方法技巧專題（七）角平分線訓練【方法解讀】1.與角平分線有關的判定和性質(zhì)：（1）角平分線的判定和性質(zhì).（2）角平分線的夾角：①三角形兩內(nèi)角的平分線的夾角等于90°與第三角一半的和；②三角形兩外角的平分線的夾角等于90°與第三角一半的差；③三角形一內(nèi)角與另一外角的平分線的夾角等于第三角的一半 .（3）三角形的內(nèi)心及其性質(zhì).（4）圓中弧、圓心角、圓周角之間的關系.2.與角平分線有關的圖形或輔助線 ：（1）角平分線“加”平行線構成等腰三角形 .（2）角平分線“加”垂線構成等腰三角形.（3）過角平分線上的點作邊的垂線[2018?黑龍江]如圖F7-1,ZB=ZC=90°,M是BC的中點，DMF分/ADC且/ADC=10°,則/MAB勺度數(shù)是（ ）圖F7-1A.30° B.35°C45° D.60°[2018?陜西]如圖F7-2,在△ABC^,AC=8,ZABC=0,ZC=45,ADLBC垂足為D/ABC勺平分線交AD于點E,則AE的長為 （ ）B.2一D.3圖F7-B.2一D.3圖F7-2[2018?達州]如圖F7-3,4ABC勺周長為19,點DE在邊BC上，/ABC勺平分線垂直于AE垂足為N/ACB勺平分線垂直于AD垂足為M.若BC7,則MN勺長為 ( )圖F7-3B.2D.3BF如圖F7-4,在直角梯形ABC珅，DC/AB/DAB=0°,ACLBCAC=BC/ABC勺平分線分別交ADAC于點E,F,貝產(chǎn)的值D圖F7D圖F7-46A.--1C二+1[2017?濱州]如圖F7-5，點P為定角/AOB勺平分線上白^一個定點，且/MPNW/AOBT補.若/MPNE繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與OAOBf交于MN兩點，則以下結論：(1)PM=PN1成立；(2)OM+ON值不變；(3)四邊形PMOlNl面積不變；(4)MN勺長不變.其中正確的個數(shù)為( )

圖F7-5A.4 B.3 C.2 D1[2016?寧夏]如圖F7-6,在平行四邊形ABCD3，/BAD勺平分線AE交BC于點E且BE=3,若平行四邊形ABCD勺周長是16,則EC等于.圖F7-6I可[2017?十堰]如圖F7-7,4ABC內(nèi)接于。O/ACB=0°,/ACB的平分線交。O于點D若AC=6,BD=,則BC的長圖F7-7如圖F7-8,在矩形ABCW，/ABC勺平分線BE與AD交于點E,/BED勺平分線EF與DC交于點F,若AB=9,DF=2FC則BC=.（BC=.（結果保留根號）圖F7-8如圖F7-9,已知。O的直徑AB=5,ACAE為弦，且AC4,AC平分/BAE求AE的長.圖F7-9[2017?鹽城]如圖F7-10，矩形ABC由，/ABD/CDB勺平分線BEDF分別交邊ADBC于點EF.⑴求證：四邊形BED叨平行四邊形.(2)當/ABE為多少度時，四邊形BEDF!菱形叫說明理由.圖F7-10[2017?臨沂]如圖F7-11,/BAC勺平分線交△ABC勺外接圓于點D,/ABC勺平分線交AD于點E.⑴求證：DE=DB(2)若/BAC=0,BD=4,求△ABC7卜接圓的半徑D圖F7-11如圖F7-12,BD是△ABC勺角平分線，它的垂直平分線分別交ABBDBC于點E,F,G連結EDDG.(1)請判斷四邊形EBGD勺形狀，并說明理由；vTo(2)若/ABC=0,/C=45,ED=2 ，點H是BD上的一個動點，求HG+HC1最小值.圖F7-12參考答案BC［解析］「BE平分/ABD/ABC60,???/ABE4EBD=0..ADLBC，/BDA=0.1??DE=BE./BAD90-60°=30°,??/BADNABE30,.AE=BE2DEAE=AD.AD在RtAACD^,sinC=匚無LTV2，AD=ACnC=8X=4AE=SX4故選CC［解析］■「△ABC勺周長為19,BC=;AB+AC=2.???/ABCW平分線垂直于AE垂足為NBA=BEN是AE的中點.???/ACB勺平分線垂直于AD垂足為MAC=D皿是AD的中點,：.DE=AB+AC-BC=1 5Mt<△ADE勺中位線,MN=DE=.故選C.C［解析］如圖，過點F作FGLAD于點G.依題意可知△ABO等腰直角三角形AFG&是等腰直角三角形.設FG=,則AG=,AF=:???BE平分/ABC./ABE=2.5??/AEB90-/ABE67.5,/AFEZCAB￡ABE=67.5./AEBNAFE.AE=A*EG=?-1..FGLAD/DAB90,FG//AB.8FAd1彘手工京=6+1.故選cB［解析］結論(1),如圖，過點P分別作OAOB勺垂線段，由于/PEOgPFO90,因此/AOB</EPFS補，由已知“/MPNI/AOBS補”，可得/MPN=EPF可得/MPE=NPF根據(jù)“角平分線上一點到角兩邊距離相等" ，可證PE=PF即可證彳導RtAPMBRt^PNF因此對于結論(1),"PM=PN由全等即可證得是成立的；結論(2),也可以由全等得到ME=N,M可證得OM+ON=OE+OF"OE+O腺持不變，因此OM+ON值也保持不變；結論(3),由“Rt^PM自Rt^PNF可得這兩個三角形的面積相等，因此四邊形PMOIW面積與四邊形PEO時面積始終相等，因此結論(3)是正確的；結論(4)，如圖，連結EF對于△PMNT△PEF這兩個三角形都是等腰三角形 ，且頂角相等，但由于腰長不等，因此這兩個三角形不可能全等，所以底邊MNWEF不可能相等.所以MN勺長是變化的.故選B.6.2.8［解析］連結DA因為/ACB90°,所以AB為。O的直徑，所以/ADB90.因為CD平分/ACB所以BD=AD^AABD中，ab=箭。訪二歷+⑶絲10.在△abc^例療后興匹一.6a+3［解析］如圖，延長EF和BC交于點G.矩形ABC中,/ABC勺平分線BE與A改于點E,所以/ABENGBE45,染十HE2g-+第所以在Rt^ABE中，/ABENAEB45。，所以AB=AE9.在Rt^ABE中，根據(jù)勾股定理，得BE= = =9.又因為/BED的平分線EF與DC相交于點F,所以/BEGgDEF.因為AD//BC所以/G=/DEF所以/BEGgG所以CGCfCP1BG=BE=2由/g=ZDEF/EFDWGFC可得△EF必△GFC所以=E=^=仃=.設CG=xDE=2x,貝UAD=)+2x=BC.因為BG=BC+(CGr以9'?=9+2x+x,解得x=3"'-3,所以BC=9+2x=9+2(3、？-3)=6'*+3..解:如圖，連ZBCBEOCO?BE于點G.因為/BAE3/BAC=BOC且/BAE+ABE20,所以/OGB90,即OCLBE所以BG=EGAE=20G.三 ~ \ -I設。6=乂則CG=-x,BC=3,由勾股定理可得OB-OG=B6CG\即“-x2=9-'Lx",解得x=°,故AE=2x=..解:(1)證明：.??四邊形ABC虛矩形，AB//CDBC//AD../ABD=CDB.BE平分/ABDDF平分/CDB1 i?/EBD=/ABD/FDB=/CDB../EBD=FDB...BE//DF.又???BC/AD.?.四邊形BEDF1平行四邊形.(2)當/ABE30時，四邊形BED喔菱形.理由如下：.BE平分/ABD/ABE30,??/ABD60,/DBE=0.??四邊形ABC比矩形，/A=90°,ZADB90-/ABD=0-60°=30.??ZDBEYADBDE=BE.?.四邊形BED忠平行四邊形，??四邊形BED思菱形.11.解:(1)證明：「AD^分/BAC，/BADNCAD.又./CBDgCAD/BAD=CBD..BE平分/ABC./CBEgABE/DBE=CBE+CBD=ABE廿BAD.又?./BED=ABEyBAD??.ZDBE=BEDDE=BD.(2)如圖，連結CD.???/BAC90,BC是直徑,/BDC=0.?A葉分/BACBD4BD=CD=BC；二4二「.△ABC7卜接圓的半徑為2二12.解:(1)四邊形EBG比菱形.理由：.EG^直平分BD..EB=EDGB=G,D??/EBDgEDB.?B葉分/ABC./EBD=DBC./EDFNGBF.在△EFD^△GFB43,\DF=甌. EF四△GFBED=BGBE=ED=DG=,GB???四邊形EBGDi菱形.(2)如圖,分別過點E,D作EMLBCT點MDNLBC于點N連結EC交BD于點H此時HG+H最小,在RtAEBMfr,??/EMB90,/EBM30,EB=ED2=vl°，EM=BE/0.DE//BCEMLBCDNL