第四章三角函數(shù)與三角恒等變換學(xué)案17任意角的三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．自主梳理1．任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線OA繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置OB所成的圖形．旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線OA叫做角的________，射線的端點(diǎn)O叫做角的________，旋轉(zhuǎn)終止位置的射線OB叫做角的________，按______時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按______時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角．若一條射線沒(méi)作任何旋轉(zhuǎn)，稱(chēng)它形成了一個(gè)________角．(1)象限角使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是__________角．(2)象限界角(即終邊在坐標(biāo)軸上的角)終邊在x軸上的角表示為_(kāi)___________________；終邊在y軸上的角表示為_(kāi)_________________________________________；終邊落在坐標(biāo)軸上的角可表示為_(kāi)___________________________．(3)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合______________________或__________________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．(4)弧度制把長(zhǎng)度等于________長(zhǎng)的弧所對(duì)的__________叫1弧度的角．以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做________，它的單位符號(hào)是________，讀作________，通常略去不寫(xiě)．(5)度與弧度的換算關(guān)系360°＝______rad；180°＝____rad；1°＝________rad；1rad＝_______________≈57.30°.(6)弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式l＝________，即弧長(zhǎng)等于_________________________________________________．S扇＝________＝____________.2．三角函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么①____叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；②____叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x；③________叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(1)三角函數(shù)值的符號(hào)各象限的三角函數(shù)值的符號(hào)如下圖所示，三角函數(shù)正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)三角函數(shù)線下圖中有向線段MP，OM，AT分別表示__________，__________________和____________．自我檢測(cè)1．“α＝eq\f(π,6)”是“cos2α＝eq\f(1,2)”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2.(2011·濟(jì)寧模擬)點(diǎn)P(tan2009°，cos2009°)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．(2010·山東青島高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知sinα<0且tanα>0，則角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)，cos\f(2π,3)))，則角α的最小正值為()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(5π,3)D.eq\f(11π,6)探究點(diǎn)一角的概念例1(1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的終邊落在第幾象限；(2)寫(xiě)出終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合；(3)若θ＝168°＋k·360°(k∈Z)，求在[0°，360°)內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角．變式遷移1若α是第二象限的角，試分別確定2α，eq\f(α,2)的終邊所在位置．探究點(diǎn)二弧長(zhǎng)與扇形面積例2(2011·金華模擬)已知一個(gè)扇形的圓心角是α，0<α<2π，其所在圓的半徑是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C>0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？變式遷移2(1)已知扇形的周長(zhǎng)為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和中心角取何值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？探究點(diǎn)三三角函數(shù)的定義例3已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．變式遷移3已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα1．角的度量由原來(lái)的角度制改換為弧度制，要養(yǎng)成用弧度表示角的習(xí)慣．象限角的判斷，終邊相同的角的表示，弧度、弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式的運(yùn)用是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)．2．三角函數(shù)都是以角為自變量(用弧度表示)，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，注意兩種定義法，即坐標(biāo)法和單位圓法．(滿(mǎn)分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．(2011·宣城模擬)點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)eq\f(2π,3)弧長(zhǎng)到達(dá)Q，則Q的坐標(biāo)為（）A．(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))B．(－eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))C．(－eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))D．(－eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))2．若0<x<π，則使sinx>eq\f(1,2)和cosx<eq\f(1,2)同時(shí)成立的x的取值范圍是()A.eq\f(π,3)<x<eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)<x<eq\f(5,6)πC.eq\f(π,6)<x<eq\f(5,6)πD.eq\f(π,3)<x<eq\f(2,3)π3．已知α為第三象限的角，則eq\f(α,2)所在的象限是()A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D(zhuǎn)．第二或第四象限4．若1弧度的圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)等于2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于()A．sineq\f(1,2)B.eq\f(π,6)C.eq\f(1,sin\f(1,2))D．2sineq\f(1,2)5．已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0,1)，則關(guān)于tanθ的值，以下四個(gè)答案中，可能正確的是()A．－3B．3或eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－3或－eq\f(1,3)題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6．已知點(diǎn)P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0,2π]，則α的取值范圍是________________．7．(2011·龍巖模擬)已知點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為_(kāi)_______．8．閱讀下列命題：①若點(diǎn)P(a,2a)(a≠0)為角α終邊上一點(diǎn)，則sinα＝eq\f(2\r(5),5)；②同時(shí)滿(mǎn)足sinα＝eq\f(1,2)，cosα＝eq\f(\r(3),2)的角有且只有一個(gè)；③設(shè)tanα＝eq\f(1,2)且π<α<eq\f(3π,2)，則sinα＝－eq\f(\r(5),5)；④設(shè)cos(sinθ)·tan(cosθ)>0(θ為象限角)，則θ在第一象限．其中正確命題為_(kāi)_______．(將正確命題的序號(hào)填在橫線上)三、解答題(共38分)9．(12分)已知扇形OAB的圓心角α為120°，半徑長(zhǎng)為6，(1)求eq\x\to(AB)的弧長(zhǎng)；(2)求弓形OAB的面積．10．(12分)在單位圓中畫(huà)出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫(xiě)出角α的集合：(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).11．(14分)(2011·舟山月考)已知角α終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x，－eq\r(2))(x≠0)，且cosα＝eq\f(\r(3),6)x.求sinα＋eq\f(1,tanα)的值．答案自主梳理1．始邊頂點(diǎn)終邊逆順零(1)第幾象限(2){α|α＝kπ，k∈Z}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(kπ,2)，k∈Z))(3){β|β＝α＋k·360°，k∈Z}{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}(4)半徑圓心角弧度制rad弧度(5)2ππeq\f(π,180)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°(6)|α|·r弧所對(duì)的圓心角(弧度數(shù))的絕對(duì)值與半徑的積eq\f(1,2)lreq\f(1,2)|α|r22.①y②x③eq\f(y,x)(2)α的正弦線α的余弦線α的正切線自我檢測(cè)1．A2.D3.C4.D課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)一般地，角α與－α終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；角α與π－α終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；角α與π＋α終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．(2)利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判斷一個(gè)角β所在的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫(xiě)成[0,2π)范圍內(nèi)的一角α與2π的整數(shù)倍，然后判斷角α的象限．(3)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法為先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合參數(shù)k賦值來(lái)求得所需角．解(1)π＋2kπ<α<eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴－eq\f(3π,2)－2kπ<－α<－π－2kπ(k∈Z)，即eq\f(π,2)＋2kπ<－α<π＋2kπ(k∈Z)．①∴－α角終邊在第二象限．又由①各邊都加上π，得eq\f(3π,2)＋2kπ<π－α<2π＋2kπ(k∈Z)．∴π－α是第四象限角．同理可知，π＋α是第一象限角．(2)在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角是eq\f(π,3)，∴終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z)).(3)∵θ＝168°＋k·360°(k∈Z)，∴eq\f(θ,3)＝56°＋k·120°(k∈Z)．∵0°≤56°＋k·120°<360°，∴k＝0,1,2時(shí)，eq\f(θ,3)∈[0°，360°)．故在[0°，360°)內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角是56°，176°，296°.變式遷移1解∵α是第二象限的角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．(1)∵2k·360°＋180°<2α<2k·360°＋360°(k∈Z)，∴2α的終邊在第三或第四象限，或角的終邊在y軸的非正半軸上．(2)∵k·180°＋45°<eq\f(α,2)<k·180°＋90°(k∈Z)，當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，n·360°＋45°<eq\f(α,2)<n·360°＋90°；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，n·360°＋225°<eq\f(α,2)<n·360°＋270°.∴eq\f(α,2)是第一或第三象限的角．∴eq\f(α,2)的終邊在第一或第三象限．例2解題導(dǎo)引本題主要考查弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式，并與最值問(wèn)題聯(lián)系在一起．確定一個(gè)扇形需要兩個(gè)基本條件，因此在解題中應(yīng)依據(jù)題目條件確定出圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)基本量中的兩個(gè)，然后再進(jìn)行求解．解(1)設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，該弧所在弓形的面積為S，如圖所示，當(dāng)α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10可知l＝αR＝eq\f(10π,3)cm.而S＝S扇－S△OAB＝eq\f(1,2)lR－eq\f(1,2)R2sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10－eq\f(1,2)×100×eq\f(\r(3),2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(50π,3)－25\r(3)))cm2.(2)已知2R＋l＝C，即2R＋αR＝C，S扇＝eq\f(1,2)αR2＝eq\f(1,2)·αR·R＝eq\f(1,4)·αR·2R≤eq\f(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(αR＋2R,2)))2＝eq\f(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2)))2＝eq\f(C2,16).當(dāng)且僅當(dāng)αR＝2R，即α＝2時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)α為2弧度時(shí)，該扇形有最大面積eq\f(1,16)C2.變式遷移2解設(shè)扇形半徑為R，圓心角為θ，所對(duì)的弧長(zhǎng)為l.(1)依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)θR2＝4，,θR＋2R＝10，))∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或eq\f(1,2).∵8>2π，舍去，∴θ＝eq\f(1,2).(2)扇形的周長(zhǎng)為40，即θR＋2R＝40，S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)θR2＝eq\f(1,4)θR·2R≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θR＋2R,2)))2＝100.當(dāng)且僅當(dāng)θR＝2R，即R＝10，θ＝2時(shí)扇形面積取得最大值，最大值為100.例3解題導(dǎo)引某角的三角函數(shù)值只與該角終邊所在位置有關(guān)，當(dāng)終邊確定時(shí)三角函數(shù)值就相應(yīng)確定了．但若終邊落在某條直線上時(shí)，這時(shí)終邊實(shí)際上有兩個(gè)，因此對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有兩組，要分別求解．解∵角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，∴在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(4t，－3t)(t≠0)，則x＝4t，y＝－3t，r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|，當(dāng)t>0時(shí)，r＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；當(dāng)t<0時(shí)，r＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).綜上可知，t>0時(shí)，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)；t<0時(shí)，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).變式遷移3解r＝eq\r(－4a2＋3a2)＝5|a|.若a>0，則r＝5a，αsinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(3a,5a)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－4a,5a)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(3a,－4a)＝－eq\f(3,4).若a<0，則r＝－5a，αsinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(3a,－5a)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－4a,－5a)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(3a,－4a)＝－eq\f(3,4).課后練習(xí)區(qū)1．A2.B3.D4.C5.C6.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4)))解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα>cosα，,tanα>0，))∴eq\f(π,4)＋2kπ<α<eq\f(π,2)＋2kπ或π＋2kπ<α<eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z.∵0≤α≤2π，∴當(dāng)k＝0時(shí)，eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)或π<α<eq\f(5π,4).7.eq\f(7,4)π解析由三角函數(shù)的定義，tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(cos\f(3π,4),sin\f(3π,4))＝－1.又∵sineq\f(3π,4)>0，coseq\f(3π,4)<0，∴P在第四象限，∴θ＝eq\f(7π,4).8．③解析①中，當(dāng)α在第三象限時(shí)，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，故①錯(cuò)．②中，同時(shí)滿(mǎn)足sinα＝eq\f(1,2)，cosα＝eq\f(\r(3),2)的角為α＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，不只有一個(gè)，故②錯(cuò)．③正確．④θ可能在第一象限或第四象限，故④錯(cuò)．綜上選③.9．解(1)∵α＝120°＝eq\f(2π,3)，r＝6，∴eq\x\to(AB)的弧長(zhǎng)為l＝αr＝eq\f(2π,3)×6＝4π.……………………(4分)(2)∵S扇形OAB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π，……………………(7分)S△ABO＝eq\f(1,2)r2·sineq\f(2π,3)＝eq\f(1,2)×62×eq\f(\r(3),2)＝9eq