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第六章方差分析

第五節(jié)-方差分析的數(shù)學(xué)模型

與期望均方

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第1一、方差分析的數(shù)學(xué)模型【方差分析示例】

為研究雌激素對(duì)子宮發(fā)育的影響，現(xiàn)有4窩不同品系未成年的大白鼠，每窩3只，隨機(jī)分別注射不同劑量的雌激素，然后在相同條件下試驗(yàn)，并稱得它們的子宮重量，見(jiàn)下表，試作方差分析。下一張

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一、方差分析的數(shù)學(xué)模型下一張主頁(yè)退出上一張2各品系大白鼠注射不同劑量雌激素的子宮重量(g)各品系大白鼠注射不同劑量雌激素31、數(shù)學(xué)模型兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)：

式中，μ為總平均數(shù)；下一張

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下一張主頁(yè)退出上一張42、處理效應(yīng)αi，βj分別為Ai、Bj的效應(yīng):

αi=μi-μ,βj=μj-μ,μi、μj分別為Ai、Bj觀測(cè)值總體平均數(shù)，且Σαi=0,Σβj=0;εijl為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且服從N(0，σ2)。2、處理效應(yīng)5數(shù)學(xué)模型中的處理效應(yīng)αi(或βj、βij)由于處理性質(zhì)的不同，有固定效應(yīng)(fixedeffect)和隨機(jī)效應(yīng)(randomeffect)之分。就試驗(yàn)資料的具體統(tǒng)計(jì)分析過(guò)程而言，這三種模型的差別并不太大，但從解釋和理論基礎(chǔ)而言，它們之間是有很重要的區(qū)別的。不論設(shè)計(jì)試驗(yàn)、解釋試驗(yàn)結(jié)果，還是最后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，都必須了解這三種模型的意義和區(qū)別。下一張

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數(shù)學(xué)模型中的處理效應(yīng)αi(或βj、βij)下一張主頁(yè)6處理效應(yīng)αi(或βj、βij)固定效應(yīng)(fixedeffect):k個(gè)處理看作k個(gè)明晰的總體。研究的對(duì)象只限于這k個(gè)總體的結(jié)果，而不需推廣到其它總體；研究目的在于推斷這k個(gè)總體平均數(shù)是否相同.下一張

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處理效應(yīng)αi(或βj、βij)下一張主頁(yè)退出7隨機(jī)效應(yīng)(randomeffect):k個(gè)處理并非特別指定，而是從更大的處理總體中隨機(jī)抽取的k個(gè)處理而已;研究的對(duì)象不局限于這k個(gè)處理所對(duì)應(yīng)的總體的結(jié)果，而是著眼于這k個(gè)處理所在的更大的總體；研究的目的不在于推斷當(dāng)前k個(gè)處理所屬總體平均數(shù)是否相同，而是從這k個(gè)處理所得結(jié)論推斷所在大總體的變異情況.下一張

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隨機(jī)效應(yīng)(randomeffect):下一張主8固定因素與隨機(jī)因素下一張

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固定因素：處理效應(yīng)是固定效應(yīng)的試驗(yàn)因素

隨機(jī)因素：處理效應(yīng)是隨機(jī)效應(yīng)的試驗(yàn)因素固定因素與隨機(jī)因素下一張主頁(yè)退出上一張

固93、方差分析的模型，則有三種下一張

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固定模型:固定因素（處理固定效應(yīng)）

隨機(jī)模型:隨機(jī)因素（處理隨機(jī)效應(yīng)）

混合模型:固定因素，隨機(jī)因素（處理固定效應(yīng)，隨機(jī)效應(yīng)）3、方差分析的模型，則有三種下一張主頁(yè)退出上10固定模型把k個(gè)處理看作k個(gè)明晰的總體。研究的對(duì)象只限于這k個(gè)總體的結(jié)果，而不需推廣到其它總體；研究目的在于推斷這k個(gè)總體平均數(shù)是否相同，即在于檢驗(yàn)k個(gè)總體平均數(shù)相等的假設(shè)H0：μ1=μ2=…=μk；H0被否定，下步工作在于作多重比較；重復(fù)試驗(yàn)時(shí)的處理仍為原k個(gè)處理。這樣，則k個(gè)處理的效應(yīng)(如αi=μi-μ)固定于所試驗(yàn)的處理的范圍內(nèi)，處理效應(yīng)是固定的。這種模型稱為固定模型。

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固定模型下一張主頁(yè)退出上一張11固定模型：在單因素試驗(yàn)，多因素試驗(yàn)中，若各試驗(yàn)因素水平的效應(yīng)均屬固定，則對(duì)應(yīng)于固定模型。如：一般的飼養(yǎng)試驗(yàn)，品種比較試驗(yàn)，激素種類比較，基因表達(dá)量的比較，不同菌種產(chǎn)酶能力比較，

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固定模型：下一張主頁(yè)退出上一張12隨機(jī)模型k個(gè)處理并非特別指定，而是從更大的處理總體中隨機(jī)抽取的k個(gè)處理而已，即研究的對(duì)象不局限于這k個(gè)處理所對(duì)應(yīng)的總體的結(jié)果，而是著眼于這k個(gè)處理所在的更大的總體；研究的目的不在于推斷當(dāng)前k個(gè)處理所屬總體平均數(shù)是否相同，而是從這k個(gè)處理所得結(jié)論推斷所在大總體的變異情況，檢驗(yàn)的假設(shè)一般為處理效應(yīng)方差等于零，即H0:=0；如果H0被否定，進(jìn)一步的工作是估計(jì)；重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，可在大處理總體中隨機(jī)抽取新的處理。這樣，處理效應(yīng)并不固定，而是隨機(jī)的，這種模型稱為隨機(jī)模型。下一張

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隨機(jī)模型下一張主頁(yè)退出上一張13隨機(jī)模型如，為研究中國(guó)小麥品種的產(chǎn)量的變異情況，從大量地方品種中隨機(jī)抽取部分品種為代表進(jìn)行試驗(yàn)、觀察，其結(jié)果推斷中國(guó)小麥品種的產(chǎn)量的變異情況，這就屬于隨機(jī)模型。研究轉(zhuǎn)基因抗蟲(chóng)棉大田生態(tài)環(huán)境中，昆蟲(chóng)種群的變異下一張

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隨機(jī)模型下一張主頁(yè)退出上一張14混合模型(mixedmodel)在多因素試驗(yàn)中，若既包括固定效應(yīng)的試驗(yàn)因素，又包括隨機(jī)效應(yīng)的試驗(yàn)因素，則該試驗(yàn)對(duì)應(yīng)于混合模型?；旌夏Ｐ驮谠囼?yàn)研究中是經(jīng)常采用的。

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混合模型(mixedmodel)下一張主頁(yè)15混合模型(mixedmodel)如在某地區(qū)的4個(gè)小麥品種對(duì)湖北省生態(tài)條件的適應(yīng)性，這里品種效應(yīng)是固定的，而試驗(yàn)場(chǎng)所效應(yīng)是隨機(jī)的。又如，若目的在于比較該3個(gè)小麥品種作為雜交父本的配合力，母本是隨機(jī)抽取的，則父本效應(yīng)是固定的，而母本效應(yīng)是隨機(jī)的。再如研究三種飼料的效應(yīng)試驗(yàn)，隨機(jī)選取三個(gè)蛋雞品系，這里蛋雞品系效應(yīng)是隨機(jī)的，而飼料效應(yīng)是固定的。

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混合模型(mixedmodel)下一張主頁(yè)退16二、期望均方由于模型不同，方差分析中各項(xiàng)期望均方的計(jì)算也有所不同，因而F檢驗(yàn)時(shí)分母項(xiàng)均方的選擇也有所不同。為了區(qū)分效應(yīng)的兩種模型(隨機(jī)及固定)，用表示隨機(jī)模型下處理效應(yīng)方差，用表示固定模型下處理效應(yīng)方差。如對(duì)于A因素，隨機(jī)模型時(shí)用表示處理效應(yīng)方差；固定模型時(shí)用表示處理效應(yīng)方差，下一張

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二、期望均方下一張主頁(yè)退出上一張171、單因素試驗(yàn)資料方差分析的期望均方與F檢驗(yàn)

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1、單因素試驗(yàn)資料方差分析的期望均方與F檢驗(yàn)下一張主182、兩因素交叉分組單獨(dú)觀測(cè)值的期望均方與F檢驗(yàn)下一張

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2、兩因素交叉分組單獨(dú)觀測(cè)值的期望均方與F檢驗(yàn)下一張主192、兩因素交叉分組單獨(dú)觀測(cè)值的期望均方與F檢驗(yàn)下一張

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2、兩因素交叉分組單獨(dú)觀測(cè)值的期望均方與F檢驗(yàn)下一張主20下一張

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3.1兩因素交叉分組有重復(fù)觀測(cè)值的期望均方與F檢驗(yàn)

下一張主頁(yè)退出上一張3.1兩因素交叉分組有21下一張

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3.2。兩因素交叉分組有重復(fù)觀測(cè)值的期望均方與F檢驗(yàn)

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3.3。兩因素交叉分組有重復(fù)觀測(cè)值的期望均方與F檢驗(yàn)

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4.1系統(tǒng)分組資料方差分析的期望均方下一張主頁(yè)退出上一張4.1系統(tǒng)分組資料方244.2系統(tǒng)分組資料方差分析的期望均方

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4.2系統(tǒng)分組資料方差分析的期望均方下一張主頁(yè)254.3系統(tǒng)分組資料方差分析的期望均方下一張

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4.3系統(tǒng)分組資料方差分析的期望均方下一張主頁(yè)退26下一張

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第五節(jié)-方差分析的數(shù)學(xué)模型

與期望均方

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第27一、方差分析的數(shù)學(xué)模型【方差分析示例】

為研究雌激素對(duì)子宮發(fā)育的影響，現(xiàn)有4窩不同品系未成年的大白鼠，每窩3只，隨機(jī)分別注射不同劑量的雌激素，然后在相同條件下試驗(yàn)，并稱得它們的子宮重量，見(jiàn)下表，試作方差分析。下一張

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一、方差分析的數(shù)學(xué)模型下一張主頁(yè)退出上一張28各品系大白鼠注射不同劑量雌激素的子宮重量(g)各品系大白鼠注射不同劑量雌激素291、數(shù)學(xué)模型兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)：

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下一張主頁(yè)退出上一張302、處理效應(yīng)αi，βj分別為Ai、Bj的效應(yīng):

αi=μi-μ,βj=μj-μ,μi、μj分別為Ai、Bj觀測(cè)值總體平均數(shù)，且Σαi=0,Σβj=0;εijl為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且服從N(0，σ2)。2、處理效應(yīng)31數(shù)學(xué)模型中的處理效應(yīng)αi(或βj、βij)由于處理性質(zhì)的不同，有固定效應(yīng)(fixedeffect)和隨機(jī)效應(yīng)(randomeffect)之分。就試驗(yàn)資料的具體統(tǒng)計(jì)分析過(guò)程而言，這三種模型的差別并不太大，但從解釋和理論基礎(chǔ)而言，它們之間是有很重要的區(qū)別的。不論設(shè)計(jì)試驗(yàn)、解釋試驗(yàn)結(jié)果，還是最后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，都必須了解這三種模型的意義和區(qū)別。下一張

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數(shù)學(xué)模型中的處理效應(yīng)αi(或βj、βij)下一張主頁(yè)32處理效應(yīng)αi(或βj、βij)固定效應(yīng)(fixedeffect):k個(gè)處理看作k個(gè)明晰的總體。研究的對(duì)象只限于這k個(gè)總體的結(jié)果，而不需推廣到其它總體；研究目的在于推斷這k個(gè)總體平均數(shù)是否相同.下一張

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處理效應(yīng)αi(或βj、βij)下一張主頁(yè)退出33隨機(jī)效應(yīng)(randomeffect):k個(gè)處理并非特別指定，而是從更大的處理總體中隨機(jī)抽取的k個(gè)處理而已;研究的對(duì)象不局限于這k個(gè)處理所對(duì)應(yīng)的總體的結(jié)果，而是著眼于這k個(gè)處理所在的更大的總體；研究的目的不在于推斷當(dāng)前k個(gè)處理所屬總體平均數(shù)是否相同，而是從這k個(gè)處理所得結(jié)論推斷所在大總體的變異情況.下一張

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隨機(jī)效應(yīng)(randomeffect):下一張主34固定因素與隨機(jī)因素下一張

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固定因素：處理效應(yīng)是固定效應(yīng)的試驗(yàn)因素

隨機(jī)因素：處理效應(yīng)是隨機(jī)效應(yīng)的試驗(yàn)因素固定因素與隨機(jī)因素下一張主頁(yè)退出上一張

固353、方差分析的模型，則有三種下一張

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隨機(jī)模型:隨機(jī)因素（處理隨機(jī)效應(yīng)）

混合模型:固定因素，隨機(jī)因素（處理固定效應(yīng)，隨機(jī)效應(yīng)）3、方差分析的模型，則有三種下一張主頁(yè)退出上36固定模型把k個(gè)處理看作k個(gè)明晰的總體。研究的對(duì)象只限于這k個(gè)總體的結(jié)果，而不需推廣到其它總體；研究目的在于推斷這k個(gè)總體平均數(shù)是否相同，即在于檢驗(yàn)k個(gè)總體平均數(shù)相等的假設(shè)H0：μ1=μ2=…=μk；H0被否定，下步工作在于作多重比較；重復(fù)試驗(yàn)時(shí)的處理仍為原k個(gè)處理。這樣，則k個(gè)處理的效應(yīng)(如αi=μi-μ)固定于所試驗(yàn)的處理的范圍內(nèi)，處理效應(yīng)是固定的。這種模型稱為固定模型。

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固定模型下一張主頁(yè)退出上一張37固定模型：在單因素試驗(yàn)，多因素試驗(yàn)中，若各試驗(yàn)因素水平的效應(yīng)均屬固定，則對(duì)應(yīng)于固定模型。如：一般的飼養(yǎng)試驗(yàn)，品種比較試驗(yàn)，激素種類比較，基因表達(dá)量的比較，不同菌種產(chǎn)酶能力比較，

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固定模型：下一張主頁(yè)退出上一張38隨機(jī)模型k個(gè)處理并非特別指定，而是從更大的處理總體中隨機(jī)抽取的k個(gè)處理而已，即研究的對(duì)象不局限于這k個(gè)處理所對(duì)應(yīng)的總體的結(jié)果，而是著眼于這k個(gè)處理所在的更大的總體；研究的目的不在于推斷當(dāng)前k個(gè)處理所屬總體平均數(shù)是否相同，而是從這k個(gè)處理所得結(jié)論推斷所在大總體的變異情況，檢驗(yàn)的假設(shè)一般為處理效應(yīng)方差等于零，即H0:=0；如果H0被否定，進(jìn)一步的工作是估計(jì)；重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，可在大處理總體中隨機(jī)抽取新的處理。這樣，處理效應(yīng)并不固定，而是隨機(jī)的，這種模型稱為隨機(jī)模型。下一張

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隨機(jī)模型下一張主頁(yè)退出上一張39隨機(jī)模型如，為研究中國(guó)小麥品種的產(chǎn)量的變異情況，從大量地方品種中隨機(jī)抽取部分品種為代表進(jìn)行試驗(yàn)、觀察，其結(jié)果推斷中國(guó)小麥品種的產(chǎn)量的變異情況，這就屬于隨機(jī)模型。研究轉(zhuǎn)基因抗蟲(chóng)棉大田生態(tài)環(huán)境中，昆蟲(chóng)種群的變異下一張

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隨機(jī)模型下一張主頁(yè)退出上一張40混合模型(mixedmodel)在多因素試驗(yàn)中，若既包括固定效應(yīng)的試驗(yàn)因素，又包括隨機(jī)效應(yīng)的試驗(yàn)因素，則該試驗(yàn)對(duì)應(yīng)于混合模型?；旌夏Ｐ驮谠囼?yàn)研究中是經(jīng)常采用的。

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混合模型(mixedmodel)下一張主頁(yè)41混合模型(mixedmodel)如在某地區(qū)的4個(gè)小麥品種對(duì)湖北省生態(tài)條件的適應(yīng)性，這里品種效應(yīng)是固定的，而試驗(yàn)場(chǎng)所效應(yīng)是隨機(jī)的。又如，若目的在于比較該3個(gè)小麥品種作為雜交父本的配合力，母本是隨機(jī)抽取的，則父本效應(yīng)是固定的，而母本效應(yīng)是隨機(jī)的。再如研究三種飼料的效應(yīng)試驗(yàn)，隨機(jī)選取三個(gè)蛋雞品系，這里蛋雞品系效應(yīng)是隨機(jī)的，而飼料效應(yīng)是固定的。

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混合模型(mixedmodel)下一張主頁(yè)退42二、期望均方由于模型不同，方差分析中各項(xiàng)期望均方的計(jì)算也有所不同，因而F檢驗(yàn)時(shí)分母項(xiàng)均方的選擇也有所不同。為了區(qū)分效應(yīng)的兩種模型(隨機(jī)及固定)，用表示隨機(jī)模型下處理效應(yīng)方差，用表示固定模型下處理效應(yīng)方差。如對(duì)于A因素，隨機(jī)模型時(shí)用表示處理效應(yīng)方差；固定模型時(shí)用表示處理效應(yīng)方差，下一張

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二、期望均方下一張主頁(yè)退出上一張431、單因素試驗(yàn)