七年級數(shù)學(xué)競賽系列講座11應(yīng)用題（三）一、一、知識要點數(shù)學(xué)應(yīng)用題涉及的題材廣泛，內(nèi)容豐富。大到衛(wèi)星上天，小到平常生活，無時無地不表現(xiàn)數(shù)學(xué)的作用。數(shù)學(xué)應(yīng)用題我們不能夠限制于幾各種類，主要的是要增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，提高辦理數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力。解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的要點是從數(shù)學(xué)應(yīng)用題中抽象出數(shù)學(xué)模型，把數(shù)學(xué)應(yīng)用題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€數(shù)學(xué)問題來解決。二、二、例題精講例1某果品商店進行組合銷售，甲種搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙種搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙種搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果。已知A水果每千克2元，B水果每千克元，C水果每千克10元，某天該商店銷售這三種搭配共得元，其中A水果的銷售額為116元，則C水果的銷售額為元。2000年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題解：設(shè)該天賣出甲種、乙種、丙種水果分別為、、套，依題意有22x3y2z1168.8x25.6y21.2z441.2、1∴

2x3y2z5822x64y53z1103消去得：31=465，故=15所以，共賣出C水果15千克，C水果的銷售額為1510=150評注：此題列出的是不定方程，要求出、、是不能能的，但此題只要整體地求出就行了。例2某班參加一次智力競賽，共a、b、c三題，每題也許得滿分也許得0分。其中題a滿分20分，題b、題c滿分分別為分。競賽結(jié)果，每個學(xué)生最少答對了一題，三題全答對的有一人，答對其中兩道題的有15人。答對題a的人數(shù)與答對題b的人數(shù)之和為29；答對題a的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為25；答對題b的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為20。問這個班平均成績是多少分1999年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽二試一試題解：設(shè)答對題a、答對題b、答對題c的人數(shù)分別為、、，則有xy29x17xz25解得y12yz20z8所以答對一題的人數(shù)為：37-13-215=4全班人數(shù)為：1415=20172012825故全班平均成績?yōu)?0

422答：這個班平均成績是42分評注：此題是經(jīng)過設(shè)間接未知數(shù)來列方程，設(shè)未知數(shù)的方法一般和直接和間接兩種。例3在邊防沙漠地帶，巡邏車每天行駛200公里，每輛巡邏車可裝載供行駛14天的汽油?，F(xiàn)有5輛巡邏車同時從駐地A出發(fā)，完成任務(wù)后再沿原路返回駐地，為了讓其中三輛盡可能向更遠的距離巡邏爾后再一起返回，甲、乙兩車行至途中B處后，僅留足自己返回駐地所必定的汽油，將節(jié)余的汽油留給別的三輛使用，問其他三輛可行進的最遠距離是多少公里1995年河北省初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題解：設(shè)巡邏車行到途中B處用了天，從B處到最遠處用了天，則有2[32]=145，即53=35又由題意，需>0，>0且145–52≤143，即≥45x3y35x4從而問題的實質(zhì)是在拘束條件y0之下，求的最大值，顯然=5，這樣，20045=1800公里所以其他三輛可行進的最遠距離是1800公里例4龍九想知道圓珠筆、彩筆、鉛筆、簽字筆和熒光筆的價格，這些筆中每兩種筆每種各一支裝一盒，它們的價格分別是3250元、290元、320元、340元、360元、370元、390元、410元、430元、480元。鉛筆比彩筆低價30元，簽字筆比圓珠筆貴，熒光筆比簽字筆貴。求出每種筆的價格。第一屆漢城國際數(shù)學(xué)競賽試題解析：設(shè)光筆、簽字筆、圓珠筆、彩筆、鉛筆的價格分別是a>b>c>d>e元,每兩種筆合在一起，能夠得出10個和：ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de由光筆、簽字筆、圓珠筆、彩筆、鉛筆的價格的大小關(guān)系得出ab最大，ac次之，de最小，ce次小，從而列出方程組。解：設(shè)熒光筆、簽字筆、圓珠筆、彩筆、鉛筆的價格分別是a>b>c>d>e元,每兩種筆合在一起，能夠得出10個和：ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de其中ab最大，ac次之，de最小，ce次小。ab480(1)ac430(2)ce290(3)所以de250(4)1-2得：b-c=50553得：be=3406在上面10個和中，cd必定小于bd，可可否比be小，難以4判斷，現(xiàn)在be=340，所以cd=3207347得2cde=860所以cde=430從而可得：c=180，d=140，e=110進一步可得：b=230，a=250即熒光筆、簽字筆、圓珠筆、彩筆、鉛筆的價格分別是250元、230元、180元、140元、110元評注：此題未知數(shù)多，方程也多，必定仔細解析題意，理清它們的關(guān)系，才能正確求解。例5有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需元；若購甲4件，乙10件，丙1件，共需元。現(xiàn)在購甲、乙、丙各一件共需多少元解析：設(shè)甲、乙、丙三種貨物的單價分別為、、元，由題意，很簡單得出二條方程，但二個方程三個未知數(shù)，無法求出、、，實質(zhì)上，此題的目標(biāo)不是求、、，而是求，我們能夠想法整體地求出。解：設(shè)甲、乙、丙三種貨物的單價分別為、、元，由題意得：3x7yz3.15(1)4x10yz4.20(2)設(shè)m37n410=則3m4n7m10nmn=53m4n=7m10n=mn=1，從而求得m=3，n=-2=337-2410=3=答：購甲、乙、丙各一件共需元。評注：此題列出的是不定方程組，無法求出、、，但此題的目標(biāo)不是求、、，而是求，所以此題經(jīng)過待定系數(shù)法求出與37和410的關(guān)系，從而整體地求出。這是整體思想的表現(xiàn)。例6某手表每小時比正確時間慢3分鐘，若在清晨4點30分與正確時間對準(zhǔn)，則在當(dāng)天上午手表指示時間為10點50分時，正確時間應(yīng)該是多少x-105解析：設(shè)所求的正確時間為小時，則6小時為手表從清晨4點30分走到上午10點50分所慢的小時數(shù)，x-41小時為手表從清晨4點30分走到上午10點50分時，1實質(zhì)走的正確的小時數(shù)，因為手表每走1小時要慢20小時，11111x-105x-4x-4x-4所以2小時慢了202小時，則202=6解：設(shè)所求的正確時間為小時，由題意得：115x-4=x-102026解之得：x111(小時)11小時10分6答：正確時間應(yīng)該是11點10分。6例7某出租車的收費標(biāo)準(zhǔn)是：5千米之內(nèi)起步費元，此后每增加1千米增收元。現(xiàn)從A地到B地共支出車費24元，若是從A先步行460米，爾后乘車到B也是24元，求從AB的中點C到B地需支付多少車費。解析：解決這個問題的要點是要計算出CB的行程，由于車費的計算方式是n是乘車行程大于5千米部分所含1千米的個數(shù)，不足1千米也要算1千米，從A地到B地共支出車費24元，代2410.8117.73x8入可計算出n=11，于是51101.228千米mn%n>0，則抬價最多的方案是哪一種解：設(shè)飲料原價格為1，則按甲抬價方案抬價后的價格是：1m%1n%按乙抬價方案抬價后的價格是：1n%1m%mn按丙抬價方案抬價后的價格是：12%2顯然甲、乙兩種方案最后價格是一致的，所以只要比較mn1m%1n%與12%2的大小1m%1n%=1m%n%m%n%=1mn%m%n%mnmnmnmn12%2=12?2%2%2=1mn%2%27mn所以只要比較m%n%與2%2的大小即可mnmn2mn∵2%2-m%n%=41002-10021mn24mn1mn2=1002410024>0m2n%2>m%mn%2>1m%1n%∴n%，即12所以，丙種方案抬價最多。評注：此題應(yīng)用了比差法來比較大小，比差法是比較大小的最常用方法。三、三、牢固練習(xí)選擇題1、甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲，那么2000年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題A、甲比乙大5歲B、甲比乙大10歲C、乙比甲大10歲D、乙比甲大5歲2、一次考試共有5道試題，考后成績統(tǒng)計以下：有81%的同學(xué)做對第一題，91%的同學(xué)做對第二題，85%的同學(xué)做對第三題，79%的同學(xué)做對第四題，74%的同學(xué)做對第五題。若是做對三道題以上包括三道的同學(xué)為考試合格，則此次考試的合格率至少為8A、70%B、74%C、81%D、73%第六屆《祖沖之杯》數(shù)學(xué)邀請賽試題3、甲、乙、丙、丁四個拿出同樣多的錢，合伙訂購?fù)瑯右?guī)格的若干貨物。貨物買來后，甲、乙、丙分別比丁多拿了3，7，14件貨物，最后結(jié)算時，乙付給丁14元，那么丙應(yīng)付給丁第七屆《祖沖之杯》數(shù)學(xué)邀請賽試題A、28元B、56元C、70元D、112元4、某酒店基層客房比二層客房少5間，某旅游團有48人，若全部安排在基層，每間住4人，房間不夠；而每間住5人，有的房間未住滿。又若全部安排在二層，每間住3人，房間不夠；而每間住4人，有的房間未住滿。這家酒店基層共有房間A、9個B、10個C、11個D、12個5、若是某一年的5月份中，有5個星期五，它們的日期之和為80，那么這個月的4日是星期A、一B、三C、五D、日6、有面額為壹圓、貳圓、伍圓的人民幣共10張，所實用來購買一把價值為18元的雨傘，不同樣的付款方式共有A、1種B、2種C、3種D、4種填空題7、某校初一、初二、初三各年級的學(xué)生數(shù)同樣，已知該校的初一的男生數(shù)與初二的女生數(shù)同樣，初三男生占全校男生的93，那么全校女生占全校學(xué)生的8、在一家三口中，每兩個人的平均年齡加上余下的一人的年齡，分別獲取49，62，63，那么這三個人中最大年齡與最小年齡的差是9、某校初三學(xué)生在操場排隊，站2排對齊恰剩1人，站3排對齊恰剩2人，站4排對齊恰剩3人，站5排對齊恰剩4人，站6排對齊恰剩5人，而站7排對齊恰無節(jié)余，則該校初三學(xué)生最稀有人10、某縣有500名學(xué)生參加第七屆《祖沖之杯》數(shù)學(xué)邀請賽，平均得分63分。該縣男生平均得分60分，女生平均得分70分，則該縣參賽男生比女生多人11、在計算一個正數(shù)乘以時，某同學(xué)誤將錯寫成，結(jié)果與正確的答案相差，則正確的乘積結(jié)果是12、99名學(xué)生去劃船，大船每只可乘坐12人，小船每只可乘坐5人，若是這些學(xué)生把租來的船都坐滿，則大船和小船應(yīng)該分別租只。解答題13、某商店有甲、乙兩種鋼筆共143支，甲種鋼筆每支6元，乙種鋼筆每支元，某學(xué)校購了該商店的乙種鋼筆全部和部分甲種鋼筆，經(jīng)過核算后，發(fā)現(xiàn)應(yīng)付款的總數(shù)與甲種鋼筆的總數(shù)沒關(guān)，問購買的甲種鋼筆是該商店甲種鋼筆總數(shù)的百分之幾1014、某收買站分兩個等級收買小麥，一等小麥每千克為a元，二等小麥每千克為bb<a元，現(xiàn)有一等小麥千克，二等小麥千克，若以兩種價格的平均數(shù)收買，可否公正合理15、在一段公路上，學(xué)生平均地植樹10棵，這批樹由卡車運來，問卡車在什么地方卸車最好可使學(xué)生們搬樹的距離和最小16、有一批貨，若是本月初銷售，可盈利100元，爾后將本利都作某項投資，已知該項投資的月息為%；假以下月初銷售，可盈利120元，但要付5元保留費，試問這批貨何時銷售比較好本月初還是下月初說明原由。17、某市初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，有A、B、C、D四校參加，A、B校共有16名選手，B、C校共有20名選手，C、D校共有34名選手，且各校選手人數(shù)正好按A、B、C、D次序從小到大排列，求各校人數(shù)。18、某人下午6點多出門