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高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程——一元微積分學大學數(shù)學（一）第三十二講一階微分方程第二節(jié)一階微分方程二、齊次方程齊次方程變量分離方程變量代換代入原方程，得

例解于是，原方程化為兩邊積分，得即三、可化為齊次方程的方程齊次方程可化為齊次方程的方程變量代換變量分離方程變量代換三、可化為齊次方程的方程齊次方程可化為齊次方程的方程變量代換變量分離方程變量代換

例解于是，原方程變?yōu)槁?lián)立方程組解之，得可化為齊次方程的可化為齊次方程的兩邊積分，得即你由這個例題的解題過程想到什么了？可化為齊次方程的方程變量可分離方程齊次方程可化為齊次方程的方程一階齊線性方程一階非齊線性方程伯努利方程變量代換變量代換變量分離常數(shù)變易變量代換四、一階線性微分方程形如的方程稱為一階線性微分方程。方程稱為一階齊線性方程。方程稱為一階非齊線性方程。習慣上，稱為方程所對應的齊方程。一階齊線性方程的解運用分離變量法，得兩邊積分，得故表示一個原函數(shù)的解存在，且唯一，其通解為

例解故該一階齊線性方程的通解為

套公式！

例解先求此一階齊線性方程的通解：故該初值問題的解為變量可分離方程齊次方程可化為齊次方程的方程一階齊線性方程一階非齊線性方程伯努利方程變量代換變量代換變量分離常數(shù)變易變量代換一階非齊線性方程的解比較兩個方程：請問，你有什么想法？請問，你有什么想法？我想：它們的解的形式應該差不多。但差了一點什么東西呢？行嗎?!怎么辦？故即上式兩邊積分，求出待定函數(shù)

以上的推導過程稱為“常數(shù)變易法”。這種方法經(jīng)常用來由齊次問題推出相應的非齊次問題、由線性問題推出相應的非線性問題。

例解所以，方程的通解為

例解不是線性方程原方程可以改寫為這是一個以y

為自變量的一階非齊線性方程，其中故原方程的通解為變量可分離方程齊次方程可化為齊次方程的方程一階齊線性方程一階非齊線性方程伯努利方程變量代換變量代換變量分離常數(shù)變易變量代換五、伯努利方程形如的方程稱為伯努利方程。代入伯努利方程后，可將其化為一階線性微分方程于是，原方程的通解為

例解故從而，原方程的通解為變量可分離方程齊次方程可化為齊次方程的方程一階齊線性方程一階非齊線性方程伯努利方程變量代換變量代換變量分離常數(shù)變易變量代換變量可分離方程齊次方程可化為齊次方程的方程一階齊線性方程一階非齊線性方程伯努利方程變量代換變量代換變量分離常數(shù)變易變量代換

例解變量代換原方程即

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