第四章線性方程組4.1消元法4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法4.3線性方程組的公式解4.4結(jié)式和判別式第四章線性方程組4.1消元法1偉大的數(shù)學(xué)家，諸如阿基米得、牛頓和高斯等，都把理論和應(yīng)用視為同等重要而緊密相關(guān)。——克萊因（KleinF，1849－1925）偉大的數(shù)學(xué)家，諸如阿基米得、牛頓和高斯等，都把理論和應(yīng)用視為24.1消元法1.內(nèi)容分布

4.1.1線性方程組的初等變換

4.1.2矩陣的初等變換階梯形矩陣

4.1.3線性方程組有解的判別2.教學(xué)目的:會(huì)用消元法解線性方程組3.重點(diǎn)難點(diǎn):線性方程組的消元解法4.1消元法1.內(nèi)容分布3前一章中我們只討論了這樣的線性方程組，這種方程組有相等個(gè)數(shù)的方程和未知量，并且方程組的系數(shù)行列式不等于零，在這一章我們要討論一般的線性方程組：在實(shí)際的解線性方程組時(shí)，比較方便的方法是消元法.

（1）前一章中我們只討論了這樣的線性方程組，這種方程4例1解線性方程組：從第一和第三個(gè)方程分別減去第二個(gè)方程的1/2倍和2倍，來(lái)消去這兩個(gè)方程中的未知量（2）例1解線性方程組：從第一和第三個(gè)方程分別減去第二個(gè)方程的15得到：為了計(jì)算的方便，把第一個(gè)方程乘以-2后，與第二個(gè)方程交換，得：把第二個(gè)方程的2倍加到第三個(gè)方程，消去后一方程中的未知量，得到得到：為了計(jì)算的方便，把第一個(gè)方程乘以-2后，與第二把第6現(xiàn)在很容易求出方程組（2）的解.從第一個(gè)方程減去第三個(gè)方程的3倍，再?gòu)牡诙€(gè)方程減去第三個(gè)方程，得再?gòu)牡谝粋€(gè)方程減去第二個(gè)方程的5/3倍，得：這樣我們就求出方程組的解.現(xiàn)在很容易求出方程組（2）的解.從第一個(gè)方程再?gòu)牡谝粋€(gè)方程7①交換兩個(gè)方程的位置；②用一個(gè)不等于零的數(shù)某一個(gè)方程；③用一個(gè)數(shù)乘某一個(gè)方程后加到另一個(gè)方程.4.1.1線性方程組的初等變換線性方程的初等變換：對(duì)方程組施行下面三種變換：這三種變換叫作線性方程組的初等變換.定理4.1.1初等變換把一個(gè)線性方程組變?yōu)橐粋€(gè)與它同解的線性方程組①交換兩個(gè)方程的位置；4.1.1線性方程組的初等變換線性8線性方程組的（1）的系數(shù)可以排成下面的一個(gè)表：而利用（1）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)又可以排成下表：（3）（4）

線性方程組的（1）的系數(shù)可以排成下面的一個(gè)表：而利用（1）的94.1.2矩陣的初等變換定義1由st個(gè)數(shù)排成一個(gè)s行t列的表

叫做一個(gè)s行t列（或s×t）的矩陣，叫做這個(gè)矩陣的元素.

注意：矩陣和行列式在形式上有些類(lèi)似，但有完全不同的意義，一個(gè)行列式是一些數(shù)的代數(shù)和，而一個(gè)矩陣僅僅是一個(gè)表.

4.1.2矩陣的初等變換定義1由st個(gè)數(shù)排成一個(gè)s行t列10矩陣（3）和（4）分別叫作線性方程組（1）的系數(shù)矩陣和增廣矩陣.一個(gè)線性方程組的增廣矩陣顯然完全代表這個(gè)方程組.

定義2矩陣的行（列）初等變換指的是對(duì)一個(gè)矩陣施行的下列變換：3)用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個(gè)元素后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上.1)交換矩陣的兩行（列）2)用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列），即用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個(gè)元素；矩陣（3）和（4）分別叫作線性方程組（1）的系定義2矩陣11顯然，對(duì)一個(gè)線性方程組施行一個(gè)初等變換，相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣施行一個(gè)對(duì)應(yīng)的行初等變換，而化簡(jiǎn)線性方程組相當(dāng)于用行初等變換化簡(jiǎn)它的增廣矩陣.因此我們將要通過(guò)化簡(jiǎn)矩陣來(lái)討論化簡(jiǎn)方程組的問(wèn)題.下我們給出一種方法，就一個(gè)線性方程組的增廣矩陣來(lái)解這個(gè)線性方程組，而不必每次把未知量寫(xiě)出.

在對(duì)于一個(gè)線性方程組施行初等變換時(shí)，我們的目的是消去未知量，也就是說(shuō)，把方程組的左端化簡(jiǎn).因此我們先來(lái)研究，利用三種行初等變換來(lái)化簡(jiǎn)一個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣的問(wèn)題.在此，為了敘述的方便，除了行初等變換外，還允許交換矩陣的兩列，即允許施行第一種列初等變換.后一種初等變換相當(dāng)于交換方程組中未知量的位置，這不影響對(duì)方程組的研究.顯然，對(duì)一個(gè)線性方程組施行一個(gè)初等變換，相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣12在例1中，我們?cè)逊匠探M（2）的系數(shù)矩陣

先化為

然后，進(jìn)一步化為

定理4.1.2設(shè)A是一個(gè)m行n列的矩陣：在例1中，我們?cè)逊匠探M（2）的系數(shù)矩陣然13通過(guò)行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式：(5)通過(guò)行初等變換和第一種列初等變換能把A化為(5)14這里*表示矩陣的元素，但不同位置上的*表示的元素未必相同.證若是矩陣A的元素都等于零，那么A已有（5）的形式進(jìn)而化為以下形式，

（6）這里*表示矩陣的元素，但不同位置上的*表示的元素未必15乘第一行，然后由其余各行分別減去第一行的適當(dāng)倍數(shù)，矩陣A化為設(shè)某一不等于零，必要時(shí)交換矩陣的行和列，可以使這個(gè)元素位在矩陣的左上角.若B中，除第一行外，其余各行的元素都是零，

乘第一行，然后由其余各行分別減去第一行的適設(shè)某一不等16那么B已有（5）的形式.設(shè)B的后m–1行中有一個(gè)元素b不為零，把b換到第二行第二列的交點(diǎn)位置，然后用上面同樣的方法，可把B化為如此繼續(xù)下去，最后可以得出一個(gè)形如（5）的矩陣.

形如（5）的矩陣可以進(jìn)一步化為形如（6）的矩陣是

那么B已有（5）的形式.設(shè)B的后m–1行中有如此17顯然的.只要把由第一，第二，…，第r–1行分別減去第r行的適當(dāng)倍數(shù)，再由第一，第二，…，第r–2行分別減去第r–1行的適當(dāng)倍數(shù)，等等.顯然的.只要把由第一，第二，…，第r–1行184.1.3用消元法解線性方程組考察方程組（1）的增廣矩陣（4）.由定理4.1.2，我們可以對(duì)（1）的系數(shù)矩陣（3）施行一些初等變換而把它化為矩陣（6）.對(duì)增廣矩陣（4）施行同樣的初等變換，那么（4）化為以下形式的矩陣：(7)4.1.3用消元法解線性方程組考察方程組（1）的增廣矩陣（419與（7）相當(dāng)?shù)木€性方程組是（8）

與（7）相當(dāng)?shù)木€性方程組是（8）20由于方程組（8）可以由方程組（1）通過(guò)方程組的初等變換以及交換未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1，方程組（8）與方程組（1）同解.因此，要解方程組（1），只需解方程組（8）.但方程組（8）是否有解以及有怎樣的解都容易看出.

這里是1，2，…，n的一個(gè)全排列.情形1，

這時(shí)方程組（8）無(wú)解，因?yàn)樗暮髆–r個(gè)方程中至少有一個(gè)無(wú)解.因此方程組（1）也無(wú)解.

不全為零，由于方程組（8）可以由方程組（1）通過(guò)方程組的初等變換以及交21情形2，當(dāng)r=n時(shí)，方程組（9）有唯一解，就是這也是方程組（1）的唯一解.全為零，這時(shí)方程組（8）方程組

同解.

(9)情形2，當(dāng)r=n時(shí)，方程組（9）有唯一解，就是這也是方22當(dāng)r<n時(shí)，方程組（9）可以改寫(xiě)成

(10)于是，給予未知量以任意一組數(shù)值，就得到（9）的一個(gè)解：當(dāng)r<n時(shí)，方程組（9）可以改寫(xiě)成(1023這也是（1）的一個(gè)解.由于可以任意選取，用這一方法可以得到（1）的無(wú)窮多解.另一方面，由于（9）的任一解都必須滿(mǎn)足（10），所以（9）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上方法得出.我們把未知量這也是（1）的一個(gè)解.由于可以任意選取，用這一方法可以得到24叫做自由未知量，而把（10）叫做方程組（1）的一般解.

例2解線性方程組這樣，線性方程組（1）有沒(méi)有解，以及有怎樣的解，都可以從矩陣（7）看出.因此，我們完全可以就方程組（9）的增廣矩陣來(lái)解這個(gè)方程組.叫做自由未知量，而把（10）叫做方程組（1）的例2解線性方25

施行行初等變換，并且注意，我們是要把其中所含的系數(shù)矩陣先化為（5），再化為（6）的形式.由第一和第二行分別減去第三行的5倍和2倍，然后把第三行換到第一行的位置，得

解：對(duì)增廣矩陣施行行初等變換，并且注意，我們是要把其中所含解：對(duì)增廣矩26由第二行減去第三行的2倍，得

雖然我們還沒(méi)有把增廣矩陣化成（5）的形式，但已可看出，相當(dāng)于最后矩陣的線性方程組中的一個(gè)方程是0=5所以原方程無(wú)解.由第二行減去第三行的2倍，得雖然我們27例3解線性方程組

解：這里的增廣矩陣是例3解線性方程組解：這里的增廣矩28繼續(xù)施行行初等變換，這一矩陣可以化為這個(gè)矩陣本質(zhì)上已有（5）的形式，這一點(diǎn)只要交換矩陣的第二和第三兩列就可以看出.進(jìn)一步由第一行減去第二行的三倍，得出相當(dāng)于（6）型的矩陣把第一行的適當(dāng)倍數(shù)加到其它各行，得繼續(xù)施行行初等變換，這一矩陣可以化為這個(gè)矩陣本質(zhì)上已有（5）29對(duì)應(yīng)的線性方程組是把移到右邊，作為自由未知數(shù)，得原方程組的一般解：對(duì)應(yīng)的線性方程組是把移到右邊，作為自由未知數(shù)，得原方程組的一304.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法1.內(nèi)容分布4.2.1k階子式、矩陣秩的定義用初等變換求矩

陣的秩4.2.2線性方程組可解的判別法2.教學(xué)目的:1)理解矩陣秩的定義2)會(huì)用初等變換求矩陣的秩3)會(huì)用消元法解線性方程組3.重點(diǎn)難點(diǎn):矩陣秩的定義線性方程組的可解的判別法4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法1.內(nèi)容分布314.2.1k階子式、矩陣秩的定義用初等變換求矩陣的秩

在上一節(jié)課講述了用消元法來(lái)解線性方程組：(1)這個(gè)方法在實(shí)際解方程組是比較方便的，但是我們還有幾個(gè)問(wèn)題沒(méi)解決。4.2.1k階子式、矩陣秩的定義用初等變換求矩陣的32簡(jiǎn)化為以下形式一個(gè)矩陣（甲）利用初等變換把方程組（1）的系數(shù)矩陣（2）（3）簡(jiǎn)化為以下形式一個(gè)矩陣（甲）利用初等變換把方程組（1）的系33并且看到，在矩陣（3）中出現(xiàn)的整數(shù)r在討論中占有重要的地位.但是我們對(duì)這個(gè)整數(shù)還沒(méi)有什么了解.r和系數(shù)矩陣（2）究竟有什么關(guān)系？它是由系數(shù)矩陣（2）所唯一決定的，還是依賴(lài)于所用的初等變換？因?yàn)槲覀兛梢杂貌煌某醯茸儞Q，把系數(shù)矩陣（2）化為形如（3）的矩陣.（乙）方程組（1）有解時(shí)，它的系數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足什么條件？（丙）我們沒(méi)有得出，用方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)來(lái)表示解的公式，而解的公式在理論上有重要的意義.并且看到，在矩陣（3）中出現(xiàn)的整數(shù)r在討論中占有重要的地位.34矩陣的秩利用一個(gè)矩陣的元素可以構(gòu)成一系列的行列式..位于這些行列交點(diǎn)處的元素（不改變?cè)叵鄬?duì)的位置）所構(gòu)成的k階行列式叫作這個(gè)矩陣的一個(gè)k階子式.我們看一看，在矩陣（3）中出現(xiàn)的整數(shù)r和這個(gè)矩陣的子式之間有些什么關(guān)系.假定r>0.這時(shí)，矩陣（3）含有一個(gè)r階的子式：定義1在一個(gè)s行t列的矩陣中，任取k行k列矩陣的秩.位于這些行列交點(diǎn)處的元素（不改變?cè)叵鄬?duì)的位置）35定義2一個(gè)矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫做這個(gè)矩陣的秩.若一個(gè)矩陣沒(méi)有不等于零的子式，就認(rèn)為這個(gè)矩陣的秩是零.按照定義，一個(gè)矩陣的秩的不能超過(guò)這個(gè)矩陣的行的個(gè)數(shù)，也不能超過(guò)它的列的個(gè)數(shù).一個(gè)矩陣A的秩用秩A來(lái)表示.顯然，只有當(dāng)一個(gè)矩陣的元素都為零是，這個(gè)矩陣的秩才能是零.這個(gè)子式不等于零.但矩陣（3）不含階數(shù)高于r的不等于零的子式.這是因?yàn)?；在r=m或r=n時(shí)，矩陣（3）根本不含階數(shù)高于r的子式；而當(dāng)r<m，r<n時(shí)，矩陣（3）的任何一個(gè)階數(shù)高于r的了式都至少含有一個(gè)元素全為零的行，因而必然等于零.這樣，r等于矩陣（3）中的不等于零的子式的最大階數(shù).

定義2一個(gè)矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫做這個(gè)矩陣的秩.36證明我們先說(shuō)明以下事實(shí)：若是對(duì)一個(gè)矩陣A施行某一行或列的初等變換而等到矩陣B，那么對(duì)B施行同一種初等變換又可以得到A.事實(shí)上，若是交換A的第i行與第j行而得到B，那么交換B的第i行與第j列就得到A；若是把A的第i行乘以一不等于零的數(shù)a而得到B，那么將B的第i行乘以1/a就又可以得到A；若是把A的第j行乘以數(shù)k加到第i行得到B，那么B的第j行乘以–k加到第i行就得到A.列的初等變換的情形顯然完全一樣.現(xiàn)在我們就用第三種行初等變換來(lái)證明定理.定理4.2.1初等變換不改變矩陣的秩.

證明我們先說(shuō)明以下事實(shí)：若是對(duì)一個(gè)矩陣A施行某一行或列的初37并且A的秩是r.我們證明，B的秩也是r.先證明，B的秩不超過(guò)r.設(shè)矩陣B有s階子式D，而s>r.那么有三種可能的情形:D不含第i行的元素，這時(shí)D也是矩陣A的一個(gè)s階子式，而s大于A的秩r，因此D=0.

設(shè)把一矩陣的第j行乘以k加到第i行而得到矩陣B：并且A的秩是r.我們證明，B的秩也是r.先證明，38因?yàn)楹笠恍辛惺绞蔷仃嘇的一個(gè)s階子式.

②D含第i行的元素，也含第j行的元素.這時(shí)，由命題3.3.10因?yàn)楹笠恍辛惺绞蔷仃嘇的一個(gè)s階子式.②D含第i行的元39這里由于是矩陣A的一個(gè)s階的子式，而

與A的一個(gè)s階子式最多差一個(gè)符號(hào)，所以這兩個(gè)行列式都等于零，從而D=0.

D含第i行的元素，但不含第j行的元素，這時(shí)這里由于是矩陣A的一個(gè)s階的子式，而與A的一個(gè)s階子式40但我們也可以對(duì)矩陣B施行第三種行初等變換而得到矩陣A.因此，也有因此，在矩陣B有階數(shù)大于r的子式的情形，B的任何這樣的子式都等于零，而B(niǎo)的秩也不超過(guò)r.這樣，在任何情形，都有這樣，我們也就證明了，秩A=秩B，即第三種行初等變換不改變矩陣的秩.對(duì)于其它的初等變換來(lái)說(shuō)，我們可以完全類(lèi)似地證明定理成立.這樣，我們就解決了前面的第一個(gè)問(wèn)題（甲）.但我們也可以對(duì)矩陣B施行第三種行初等變換而得到因此，在矩陣41定理4.2.1給了一種方法，不必計(jì)算一個(gè)矩陣A的子式就能求出A的秩來(lái).我們只需利用初等變換把A化成4.1中（5）型的矩陣，然后數(shù)一數(shù)，在化得的矩陣有幾個(gè)含有非零的元素的行.這樣，問(wèn)題（乙）也就容易解決.定理4.2.1給了一種方法，不必計(jì)算一個(gè)矩陣A的424.2.2線性方程組可解的判別法表示方程組（1）的增廣矩陣：證定理4.2.2（線性方程組可解的判別法）線性方程組（1）有解的充分且必要條件是：它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩.4.2.2線性方程組可解的判別法表示方程組（1）的增廣矩陣43那么的前n列作成的矩陣A就是（1）的系數(shù)矩陣.利用定理4.1.2所指出的那種初等變換把化為并且用B表示的前n列作成的矩陣.那么由定理4.2.1得：（4）

那么的前n列作成的矩陣A就是（1）的系數(shù)矩陣.44故定理得證.

現(xiàn)在設(shè)線性方程組（1）有解.那么或者r=m，或者r<m，而，這兩種情形都有秩.于是由（4）得，.反過(guò)來(lái)，設(shè)，那么由（4）得，的秩也是r，由此得，或者r=m，或者r<m而，因而方程組（1）有解.

定理4.2.3設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩，那么當(dāng)r等于方程組所含的未知量的個(gè)數(shù)n時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)r<n時(shí)，方程組有無(wú)窮多解.故定理得證.現(xiàn)在設(shè)線性方程組（1）有解.那么或者r=451.內(nèi)容分布

4.3.1線性方程組的公式解

4.3.2齊次線性方程組及其非零解的概念

4.3.3齊次線性方程組有非零解的條件2.教學(xué)目的1)會(huì)用公式解法解線性方程組2)掌握齊次線性方程組有非零解的充要條件3.重點(diǎn)難點(diǎn)齊次線性方程組有非零解的充要條件4.3線性方程組的公式解1.內(nèi)容分布4.3線性方程組的公式解464.3.1線性方程組的公式解例1考察線性方程組

(1)(2)考慮線性方程組我們把這三個(gè)方程依次用來(lái)表示，

4.3.1線性方程組的公式解例1考察線性方程組47那么在這三個(gè)方程間有以下關(guān)系：這就是說(shuō)，第三個(gè)方程是前兩個(gè)方程的結(jié)果。因此由中學(xué)代數(shù)知道，第三個(gè)方程可以舍去，亦即方程組和由它的前兩個(gè)方程所組成的方程組同解。來(lái)表示。若是在這m個(gè)方程中，某一個(gè)方程t個(gè)方程,使關(guān)系式同樣，把方程組（1）的m個(gè)方程依次用是其它的結(jié)果，也就是說(shuō)，若是存在t個(gè)數(shù)成立,那么我們可以在方程組（1）中舍去方程而把方程組（1）化簡(jiǎn)。那么在這三個(gè)方程間有以下關(guān)系：這就是說(shuō)，第三個(gè)方程是前兩個(gè)方48定理4.3.1設(shè)方程組（1）有解，它的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣的共同秩是，那么可以在（1）的m個(gè)方程中選出r個(gè)方程，使得剩下的m–r個(gè)方程中的每一個(gè)都是這r個(gè)方程的結(jié)果，因而解方程組（1）可以歸結(jié)為解由這r個(gè)方程所組成的線性方程組。

證由于方程組（1）的系數(shù)矩陣A的秩是r，所以A至少含有一個(gè)r階子式。為了敘述方便，

不妨假定D位在A的左上角，因而也位在增廣矩陣:的左上角：

定理4.3.1設(shè)方程組（1）有解，它的系數(shù)矩陣A和增的49現(xiàn)在我們證明，方程組（1）的后m-r個(gè)方程中的每一個(gè)都是（1）的前r個(gè)方程

(3)的結(jié)果.看（1）的后m-r個(gè)方程中的任一個(gè)，例如第個(gè)方程

現(xiàn)在我們證明，方程組（1）的后m-r個(gè)方程中的每(3)50我們需要證明，存在r個(gè)數(shù)，使得亦即使(4)我們需要證明，存在r個(gè)數(shù)，使得亦即使(4)51看作是未知量，而來(lái)證明線性方程組（4）有解,而的前r列作成（4）的系數(shù)矩陣B，我們要計(jì)算矩陣B和的秩。注意，的列剛好是方程組（1）的增廣矩陣的某些行。這樣，矩陣的左上角的

r階子方程組（4）的增廣矩陣是看作是未知量，而來(lái)證明線性方程組（4）有解,而的前r列作52式剛好是子式D的轉(zhuǎn)置行列式，因而不等于零：由于也是矩陣B的子式，所以矩陣B和的秩都至少是r，另一方面，矩陣的任一個(gè)r+1階子式都是的某一個(gè)r+1階子式的轉(zhuǎn)置行列式。由于的秩是r，所以的所有r+1階子式都等于零，由此得

必然等于零。但沒(méi)有階數(shù)高于r+1的子式，所以B和的秩都是r，而方程組（4）有解。這樣我們就證明了，方程組（1）的后m-r個(gè)方程都是（1）的前r個(gè)方程的結(jié)果，而解方程組（1）歸結(jié)為解方程組（3）。

式剛好是子式D的轉(zhuǎn)置行列式，因而不等于零：由于也是53假定方程組（1）滿(mǎn)足定理4.3.1的條件，于是由定理4.3.1，解方程組（1），只需解方程組（3）。我們分別看的情形。方程組（1）的公式解：若是，那么(3)就是方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)的一個(gè)線性方程組，并且它的系數(shù)行列式,所以(3)有唯一解，這個(gè)解可由克拉默規(guī)則給出，這個(gè)解也是方程組(1)的唯一解。

現(xiàn)在設(shè),這時(shí)方程組(3)的前r個(gè)未知量的系數(shù)所構(gòu)成的行列式，在方程組（3）中把含未知量的項(xiàng)移到右邊，假定方程組（1）滿(mǎn)足定理4.3.1的條件，于是由定理54方程組（3）可以寫(xiě)成：(3’)暫時(shí)假定是數(shù)，那么（3’）變成r個(gè)未知量的r個(gè)方程。用克拉默規(guī)則解出得(5)方程組（3）可以寫(xiě)成：(3’)暫時(shí)假定55這里

把（5）中的行列式展開(kāi)，（5）可以寫(xiě)成(6)這里把（5）中的行列式展開(kāi)，（5）可以56這里都是可以由方程組（1）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)表示的數(shù)。現(xiàn)仍舊把（6）中看成未知量，那么（6）是一個(gè)線性方程組，從以上的討論容易看出，方程組（6）與方程組（3’）同解，因而和方程組（1）同解。正如用消元法解線性方程組的情形一樣，方程組（6）給出方程組（1）的一般解，而是自由未知量，要求方程組（1）的一個(gè)解，只需給予自由未知量任意一組數(shù)值，然后由（6）算出未知量的對(duì)應(yīng)值，并且（1）的所有解都可以這樣得到。這里都是可以由方程組（1）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)表示的數(shù)57由于（6）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都可以由方程組（1）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)表出，所以（6）或它的前身（5）都給出求方程組（1）的解的公式。例2已知線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩都是2，并且行列式(7)求解這個(gè)方程組的公式，并求出一個(gè)解。由于（6）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都可以由方程組（1）的例258由定理4.3.1，解方程組（7）只需解前兩個(gè)方程，把作為自由未知量，移到右邊，得用克拉默規(guī)則解出得由定理4.3.1，解方程組（7）只需解前兩個(gè)方程，把作為自由59即：令，我們就得到方程組的一個(gè)解：即：令，我們就得到方程組的一個(gè)解：60用公式來(lái)求數(shù)字線性方程組的解是比較麻煩的，因?yàn)樾枰?jì)算許多行列式。因此在實(shí)際求線性方程組的解的時(shí)候，一般總是用消元法。但是在數(shù)學(xué)問(wèn)題中遇到線性方程組時(shí)，常常不需要真正求出它們的解，而是需要對(duì)它們進(jìn)行討論，在這種情況下，我們有時(shí)要用到（5）式或（6）式。用公式來(lái)求數(shù)字線性方程組的解是比較麻煩的，因?yàn)樾枰?jì)算許多行614.3.2齊次線性方程組及其非零解的概念定義若是一個(gè)線性方程組的常數(shù)項(xiàng)都等于零，那么這個(gè)方程組叫做一個(gè)齊次線性方程組.我們來(lái)看一個(gè)齊次線性方程組(8)4.3.2齊次線性方程組及其非零解的概念定義若是一個(gè)線62

這個(gè)方程組永遠(yuǎn)有解：顯然就是方程組（8）的一個(gè)解，這個(gè)解叫做零解。如果方程組（8）還有其它解，那么這些解就叫作非零解。齊次線性方程組永遠(yuǎn)有解.這個(gè)方程組永遠(yuǎn)有解：顯然就是方程組（8）的一個(gè)解，這個(gè)解叫634.3.3齊次線性方程組有非零解的條件定理4.3.2一個(gè)齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是：它的系數(shù)矩陣的秩r小于它的未知量的個(gè)數(shù)n。證當(dāng)時(shí)，方程組只有唯一解，它只能是零解。當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，因而它除零解

外，必然還有非零解。

4.3.3齊次線性方程組有非零解的條件定理4.3.2一64推論4.3.3含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是：方程組的系數(shù)行列式等于零。因?yàn)樵谶@一種情況，方程組系數(shù)行列式等于零就是說(shuō)，方程組的系數(shù)矩陣的秩小于n.

推論4.3.4若在一個(gè)齊次線性方程組中，方程的個(gè)數(shù)m小于未知量的個(gè)數(shù)n，那么這個(gè)方程組一定有解。因?yàn)樵谶@一情況，方程組的系數(shù)矩陣的秩r不能超過(guò)m，因而一定小于n.

推論4.3.3含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組有非651.內(nèi)容分布

4.4.1結(jié)式與多項(xiàng)式的公根

4.4.2多項(xiàng)式的判別式2.教學(xué)目的:

了解多項(xiàng)式有公根的判別了解多項(xiàng)式的判別式的定義3.重點(diǎn)難點(diǎn):

多項(xiàng)式有公根的判別4.4結(jié)式和判別式1.內(nèi)容分布4.4結(jié)式和判別式664.4.1結(jié)式與多項(xiàng)式的公根

假設(shè)在C內(nèi)有公根依次用乘第一個(gè)等式,用乘第二個(gè)等式,我們得到以下個(gè)等式:4.4.1結(jié)式與多項(xiàng)式的公根假設(shè)67這就表明,是一個(gè)含有個(gè)未知量,個(gè)方程的齊次線性方程組的非零解,因此系數(shù)行列式:這就表明,是一個(gè)含有68必須等于零.行列式D叫做多項(xiàng)式的結(jié)式,并且用符號(hào)

來(lái)表示.結(jié)式不但有公根時(shí)等于零,而且當(dāng)時(shí)顯然也等于零.于是就得到必須等于零.行列式D叫做多項(xiàng)式的結(jié)式69

定理4.4.1如果多項(xiàng)式

定理4.4.2設(shè)

(i)如果而的全部根,那么(1)有公根,或者,那么它們的結(jié)式等于零.

是復(fù)數(shù)域C上多項(xiàng)式.是它們的結(jié)式.定理4.4.1如果多項(xiàng)式70(ii)如果,而的全部根,那么(2)證我們對(duì)m作數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明公式(1)。先看m=1的情形，這時(shí)的根是。而(ii)如果,而71把行列式的第一列乘以加到第二列上，再把新的第二列乘以加到第三列上，…，最后，把新的第n列乘以加到第n+1列上，這時(shí)行列式中元素都被消去，而最后一行的元素依次等于因此把行列式的第一列乘以加到第二列上，再把新的第二列乘以72假設(shè)當(dāng)時(shí)公式（1）成立。我們看的情形，這時(shí)令的全部根。那么

這里是一個(gè)k次多項(xiàng)式，它的根是比較的系數(shù)，我們有

假設(shè)當(dāng)時(shí)公式（1）成立。我們看73因此因此74把行列式的第一列乘以加到第二列上，再把新的第二列乘以加到第三列上，……，最后,把第n+k列乘以加到第n+k+1列上，并且注到我們得到把行列式的第一列乘以加到第二列上，再把新的第二列乘以75把這個(gè)行列式依最后一列展開(kāi)，我們有

再依次把第n+2行乘以加到第n+1行，把第n+3行乘以加到第n+2行，……最后，把第n+k+1行乘以

加到第n+k行，于是把這個(gè)行列式依最后一列展開(kāi)，我們有再依次把第n+2行乘76這里是位于最后的行列式左上角的n+k階行列式，它恰是多項(xiàng)式的結(jié)式，因此由歸納法的假設(shè)，于是公式（1）被證明。容易看出，通過(guò)適當(dāng)對(duì)調(diào)行列式D的行，可以得到（3）

因此，如果而是的全部根，那么由（1）可得（2）。這里是位于最后的行列式左上角的n+k階行列式，它恰是多項(xiàng)77定理4.4.3如果多項(xiàng)式的結(jié)式等于零，那么或者它們的最高次項(xiàng)系數(shù)都等于零，或者這兩個(gè)多項(xiàng)式有公根。證設(shè)，如果，那么由（1），一定有某一，從而是的一個(gè)公根，如果那么由（2）也可以推出有公根。

例1多項(xiàng)式的結(jié)式是定理4.4.3如果多項(xiàng)式的結(jié)式等于零78如果。以乘第一行加到第三行，然后按第一列展開(kāi)，得如果，同樣的計(jì)算也可以得到上面的等式。當(dāng)

時(shí)，上面的展開(kāi)式的右端等于零，不論在任何情形，上面的展開(kāi)式都成立。例如，沒(méi)有公根，因?yàn)檫@時(shí)。

如果，那么

，從而有公根。實(shí)際上，5是這兩個(gè)多項(xiàng)式的公根。如果。以乘第一行加到79

現(xiàn)在利用結(jié)式來(lái)討論兩個(gè)二元多項(xiàng)式的公共零點(diǎn)問(wèn)題。

設(shè)是兩個(gè)復(fù)系數(shù)二元多項(xiàng)式，我們按x的降冪寫(xiě)出這兩個(gè)多項(xiàng)式：把分別看成f中和g中的系數(shù)，然后求出f和g的結(jié)式，記作

，是y的一個(gè)多項(xiàng)式：現(xiàn)在利用結(jié)式來(lái)討論兩個(gè)二元多項(xiàng)式的公共零點(diǎn)問(wèn)題。設(shè)80如果多項(xiàng)式有公共零點(diǎn)，那么以代替中的文字y，所得到的一元多項(xiàng)式有公根，由定理4.4.1，它們的結(jié)式，這就是說(shuō)，是多項(xiàng)式的一個(gè)根。反過(guò)來(lái)，如果結(jié)式有根，那么以

代替多項(xiàng)式中的文字y，我們得到x的多項(xiàng)式如果多項(xiàng)式81的結(jié)式，因而由定理4.4.3，或者或者有公根。這樣，求兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程的公共解可以歸結(jié)為求一個(gè)未知量的一個(gè)方程的根，也就是說(shuō)，可以用從兩個(gè)方程中消去一個(gè)未知量，所以這個(gè)過(guò)程通常叫做未知量的消去法。的結(jié)式，因而由定理4.4.382例2求方程組（4）

的解。我們要消去未知量x，先把多項(xiàng)式f與g寫(xiě)成以下形式：解：求出f與g的結(jié)式例2求方程組（4）的解。我們要消去未知量x，先把多項(xiàng)83這個(gè)結(jié)式有根。以代替中的文字y，所得的關(guān)于x的多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)都不等于零，所以對(duì)于每一，都可以得出方程組（4）的解。實(shí)際上，以代替y，我們得到這個(gè)結(jié)式有根84這兩個(gè)多項(xiàng)式有公根，所以是方程組（4）的一個(gè)解，另一方面，以代替y，所得的多項(xiàng)式有公根，所以也是方程組（4）的一個(gè)解，因此，方程組（4）有兩個(gè)解：;這兩個(gè)多項(xiàng)式有公根，所以85；4.4.2多項(xiàng)式的判別式

最后，我們介紹一下多項(xiàng)式的判別式的概念，并且指出判別式與結(jié)式之間的關(guān)系。設(shè)

……………

是復(fù)數(shù)域C上一個(gè)n（n>1）次多項(xiàng)式，

令的全部根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。乘積；4.4.2多項(xiàng)式的判別式最后，我們介紹一下多項(xiàng)式的判別式86叫做多項(xiàng)式的判別式（這里Π表示求積的符號(hào)）。由判別式的定義很容易看出，多項(xiàng)式有重根的充分且必要條件是它的判別式等于零。

由定理2.5.2容易推出，多項(xiàng)式有重根必要且只要與它的導(dǎo)數(shù)有公根，因?yàn)?，所以由定?.4.1和4.4.3，有重根必要且只要與的結(jié)式，由此可見(jiàn)，的判別式與結(jié)式

之間有密切的關(guān)系，下面我們將導(dǎo)出這個(gè)關(guān)系，根據(jù)定理4.4.2，公式（1），我們有叫做多項(xiàng)式的判別式（這里Π表示求積的符號(hào)）87在C[x]里，求導(dǎo)數(shù)，我們有所以在C[x]里，求導(dǎo)數(shù)，我們有所以88這樣，

………………

在這個(gè)乘積里，對(duì)于任意i和j（i>j）都出現(xiàn)兩個(gè)因式：

和，它們的乘積等于，由于滿(mǎn)足條件的指標(biāo)i和j一共有對(duì)，所以這樣，………………在這個(gè)乘積里，對(duì)于任意i89D是多項(xiàng)式的判別式從表示的行列式的第一列顯然可以提出因子，因此多項(xiàng)式的判別式D可以表成由系數(shù)

所組成的一個(gè)行列式，因而是的多項(xiàng)式。D是多項(xiàng)式的判別式從表90于是

所以判別式是例3求二次多項(xiàng)式的判別式。先求出

解:于是所以判別式是例3求二次多項(xiàng)91第四章線性方程組4.1消元法4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法4.3線性方程組的公式解4.4結(jié)式和判別式第四章線性方程組4.1消元法92偉大的數(shù)學(xué)家，諸如阿基米得、牛頓和高斯等，都把理論和應(yīng)用視為同等重要而緊密相關(guān)?！巳R因（KleinF，1849－1925）偉大的數(shù)學(xué)家，諸如阿基米得、牛頓和高斯等，都把理論和應(yīng)用視為934.1消元法1.內(nèi)容分布

4.1.1線性方程組的初等變換

4.1.2矩陣的初等變換階梯形矩陣

4.1.3線性方程組有解的判別2.教學(xué)目的:會(huì)用消元法解線性方程組3.重點(diǎn)難點(diǎn):線性方程組的消元解法4.1消元法1.內(nèi)容分布94前一章中我們只討論了這樣的線性方程組，這種方程組有相等個(gè)數(shù)的方程和未知量，并且方程組的系數(shù)行列式不等于零，在這一章我們要討論一般的線性方程組：在實(shí)際的解線性方程組時(shí)，比較方便的方法是消元法.

（1）前一章中我們只討論了這樣的線性方程組，這種方程95例1解線性方程組：從第一和第三個(gè)方程分別減去第二個(gè)方程的1/2倍和2倍，來(lái)消去這兩個(gè)方程中的未知量（2）例1解線性方程組：從第一和第三個(gè)方程分別減去第二個(gè)方程的196得到：為了計(jì)算的方便，把第一個(gè)方程乘以-2后，與第二個(gè)方程交換，得：把第二個(gè)方程的2倍加到第三個(gè)方程，消去后一方程中的未知量，得到得到：為了計(jì)算的方便，把第一個(gè)方程乘以-2后，與第二把第97現(xiàn)在很容易求出方程組（2）的解.從第一個(gè)方程減去第三個(gè)方程的3倍，再?gòu)牡诙€(gè)方程減去第三個(gè)方程，得再?gòu)牡谝粋€(gè)方程減去第二個(gè)方程的5/3倍，得：這樣我們就求出方程組的解.現(xiàn)在很容易求出方程組（2）的解.從第一個(gè)方程再?gòu)牡谝粋€(gè)方程98①交換兩個(gè)方程的位置；②用一個(gè)不等于零的數(shù)某一個(gè)方程；③用一個(gè)數(shù)乘某一個(gè)方程后加到另一個(gè)方程.4.1.1線性方程組的初等變換線性方程的初等變換：對(duì)方程組施行下面三種變換：這三種變換叫作線性方程組的初等變換.定理4.1.1初等變換把一個(gè)線性方程組變?yōu)橐粋€(gè)與它同解的線性方程組①交換兩個(gè)方程的位置；4.1.1線性方程組的初等變換線性99線性方程組的（1）的系數(shù)可以排成下面的一個(gè)表：而利用（1）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)又可以排成下表：（3）（4）

線性方程組的（1）的系數(shù)可以排成下面的一個(gè)表：而利用（1）的1004.1.2矩陣的初等變換定義1由st個(gè)數(shù)排成一個(gè)s行t列的表

叫做一個(gè)s行t列（或s×t）的矩陣，叫做這個(gè)矩陣的元素.

注意：矩陣和行列式在形式上有些類(lèi)似，但有完全不同的意義，一個(gè)行列式是一些數(shù)的代數(shù)和，而一個(gè)矩陣僅僅是一個(gè)表.

4.1.2矩陣的初等變換定義1由st個(gè)數(shù)排成一個(gè)s行t列101矩陣（3）和（4）分別叫作線性方程組（1）的系數(shù)矩陣和增廣矩陣.一個(gè)線性方程組的增廣矩陣顯然完全代表這個(gè)方程組.

定義2矩陣的行（列）初等變換指的是對(duì)一個(gè)矩陣施行的下列變換：3)用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個(gè)元素后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上.1)交換矩陣的兩行（列）2)用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列），即用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個(gè)元素；矩陣（3）和（4）分別叫作線性方程組（1）的系定義2矩陣102顯然，對(duì)一個(gè)線性方程組施行一個(gè)初等變換，相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣施行一個(gè)對(duì)應(yīng)的行初等變換，而化簡(jiǎn)線性方程組相當(dāng)于用行初等變換化簡(jiǎn)它的增廣矩陣.因此我們將要通過(guò)化簡(jiǎn)矩陣來(lái)討論化簡(jiǎn)方程組的問(wèn)題.下我們給出一種方法，就一個(gè)線性方程組的增廣矩陣來(lái)解這個(gè)線性方程組，而不必每次把未知量寫(xiě)出.

在對(duì)于一個(gè)線性方程組施行初等變換時(shí)，我們的目的是消去未知量，也就是說(shuō)，把方程組的左端化簡(jiǎn).因此我們先來(lái)研究，利用三種行初等變換來(lái)化簡(jiǎn)一個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣的問(wèn)題.在此，為了敘述的方便，除了行初等變換外，還允許交換矩陣的兩列，即允許施行第一種列初等變換.后一種初等變換相當(dāng)于交換方程組中未知量的位置，這不影響對(duì)方程組的研究.顯然，對(duì)一個(gè)線性方程組施行一個(gè)初等變換，相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣103在例1中，我們?cè)逊匠探M（2）的系數(shù)矩陣

先化為

然后，進(jìn)一步化為

定理4.1.2設(shè)A是一個(gè)m行n列的矩陣：在例1中，我們?cè)逊匠探M（2）的系數(shù)矩陣然104通過(guò)行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式：(5)通過(guò)行初等變換和第一種列初等變換能把A化為(5)105這里*表示矩陣的元素，但不同位置上的*表示的元素未必相同.證若是矩陣A的元素都等于零，那么A已有（5）的形式進(jìn)而化為以下形式，

（6）這里*表示矩陣的元素，但不同位置上的*表示的元素未必106乘第一行，然后由其余各行分別減去第一行的適當(dāng)倍數(shù)，矩陣A化為設(shè)某一不等于零，必要時(shí)交換矩陣的行和列，可以使這個(gè)元素位在矩陣的左上角.若B中，除第一行外，其余各行的元素都是零，

乘第一行，然后由其余各行分別減去第一行的適設(shè)某一不等107那么B已有（5）的形式.設(shè)B的后m–1行中有一個(gè)元素b不為零，把b換到第二行第二列的交點(diǎn)位置，然后用上面同樣的方法，可把B化為如此繼續(xù)下去，最后可以得出一個(gè)形如（5）的矩陣.

形如（5）的矩陣可以進(jìn)一步化為形如（6）的矩陣是

那么B已有（5）的形式.設(shè)B的后m–1行中有如此108顯然的.只要把由第一，第二，…，第r–1行分別減去第r行的適當(dāng)倍數(shù)，再由第一，第二，…，第r–2行分別減去第r–1行的適當(dāng)倍數(shù)，等等.顯然的.只要把由第一，第二，…，第r–1行1094.1.3用消元法解線性方程組考察方程組（1）的增廣矩陣（4）.由定理4.1.2，我們可以對(duì)（1）的系數(shù)矩陣（3）施行一些初等變換而把它化為矩陣（6）.對(duì)增廣矩陣（4）施行同樣的初等變換，那么（4）化為以下形式的矩陣：(7)4.1.3用消元法解線性方程組考察方程組（1）的增廣矩陣（4110與（7）相當(dāng)?shù)木€性方程組是（8）

與（7）相當(dāng)?shù)木€性方程組是（8）111由于方程組（8）可以由方程組（1）通過(guò)方程組的初等變換以及交換未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1，方程組（8）與方程組（1）同解.因此，要解方程組（1），只需解方程組（8）.但方程組（8）是否有解以及有怎樣的解都容易看出.

這里是1，2，…，n的一個(gè)全排列.情形1，

這時(shí)方程組（8）無(wú)解，因?yàn)樗暮髆–r個(gè)方程中至少有一個(gè)無(wú)解.因此方程組（1）也無(wú)解.

不全為零，由于方程組（8）可以由方程組（1）通過(guò)方程組的初等變換以及交112情形2，當(dāng)r=n時(shí)，方程組（9）有唯一解，就是這也是方程組（1）的唯一解.全為零，這時(shí)方程組（8）方程組

同解.

(9)情形2，當(dāng)r=n時(shí)，方程組（9）有唯一解，就是這也是方113當(dāng)r<n時(shí)，方程組（9）可以改寫(xiě)成

(10)于是，給予未知量以任意一組數(shù)值，就得到（9）的一個(gè)解：當(dāng)r<n時(shí)，方程組（9）可以改寫(xiě)成(10114這也是（1）的一個(gè)解.由于可以任意選取，用這一方法可以得到（1）的無(wú)窮多解.另一方面，由于（9）的任一解都必須滿(mǎn)足（10），所以（9）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上方法得出.我們把未知量這也是（1）的一個(gè)解.由于可以任意選取，用這一方法可以得到115叫做自由未知量，而把（10）叫做方程組（1）的一般解.

例2解線性方程組這樣，線性方程組（1）有沒(méi)有解，以及有怎樣的解，都可以從矩陣（7）看出.因此，我們完全可以就方程組（9）的增廣矩陣來(lái)解這個(gè)方程組.叫做自由未知量，而把（10）叫做方程組（1）的例2解線性方116

施行行初等變換，并且注意，我們是要把其中所含的系數(shù)矩陣先化為（5），再化為（6）的形式.由第一和第二行分別減去第三行的5倍和2倍，然后把第三行換到第一行的位置，得

解：對(duì)增廣矩陣施行行初等變換，并且注意，我們是要把其中所含解：對(duì)增廣矩117由第二行減去第三行的2倍，得

雖然我們還沒(méi)有把增廣矩陣化成（5）的形式，但已可看出，相當(dāng)于最后矩陣的線性方程組中的一個(gè)方程是0=5所以原方程無(wú)解.由第二行減去第三行的2倍，得雖然我們118例3解線性方程組

解：這里的增廣矩陣是例3解線性方程組解：這里的增廣矩119繼續(xù)施行行初等變換，這一矩陣可以化為這個(gè)矩陣本質(zhì)上已有（5）的形式，這一點(diǎn)只要交換矩陣的第二和第三兩列就可以看出.進(jìn)一步由第一行減去第二行的三倍，得出相當(dāng)于（6）型的矩陣把第一行的適當(dāng)倍數(shù)加到其它各行，得繼續(xù)施行行初等變換，這一矩陣可以化為這個(gè)矩陣本質(zhì)上已有（5）120對(duì)應(yīng)的線性方程組是把移到右邊，作為自由未知數(shù)，得原方程組的一般解：對(duì)應(yīng)的線性方程組是把移到右邊，作為自由未知數(shù)，得原方程組的一1214.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法1.內(nèi)容分布4.2.1k階子式、矩陣秩的定義用初等變換求矩

陣的秩4.2.2線性方程組可解的判別法2.教學(xué)目的:1)理解矩陣秩的定義2)會(huì)用初等變換求矩陣的秩3)會(huì)用消元法解線性方程組3.重點(diǎn)難點(diǎn):矩陣秩的定義線性方程組的可解的判別法4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法1.內(nèi)容分布1224.2.1k階子式、矩陣秩的定義用初等變換求矩陣的秩

在上一節(jié)課講述了用消元法來(lái)解線性方程組：(1)這個(gè)方法在實(shí)際解方程組是比較方便的，但是我們還有幾個(gè)問(wèn)題沒(méi)解決。4.2.1k階子式、矩陣秩的定義用初等變換求矩陣的123簡(jiǎn)化為以下形式一個(gè)矩陣（甲）利用初等變換把方程組（1）的系數(shù)矩陣（2）（3）簡(jiǎn)化為以下形式一個(gè)矩陣（甲）利用初等變換把方程組（1）的系124并且看到，在矩陣（3）中出現(xiàn)的整數(shù)r在討論中占有重要的地位.但是我們對(duì)這個(gè)整數(shù)還沒(méi)有什么了解.r和系數(shù)矩陣（2）究竟有什么關(guān)系？它是由系數(shù)矩陣（2）所唯一決定的，還是依賴(lài)于所用的初等變換？因?yàn)槲覀兛梢杂貌煌某醯茸儞Q，把系數(shù)矩陣（2）化為形如（3）的矩陣.（乙）方程組（1）有解時(shí)，它的系數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足什么條件？（丙）我們沒(méi)有得出，用方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)來(lái)表示解的公式，而解的公式在理論上有重要的意義.并且看到，在矩陣（3）中出現(xiàn)的整數(shù)r在討論中占有重要的地位.125矩陣的秩利用一個(gè)矩陣的元素可以構(gòu)成一系列的行列式..位于這些行列交點(diǎn)處的元素（不改變?cè)叵鄬?duì)的位置）所構(gòu)成的k階行列式叫作這個(gè)矩陣的一個(gè)k階子式.我們看一看，在矩陣（3）中出現(xiàn)的整數(shù)r和這個(gè)矩陣的子式之間有些什么關(guān)系.假定r>0.這時(shí)，矩陣（3）含有一個(gè)r階的子式：定義1在一個(gè)s行t列的矩陣中，任取k行k列矩陣的秩.位于這些行列交點(diǎn)處的元素（不改變?cè)叵鄬?duì)的位置）126定義2一個(gè)矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫做這個(gè)矩陣的秩.若一個(gè)矩陣沒(méi)有不等于零的子式，就認(rèn)為這個(gè)矩陣的秩是零.按照定義，一個(gè)矩陣的秩的不能超過(guò)這個(gè)矩陣的行的個(gè)數(shù)，也不能超過(guò)它的列的個(gè)數(shù).一個(gè)矩陣A的秩用秩A來(lái)表示.顯然，只有當(dāng)一個(gè)矩陣的元素都為零是，這個(gè)矩陣的秩才能是零.這個(gè)子式不等于零.但矩陣（3）不含階數(shù)高于r的不等于零的子式.這是因?yàn)?；在r=m或r=n時(shí)，矩陣（3）根本不含階數(shù)高于r的子式；而當(dāng)r<m，r<n時(shí)，矩陣（3）的任何一個(gè)階數(shù)高于r的了式都至少含有一個(gè)元素全為零的行，因而必然等于零.這樣，r等于矩陣（3）中的不等于零的子式的最大階數(shù).

定義2一個(gè)矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫做這個(gè)矩陣的秩.127證明我們先說(shuō)明以下事實(shí)：若是對(duì)一個(gè)矩陣A施行某一行或列的初等變換而等到矩陣B，那么對(duì)B施行同一種初等變換又可以得到A.事實(shí)上，若是交換A的第i行與第j行而得到B，那么交換B的第i行與第j列就得到A；若是把A的第i行乘以一不等于零的數(shù)a而得到B，那么將B的第i行乘以1/a就又可以得到A；若是把A的第j行乘以數(shù)k加到第i行得到B，那么B的第j行乘以–k加到第i行就得到A.列的初等變換的情形顯然完全一樣.現(xiàn)在我們就用第三種行初等變換來(lái)證明定理.定理4.2.1初等變換不改變矩陣的秩.

證明我們先說(shuō)明以下事實(shí)：若是對(duì)一個(gè)矩陣A施行某一行或列的初128并且A的秩是r.我們證明，B的秩也是r.先證明，B的秩不超過(guò)r.設(shè)矩陣B有s階子式D，而s>r.那么有三種可能的情形:D不含第i行的元素，這時(shí)D也是矩陣A的一個(gè)s階子式，而s大于A的秩r，因此D=0.

設(shè)把一矩陣的第j行乘以k加到第i行而得到矩陣B：并且A的秩是r.我們證明，B的秩也是r.先證明，129因?yàn)楹笠恍辛惺绞蔷仃嘇的一個(gè)s階子式.

②D含第i行的元素，也含第j行的元素.這時(shí)，由命題3.3.10因?yàn)楹笠恍辛惺绞蔷仃嘇的一個(gè)s階子式.②D含第i行的元130這里由于是矩陣A的一個(gè)s階的子式，而

與A的一個(gè)s階子式最多差一個(gè)符號(hào)，所以這兩個(gè)行列式都等于零，從而D=0.

D含第i行的元素，但不含第j行的元素，這時(shí)這里由于是矩陣A的一個(gè)s階的子式，而與A的一個(gè)s階子式131但我們也可以對(duì)矩陣B施行第三種行初等變換而得到矩陣A.因此，也有因此，在矩陣B有階數(shù)大于r的子式的情形，B的任何這樣的子式都等于零，而B(niǎo)的秩也不超過(guò)r.這樣，在任何情形，都有這樣，我們也就證明了，秩A=秩B，即第三種行初等變換不改變矩陣的秩.對(duì)于其它的初等變換來(lái)說(shuō)，我們可以完全類(lèi)似地證明定理成立.這樣，我們就解決了前面的第一個(gè)問(wèn)題（甲）.但我們也可以對(duì)矩陣B施行第三種行初等變換而得到因此，在矩陣132定理4.2.1給了一種方法，不必計(jì)算一個(gè)矩陣A的子式就能求出A的秩來(lái).我們只需利用初等變換把A化成4.1中（5）型的矩陣，然后數(shù)一數(shù)，在化得的矩陣有幾個(gè)含有非零的元素的行.這樣，問(wèn)題（乙）也就容易解決.定理4.2.1給了一種方法，不必計(jì)算一個(gè)矩陣A的1334.2.2線性方程組可解的判別法表示方程組（1）的增廣矩陣：證定理4.2.2（線性方程組可解的判別法）線性方程組（1）有解的充分且必要條件是：它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩.4.2.2線性方程組可解的判別法表示方程組（1）的增廣矩陣134那么的前n列作成的矩陣A就是（1）的系數(shù)矩陣.利用定理4.1.2所指出的那種初等變換把化為并且用B表示的前n列作成的矩陣.那么由定理4.2.1得：（4）

那么的前n列作成的矩陣A就是（1）的系數(shù)矩陣.135故定理得證.

現(xiàn)在設(shè)線性方程組（1）有解.那么或者r=m，或者r<m，而，這兩種情形都有秩.于是由（4）得，.反過(guò)來(lái)，設(shè)，那么由（4）得，的秩也是r，由此得，或者r=m，或者r<m而，因而方程組（1）有解.

定理4.2.3設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩，那么當(dāng)r等于方程組所含的未知量的個(gè)數(shù)n時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)r<n時(shí)，方程組有無(wú)窮多解.故定理得證.現(xiàn)在設(shè)線性方程組（1）有解.那么或者r=1361.內(nèi)容分布

4.3.1線性方程組的公式解

4.3.2齊次線性方程組及其非零解的概念

4.3.3齊次線性方程組有非零解的條件2.教學(xué)目的1)會(huì)用公式解法解線性方程組2)掌握齊次線性方程組有非零解的充要條件3.重點(diǎn)難點(diǎn)齊次線性方程組有非零解的充要條件4.3線性方程組的公式解1.內(nèi)容分布4.3線性方程組的公式解1374.3.1線性方程組的公式解例1考察線性方程組

(1)(2)考慮線性方程組我們把這三個(gè)方程依次用來(lái)表示，

4.3.1線性方程組的公式解例1考察線性方程組138那么在這三個(gè)方程間有以下關(guān)系：這就是說(shuō)，第三個(gè)方程是前兩個(gè)方程的結(jié)果。因此由中學(xué)代數(shù)知道，第三個(gè)方程可以舍去，亦即方程組和由它的前兩個(gè)方程所組成的方程組同解。來(lái)表示。若是在這m個(gè)方程中，某一個(gè)方程t個(gè)方程,使關(guān)系式同樣，把方程組（1）的m個(gè)方程依次用是其它的結(jié)果，也就是說(shuō)，若是存在t個(gè)數(shù)成立,那么我們可以在方程組（1）中舍去方程而把方程組（1）化簡(jiǎn)。那么在這三個(gè)方程間有以下關(guān)系：這就是說(shuō)，第三個(gè)方程是前兩個(gè)方139定理4.3.1設(shè)方程組（1）有解，它的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣的共同秩是，那么可以在（1）的m個(gè)方程中選出r個(gè)方程，使得剩下的m–r個(gè)方程中的每一個(gè)都是這r個(gè)方程的結(jié)果，因而解方程組（1）可以歸結(jié)為解由這r個(gè)方程所組成的線性方程組。

證由于方程組（1）的系數(shù)矩陣A的秩是r，所以A至少含有一個(gè)r階子式。為了敘述方便，

不妨假定D位在A的左上角，因而也位在增廣矩陣:的左上角：

定理4.3.1設(shè)方程組（1）有解，它的系數(shù)矩陣A和增的140現(xiàn)在我們證明，方程組（1）的后m-r個(gè)方程中的每一個(gè)都是（1）的前r個(gè)方程

(3)的結(jié)果.看（1）的后m-r個(gè)方程中的任一個(gè)，例如第個(gè)方程

現(xiàn)在我們證明，方程組（1）的后m-r個(gè)方程中的每(3)141我們需要證明，存在r個(gè)數(shù)，使得亦即使(4)我們需要證明，存在r個(gè)數(shù)，使得亦即使(4)142看作是未知量，而來(lái)證明線性方程組（4）有解,而的前r列作成（4）的系數(shù)矩陣B，我們要計(jì)算矩陣B和的秩。注意，的列剛好是方程組（1）的增廣矩陣的某些行。這樣，矩陣的左上角的

r階子方程組（4）的增廣矩陣是看作是未知量，而來(lái)證明線性方程組（4）有解,而的前r列作143式剛好是子式D的轉(zhuǎn)置行列式，因而不等于零：由于也是矩陣B的子式，所以矩陣B和的秩都至少是r，另一方面，矩陣的任一個(gè)r+1階子式都是的某一個(gè)r+1階子式的轉(zhuǎn)置行列式。由于的秩是r，所以的所有r+1階子式都等于零，由此得

必然等于零。但沒(méi)有階數(shù)高于r+1的子式，所以B和的秩都是r，而方程組（4）有解。這樣我們就證明了，方程組（1）的后m-r個(gè)方程都是（1）的前r個(gè)方程的結(jié)果，而解方程組（1）歸結(jié)為解方程組（3）。

式剛好是子式D的轉(zhuǎn)置行列式，因而不等于零：由于也是144假定方程組（1）滿(mǎn)足定理4.3.1的條件，于是由定理4.3.1，解方程組（1），只需解方程組（3）。我們分別看的情形。方程組（1）的公式解：若是，那么(3)就是方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)的一個(gè)線性方程組，并且它的系數(shù)行列式,所以(3)有唯一解，這個(gè)解可由克拉默規(guī)則給出，這個(gè)解也是方程組(1)的唯一解。

現(xiàn)在設(shè),這時(shí)方程組(3)的前r個(gè)未知量的系數(shù)所構(gòu)成的行列式，在方程組（3）中把含未知量的項(xiàng)移到右邊，假定方程組（1）滿(mǎn)足定理4.3.1的條件，于是由定理145方程組（3）可以寫(xiě)成：(3’)暫時(shí)假定是數(shù)，那么（3’）變成r個(gè)未知量的r個(gè)方程。用克拉默規(guī)則解出得(5)方程組（3）可以寫(xiě)成：(3’)暫時(shí)假定146這里

把（5）中的行列式展開(kāi)，（5）可以寫(xiě)成(6)這里把（5）中的行列式展開(kāi)，（5）可以147這里都是可以由方程組（1）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)表示的數(shù)。現(xiàn)仍舊把（6）中看成未知量，那么（6）是一個(gè)線性方程組，從以上的討論容易看出，方程組（6）與方程組（3’）同解，因而和方程組（1）同解。正如用消元法解線性方程組的情形一樣，方程組（6）給出方程組（1）的一般解，而是自由未知量，要求方程組（1）的一個(gè)解，只需給予自由未知量任意一組數(shù)值，然后由（6）算出未知量的對(duì)應(yīng)值，并且（1）的所有解都可以這樣得到。這里都是可以由方程組（1）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)表示的數(shù)148由于（6）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都可以由方程組（1）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)表出，所以（6）或它的前身（5）都給出求方程組（1）的解的公式。例2已知線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩都是2，并且行列式(7)求解這個(gè)方程組的公式，并求出一個(gè)解。由于（6）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都可以由方程組（1）的例2149由定理4.3.1，解方程組（7）只需解前兩個(gè)方程，把作為自由未知量，移到右邊，得用克拉默規(guī)則解出得由定理4.3.1，解方程組（7）只需解前兩個(gè)方程，把作為自由150即：令，我們就得到方程組的一個(gè)解：即：令，我們就得到方程組的一個(gè)解：151用公式來(lái)求數(shù)字線性方程組的解是比較麻煩的，因?yàn)樾枰?jì)算許多行列式。因此在實(shí)際求線性方程組的解的時(shí)候，一般總是用消元法。但是在數(shù)學(xué)問(wèn)題中遇到線性方程組時(shí)，常常不需要真正求出它們的解，而是需要對(duì)它們進(jìn)行討論，在這種情況下，我們有時(shí)要用到（5）式或（6）式。用公式來(lái)求數(shù)字線性方程組的解是比較麻煩的，因?yàn)樾枰?jì)算許多行1524.3.2齊次線性方程組及其非零解的概念定義若是一個(gè)線性方程組的常數(shù)項(xiàng)都等于零，那么這個(gè)方程組叫做一個(gè)齊次線性方程組.我們來(lái)看一個(gè)齊次線性方程組(8)4.3.2齊次線性方程組及其非零解的概念定義若是一個(gè)線153

這個(gè)方程組永遠(yuǎn)有解：顯然就是方程組（8）的一個(gè)解，這個(gè)解叫做零解。如果方程組（8）還有其它解，那么這些解就叫作非零解。齊次線性方程組永遠(yuǎn)有解.這個(gè)方程組永遠(yuǎn)有解：顯然就是方程組（8）的一個(gè)解，這個(gè)解叫1544.3.3齊次線性方程組有非零解的條件定理4.3.2一個(gè)齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是：它的系數(shù)矩陣的秩r小于它的未知量的個(gè)數(shù)n。證當(dāng)時(shí)，方程組只有唯一解，它只能是零解。當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，因而它除零解

外，必然還有非零解。

4.3.3齊次線性方程組有非零解的條件定理4.3.2一155推論4.3.3含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是：方程組的系數(shù)行列式等于零。因?yàn)樵谶@一種情況，方程組系數(shù)行列式等于零就是說(shuō)，方程組的系數(shù)矩陣的秩小于n.

推論4.3.4若在一個(gè)齊次線性方程組中，方程的個(gè)數(shù)m小于未知量的個(gè)數(shù)n，那么這個(gè)方程組一定有解。因?yàn)樵谶@一情況，方程組的系數(shù)矩陣的秩r不能超過(guò)m，因而一定小于n.

推論4.3.3含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組有非1561.內(nèi)容分布

4.4.1結(jié)式與多項(xiàng)式的公根

4.4.2多項(xiàng)式的判別式2.教學(xué)目的:

了解多項(xiàng)式有公根的判別了解多項(xiàng)式的判別式的定義3.重點(diǎn)難點(diǎn):

多項(xiàng)式有公根的判別4.4結(jié)式和判別式1.內(nèi)容分布4.4結(jié)式和判別式1574.4.1結(jié)式與多項(xiàng)式的公根

假設(shè)在C內(nèi)有公根依次用乘第一個(gè)等式,用乘第二個(gè)等式,我們得到以下個(gè)等式:4.4.1結(jié)式與多項(xiàng)式的公根假設(shè)158這就表明,是一個(gè)含有個(gè)未知量,個(gè)方程的齊次線性方程組的非零解,因此系數(shù)行列式:這就表明,是一個(gè)含有159必須等于零.行列式D叫做多項(xiàng)式的結(jié)式,并且用符號(hào)

來(lái)表示.結(jié)式不但有公根時(shí)等于零,而且當(dāng)時(shí)顯然也等于零.于是就得到必須等于零.行列式D叫做多項(xiàng)式的結(jié)式160

定理4.4.1如果多項(xiàng)式

定理4.4.2設(shè)

(i)如果而的全部根,那么(1)有公根,或者,那么它們的結(jié)式等于零.

是復(fù)數(shù)域C上多項(xiàng)式.是它們的結(jié)式.定理4.4.1如果多項(xiàng)式161(ii)如果,而的全部根,那么(2)證我們對(duì)m作數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明公式(1)。先看m=1的情形，這時(shí)的根是。而(ii)如果,而162把行列式的第一列乘以加到第二列上，再把新的第二列乘以加到第三列上，…，最后，把新的第n列乘以加到第n+1列上，這時(shí)行列式中元素都被消去，而最后一行的元素依次等于因此把行列式的第一列乘以加到第二列上，再把新的第二列乘以163假設(shè)當(dāng)時(shí)公式（1）成立。我們看的情形，這時(shí)令的全部根。那么

這里是一個(gè)k次多項(xiàng)式，它的根是比較的系數(shù)，我們有

假設(shè)當(dāng)時(shí)公式（1）成立。我們看164因此因此165把行列式的第一列乘以加到第二列上，再把新的第二列乘以加到第三列上