2013年浙教版九年級中考數(shù)學(xué)輔導(dǎo)（二次函數(shù)中的圓）1．（2011?遵義）已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴y=x2﹣x+3；∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，3）；（2）當(dāng)△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PAB=90°，∵A（3，0），B（4，1），∴AM=BM=1，∴∠BAM=45°，∴∠DAO=45°，∴AO=DO，∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，3），∴直線AD解析式為：y=kx+b，將A，D分別代入得：∴0=3k+b，b=3，∴k=﹣1，∴y=﹣x+3，∴y=x2﹣x+3=﹣x+3，∴x2﹣3x=0，解得：x=0或3，∴y=3或0（不合題意舍去），∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），當(dāng)△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PBA=90°，由（1）得，F(xiàn)B=4，∠FBA=45°，∴∠DBF=45°，∴DF=4，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，5），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，1），∴直線AD解析式為：y=kx+b，將B，D分別代入得：∴1=4k+b，b=5，∴k=﹣1，∴y=﹣x+5，∴y=x2﹣x+3=﹣x+5，∴x2﹣3x﹣4=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴y1=6，y2=1，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，6），（4，﹣1），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣1，6），（4，﹣1），（0，3）；（3）作EM⊥BO，∵當(dāng)OE∥AB時，△FEO面積最小，∴∠EOM=45°，∴MO=EM，∵E在直線CA上，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x+3），∴x=﹣x+3，解得：x=，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．2．（2011?襄陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，AB在x軸上，AB=10，以AB為直徑的⊙O'與y軸正半軸交于點(diǎn)C，連接BC，AC．CD是⊙O'的切線，AD丄CD于點(diǎn)D，tan∠CAD=，拋物線y=ax2+bx+c過A，B，C三點(diǎn)．（1）求證：∠CAD=∠CAB；（2）①求拋物線的解析式；②判斷拋物線的頂點(diǎn)E是否在直線CD上，并說明理由；（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PBCA是直角梯形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．3．（2011?荊州）如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系（O、C、F三點(diǎn)在x軸正半軸上）．若⊙P過A、B、E三點(diǎn)（圓心在x軸上），拋物線y=經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為G，M是FG的中點(diǎn)，正方形CDEF的面積為1．（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證：ME是⊙P的切線；（3）設(shè)直線AC與拋物線對稱軸交于N，Q點(diǎn)是此軸稱軸上不與N點(diǎn)重合的一動點(diǎn)，①求△ACQ周長的最小值；②若FQ=t，S△ACQ=S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】解：（1）如圖甲，連接PE、PB，設(shè)PC＝n∵正方形CDEF面積為1∴CD＝CF＝1根據(jù)圓和正方形的對稱性知OP＝PC＝n∴BC＝2PC＝2n而PB＝PE，PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2又PE2=PF2+EF2=(n+1)2+1∴5n2=(n+1)2+1解得n1=1，(舍去)∴BC＝OC＝2∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）（2）如圖甲，由（1）知A（0，2），C（2，0）∵A，C在拋物線上∴，解之得：∴拋物線的解析式為∴拋物線的對稱軸為x=3，即EF所在直線∵C與G關(guān)于直線x=3對稱，∴CF＝FG＝1∴MF＝FG＝在Rt△PEF與Rt△EMF中，∴，而∠PFE＝∠FEM＝90°∴△PEF∽△EMF∴∠EPF＝∠FEM∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°∴ME與⊙P相切（3）①如圖乙，延長AB交拋物線于A′，連CA′交對稱軸x=3于Q，連AQ則有AQ＝A′Q，△ACQ周長的最小值為（AC+A′C）的長∵A與A′關(guān)于直線x=3對稱∴A（0，2），A′（6，2）∴A′C＝，而AC=∴△ACQ周長的最小值為②當(dāng)Q點(diǎn)在F點(diǎn)上方時，S＝t+1當(dāng)Q點(diǎn)在線段FN上時，S＝1-t當(dāng)Q點(diǎn)在N點(diǎn)下方時，S＝t-1.4．（2011?德州）在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A．（x＞0）圖象上一個動點(diǎn)，以P為圓（1）如圖1，⊙P運(yùn)動到與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．（2）如圖2，⊙P運(yùn)動到與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為B，C．當(dāng)四邊形ABCP是菱形時：①求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．②在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的？若存在，試求出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．23．（本題滿分12分）解：（1）∵⊙