和《不是此系統(tǒng)的守恒量，而總角動量）=￡+《是守恒量。.若自旋一軌道相互作用夕「）￡?自可當作微擾，計算此系統(tǒng)基態(tài)能量的一級修正。,方2（4=▽+丫（「）的本征能量為用°），本征函數(shù)：匕/,”，=舄?），（48）乂，乂2“為自旋波函數(shù)）中國科學院一中國科技大學2005年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試題試題名稱： 量子力學一、(20分)1800個電子經(jīng)1000伏電勢差加速后從x=-0°處射向勢階Kx<0V(x)=\°0x>0其中匕=750eV0試問在x=00,處能觀察到多少個電子？如果勢階翻轉(zhuǎn)一下，即電子射向勢階[0x<0V(x)=\%x>0則結(jié)果如何？二、(20分)質(zhì)量為“、電荷為夕的粒子在三維各向同性諧振子勢伙「)=^"療，2中運動，同時受到一個沿x方向的均勻常電場月=綜7作用。求粒子的能量本征值和第一激發(fā)態(tài)的簡并度。此時軌道角動量是否守恒？如回答是，則請寫出此守恒力學量的表達式。三、(40分)一個質(zhì)量為根的粒子在下面的無限深方勢阱中運動,V(x)=<V(x)=<oox<0,x>a0a>x>0開始時(r=0),系統(tǒng)處于狀態(tài)</(x)=Asin—cos3—,其中A為常數(shù)。請求出，時刻系統(tǒng):2a2aa.處于基態(tài)的兒率；b.能量平均值；C.動量平均值；d.動量均方差根(不確定度)。四、(30分)兩個具有相同質(zhì)量用和頻率。的諧振子，哈密頓量為兒=立(p：+p^+-ma)2((%-a)'+(x2+a)-j,(±a為兩個諧振子的平衡位置)，受到微擾作用司=而岡《1試求該體系的能級。五、(20分)已知氫原子基態(tài)波函數(shù)為1 (r、%oo=LXMexp--，(乃初 kuoJ試對坐標x及動量p*,求：Ax= ,△，= .由此驗證不確定關(guān)系。

六、（20分）考慮自旋亍與角動量￡的耦合，體系的哈密頓量為2 H=——V2+V（r）+AL-S,

2〃4是耦合常數(shù)，試證該體系的總角動量亍=￡+6守恒。（公式提示：在球坐標系內(nèi)，V2rdV2rdV/(r)=--/(r),ror「"=〃!)中國科學院研究生院2006年招收攻讀碩士學位研究生入學統(tǒng)一考試試題

試題名稱：量子力學（甲）A卷考生須知：.本試卷滿分為150分，全部考試時間總計180分鐘。.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。一、（共30分）兩個線性算符不和與滿足下列關(guān)系：不=0,筋++余N=1,b=A+A1）求證/=月；2）求在與表象中人和月的表達式。二、（共30分）粒子在勢場V（x）=A|x|" （-8<x<8,A〉0）中運動，試用不確定度關(guān)系估算基態(tài)能量。三、（共30分）設(shè)體系的哈密頓量方依賴于某一參量;I,又設(shè)體系處于某一束縛定態(tài),其能量和本征函數(shù)分別記為紇和匕（r）o1）證明費曼-海爾曼定理：^-= ；OA」OA2）利用費曼-海爾曼定理，求氫原子各束縛態(tài)的平均動能（提示：氫原子能級公式…共3。分）粒子在二維無限深方勢阱中運動，I。,廠,。鹿一加上微擾"'=4孫后，求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)能級的一級微擾修正。五、（共30分）設(shè)粒子所處的外場均勻但與時間有關(guān)。即1/=丫（。，與坐標戶無關(guān)。試將體系的含時薛定娉方程分離變量，求方程解〃任"）的一般形式，并取V（r）=V^cos（wr）,以一維情況為例說明丫⑺的影響是什么。中國科學院研究生院2006年招收攻讀碩士學位研究生入學統(tǒng)一考試試題

試題名稱：量子力學（甲）B卷考生須知：.本試卷滿分為150分，全部考試時間總計180分鐘。.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。一、（共30分）已知諧振子處于第〃個定態(tài)中，試導(dǎo)出算符￡、力、攵2、力2的平均值及不確定度以、即，并求出心?“值。二、（共30分）設(shè)0為幺正算符，若存在兩個厄米算符4和月使0=4+房，試證：1）a2+b2=i,且[Z,A]=o；2）進-步再證明?？杀硎境蒛=e汨，方為厄米算符。三、（共30分）?個質(zhì)量為機的粒子被限制在OWxWa的一維無窮深勢阱中。初始時刻其歸…化波函數(shù)為沙（x,0）-匹（1+cos三）sin空，求V5aaaf>0時粒子的狀態(tài)波函數(shù)；2）在f=0與r>0時在勢阱的左半部發(fā)現(xiàn)粒子的概率是多少？四、（共30分）粒子在一維無限深方勢阱中運動，受到微擾”'=及（a-|2x-a|）的作用。求第"個能級的一級近似，并分析所得結(jié)果的適用條件。五、?個質(zhì)量為m的粒子被限制在r=。和r=》的兩個不可穿透的同心球面之間運動,不存在其它勢。求粒子的基態(tài)能量和歸一化的波函數(shù)。中國科學院研究生院2006年招收攻讀碩士學位研究生入學統(tǒng)一考試試題

試題名稱：量子力學（乙）A卷考生須知：.本試卷滿分為150分，全部考試時間總計180分鐘。.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。一、（共30分）粒子以能量E入射一維方勢壘。= Q~x-ao設(shè)能量0, x<0,x>aE>V0,求透射系數(shù)T。二、（共30分）自旋為工的粒子置于勢場丫（x）中，VU）=］0, o設(shè)粒子所2 1oo,x<0,x>a處狀態(tài)為〃（乂$:）=，^仍（幻|1J+點”5（》）（1）,其中%（X）為系統(tǒng)空間部分的第〃個能量本征函數(shù)（已歸-化）。求能量的可測值及相應(yīng)的取值概率。三、（共30分）用不確定度關(guān)系估算一維諧振子的基態(tài)能量。四、（共30分）各向同性的三維諧振子哈密頓算符為方⑼=一［/+呼力口上微擾方=4（町+yz+zx）后，求第一激發(fā)態(tài)的一級能量修正。五、（共30分）自旋為工，磁矩為〃，電荷為零的粒子置于磁場中。，=0時磁場為2瓦=（0,0,穌），粒子處于。的本征值為-1的本征態(tài)］。設(shè)在r>0時，再加上弱磁場A=（4,0,0）,求r>0時的波函數(shù)，以及測到自旋反轉(zhuǎn)的概率。中國科學院研究生院2006年招收攻讀碩士學位研究生入學統(tǒng)一考試試題

試題名稱：量子力學（乙）B卷考生須知：.本試卷滿分為150分，全部考試時間總計180分鐘。.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。一、（共30分）粒子以能量E入射方勢壘。= 。設(shè)能量E<%,[0, x<0,x>a求透射系數(shù)7。二、（共30分）粒子在一維對稱無限深方勢阱（-@4x4^）中運動。設(shè)f=0時粒子2 2所處狀態(tài)為=0）=J=[p（x）+仍（切，其中%（x）為系統(tǒng)第〃個能量本征態(tài)。求v2f〉0時的以下量：1）概率密度|“（x,r）「；2）能量的可取值及相應(yīng)的概率。TOC\o"1-5"\h\z三、（共30分）設(shè)氫原子所處狀態(tài)為“（r,8,。,*）= 「一胃時（叫0（仇0）12 71）求軌道角動量z分量L和自旋角動量z分量。的平均值；2）求總磁矩向=-汽二-的z分量的平均值。2〃 //四、（共30分）對于一維諧振子的基態(tài)，求坐標和動量的不確定度的乘積心五、（共30分）兩個自旋為L非全同粒子，自旋間相互作用為方=后5,其中生和松分別為粒子1和粒子2的自旋算符。設(shè)r=0時粒子1的自旋沿z軸正方向，粒子2的自旋沿z軸負方向。求/〉0時，測到粒子2的自旋仍處于z軸負方向的概率。中國科學院研究生院2007年招收攻讀碩士學位研究生入學統(tǒng)一考試試題

試題名稱：量子力學A卷考生須知：.本試卷滿分為150分，全部考試時間總計180分鐘。.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。一、（共30分）在一維無限深方勢阱（0<x<a）中運動的粒子受到微擾0,0cxea/3,2a/3<x<aH（x）=《-匕， a/3<x<2a/3作用。試求基態(tài)能量的一級修正。二、（共30分）粒子在勢場叭幻中運動并處于束縛定態(tài)心，（幻中。試證明粒子所受勢場作用力的平均值為零。三、（共30分）a）考慮自旋為g的系統(tǒng)。試在？⑤表象中求算符+ 的本征值及歸一化的本征態(tài)。其中$5是角動量算符，而為實常數(shù)。b）假定此系統(tǒng)處于以上算符的一個本征態(tài)上，求測量。，得到結(jié)果為乙的概率。y2四、（共30分）兩個無相互作用的粒子置于一維無限深方勢阱（0<x<a）中，對下列兩種情況寫出兩粒子體系可具有的兩個最低總能量，相應(yīng)的簡并度以及上述能級對應(yīng)的所有二粒子波函數(shù)。a）兩個自旋為3的可區(qū)分粒子；b）兩個自旋為』的全同粒子。2五、（共30分）-個質(zhì)量為m的粒子被限制在r=a和r=b的兩個不可穿透的同心球面之間運動。不存在其它勢，求粒子的基態(tài)能量和歸一化波函數(shù)。（1996年第四題）

中國科學院研究生院2007年招收攻讀碩士學位研究生入學統(tǒng)一考試試題

試題名稱：量子力學B卷考生須知：.本試卷滿分為150分，全部考試時間總計180分鐘。.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。一、（共30分）考慮一維階梯勢V(x)=<V(x)=<監(jiān)x>0(匕>0)0, x<0設(shè)粒子從右邊向左入射，試求反射系數(shù)和透射系數(shù)。二、（共30分）電子處于沿+z方向、大小為B的均勻磁場中。設(shè)r=0時刻電子自旋沿+y方向。1）試求"0時電子自旋波函數(shù)；2）試分別求，>0時電子自旋沿+x、+y、+z方向的概率。三、（共30分）粒子在勢場V（x）=曰三、（共30分）粒子在勢場V（x）=或能級方程。四、（共30分）設(shè)系統(tǒng)哈密頓算符為方=匹+^（了），粒子處于歸一化的束縛定態(tài)匕

2m中。試證明Virial定理：M圖％〉=g,方?▽”）及“〉。五、（共30分）一維諧振子系統(tǒng)哈密頓量為用=貴+!加02/，設(shè)受到微擾”，=一而:2m2的作用。試求對第〃個諧振子能級的一級微擾修正。（已知矩陣元〈〃［川力=（已知矩陣元〈〃［川力=E（而除用+冊5）中國科學院研究生院2008年招收攻讀碩士學位研究生入學統(tǒng)一考試試題

試題名稱：量子力學A卷考生須知：.本試卷滿分為150分，全部考試時間總計180分鐘。.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。一、（共30分）寫出氫的束縛態(tài)能級，所有的量子數(shù)以及取值范圍，求出其簡并度。二、（共30分）一個粒子質(zhì)量為〃，在一勢能環(huán)中運動，勢能為v=Foootherooother"1A0、三、（共30分）在”=43 0中粒子的本征值，設(shè)4<<1,利用微擾求其本征、00義一2,值（精確到二級近似），并與精確求解相比較。四、（共30分）兩個自旋為妙的粒子，兩個粒子分別為XL。，？= .，求系統(tǒng)處于單態(tài)和三態(tài)的概率。五、（共30分）處在一維諧振子勢基態(tài)的粒子受到微擾”，=九婚&）作用，求躍遷到其它各激發(fā)態(tài)的總概率和仍處在基態(tài)的概率。（已知用“=［他％+、匹J/）中國科學院研究生院2009年招收攻讀碩士學位研究生入學統(tǒng)一考試試題

試題名稱：量子力學（811）考生須知：.本試卷滿分為150分，全部考試時間總計180分鐘。.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。010一、（共30分）已知在乙2,上的表象中，Lk=-101求:2

0101）求L的本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；2）求4的矩陣表示。二、（共30分）已知一粒子處于在一維諧振子勢場中運動，勢能為義幻=!"2伙>0）,求：1）粒子的基態(tài)本征函數(shù)％（x）；2）若勢場突然變?yōu)檠荆ɑ?依2,則粒子仍然處于基態(tài)的概率。（提示：用湮滅算符4陣72=1.414,痣=1.189）V2力Ircd）三、（共30分）若已知［即％］=同，勾］=0,由昨％,其中I,>1,2.設(shè)1）44A的關(guān)系式；2）產(chǎn)=/：+”+/\試用彳，只，尺，金表示尸.四、（共30分）已知兩種中微子的本征態(tài)為和W），能量本征值為E=pc+"幺（其中i=l,2）,電子中微子的本征態(tài)為|匕〉=cose|q〉+sine|n2），〃子pc中微子的本征態(tài)為以）=-sin8|G+cose|v2），其中。是混合角。某體系中在時，電子中微子處于態(tài)I〉，求：1），時刻中微子所處的狀態(tài)；2），時刻電子中微子處于基態(tài)的概率。五、（共30分）設(shè)在笊核中，質(zhì)子和中子的作用表示成V（r）=-匕"小，試用〃= （幾為變數(shù)）為試探波，以變分法求：1）基態(tài)能量的近似值；2）若匕=32.7MeV,a=2.16fm,試確定義的值。中國科學院研究生院2010年招收攻讀碩士學位研究生入學統(tǒng)一考試試題

試題名稱：量子力學（811）考生須知：.本試卷滿分為150分，全部考試時間總計180分鐘。.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。1）設(shè)屋月與Pauli算符對易，證明：（人\/ 人、 人4 1人 人\n-A）（d-B）=A-B+/a（AxB）2）試將Q,九，治表示成i,瓦，&y,2的線性疊加，i為單位算符。A A二、設(shè)一維諧振子的初態(tài)為〃（x,0）=cos—^0（x）+sin—（x）,即基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)的疊加，其中。為實參數(shù)；1）求f時刻的波函數(shù)“（X,r）;2）求f時刻粒子處于基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的概率。3）求，時刻粒子的勢能算符V=噂產(chǎn)的平均值。4）求演化成-什（X,。所需要的最短時間心"三、設(shè)基態(tài)氫原子處于弱電場中，微擾哈密頓量為：方=[°； Z-0；其中ZT為常數(shù)。[Aze~t/T,t>0.1）求很長時間后電子躍遷到激發(fā)態(tài)的概率，已知基態(tài)中。為玻爾半徑；已知，基態(tài)%oo（〃）=耳0（「）％（4”）=土心/；）=&（）幾（。，°）=±后儂?？倗劳a(chǎn)”.2）基態(tài)電子躍遷到下列哪個激發(fā)態(tài)的概率等于零？簡述理由。（a）%oo，（b）匕“，（c）力2i，（d）內(nèi).四、兩種質(zhì)量為加的粒子處于一?個邊長為a>b>c的，不可穿透的長盒子中；求下列條件下，該體系能量最低態(tài)的波函數(shù)（只寫出空間部分）及對應(yīng)能量。1）非全同粒子；2）零自旋全同粒子；3）自旋為1/2的全同粒子。五、粒子在一維無限深勢阱中運動。設(shè)該體系受到方=/L5（x-a）的微擾作用：1）利用微擾理論，求第〃能級精確至二級的近似表達式；2）指出所得結(jié)果的適用條件。中國科學院研究生院2011年招收攻讀碩士學位研究生入學統(tǒng)一考試試題

試題名稱：量子力學(811)考生須知：.本試卷滿分為150分，全部考試時間總計180分鐘。.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。一、(1)氫原子基態(tài)的能量為-13.6V,那么第一激發(fā)態(tài)的氫原子電離能為：()A.13.6eVB.3.9eVC.7.8eVD.2.5eV(2)普朗克常數(shù)力的數(shù)值為：()A.1.05x10-34b.6.63x10-34C.1.05x10-34J-SD.6.63xIO-34/?S(3)A、B為厄米算符，那么下列各選項為厄米算符的是：()A.-(BA-AB)B-A-AB)C-AB+iBADA+AB)(4)對于中心力場，下列各式正確的是：()A?^(r)r2dr=1 B./i(r)47ir2dr=1Jo Jqp00 ,8C-1Rt(r)r2dr=1 D-1/?z(r)4nr2dr=1其中/zr=Ri(r)r(5)經(jīng)典力學中有L=rxp=-pxr,那么在量子力學中L=rxp是否也成立，請說明理由。(6)在(9,Sz)的共同的本征態(tài)中，寫出Sx，Sy的矩陣表示，并說明是否可以找到這樣的一個表象，使得SX,Sy,SZ在該表象中的矩陣表示均為實矩陣，說明理由。(7)寫出氫原子、一維簡諧振子、一維無限深勢陰的能級，并用示意圖表示。(8)兩個非全同粒子處于態(tài)求出一個粒子處于之間，另外兩個粒子處于妁，為'之間的幾率。,, " 1r-?-?r二、已知Pr=5（：?P+P；）（1）pr是否為厄米算符，為什么？（2）寫出pr的算符表示。（3）求出[r,pr]=?三、（30分）有一質(zhì)量為加的粒子在半徑為兄的圓周上運動，現(xiàn)加一微擾：｛匕，—a<（p<0%, 0<（p<a0,其他其中a<n,求對最低兩能級的一級修正。四、（30'）一粒子在一維無限深方勢伴（0<%<a）中運動，時間t=0時處在基態(tài)。此時加入一個高為％,寬為b（b?a）,中心在稅的方勢壘微擾。求>0）時撤去微擾，體系處于前三個激發(fā)態(tài)的概率。五、在（a%）的共同表象中，粒子處于修。態(tài)，求Lx的可能值及相應(yīng)的幾率。中國科學院研究生院2012年招收攻讀碩士學位研究生入學統(tǒng)一考試試題

科目名稱：量子力學考生須知：.本試卷滿分為150分，全部考試時間總計180分鐘。.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。一、(共30分)質(zhì)量為〃的粒子在一維無限深勢阱中運動，勢能0,0<X<<2V=\oo,x<0或x>a(1)求粒子的能級和歸一化波函數(shù)。(2)畫出處于第二、第三激發(fā)態(tài)的粒子的概率密度的示意圖。(3)求坐標算符在能量表象下的矩陣元。二、(共30分)質(zhì)量為〃的一維諧振子，帶電夕，初始f=-oo時處于基態(tài)|0〉.設(shè)(t2}力口上微擾—gExexp[-涓J,其中E為外電場強度，7為參數(shù)。求f=+8時諧振子仍停留在基態(tài)的概率。三、(共30分)設(shè)一轉(zhuǎn)動慣量為/、電偶極矩為。的轉(zhuǎn)子自由地在XY平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)角為W。(1)試求其能量本征值和本征態(tài)。(2)設(shè)沿X方向加上電場E,即微擾哈密頓量為〃'=-OEcos3,試用微擾論求其基態(tài)能量的一級和二級微擾修正。四、(共30分)(1)寫出角動量算符的三個分量乙、4、人相互間滿足的所有對易關(guān)系。(2)試利用這些對易關(guān)系，證明矩陣元(同心|力僅當加="±1時不為零。其中|昉、17)分別為/一的本征值為加力、〃力的本征態(tài)。(3)設(shè)角動量量子數(shù)/=1。已知在J二的某一個本征態(tài)|昉中，人取值為。的概率為1/2。求人取值為-方的概率。五、(共30分)氫原子的哈密頓量為Ho=^--,基態(tài)波函數(shù)及基態(tài)能量為2〃r2 4 ,2V,o(r)=ao3)"'/2e~r/a°?^0= =~^~T2,其中。0=—7為第一Bohr軌道半徑。2ao2力 p.e設(shè)體系受到微擾"'=eez的作用(沿z方向加上均勻電場￡),哈密頓量變成H=H0+H'o(1)計算對易關(guān)系：［%,4］及。⑵計算％下的平均值：伊'及(h,2)qO(3)取基態(tài)試探波函數(shù)為以％)=N(l+%〃')%,其中N為歸一化常數(shù)。試以；I為變分參數(shù)，用變分法求4的基態(tài)能量上限(準確到￡2量級)。中國科學院大學2013年招收攻讀碩士學位研究生入學統(tǒng)一考試試題

科目名稱：量子力學考生須知：.本試卷滿分為150分，全部考試時間總計180分鐘。.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。、(共30分)質(zhì)量為〃的粒子在一個無限深球方勢阱0,r<aV(r)=\oo,r>a中運動。ia2/2(1)寫出徑向波函數(shù)R/(r)滿足的方程(已知：V2=A|-?r__￡_)o(2)求其中/=0的歸一化能量本征函數(shù)和能量本征值。二、(共30分)考慮一質(zhì)量為，"的自由粒子的一維運動。設(shè)初始。=。)時刻波函00 .―數(shù)為= (3°為實常數(shù)；卜”>0)?！?0(1)求r>0時刻動量表象波函數(shù)千(0)及粒子動量幾率分布n(*j)。(2)求f>0時刻波函數(shù)+*/)及粒子位置幾率分布P(x,t)。⑶簡述粒子動量幾率分布n伏/)及位置幾率分布P(x,r)隨時間演化的特性。三、(共30分)一自旋為1/2的粒子的歸一化自旋態(tài)為|?。設(shè)自旋態(tài)區(qū)〉下測量方 方自旋角動量且得到5的