南京信息工程大學(xué)試卷學(xué)年第1高等數(shù)學(xué)課程試卷（B卷）本試卷共頁(yè);考試時(shí)間１20;一、單項(xiàng)選擇題本大題有４小題,4分,共１６分)1. 設(shè)f(x)cosx(xsinx),則在x0處有( )．（A)f(0)2(Ｂ)f(0)1(C）f(0)0(Ｄ)f(x)不可導(dǎo)。設(shè)(x)1x，(x)333則當(dāng)x時(shí)（ ）2. 1x ．(A)(x)與(x)是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮小；(Ｂ）(x)與(x)是等價(jià)無(wú)窮小;(C)xx高階的無(wú)窮小；(D）x是比x高階的無(wú)窮小.

F(x)

x(2tx)f(t)dt0

f(x)

在區(qū)間上

(1,1)

二階可導(dǎo)且f(x)0，則（)。（A）函數(shù)F(x)必在x0處取得極大值；(B）函數(shù)F(x)必在x0處取得極小值;(C)Fxx0處沒(méi)有極值但點(diǎn)(0,F(0))yFx的拐點(diǎn);(Ｄ)Fxx0處沒(méi)有極值點(diǎn)(0,F(0))yFx的拐點(diǎn)。0設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且 f(x)x20

f(t)dt ,則f(x)( )x2 x2(A）2（B)2

（Ｃ)x1（D）x2.二、填空題(本大題有4小題，每小題4分,共１6分）5.lim(15.x0

2x)sinx 。已知cosx是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則 f(x)cosxdx6.lim

x(cos

cos2

x ．cos2ncos2n1n7. nn n n 。1228. －2

x2arcsinx11x2

dx.三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共４０分)9. yy(x)由方程exysin(xy1yx)y(0)。10.

求 1x7x(1x7

dx.f

x)

xex， x0

求

f(x)dx．11. 2xx2，0x1 3g(x)

1 f(xt

lim

f(x)A12.

設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，

0 ,且x0 x

,為常數(shù)。求g(x)并討論g(x)在x0處的連續(xù)性。113.1

xy2yxlnx y(1)

的解．四、解答題(本大題10分）已知上半平面內(nèi)一曲線yyx)(x0(0,1且曲線上任一點(diǎn)Mx0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與軸、軸、直線xx0所圍成面積2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和,求此曲線方程。五、解答題(本大題1０分）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線ylnx的切線,該切線與曲線ylnx及ｘ軸圍成平面圖形Ｄ。求D的面積（２）求D繞直線x＝e體積六、證明題（本大題有2小題,每小題4分，共8分）

fx) 在上連續(xù)且單調(diào)遞減,qf(x)dx

q

f(x)dxq[0,1,0 0 。 0,

f(x)dx

f(x)cosxdx0fx在

上連續(xù),且0 ,0 。證明: ,證明: ,12內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)1

,f

)f(2

) （提示：F(x)設(shè)

x f(x)dx0 ）解答一、單項(xiàng)選擇題本大題有4小題, 每小題4分,共16分)1、D 2、Ａ3、C ４、C二、填空題(本大題有4小題,每小題４分,共１6分)1(cosx)2c 5. e6

. 6。2 x .７. 2. 8. 3 。三、解答題(本大題有5小題,每小題8分，共40分)解:方程兩邊求導(dǎo)exy(1y)cos(xy)(xyy)0y(x)exyycos(xy)exy

xcos(xy)x0,y0,y(0)1解：ux7 7x6dxdu原式1

(1u)

du

1(1

2 )du7 u(1u) 7 u u11(ln|u|2ln|u1|)71 2 ln|x7| ln|1x7|C7 7111.

f(x)dx03

xexdx0

2xx2dx03

xd(ex)0

1(x1)2dxxe

ex03

02

cos2d(令x1sin)2e31412.f(0)0,g(0)0.g(x)

x01f(xt)dtxu0

f(u)dux (x0)0xg(x)

xf(x) f(u)du0x2

(x0)g(0)x0

x f(u)du0x2

xx

f(x)2x 2limg(x)x0 x

xf(x) f(u)du0x2

AAA2 2gxx0處連續(xù).dy2

ylnx解:dx xx ye2dx(e2dxlnxdxC)x 1 1 xlnx xCx23 91 1 1y(1) ,C0 y xlnx x9 ， 3 9四、解答題（本大題10分)

y2x0

ydxy,將此方程關(guān)于求導(dǎo)得y2yy1r2r20解出特征根1

r2

2.1yCe1

Ce2x22 1y(0)y(0)1，得C1

, C 3 2 32y e

1e2x故所求曲線方程為: 3 3五、解答題（本大題1０分)（１根據(jù)題意,先設(shè)切點(diǎn)為(x

,lnx0

,切線方程1

yln

1(xx)0 x 00由于切線過(guò)原點(diǎn)x01

e,從而切線方程為:yex1

A(eyey)dy0

e12

V 1e2（2)三角形繞直線ｘ=e一周所得圓錐體體積記為則1 3ylnx與x軸及直線ｘexe1V (eey)220

VV V (5e212e3)Dx＝e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

1 2 6六、證明題(本大題有2小題,每小題4分，共12分)qf(x)dxq

f(x)dx

f(x)dxq(

f(x)dx

f(x)dx)證明0

0 0 0 q(1q)0

f(x)dxqq

f(x)dx1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1故有:

)q(1q)f()2

f(1f(2)0qf(x)dxq

f(x)dx0 0 證畢．F(x)證:構(gòu)造輔助函數(shù)：

x f(t)dt0

,0x

。其滿足在[0,]上連續(xù),在(0,)上可導(dǎo)Fx)fx,且F(0)F()00

f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosxsinxF(xdx由題設(shè),有 0 0

0 0 ，F(xiàn)(x)s