目的要求明確幾何組成分析的目的。領(lǐng)會幾何不變體系、幾何可變系、瞬變體系、剛片、聯(lián)系、自由度等概念。掌握幾何不變體系的簡單組成規(guī)則。能夠靈活運(yùn)用三個規(guī)則對平面體系進(jìn)行幾何組成分析。掌握二元體的概念。學(xué)習(xí)內(nèi)容幾何不變體系、幾何可變體系和瞬變體系的概念；自由度、剛片、聯(lián)系的概念；無多聯(lián)系的幾何不變體系的組成規(guī)則；結(jié)構(gòu)的幾何組成與靜定性的關(guān)系。在忽略材料應(yīng)變的前提下，體系可分為兩類：

第2章幾何組成分析§2-1概述

目的要求明確幾何組成分析的目的。學(xué)習(xí)內(nèi)容幾何不變體系、幾何可1(1)幾何不變體系：

體系受到任意荷載作用后，在不考慮材料應(yīng)變的情況下，若能保持原有的幾何形狀和位置，這樣的體系稱為幾何不變體系。如圖2-1任意荷載作用下，都能維持幾何形狀和位置不變。(2)幾何可變系：即使受到很小的外力，也能引起其幾何形狀或位置的改變，這類體系稱為幾何可變體系。如圖2-2在外力作用下，其形狀或位置會改變。(1)幾何不變體系：體系受到任意荷載作用后2對體系進(jìn)行幾何組成分析，其目的是：(1)判定某一體系是否幾何不變，從而決定能否作為工程結(jié)構(gòu)。(2)研究幾何不變體系的組成規(guī)律，以保證設(shè)計的結(jié)構(gòu)能夠承受任意荷載而維持平衡。(3)區(qū)分靜定結(jié)構(gòu)及超靜定結(jié)構(gòu)，以便確定相應(yīng)的計算方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算。本章僅討論平面體系的幾何組成分析。2.1.2體系幾何組成分析的目的

對體系進(jìn)行幾何組成分析，其目的是：2.1.2體系幾何組成分32.2.1自由度：

體系的自由度是指體系運(yùn)動時，可以獨(dú)立改變的幾何參數(shù)的數(shù)目；即確定體系位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。在平面內(nèi)確定一個自由點(diǎn)的位置需要兩個獨(dú)立坐標(biāo)，如圖2-3（a），

所以，平面內(nèi)一個自由點(diǎn)有兩個自由度。

在平面內(nèi)確定一個自由剛片的位置需要三個獨(dú)立坐標(biāo)，如圖2-3（b），

所以，平面內(nèi)一個自由剛片有三個自由度。

§2-1體系的計算自由度2.2.1自由度：體系的自由度是指體系運(yùn)動4Ⅰα加鏈桿前體系有3個自由度加鏈桿后確定體系的位置，需要兩個獨(dú)立的坐標(biāo)，新體系有2個自由度。。

β一根鏈桿可以使體系減少一個自由度，相當(dāng)于一個聯(lián)系。2.2.2聯(lián)系：能減少體系自由度的裝置稱為聯(lián)系。

多余聯(lián)系：不能減少體系自由度的聯(lián)系稱為多余聯(lián)系。（1）鏈桿：

一根鏈桿可以使體系減少一個自由度，相當(dāng)于一個聯(lián)系。

Ⅰα加鏈桿前體系有3個自由度加鏈桿后確定體系的位置，需要兩個512加單鉸前體系有六個自由度xy加單鉸后確定體系的位置，需要四個獨(dú)立的坐標(biāo)，新體系有四個自由度。一個單鉸可減少體系兩個自由度相當(dāng)于兩個聯(lián)系（2）單鉸：

聯(lián)結(jié)兩個剛片的鉸稱為單鉸。一個單鉸可使體系減少兩個自由度，相當(dāng)于兩個聯(lián)系。

虛鉸的概念：

聯(lián)結(jié)兩剛片的兩根延長線交于一點(diǎn)的鏈桿相當(dāng)于一個單鉸，稱虛鉸。

圖2-4如圖2-4，剛片和地基用兩根鏈桿聯(lián)結(jié)，剛片將繞O點(diǎn)發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，O為虛鉸。轉(zhuǎn)動后兩鏈桿又形成新的交點(diǎn)，故交點(diǎn)O稱為此瞬時的相對轉(zhuǎn)動中心，簡稱為瞬心。交點(diǎn)O的作用與一個單鉸的作用相同，但與前述的單鉸（位置固定不變）又有所不同，所以稱為虛鉸。12加單鉸前體系有六個自由度xy加單鉸后確定體系的位置，6(3)復(fù)鉸聯(lián)結(jié)三個或三個以上剛片的鉸剛片A和B用單鉸聯(lián)結(jié)聯(lián)結(jié)前有六個自由度，連接后有四個自由度再將剛片C聯(lián)結(jié)在剛片于A上。體系有五個自由度，使體系減少了四個自由度。所以聯(lián)結(jié)三個剛片的復(fù)鉸相當(dāng)于兩個單鉸。

聯(lián)結(jié)n個剛片的復(fù)鉸相當(dāng)于n-1個單鉸，相當(dāng)于2(n-1)個聯(lián)系。(3)復(fù)鉸聯(lián)結(jié)三個或三個以上剛片的鉸剛片A和B用單鉸聯(lián)結(jié)再將72.2.3體系的計算自由度

一個平面體系通常都是由若干剛片加入一些聯(lián)系組成。按照各剛片都是自由的情況，計算出所有剛片自由度總數(shù)，再計算出所加入的約束總數(shù)，將兩者的差值稱為體系的計算自由度，用W表示。即：

W=（各自由剛片自由度總數(shù)）－（全部聯(lián)系總數(shù)）

如剛片數(shù)m，單鉸數(shù)n，支承鏈桿數(shù)r，則

W=3m－（2n+r）（2—1）

應(yīng)用時注意：（1）復(fù)鉸要換算成單鉸，如圖2-5。圖2-5（2）鉸支座、定向支座相當(dāng)于兩個鏈桿，固定端相當(dāng)于三個鏈桿。（3）對于鉸結(jié)鏈桿體系也可將結(jié)點(diǎn)視為平面內(nèi)的自由點(diǎn)，鏈桿視為聯(lián)系。計算體系自由度的公式為：W=2j－b－r（2—2）式中：j為結(jié)點(diǎn)數(shù)；b為體系內(nèi)部鏈桿數(shù)；r為支承鏈桿數(shù)。2.2.3體系的計算自由度一個平面體系通8

W是計算自由度，不一定代表體系的實際自由度，只說明了體系必須的約束數(shù)是否足夠。當(dāng)W﹥0時，說明體系缺少足夠的聯(lián)系，一定是幾何可變體系。當(dāng)W=0時，說明實際聯(lián)系數(shù)等于體系幾何不變必須的聯(lián)系數(shù)，需要進(jìn)行幾何組成分析。當(dāng)W﹤0時，說明體系有多余聯(lián)系，需要進(jìn)行幾何組成分析。所以：W≤0是體系幾何不變的必要條件，而不是充分條件。實際自由度=各剛片自由度總數(shù)-非多余聯(lián)系數(shù)由此可見：當(dāng)體系上沒有多余聯(lián)系時，計算自由度就是體系的實際自由度。

m=7，n=9，r=3W=3×m－2×n－r=3×7－2×9－3=0計算體系的自由度ABCDEFGW是計算自由度，不一定代表體系的實際自由度，只9ABCDEF⑨①②③④⑤⑥⑧⑦j=6；b=9；r=3。計算圖示體系的自由度W=2j－b－r=2×6－9－3=0ABCDEF⑨①②③④⑤⑥⑧⑦j=6；b10一個三角形的三個邊給定以后，三角形的形狀是唯一的。故鉸結(jié)三角形是一個幾何形狀不變的體系。將鉸結(jié)三角形中的每個鏈桿視為剛片，可得到由三個剛片組成幾何不變體系的組成規(guī)則。2.3.1規(guī)則一、（三剛片規(guī)則）三剛片規(guī)則三剛片用不在一條直線上的三個鉸兩兩鉸聯(lián)，組成的體系幾何不變，無多余聯(lián)系。證明：如圖2—6，假定剛片Ⅰ不動，Ⅱ只能繞A轉(zhuǎn)動，其上C點(diǎn)作圓弧1運(yùn)動。剛片Ⅲ只能繞B轉(zhuǎn)動，其上C點(diǎn)作圓弧2運(yùn)動。鉸C不可能同時沿兩個方向的圓弧運(yùn)動，所以C只能在兩個圓弧交點(diǎn)固定不動，因此各剛片之間不可能發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，體系幾何不變。

如圖2-7所示，三剛片用不共線的三個鉸兩兩鉸鏈，符合三剛片規(guī)則，體系幾何不變。§2-3幾何不變體系的簡單組成規(guī)則一個三角形的三個邊給定以后，三角形的形狀是唯一11幾何可變體系又可分為兩種：幾何常變體系：在力作用下可發(fā)生較大位移。瞬變體系：原為幾何可變體系，經(jīng)微小位移后，即轉(zhuǎn)化為幾何不變體系，稱為瞬變體系。如圖2-8。

三剛片規(guī)則中：強(qiáng)調(diào)了三個鉸不共線，因為共線情況屬于幾何可變體系一類。

分析瞬變體系的內(nèi)力：如圖2-9。2Nsin=P，N=P/(2sin瞬變體系

，若P=0，N為不定值；)若P≠0，N=

所以瞬變體系在很小荷載作用下，也會產(chǎn)生巨大的內(nèi)力，導(dǎo)致體系破壞。由于瞬變體系在荷載下會產(chǎn)生很大的內(nèi)力，故幾何瞬變體系不能用于工程結(jié)構(gòu)。接近于瞬變體系也應(yīng)避免采用。幾何可變體系又可分為兩種：幾何常變體系：在力作用下可發(fā)生較大12圖示為一無多余聯(lián)系的幾何不變體系將桿AC、BC均看成剛片，當(dāng)桿通過鉸瞬變體系規(guī)則二1、兩剛片用一鉸及不通過該鉸的一根鏈桿相聯(lián)組成的體系幾何不變，無多余聯(lián)系。CAB

就成為兩剛片組成的無多聯(lián)系幾何不變體系A(chǔ)a當(dāng)桿通過鉸（2）兩剛片用不完全平行，也不完全交于一點(diǎn)的三根鏈桿相聯(lián)結(jié)，組成的體系幾何不變，無多余聯(lián)系。（1）兩剛片用一個鉸和不通過該鉸的一根鏈桿相聯(lián)，組成的體系幾何不變，且無多余聯(lián)系。如圖2-10，實際情況與三剛片規(guī)則相同，有的問題用兩剛片規(guī)則方便，所以列為一則2.3.2規(guī)則二、（兩剛片規(guī)則）圖示為一無多余聯(lián)系的幾何不變體系將桿AC、BC均看成剛片，當(dāng)13當(dāng)三鏈桿交于一點(diǎn)時：圖2—11（a）瞬變當(dāng)三鏈桿全平行時：圖2—11（b）（c）(d)圖2-11二元體的概念：二元體——兩根不在一條直線上的鏈桿聯(lián)結(jié)一個新結(jié)點(diǎn)的構(gòu)造稱為二元體。2.3.3規(guī)則三、（二元體規(guī)則）在一個幾何不變體系上增加（或者拆除）二元體仍為幾何不變體系

ABC將BC桿視為剛片,該體系就成為一剛片與一點(diǎn)聯(lián)成的幾何不變體系。規(guī)則三、在一個剛片上增加一個二元體，仍為幾何不變體系。當(dāng)三鏈桿交于一點(diǎn)時：圖2—11（a）瞬變圖2-11二元體的14A12兩根共線的鏈桿聯(lián)一點(diǎn)瞬變體系兩根不共線的鏈桿聯(lián)結(jié)一個新結(jié)點(diǎn)的構(gòu)造稱為二元體。

在一體系上增加（或拆除）二元體不改變原體系的幾何構(gòu)造性質(zhì)

即：在幾何不變體系上增加（或拆除）二元體，得到的體系仍為幾何不變體系；在幾何可變體系上增加（或拆除）二元體，得到的體系仍為幾何可變體系。實質(zhì)與三剛片規(guī)則相同，但是，分析桁架用二元體規(guī)則方便。A12兩根共線的鏈桿聯(lián)一點(diǎn)瞬變體系兩根不共線的鏈15對體系進(jìn)行幾何組成分析（1）用增加二元體的方法分析從一個基本鉸結(jié)三角形開始，依次增加二元體（2）用拆除二元體的方法分析即：在幾何不變體系上增加二元體，得到的體系仍為幾何不變體系；從一個體系上拆除二元體后，所剩下的體系若是幾何不變體系，則原來的體系必定也是幾何不變體系；若剩下的體系是幾何可變體系，則原體系也必定是幾何可變體系。即：在幾何不變體系上拆除二元體，得到的體系仍為幾何不變體系；從原體系上依次拆除二元體結(jié)論：在一個體系上增加或拆除二元體，不會改變原體系的幾何構(gòu)造性質(zhì)。結(jié)論：在一個體系上增加或拆除二元體，不會改變原體系的幾何構(gòu)造性質(zhì)。

以上三條簡單組成規(guī)則，實質(zhì)上是一條規(guī)則——三剛片規(guī)則。符合該三條規(guī)則的幾何不變體系，W=0，無多余聯(lián)系。對體系進(jìn)行幾何組成分析（1）用增加二元體的方法分析從一個16（a）（b）（c）（d）（e）規(guī)則連接對象必要聯(lián)系數(shù)對聯(lián)系的布置要求三剛片規(guī)則三剛片六個三鉸(單或虛)不共線兩剛片規(guī)則兩剛片三個鏈桿不通過鉸兩剛片規(guī)則三鏈桿不平行也不交于一點(diǎn)二元體規(guī)則一點(diǎn)一剛片兩個兩鏈桿不共線（a）（b）（c）（d）（e）規(guī)則連接對象必要聯(lián)系數(shù)對聯(lián)系的17三剛片規(guī)則：三剛片用三個單鉸兩兩鉸聯(lián)，三鉸不共線，體系幾何不變；三鉸共線，體系為瞬變：虛鉸在無窮處，如何判定呢？（根據(jù)《攝影幾何》無窮遠(yuǎn)元素的性質(zhì)）一組平行直線相交于同一個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，方向不同的平行直線則相交于不同的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，平面上所有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)均在同一條直線上，這條直線稱為無窮遠(yuǎn)直線，而一切有限遠(yuǎn)點(diǎn)均不在此直線上?！?-4瞬變體系三剛片規(guī)則：三剛片用三個單鉸兩兩鉸聯(lián)，三鉸不共線，體系幾何不18（3）三鉸均無窮遠(yuǎn)（根據(jù)《攝影幾何》無窮遠(yuǎn)元素的性質(zhì)）一組平行直線相交于同一個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，方向不同的平行直線則相交于不同的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，平面上所有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)均在同一條直線上，這條直線稱為無窮遠(yuǎn)直線，而一切有限遠(yuǎn)點(diǎn)均不在此直線上。例如圖2-13，當(dāng)各對平行鏈桿不等長時，發(fā)生微小位移后不再平行，所以為瞬變體系。圖2-13特殊情況：圖2-14（a）各對平行鏈桿等長，發(fā)生微小位移后仍然平行，是常變體系。圖2-14（b）各對平行鏈桿等長，發(fā)生微小位移后，異側(cè)聯(lián)出的一對平行鏈桿不再平行，為瞬變體系。圖2-14（3）三鉸均無窮遠(yuǎn)（根據(jù)《攝影幾何》無窮遠(yuǎn)元素的性質(zhì)）圖219依據(jù)：幾何組成分析的三個規(guī)則。方法：可先計算自由度W。

W>0(或體系本身W>3)肯定是常變體系。W≤0(或體系本身W≤3)需要進(jìn)行分析。也可不計算W，直接進(jìn)行分析。要理解規(guī)則，靈活應(yīng)用。下面談幾種常見的分析途徑。（1）去掉二元體，將體系簡單化，然后再分析。（2）如體系與基礎(chǔ)用三個鏈桿相聯(lián)并滿足兩剛片規(guī)則，可去掉基礎(chǔ)及鏈桿，只分析體系內(nèi)部即可。（3）當(dāng)體系桿件數(shù)較多時，將剛片選得分散些，剛片與剛片之間用鏈桿形成的瞬鉸相連，而不用單鉸相連。（4）從一個基本剛片開始，逐步增加二元體，擴(kuò)大剛片的范圍，將體系歸結(jié)為兩個剛片或三個剛片相連，再用規(guī)則判定。（5）由基礎(chǔ)開始逐件組裝。（6）剛片的等效代換：在不改變剛片與周圍的連結(jié)方式的前提下，可以改變它的大小、形狀及內(nèi)部組成。即用一個等效（與外部連結(jié)等效）剛片代替。（7）可先把直接觀查出的幾何不變部分作為剛片，再以此剛片為基礎(chǔ)，依次分析其余各部分，判定是否幾何不變，得出結(jié)論；也可拆除二元體使體系簡化，再分析剩余部分。問題：如何正確地、靈活地運(yùn)用三個規(guī)則分析各種各樣的體系。通過例題、習(xí)題掌握方法?！?-5機(jī)動分析示例依據(jù)：幾何組成分析的三個規(guī)則。W>020ABCDEFW=2J-（b+r)=2×6-(9+3)=0結(jié)論：體系幾何不變，無多余聯(lián)系。例1對體系進(jìn)行幾何組成分析J=6，b=9,r=3幾何組成分析示例：ABCDEFW=2J-（b+r)=2×6-(9+3)結(jié)論：21體系的幾何組成與靜力特性的關(guān)系

體系的分類幾何組成特性靜力特性幾何不變體系無多余聯(lián)系的幾何不變體系聯(lián)系數(shù)目恰好合理屬于靜定結(jié)構(gòu)，用平衡條件就可以求出全部反力和內(nèi)力。有多余聯(lián)系的幾何不變體系約束多余，布置合理屬于超靜定結(jié)構(gòu)，僅有平衡條件求不出全部反力和內(nèi)力。幾何可變體系幾何瞬變體系約束數(shù)目夠布置不合理內(nèi)力為無窮大或不確定幾何常變體系缺少必要聯(lián)系不存在靜力解答§2-5幾何構(gòu)造與靜力特性的關(guān)系體系的幾何組成與靜力特性的關(guān)系體系的分類幾何組成特性靜力特22目的要求明確幾何組成分析的目的。領(lǐng)會幾何不變體系、幾何可變系、瞬變體系、剛片、聯(lián)系、自由度等概念。掌握幾何不變體系的簡單組成規(guī)則。能夠靈活運(yùn)用三個規(guī)則對平面體系進(jìn)行幾何組成分析。掌握二元體的概念。學(xué)習(xí)內(nèi)容幾何不變體系、幾何可變體系和瞬變體系的概念；自由度、剛片、聯(lián)系的概念；無多聯(lián)系的幾何不變體系的組成規(guī)則；結(jié)構(gòu)的幾何組成與靜定性的關(guān)系。在忽略材料應(yīng)變的前提下，體系可分為兩類：

第2章幾何組成分析§2-1概述

目的要求明確幾何組成分析的目的。學(xué)習(xí)內(nèi)容幾何不變體系、幾何可23(1)幾何不變體系：

體系受到任意荷載作用后，在不考慮材料應(yīng)變的情況下，若能保持原有的幾何形狀和位置，這樣的體系稱為幾何不變體系。如圖2-1任意荷載作用下，都能維持幾何形狀和位置不變。(2)幾何可變系：即使受到很小的外力，也能引起其幾何形狀或位置的改變，這類體系稱為幾何可變體系。如圖2-2在外力作用下，其形狀或位置會改變。(1)幾何不變體系：體系受到任意荷載作用后24對體系進(jìn)行幾何組成分析，其目的是：(1)判定某一體系是否幾何不變，從而決定能否作為工程結(jié)構(gòu)。(2)研究幾何不變體系的組成規(guī)律，以保證設(shè)計的結(jié)構(gòu)能夠承受任意荷載而維持平衡。(3)區(qū)分靜定結(jié)構(gòu)及超靜定結(jié)構(gòu)，以便確定相應(yīng)的計算方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算。本章僅討論平面體系的幾何組成分析。2.1.2體系幾何組成分析的目的

對體系進(jìn)行幾何組成分析，其目的是：2.1.2體系幾何組成分252.2.1自由度：

體系的自由度是指體系運(yùn)動時，可以獨(dú)立改變的幾何參數(shù)的數(shù)目；即確定體系位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。在平面內(nèi)確定一個自由點(diǎn)的位置需要兩個獨(dú)立坐標(biāo)，如圖2-3（a），

所以，平面內(nèi)一個自由點(diǎn)有兩個自由度。

在平面內(nèi)確定一個自由剛片的位置需要三個獨(dú)立坐標(biāo)，如圖2-3（b），

所以，平面內(nèi)一個自由剛片有三個自由度。

§2-1體系的計算自由度2.2.1自由度：體系的自由度是指體系運(yùn)動26Ⅰα加鏈桿前體系有3個自由度加鏈桿后確定體系的位置，需要兩個獨(dú)立的坐標(biāo)，新體系有2個自由度。。

β一根鏈桿可以使體系減少一個自由度，相當(dāng)于一個聯(lián)系。2.2.2聯(lián)系：能減少體系自由度的裝置稱為聯(lián)系。

多余聯(lián)系：不能減少體系自由度的聯(lián)系稱為多余聯(lián)系。（1）鏈桿：

一根鏈桿可以使體系減少一個自由度，相當(dāng)于一個聯(lián)系。

Ⅰα加鏈桿前體系有3個自由度加鏈桿后確定體系的位置，需要兩個2712加單鉸前體系有六個自由度xy加單鉸后確定體系的位置，需要四個獨(dú)立的坐標(biāo)，新體系有四個自由度。一個單鉸可減少體系兩個自由度相當(dāng)于兩個聯(lián)系（2）單鉸：

聯(lián)結(jié)兩個剛片的鉸稱為單鉸。一個單鉸可使體系減少兩個自由度，相當(dāng)于兩個聯(lián)系。

虛鉸的概念：

聯(lián)結(jié)兩剛片的兩根延長線交于一點(diǎn)的鏈桿相當(dāng)于一個單鉸，稱虛鉸。

圖2-4如圖2-4，剛片和地基用兩根鏈桿聯(lián)結(jié)，剛片將繞O點(diǎn)發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，O為虛鉸。轉(zhuǎn)動后兩鏈桿又形成新的交點(diǎn)，故交點(diǎn)O稱為此瞬時的相對轉(zhuǎn)動中心，簡稱為瞬心。交點(diǎn)O的作用與一個單鉸的作用相同，但與前述的單鉸（位置固定不變）又有所不同，所以稱為虛鉸。12加單鉸前體系有六個自由度xy加單鉸后確定體系的位置，28(3)復(fù)鉸聯(lián)結(jié)三個或三個以上剛片的鉸剛片A和B用單鉸聯(lián)結(jié)聯(lián)結(jié)前有六個自由度，連接后有四個自由度再將剛片C聯(lián)結(jié)在剛片于A上。體系有五個自由度，使體系減少了四個自由度。所以聯(lián)結(jié)三個剛片的復(fù)鉸相當(dāng)于兩個單鉸。

聯(lián)結(jié)n個剛片的復(fù)鉸相當(dāng)于n-1個單鉸，相當(dāng)于2(n-1)個聯(lián)系。(3)復(fù)鉸聯(lián)結(jié)三個或三個以上剛片的鉸剛片A和B用單鉸聯(lián)結(jié)再將292.2.3體系的計算自由度

一個平面體系通常都是由若干剛片加入一些聯(lián)系組成。按照各剛片都是自由的情況，計算出所有剛片自由度總數(shù)，再計算出所加入的約束總數(shù)，將兩者的差值稱為體系的計算自由度，用W表示。即：

W=（各自由剛片自由度總數(shù)）－（全部聯(lián)系總數(shù)）

如剛片數(shù)m，單鉸數(shù)n，支承鏈桿數(shù)r，則

W=3m－（2n+r）（2—1）

應(yīng)用時注意：（1）復(fù)鉸要換算成單鉸，如圖2-5。圖2-5（2）鉸支座、定向支座相當(dāng)于兩個鏈桿，固定端相當(dāng)于三個鏈桿。（3）對于鉸結(jié)鏈桿體系也可將結(jié)點(diǎn)視為平面內(nèi)的自由點(diǎn)，鏈桿視為聯(lián)系。計算體系自由度的公式為：W=2j－b－r（2—2）式中：j為結(jié)點(diǎn)數(shù)；b為體系內(nèi)部鏈桿數(shù)；r為支承鏈桿數(shù)。2.2.3體系的計算自由度一個平面體系通30

W是計算自由度，不一定代表體系的實際自由度，只說明了體系必須的約束數(shù)是否足夠。當(dāng)W﹥0時，說明體系缺少足夠的聯(lián)系，一定是幾何可變體系。當(dāng)W=0時，說明實際聯(lián)系數(shù)等于體系幾何不變必須的聯(lián)系數(shù)，需要進(jìn)行幾何組成分析。當(dāng)W﹤0時，說明體系有多余聯(lián)系，需要進(jìn)行幾何組成分析。所以：W≤0是體系幾何不變的必要條件，而不是充分條件。實際自由度=各剛片自由度總數(shù)-非多余聯(lián)系數(shù)由此可見：當(dāng)體系上沒有多余聯(lián)系時，計算自由度就是體系的實際自由度。

m=7，n=9，r=3W=3×m－2×n－r=3×7－2×9－3=0計算體系的自由度ABCDEFGW是計算自由度，不一定代表體系的實際自由度，只31ABCDEF⑨①②③④⑤⑥⑧⑦j=6；b=9；r=3。計算圖示體系的自由度W=2j－b－r=2×6－9－3=0ABCDEF⑨①②③④⑤⑥⑧⑦j=6；b32一個三角形的三個邊給定以后，三角形的形狀是唯一的。故鉸結(jié)三角形是一個幾何形狀不變的體系。將鉸結(jié)三角形中的每個鏈桿視為剛片，可得到由三個剛片組成幾何不變體系的組成規(guī)則。2.3.1規(guī)則一、（三剛片規(guī)則）三剛片規(guī)則三剛片用不在一條直線上的三個鉸兩兩鉸聯(lián)，組成的體系幾何不變，無多余聯(lián)系。證明：如圖2—6，假定剛片Ⅰ不動，Ⅱ只能繞A轉(zhuǎn)動，其上C點(diǎn)作圓弧1運(yùn)動。剛片Ⅲ只能繞B轉(zhuǎn)動，其上C點(diǎn)作圓弧2運(yùn)動。鉸C不可能同時沿兩個方向的圓弧運(yùn)動，所以C只能在兩個圓弧交點(diǎn)固定不動，因此各剛片之間不可能發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，體系幾何不變。

如圖2-7所示，三剛片用不共線的三個鉸兩兩鉸鏈，符合三剛片規(guī)則，體系幾何不變。§2-3幾何不變體系的簡單組成規(guī)則一個三角形的三個邊給定以后，三角形的形狀是唯一33幾何可變體系又可分為兩種：幾何常變體系：在力作用下可發(fā)生較大位移。瞬變體系：原為幾何可變體系，經(jīng)微小位移后，即轉(zhuǎn)化為幾何不變體系，稱為瞬變體系。如圖2-8。

三剛片規(guī)則中：強(qiáng)調(diào)了三個鉸不共線，因為共線情況屬于幾何可變體系一類。

分析瞬變體系的內(nèi)力：如圖2-9。2Nsin=P，N=P/(2sin瞬變體系

，若P=0，N為不定值；)若P≠0，N=

所以瞬變體系在很小荷載作用下，也會產(chǎn)生巨大的內(nèi)力，導(dǎo)致體系破壞。由于瞬變體系在荷載下會產(chǎn)生很大的內(nèi)力，故幾何瞬變體系不能用于工程結(jié)構(gòu)。接近于瞬變體系也應(yīng)避免采用。幾何可變體系又可分為兩種：幾何常變體系：在力作用下可發(fā)生較大34圖示為一無多余聯(lián)系的幾何不變體系將桿AC、BC均看成剛片，當(dāng)桿通過鉸瞬變體系規(guī)則二1、兩剛片用一鉸及不通過該鉸的一根鏈桿相聯(lián)組成的體系幾何不變，無多余聯(lián)系。CAB

就成為兩剛片組成的無多聯(lián)系幾何不變體系A(chǔ)a當(dāng)桿通過鉸（2）兩剛片用不完全平行，也不完全交于一點(diǎn)的三根鏈桿相聯(lián)結(jié)，組成的體系幾何不變，無多余聯(lián)系。（1）兩剛片用一個鉸和不通過該鉸的一根鏈桿相聯(lián)，組成的體系幾何不變，且無多余聯(lián)系。如圖2-10，實際情況與三剛片規(guī)則相同，有的問題用兩剛片規(guī)則方便，所以列為一則2.3.2規(guī)則二、（兩剛片規(guī)則）圖示為一無多余聯(lián)系的幾何不變體系將桿AC、BC均看成剛片，當(dāng)35當(dāng)三鏈桿交于一點(diǎn)時：圖2—11（a）瞬變當(dāng)三鏈桿全平行時：圖2—11（b）（c）(d)圖2-11二元體的概念：二元體——兩根不在一條直線上的鏈桿聯(lián)結(jié)一個新結(jié)點(diǎn)的構(gòu)造稱為二元體。2.3.3規(guī)則三、（二元體規(guī)則）在一個幾何不變體系上增加（或者拆除）二元體仍為幾何不變體系

ABC將BC桿視為剛片,該體系就成為一剛片與一點(diǎn)聯(lián)成的幾何不變體系。規(guī)則三、在一個剛片上增加一個二元體，仍為幾何不變體系。當(dāng)三鏈桿交于一點(diǎn)時：圖2—11（a）瞬變圖2-11二元體的36A12兩根共線的鏈桿聯(lián)一點(diǎn)瞬變體系兩根不共線的鏈桿聯(lián)結(jié)一個新結(jié)點(diǎn)的構(gòu)造稱為二元體。

在一體系上增加（或拆除）二元體不改變原體系的幾何構(gòu)造性質(zhì)

即：在幾何不變體系上增加（或拆除）二元體，得到的體系仍為幾何不變體系；在幾何可變體系上增加（或拆除）二元體，得到的體系仍為幾何可變體系。實質(zhì)與三剛片規(guī)則相同，但是，分析桁架用二元體規(guī)則方便。A12兩根共線的鏈桿聯(lián)一點(diǎn)瞬變體系兩根不共線的鏈37對體系進(jìn)行幾何組成分析（1）用增加二元體的方法分析從一個基本鉸結(jié)三角形開始，依次增加二元體（2）用拆除二元體的方法分析即：在幾何不變體系上增加二元體，得到的體系仍為幾何不變體系；從一個體系上拆除二元體后，所剩下的體系若是幾何不變體系，則原來的體系必定也是幾何不變體系；若剩下的體系是幾何可變體系，則原體系也必定是幾何可變體系。即：在幾何不變體系上拆除二元體，得到的體系仍為幾何不變體系；從原體系上依次拆除二元體結(jié)論：在一個體系上增加或拆除二元體，不會改變原體系的幾何構(gòu)造性質(zhì)。結(jié)論：在一個體系上增加或拆除二元體，不會改變原體系的幾何構(gòu)造性質(zhì)。

以上三條簡單組成規(guī)則，實質(zhì)上是一條規(guī)則——三剛片規(guī)則。符合該三條規(guī)則的幾何不變體系，W=0，無多余聯(lián)系。對體系進(jìn)行幾何組成分析（1）用增加二元體的方法分析從一個38（a）（b）（c）（d）（e）規(guī)則連接對象必要聯(lián)系數(shù)對聯(lián)系的布置要求三剛片規(guī)則三剛片六個三鉸(單或虛)不共線兩剛片規(guī)則兩剛片三個鏈桿不通過鉸兩剛片規(guī)則三鏈桿不平行也不交于一點(diǎn)二元體規(guī)則一點(diǎn)一剛片兩個兩鏈桿不共線（a）（b）（c）（d）（e）規(guī)則連接對象必要聯(lián)系數(shù)對聯(lián)系的39三剛片規(guī)則：三剛片用三個單鉸兩兩鉸聯(lián)，三鉸不共線，體系幾何不變；三鉸共線，體系為瞬變：虛鉸在無窮處，如何判定呢？（根據(jù)《攝影幾何》無窮遠(yuǎn)元素的性質(zhì)）一組平行直線相交于同一個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，方向不同的平行直線則相交于不同的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，平面上所有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)均在同一條直線上，這條直線稱為無窮遠(yuǎn)直線，而一切有限遠(yuǎn)點(diǎn)均不在此直線上。§2-4瞬變體系三剛片規(guī)則：三剛片用三個單鉸兩兩鉸聯(lián)，三鉸不共線，體系幾何不40（3）三鉸均無窮遠(yuǎn)（根據(jù)《攝影幾何》無窮遠(yuǎn)元素的性質(zhì)）一組平行直線相交于同一個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，方向不同的平行直線則相交于不同的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，