§9線性相關(guān)與線性無關(guān)教學(xué)要求：掌握線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義，并能夠判斷向量組的線性相關(guān)性知識要點：一、定義與例子：定義9.1對向量組，如果存在一組不全為零的數(shù)A，使得先］巧+如瑪+…1那么，稱向量組叫,電線性相關(guān).如果這樣的檻個數(shù)不存在，即上述向量等式僅當"i二也二…二如二。時才能成立，就稱向量組叫q小…‘％線性無關(guān).含零向量的向量組。,％舟,?=%—定線性相關(guān)，因為10+0叫+0%+,■■+0%?其中，1,。,。廠2不全為零.只有一個向量配組成的向量組線性無關(guān)的充分必要條件是就芋0,線性相關(guān)的充分必要條件是理=0.考慮齊次線性方程組的1街十叱旬皿偵&-0＜的1豹+吃易+…+明牌今=D色內(nèi)+晚Fa+…+%眺A=0(*)它可以寫成AV=0，或

皿瑪+改％AQlH二0其中A二（%￡穌…心舊二京二12…二a.由此可見，向量組隊％…d線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組(*)有非零解.也就是說，向量組純q*…&線性無關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組(*)只有零解.「2、'叫二2以二-3例1向量組<_b是線性無關(guān)的.解：設(shè)有互幣使得齊次線性方程組解此方程組得，二氣二。，所以向量組線性無關(guān).例2設(shè)向量組線性無關(guān)，又設(shè)對二吼+匙兩二％扃二電+做，證明向量組岳扃盡也線性無關(guān).證明：設(shè)有m也使先籬+也扃+靖爆—。,即（幻+源省+（也+七）％+庭+也）電=0,因為%我烏線性無關(guān)，故有冬十灼二口<+婦=0

女+曷=Q此線性方程組只有零解*\=虹二松二0,也即向量組&屆，展線性無關(guān).定理9.1向量組%%…心河心線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個向量可以由其余m-\個向量線性表示.證明：必要性設(shè)即電線性相關(guān)，即存在一組不全為零的數(shù)穌她…「知，使得把件+灼曲H知耳二0.不妨設(shè)止］H。，那么有,即％可以由其余翩-1個向量&禺…d線性表示.其實，在向量等式叫夜痙+???+如％二。中,任何一個系數(shù)*蘆0的向量叫都可以由其余瞧-1個向量線性表示.充分性設(shè)向量組知％廣"\%中有一個向量能由其余漁-1個向量線性表示.不妨設(shè)叫次W…+m,那么(-1)巧+%%+???+%耳二0,因為(T)心…為不全為零，所以%叫…％線性相關(guān).二、向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)判別定理：設(shè)矩陣H的列向量組為&%皿廣*%,矩陣占的列向量組為B：岳島…，屬,其中矩陣君是通過對矩陣網(wǎng)做行初等變換后得到的.我們有以下定理：定理9.2向量組但與向量組占有一樣的線性相關(guān)性.證明：記應(yīng)=(電嚀…疝)檔二(島島…,底).那么，當且僅當齊次線性方程組^=0有非零解時向量組龍線性相關(guān).當且僅當齊次線性方程組段=0有非零解時向量組龍線性相關(guān).由于齊次線性方程組5X=0或者只是對調(diào)了心二0的第處個方程與第E個方程的位置，或者只是用非零數(shù)人承&二0的第止個方程，或者只是把點=0的第E個方程的人倍加到第止個方程上去，這連個方程組一定是同解的，所以，對應(yīng)的向量組刃與3有一樣的線性相關(guān)性.定理9.3如果向量組%%…皿線性相關(guān)，那么S電…烏心"七％也線性相關(guān).證明：向量組%%…皿線性相關(guān)，即存在不全為零的數(shù)44…俱使+靠皿-I—4叫-°,于是務(wù)巧+%袋+…+4%+0耳+]HF0耳—0但是，務(wù)，奴…,4?！璕仍不全為零，因此，向量組知駕孔…，耳線性相關(guān).推論9.4線性無關(guān)向量組的任意一個非空局部組仍是線性無關(guān)向量組.定理9.5設(shè)有m維向量組ai=_,i=與毋+1維向量組wa2i

月；扁=:疽=1,2,…，唯如<^4-127如果向量組』線性無關(guān)，那么，向量組2?也線性無關(guān).推論9.6為維向量組的每一個向量添加t-尸個分量成為t維向量.如果尸維向量組線性無關(guān)，那么/維向量組也線性無關(guān).反言之，如果m維向量組線性相關(guān)，那么擇維向量組也線性相關(guān).定義9.2在輜g型的矩陣龍中，任取左行B列涪沖會），位于這些行列穿插處的A個元素，不改變它們在』中所處的位置次序而得的止階矩陣行列式，稱為矩陣』的止階子式.梆球型矩陣？1的正階子式共有J舊個.定理9.7設(shè)m維向量組A%皿，…心（居可）構(gòu)成矩陣那么向量組』線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣龍中存在一個不等于零的產(chǎn)階子式.推論9.8m個淤維向量組線性無關(guān)的充分必要條件是它們所構(gòu)成的鑫階矩陣的行列式不等于零.推論9.9當糕卷時，梆個淤維向量即電???4必線性相關(guān).

思考題：1、舉例說明以下各命題是錯誤的⑴假設(shè)向量組線性無關(guān)，那么與可由"g線性表示;假設(shè)有不全為零的數(shù)&如…總使淑+…+狷+…+%#部=1那么我咨…咨線性相關(guān)，勾如*息也線性相關(guān)；假設(shè)只有當&如…總?cè)珵榱銜r，等式淑+…+狷+…+&0部=1才能成立%電…禺線性無關(guān)，應(yīng)也線性無關(guān)；假設(shè)冬山線性相關(guān)，如土…,用也線性相關(guān),那么有不全為零的數(shù)為如…4,使務(wù)研十石戰(zhàn)+?「+兀％=0,務(wù)筒+4電2AfiA=同時成立.2、判斷以下向量組是否線性相關(guān):⑴

(4)3、設(shè)向量組皿線性無關(guān)，討論向量組叫+叫皿+皿…皿+%的線性相關(guān)性.⑴(4)4、設(shè)向量組亂％…「母線性無關(guān)，二叫，…，風(fēng)線性相關(guān)，那么；必可由向量組即叫「…皿線性表示.5、選擇題⑴淤維向量組知成…皿(3K由)線性無關(guān)的充分必要條件是存在一組不全為零的數(shù)穌虹…山，使化面+財％+…+由叫工。;%嚀…工中任意兩個向量都線性無關(guān)；吃％…「叫中存在一個向量，它不能由其他向量線性表示;…「叫中任意一個向量都不能被其他向量線性表示.(2)向量組我皿皿儀線性無關(guān)，那么向量組叫+叫皿+毋皿皿+當也線性無關(guān)；叫-叫皿-電「電-叫皿-%也線性無關(guān);叫+叫皿+電缶+%皿-國也線性無關(guān);叫+成珞+%,角-風(fēng)皿-%也線性無關(guān).(3)設(shè)有任意兩個活維向量組…咨與原島…忑.