傳統SAR算法研究報告丁晟2015年2月概述不管是在模擬器領域（回波和雷達），還是在RCS測量、機載雷達，抑或是在地面監(jiān)控雷達領域，合成孔徑雷達將會成為公司的一個重點發(fā)展方向。事實上，基于多個收發(fā)通道的合成雷達可以視為更加廣義的合成孔徑雷達。因此，從這個意義上說，不管是MIMO、DBF、數字相控陣、組網雷達等體制都可以看成是廣義合成孔徑雷達，其處理的最終目的是在多個維度上進行“去高次”相位處理，然后通過傅里葉變化得到具有sinc形狀的壓縮波形，以提高雷達的分辨率（在很多場合，被視為獲得極窄的波束）。因此，對合成孔徑雷達的深入研究是極有必要的。本文第二章節(jié)將回顧與SAR相關的信號處理內容，特別是提出一些我個人對于脈沖壓縮理論的理解，這一章節(jié)的內容將會貫穿全文；第三章節(jié)將給出SAR回波信號的數學表達式；第四章節(jié)將給出距離-多普勒算法（RDA）和ω-k算法（ωkA）解釋及說明；附件將給出所有的MATLAB源代碼。信號處理脈沖壓縮的理解連續(xù)時間的傅里葉變換公式如下： 式SEQ式\*ARABIC1 式SEQ式\*ARABIC2詳細的傅里葉變換說明請參考相關信號處理教科書。本文采用傅里葉變換來重新解釋脈沖壓縮的基本理論。當一個矩形脈沖進行傅里葉變換后，將會得到一個類似sinc的波形，如下圖所示圖SEQ圖\*ARABIC1矩形脈沖與sinc函數的傅里葉變換關系矩形脈沖與sinc函數的這一關系似乎可以用來進行脈沖壓縮，但事實上，由于時域的尺度和頻域的尺度具有一一對應的關系，因此在歸一化以后，實質上sinc函數的主瓣寬度并不比矩形脈沖寬度窄多少。并且，由于有限時域對應無限頻域，因此矩形脈沖在經過傅里葉變換后，在頻域上變?yōu)闊o限延展的波形，副瓣的存在會降低壓縮的意義。但是，如果我們把矩形脈沖變化為正弦波點頻脈沖，則會有很有意思的現象，下圖為MATLAB仿真圖。圖SEQ圖\*ARABIC2點頻的傅里葉變換由REF_Ref412816081\h圖2我們可以看到，當對一個正弦波點頻脈沖進行傅里葉變換后，在頻譜上會得到一個sinc函數。而這個sinc函數具有一個令人振奮的特點，即其主瓣寬度與脈沖點頻正弦波的脈沖寬度成反比！比例關系為：當脈沖寬度為5us時，其傅里葉變換的主瓣寬度為0.177MHz；而當脈沖寬度為50us時，其傅里葉變換的主瓣寬度為0.0177MHz。這一特點意味著通過傅里葉變換我們可以將一個很寬的脈沖壓縮成一個極窄的脈沖，并且脈沖寬度越寬，則壓縮后的窄脈沖寬度越窄。值得注意的是，上述的變換是按照“時域->頻域”這一順序進行的。但傅里葉變換是一個數學變換，沒有任何約束條件要求變換必須按照上述順序執(zhí)行。傅里葉變換完全可以在“頻域->時域”這樣的順序執(zhí)行。換言之，不管是在時域還是在頻域，只要我們在一個域（domain）中獲得了寬脈沖點頻信號，那么通過一次傅里葉變換，我們就可以得到一個窄脈沖，從而完成處理工作！因此，雷達信號處理工作的目的就變得明晰起來：我們要得到窄脈沖，以獲得高分辨率；要得到窄脈沖，就必須在某一個域內（可以是時域，頻域，波數域，空間域等等）得到點頻寬脈沖信號；點頻寬脈沖信號意味著兩個方面：矩形包絡、線性相位。下面我們來考察一個線性調頻脈沖回波信號： 式SEQ式\*ARABIC3為目標延遲，為脈沖周期，為脈沖寬度，為調頻斜率。為矩形脈沖框。對上式進行傅里葉變換，可得：（通過相位駐定POSP原理推導） 式SEQ式\*ARABIC4我們構造一個參考函數：，將此函數與相乘，則得： 式SEQ式\*ARABIC5仔細觀察這個函數，我們發(fā)現完全滿足脈沖壓縮的兩個條件：具有幅度一致矩形脈沖包絡，脈沖寬度為；相位對于變量是線性的。因此只要再對進行一次FFT，即可以形成一個sinc函數，其主瓣寬度為。另外考察的相位具有一個負號（由一次傅里葉變換帶來），因此進行一次逆傅里葉變換，可把負號矯正為正號。我將上述過程用MATLAB實現一遍如下，結果如下：圖SEQ圖\*ARABIC3線性調頻脈沖信號的脈沖壓縮過程再次總結一下脈沖壓縮的處理過程：將時域信號通過傅里葉變換轉換到頻域；在頻域中，將信號包絡調節(jié)為矩形脈沖包絡，將信號相位調節(jié)為對于頻率成線性關系；將頻域信號通過傅里葉變換轉換到時域，完成壓縮。這一脈沖壓縮處理過程貫穿所有SAR算法，是SAR算法的核心。SAR算法的實質是通過對信號的二維譜進行處理，使得信號在距離向和方位向都滿足脈沖壓縮的兩個條件（矩形包絡、線性相位），然后通過逆傅里葉變換，完成距離向和方位向的壓縮處理，實現高分辨成像。Sinc插值在SAR的處理過程中，由于存在距離徙動，因此需要通過一些方法來進行矯正。對于RDA和ωkA算法而言，是通過sinc插值來實現的。因此有必要專門對sinc插值作一個介紹。對于一個離散數據序列，其中i=1,2,3…。如果要想根據，求得序列x的值，其中x=i+delta(i)?？刹捎靡韵鹿絹韺崿F： 式SEQ式\*ARABIC6這里要特別注意，x和i都是歸一化后的數字。例如要對信號在頻域進行插值時，需要先將頻率坐標歸一化，然后再進行插值。如果要全序列插值意味著對于每一點都要計算一遍整個序列，這樣計算開銷太大，一般采用8點sinc插值，即可滿足精度。Sinc插值步驟：根據矯正函數計算每一點的校正值delta(i)將（delta(i)/坐標間隔），得到歸一化后的校正值D(i)對D(i)取整得到DZ(i)，得到每一點的校正中心對每一點i，取DZ(i)前后八點，得到這八點的原值g(D(i))應用sinc插值公式進行sinc插值。下圖為sinc插值MATLAB仿真結果。圖SEQ圖\*ARABIC4sinc插值函數仿真結果SAR回波構造合成孔徑算法是通過對多個孔徑的接收信號進行統一處理的算法。這些孔徑僅存在位置上的區(qū)別，對于接收信號的時間、先后次序都沒有關系。SAR信號可以通過下圖來解釋：圖SEQ圖\*ARABIC5SAR的示意設定SAR雷達發(fā)射信號為：，() 式SEQ式\*ARABIC7雷達運行軌跡視為慢時間維度，亦稱為方位向；距離向時間為快時間維度。對于目標，對于某一個慢時間維度，目標與雷達的距離為，為載機飛行速度。此處采用“停-跳”近似，即在一個脈寬內，載機與目標可近似為相對靜止。則雷達回波為： 式SEQ式\*ARABIC8雷達回波通過下變頻處理后，去除載波得基帶信號： 式SEQ式\*ARABIC9對于和都是采樣時間序列。對于而言，在一般雷達處理過程中，是對整個PRF進行采樣處理。由于SAR雷達一般工作于比較高的帶寬，其處理采樣率非常高，如果對整個PRF進行采樣處理，那么處理機將會飽和。另一方面，SAR雷達一般工作于對地模式，主瓣照射范圍是可以估計的。因此，對于快時間維度，我們一般僅截取主瓣照射范圍，進行采樣處理。從而有：，為測繪中心，為距離向主瓣照射范圍，為距離向采樣點數。對于，有，其中，為合成孔徑長度，有，為一次合成孔徑的時間（幀周期），為PRF個數，可以看成是方位向的采樣點數。當存在多個目標時，REF_Ref412880912\h式9則擴展為多個目標的回波合成，如下式所示： 式SEQ式\*ARABIC10以上為SAR回波的構造過程。下圖為通過上述方法實現的SAR回波仿真信號：圖SEQ圖\*ARABIC6SAR回波仿真圖具體仿真過程詳見MATLAB源碼。SAR算法說明脈沖壓縮由REF_Ref412881327\r\h2.1節(jié)可知，要想獲得高分辨的目標探測，就必須進行脈沖壓縮。SAR也是如此。而要向實現脈沖壓縮，必須遵循以下步驟：將時域信號通過傅里葉變換轉換到頻域；在頻域中，將信號包絡調節(jié)為矩形脈沖包絡，將信號相位調節(jié)為對于頻率成線性關系；將頻域信號通過傅里葉變換轉換到時域，完成壓縮。由于SAR的信號是一個二維信號（距離向VS方位向，或快時間VS慢時間）。因此，必須在兩個維度上都實現脈沖壓縮才可以獲得高分辨成像。由此，我們把脈沖壓縮的步驟重新用二維信號的角度梳理一遍，即可得到兩種SAR算法的實現方案。一種是兩個維度分別進行脈沖壓縮，另一種而是兩個維度統一進行脈沖壓縮。如下圖所示：圖SEQ圖\*ARABIC7SAR算法的基本流程REF_Ref412882927\h圖6左半部分為在兩個維度分別進行脈沖壓縮，這是RDA算法的主要實現手段。REF_Ref412882927\h圖6右半部分是兩個維度統一進行脈沖壓縮，這是ω-k算法的主要實現手段。還有一種將兩者結合的實現方法，即現在兩個維度進行統一的幅相矯正，然后再針對方位向作一次幅相矯正，這是CSA算法的主要實現手段。由于針對不同的算法，脈沖壓縮的手段也有所不同。RDA算法算法理論為簡化模型，對單點目標進行分析，現重寫REF_Ref412880912\h式9： 式SEQ式\*ARABIC11距離向傅里葉變換以為變量，對REF_Ref412885145\h式11進行FFT，根據相位駐定原理（POSP），可得傅里葉變換結果為 式SEQ式\*ARABIC12距離向，乘以參考函數構造一個參考函數：，將此函數與相乘，可得 式SEQ式\*ARABIC13由上式可知，對于變量而言，滿足脈沖壓縮的兩個條件：矩形包絡、相位線性。距離向，逆傅里葉變換對進行一次逆傅里葉變換，再次運用POSP原理，可得： 式SEQ式\*ARABIC14由此可知，在距離向上，算法完成了脈沖壓縮。對于每一個PRF，信號在處有一個明顯的峰值。方位向，傅里葉變換以為變量，對進行傅里葉變換。由于，對于正側視或斜側視SAR而言，，因此可作如下近似：式SEQ式\*ARABIC15將REF_Ref412889645\h式15代入REF_Ref412889651\h式14中，可得：式SEQ式\*ARABIC16觀察上式，可以發(fā)現，上式是關于的線性調頻信號，其中調頻斜率為。那么我們可以通過對其傅里葉變換，然后乘以參考函數，使之相位呈線性關系，從而獲得脈沖壓縮的相位條件。REF_Ref412890100\h式16對變量進行傅里葉變換，可得：式SEQ式\*ARABIC17其中，為合成孔徑時間，。距離徙動矯正（RCMC）對于REF_Ref412894756\h式17，其幅度包絡為，其中還包含有這一項，與相關。不滿足矩形脈沖包絡的要求。這一項這就是距離徙動項。因此，我們必須在方位頻域進行矯正，然后才能進行下一步工作。矯正的方法是在距離向上，根據每一個采樣時刻的，通過sinc插值計算時刻的值，我們令，則得到距離矯正后的函數值：式SEQ式\*ARABIC18可以看到，的包絡中不包含項，因此滿足了脈沖壓縮的矩形脈沖包絡這一條件。方位向，乘以參考函數構造一個參考函數：，將此函數與相乘，可得：式SEQ式\*ARABIC19從REF_Ref412894801\h式19中可以非常明顯的看到，滿足脈沖壓縮的兩個條件：矩形脈沖包絡和線性相位。因此，僅需進行一步逆傅里葉變換即可得到高分辨的壓縮后波形。方位向，逆傅里葉變換對REF_Ref412894801\h式19以變量，進行逆傅里葉變換，可得：式SEQ式\*ARABIC20考察REF_Ref412896516\h式20，我們發(fā)現sinc函數內部尺度被擴大了倍（距離向）、（方位向）倍。由此可以看到，當快時間（或慢時間）偏離（或）時，其函數幅值下降的“速度”比脈沖壓縮前快了（或）倍。這就是造成脈沖壓縮出現峰值的數學原因。算法流程RDA算法流程如下圖所示：圖SEQ圖\*ARABIC8RDA算法流程參考函數a：矯正值b：參考函數c：MATLAB仿真結果仿真參數：1024×1024點；帶寬：500MHz；載機速度：400m/s其他參數見MATLAB源碼。仿真結果如下圖所示：圖SEQ圖\*ARABIC9仿真結果由圖中可以非常明顯的看出RCMC前后原本在方位向彎曲的頻譜被矯正為直線?？疾炀嚯x向展寬及副瓣抑制比，如下圖所示。圖SEQ圖\*ARABIC10距離向測試有圖中可知，距離向副瓣抑制比可達38dBc?？疾旆轿幌蛘箤捈案卑暌种票?，如下圖所示。圖SEQ圖\*ARABIC11方位向測試有圖中可知，方位向副瓣抑制比也可達16dBc以上。從圖中也可以明顯看出，在經過RCMC后，方位向頻譜的幅度包絡明顯得到了矯正。如果不進行RCMC，則成像結果如下圖所示。圖SEQ圖\*ARABIC12不進行RCMC的成像情況從圖中可見，在不進行RCMC時，方位向由于不滿足矩形脈沖包絡的條件，因此方位向壓縮時無法得到高分辨率sinc函數。如下圖所示。圖SEQ圖\*ARABIC13沒有RCMC情況下，方位向仿真結果由于是在兩個維度的積累，因此RDA算法具有很強的噪聲中檢測能力。REF_Ref412923595\h圖18為處理前端SNR=-20dB時，ω-k算法成像結果。圖SEQ圖\*ARABIC14SNR=-20dB時，成像效果從圖中可知，RDA算法在SNR=-20dB時，依舊具有較好的成像效果。ω-k算法算法理論我們再次從REF_Ref412880912\h式9開始： 式SEQ式\*ARABIC21二維傅里葉變換文獻中沒有對于先進性哪一個維度的傅里葉變換作說明，理論上也不應該有先后次序的關系。但實際仿真過程中發(fā)現，先進行方位向傅里葉變換可以得到好得多的成像，原因待分析。我們對REF_Ref412898809\h式21進行二維傅里葉變換，這一傅里葉變換的推導過程非常復雜，需要反復應用POSP原理，現直接給出文獻推導的結果：式SEQ式\*ARABIC22一致壓縮構造一個參考函數：將其與相乘式SEQ式\*ARABIC23對于相位，不管是對于還是對于都不成線性。而對于包絡而言，其對于和也都不是矩形脈沖包絡。進一步的，我們仔細觀察相位和包絡，發(fā)現其中最主要的耦合項為，竟然是一模一樣的！換言之，只要這一項耦合項相對于一個變量成線性關系，那么相位和包絡可以同時被矯正，以滿足脈沖壓縮的兩個條件！基于這樣的理解，我們開始下一步操作，文獻稱之為補余壓縮。補余壓縮我們將耦合項矯正為對于一個變量是線性的，這一矯正我們在距離向上進行。令。之所以要減去一個，是因為盡可能的將與接近，使插值更為精確。是一個線性值為則，矯準值為。與RDA類似，我們要在已知，獲取的值，最佳的方案就是采用sinc插值方法。在ω-k算法中，這一步sinc插值一般稱為STLOT插值，或者叫做補余壓縮。補余壓縮后，二維譜改寫為式SEQ式\*ARABIC24至此，我們可以看到對于在距離頻域和方位頻域兩個維度上都滿足矩形脈沖包絡和線性相位的要求。因此可以進行一次IFFT，以完成脈沖壓縮。仔細觀察REF_Ref412921014\h式24，發(fā)