工程力學(xué)（EngineeringMechanics）華中科技大學(xué)力學(xué)系梁的變形梁的撓度和轉(zhuǎn)角撓曲線：梁彎曲變形后的軸線，稱為撓曲線?；靖拍顡锨€位移變形后的橫截面位置相對(duì)于變形前的位置的改變。撓度：梁變形后任一截面的形心C沿原軸線鉛垂方向的線位移，稱為該截面的撓度；即撓曲線上相應(yīng)點(diǎn)的y坐標(biāo)，記為w。轉(zhuǎn)角：橫截面在彎曲變形過程中對(duì)其原來位置所轉(zhuǎn)過的角度，稱為該截面的轉(zhuǎn)角；即撓曲線上點(diǎn)切線與x軸的夾角。水平位移:c點(diǎn)沿梁變形前軸線方向的位移，為高階小量。ypxcw撓曲線撓曲線符號(hào)：撓度：形心移動(dòng)方向與坐標(biāo)方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)。轉(zhuǎn)角：以選擇的一對(duì)x、y坐標(biāo)軸的方位而定，即橫截面的轉(zhuǎn)向與x軸到y(tǒng)軸的轉(zhuǎn)向一致時(shí)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。撓度、轉(zhuǎn)角關(guān)系所以撓曲線為一連續(xù)光滑的小撓度曲線，故即撓曲線任一點(diǎn)處切線的斜率等于該處截面的轉(zhuǎn)角。ypxcwW（-）θ（-）彈性曲線的小撓度微分方程力學(xué)公式數(shù)學(xué)公式曲率彎矩關(guān)系1＝MEI純彎曲橫力彎曲（l／h＞5）1（x）M（x）EI＝＝1（x）d2wdx2[1+(dwdx)2]3/2＋－小撓度情形下此即彈性曲線的小撓度微分方程(dwdx)2<<1wmax＝（0.01－0.001）l；＝1（x）d2wdx2[1+(dwdx)2]3/2＋－MEI＝d2wdx2＋－（x）橫力彎曲1（x）M（x）EI＝選取如圖坐標(biāo)系，則彎矩M與恒為同號(hào)MEI＝d2wdx2（x）xM>0w0xM<0w0梁的邊界條件與連續(xù)條件梁的邊界條件（包括幾何邊界條件和靜力邊界條件兩種）簡支梁懸臂梁1.固定鉸鏈支座、可動(dòng)鉸鏈支座ABABwA=wB=02.懸臂梁幾何邊界條件梁的連續(xù)條件相鄰梁段的交接處，相鄰兩截面應(yīng)具有相同的撓度與轉(zhuǎn)角，即滿足連續(xù)、光滑條件.位移的連續(xù)條件例1求圖所示懸臂梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程，并求自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。彎矩方程:連續(xù)積分兩次得:解：1.支座反力ABqxyRAMAxl撓曲線微分方程：ABqxylRAMA解法二：選如圖坐標(biāo)系，顯然并不影響符號(hào)規(guī)則。彎矩方程:連續(xù)積分兩次得:撓曲線微分方程：利用兩個(gè)邊界條件:由此：xPABCxlxabNANB例2：簡支梁，受集中載荷作用，已知EI＝const，設(shè)a＞b。試求此梁的最大轉(zhuǎn)角和撓度。解：1.支座反力2.彎矩方程AC段CB段CB段AC段幾何邊界條件:光滑連續(xù)條件:幾何邊界條件:3.梁的撓曲線微分方程PABCab4.轉(zhuǎn)角方程、撓度方程AC段CB段5.最大轉(zhuǎn)角討論由BAPCa例1：BAPC例2：BACabBAC?直線圓弧梁的連續(xù)光滑撓曲線3.

由M的方向確定軸線的凹凸性;由約束性質(zhì)及連續(xù)光滑性確定撓曲線的大致形狀及位置。撓曲線大致形狀討論：p246

第一類疊加法應(yīng)用于多個(gè)載荷作用的情形疊加=+例1qABCaaPBACaaPqABCaaP385求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度ABCalqlABCqa2cw2cB圖(2)CB段M=0，所以CB為直線圖(1)wx解法2距離A端為x的dx梁段上的荷載可視為集中力P=qdxABCalqdxxqqdx對(duì)于懸臂梁和簡支梁任何荷載都可用此法處理。其引起的撓度查附錄為：注意：梁上同一點(diǎn)，同種變形，才能加。wx例3.試用疊加法求圖示階梯形變截面懸臂梁自由端C的撓度由于梁的抗彎剛度EI在B處不連續(xù)，若由撓曲線微分方程積分求解，須分段進(jìn)行，工作量較大?？捎茂B加法求解。假定AB段剛化，研究自由端C對(duì)截面B的相對(duì)撓度;2.解除AB段的剛化，并令BC段剛化。pcBwc1)(243)2(331-=-=EIPlEIlPwcwBPMB=Pl/2ABCwc2wB懸臂梁BCABC2EIEIl/2l/2p梁的剛度條件在工程設(shè)計(jì)中，除了要保證梁的強(qiáng)度條件外，還要保證其剛度條件，即梁的變形不能超過允許的限度。即此兩式稱為梁的剛度條件。吊車梁:[w]=(1/400~1/750)l，（l為跨長）；機(jī)械中的一般軸：[w]=（0.0003～0.0005）l；機(jī)械中的精密軸：[w]=（0.0001～0.0002）l；軸上齒輪：[θ]=（0.001～0.002）rad（弧度）。式中[w]、[]分別為構(gòu)件的許可撓度和許可轉(zhuǎn)角，對(duì)不同構(gòu)件有不同的要求，如：例：下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的[w/L]=0.00001，B點(diǎn)的[]=0.001弧度，試核此桿的剛度。+=P2BCaL=400P2=2kNACa=0.1m200DP1=1kNBCP2BDA=ACDP1=1kNBCP2BDA+CP2BDAML=400P2=2kNACa=0.1m200DP1=1kNB解（1）結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單載荷變形。xw+圖3CP2BDAM（2）疊加求復(fù)雜載荷下的變形圖1=ACDP1=1kNB圖2+P2BCa（3）校核剛度習(xí)題：6－2d，6－6，6－96－11d（選作）作業(yè)超靜定梁3-3=04-3=1ABqlYAXAMAABqlYAXAMAYB簡單的超靜定梁

簡單的超靜定梁BXBAqlYAMAYBXAMAXAMBXBYBqlABYA5－3＝26－3＝3靜定與超靜定的辯證關(guān)系——多余約束的兩種作用：增加了未知力個(gè)數(shù)，同時(shí)增加對(duì)變形的限制與約束，前者使問題變?yōu)椴豢山?，后者使問題變?yōu)榭山狻?/p>

求解超靜定問題的基本方法求解超靜定問題的基本方法——平衡、變形協(xié)調(diào)、物性關(guān)系。物性關(guān)系體現(xiàn)為力與變形關(guān)系。ABqlYAXAMAYB靜定基多余約束超過維持梁平衡所必須的約束去掉原靜不定系統(tǒng)的多余約束，而得出的靜定系統(tǒng)。相當(dāng)系統(tǒng)在靜定基上加上原載荷及多余約束反力所得到的系統(tǒng)，稱為原靜不定系統(tǒng)的相當(dāng)系統(tǒng)。ABlXAMAYAYBq變形比較法將基本靜定梁多余約束處的變形與原靜不梁的變形進(jìn)行比較來建立補(bǔ)充方程的方法。變形協(xié)調(diào)條件

求解超靜定問題的基本方法鉸支-Bq多余約束靜定基變形協(xié)調(diào)條件轉(zhuǎn)動(dòng)－MAYBABlXAYAMAABqlYAXAMAYB相當(dāng)系統(tǒng)簡支梁解法二：(2)基本靜定基要便于計(jì)算，即要有利于建立變形協(xié)調(diào)條件?；眷o定基選取可遵循的原則：⑴基本靜定基必須能維持靜力平衡，且為幾何不變系統(tǒng)；一般來說，求解變形時(shí)，懸臂梁最為簡單，其次是簡支梁，最后為外伸梁。物理關(guān)系：平衡方程:變形協(xié)調(diào)方程：

YA+YB-ql=0MA+YBl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(YB)=0wB(q)=ql4/8EIwB(YB)=-YBl3/3EI例1將支坐B視作多余約束，對(duì)應(yīng)的相當(dāng)系統(tǒng)如下圖：qlYAMAYBXAABwB=0聯(lián)立解出：YB=3ql/8,MA=ql2/8YA=5ql/8,qlYAMAYBXAAB例2結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。解：（1）建立靜定基=RBLABxLBCwqLABC=RBxwqLAB+xwqLAB變形協(xié)調(diào)條件多余約束桿BC（4）補(bǔ)充方程（3）物理方程——變形與力的關(guān)系xLBCwqLABC=RBLAB+xwqLABqlABqlABMAXAMBXBYBYA靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立MAMBqlqlAB靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立qlYBABCD二次靜不定YBqlYAMAXAAB一次靜不定WB=Wq+WYB=YB/k靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立應(yīng)用小變形概念可以推知某些未知量：qlYAXBMAYBXAXA＝XB=0應(yīng)用對(duì)稱性分析可以推知某些未知量：qlABMAXAMBXBYBYAXA=XB=0,YA=YB=q