第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式1因次、量綱的概念因次及量綱：表征物理量，除了有量的數(shù)值外，還有量的種類（或類別），如長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量、力等，人們把表征物理量的種類通稱為“因次”（Dimension）或稱為“量綱”。國(guó)際單位單位：度量各物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)，稱為單位。市制、公制、英制、美制。1）長(zhǎng)度——米3）質(zhì)量——千克2）時(shí)間——秒4）力——牛頓第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式1因次、量綱的概第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式2物理量分類物理量可分為兩大類物理量1）有因次的:如長(zhǎng)度、時(shí)間、速度、加速度、質(zhì)量、力等，這類物理量要以人為的單位來表示，其數(shù)值大小隨著單位的更換而改變；1m=100cm2）無因次的:如坡度、佛汝德數(shù)、雷諾數(shù)等，這些量是一個(gè)純數(shù)或比值，其數(shù)值大小不受量度單位更換的影響。第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式2物理量分類物理2、物理量的因次分類物理量的因次可分為兩大類因次1）基本因次：它們彼此是相互獨(dú)立的，即它們中的任何一個(gè)因次不能從其它基本因次推導(dǎo)出來。2）導(dǎo)出因次：這類因次可由基本因次推導(dǎo)出來。若選擇[M、L、T]為基本因次，則速度因次可表示為：[V]=[L]/[T]=[LT-1]加速度的因次為：[a]=[V]/[T]=[LT-2]力的因次為：[F]=[M][a]=[MLT-2]力學(xué)上通常選擇長(zhǎng)度（以[L]表示）、時(shí)間（以[T]表示）和質(zhì)量（以[M]表示）作為基本因次，顯然它們是相互獨(dú)立的。它們中任一個(gè)不能從另外二個(gè)推導(dǎo)出來（例如[L]不可能由[M]、[T]來組成）。第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式2、物理量的因次分類物理量的因次可分為兩大類因次1）基本可見某一物理量的因次總可以由基本因次推導(dǎo)出來，而且是基本因次冪指數(shù)的乘積，即：該式稱為因次關(guān)系式。證明過程：見書P32頁。物理量ｙ的性質(zhì)可由指數(shù)αβγ來反映，如均為0，則y為一次無因次純數(shù)，指數(shù)αβγ中有一個(gè)不等于0，就可以說ｙ是一個(gè)有因次的物理量。y為一運(yùn)動(dòng)學(xué)量y為一幾何學(xué)量y為一動(dòng)力學(xué)量從上式可以導(dǎo)出常見的有因次的物理量可見某一物理量的因次總可以由基本因次推導(dǎo)出來，而且是基本

如面積是由兩個(gè)長(zhǎng)度的乘積組成的，則它們的因次為長(zhǎng)度因次的平方,[A]=[L2]或?qū)懗蒣A]=[M0L2T0]。流速因次為[V]=[LT-1]=[M0LT-1]；力的因次為[F]=[M][a]=[MLT-2]。

物理量

無因次量

有因次量

基本量導(dǎo)出量常見因次關(guān)系詳見P34頁表2－1第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式如面積是由兩個(gè)長(zhǎng)度的乘積組成的，則它們的因次為長(zhǎng)度因次的第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法1、因次和諧原理

凡是正確反映某一物理現(xiàn)象變化規(guī)律的完整的物理方程，其各項(xiàng)因次都必須是一致的，這稱為因次和諧原理。

只有類型相同的物理量才能相加減，即因次相同的物理量才能相加減，兩個(gè)不同類型的物理量相加減是沒有意義的。比如，1m+1kg是沒有意義的。所以，方程中各項(xiàng)因次都必須是一致的。利用方程因次和諧特征：（1）可以探求物理方程的結(jié)構(gòu)形式，（2）檢驗(yàn)復(fù)雜方程式的正確性，（3）還可以用來導(dǎo)出模型試驗(yàn)中必須遵循的相似準(zhǔn)則。因此，這一原理是因次分析的重要依據(jù)。2、因次和諧原理的重要性第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法1、因次和諧原理凡1.一個(gè)物理方程式在因次上是和諧的，則方程的文字結(jié)構(gòu)形式不隨量度單位的更換而變化。因此因次和諧原理可以用以檢驗(yàn)新建方程式或經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。伯努利方程上式中各項(xiàng)的因次都是長(zhǎng)度[L]，所以因次是和諧的。不管方程中各項(xiàng)采用的單位是什么，方程的形式都不會(huì)改變，若同除以任一項(xiàng)變?yōu)闊o量綱方程式，其形式仍然不會(huì)改變。如果一個(gè)方程在因次上不和諧，則要檢查方程式是否完整，采用度量單位是否一致，數(shù)學(xué)分析過程是否嚴(yán)謹(jǐn)。2、因次和諧原理的重要性1.一個(gè)物理方程式在因次上是和諧的，則方程的文字結(jié)構(gòu)形式不2.用因次和諧原理確定物理方程中各物理量的指數(shù)。2、因次和諧原理的重要性質(zhì)量為M、以速度v沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)其關(guān)系式為：利用因次和諧原理可以證明關(guān)系式的合理性

左側(cè)[F]=[MLT-2]右側(cè)顯然左側(cè)與右側(cè)的因次相同，即可證得：各物理量的量綱為：

[F]=[MLT-2]、[m]=[M]、[v]=[MLT-1]、[R]=[L]根據(jù)因次和諧原理，左右兩側(cè)的量綱應(yīng)該和諧

：2.用因次和諧原理確定物理方程中各物理量的指數(shù)。2、因次3.用因次和諧原理建立某些物理方程。實(shí)際工程中有許多自然現(xiàn)象，直至目前仍尚未找出具體形式的物理方程。通過觀察和試驗(yàn)等只知道有哪些物理量參與作用，那么，利用因次和諧原理往往可以確定方程式的結(jié)構(gòu)模式。舉例：水平圓管中層流流量Q的計(jì)算式的確定。通過試驗(yàn)知道它與如下參數(shù)有關(guān)：

圓管半徑

單位管長(zhǎng)的壓差流體動(dòng)力粘滯系數(shù)寫出函數(shù)關(guān)系式：假設(shè)：2、因次和諧原理的重要性3.用因次和諧原理建立某些物理方程。舉例：水平圓管中層流其因次式為：選擇[M,L,T]為基本量綱，則寫出兩邊的量綱表達(dá)式：根據(jù)因次和諧原理，方程兩側(cè)同類因次的指數(shù)必須相同，即：其因次式為：選擇[M,L,T]為基本量綱，則寫出兩邊的量綱表聯(lián)解上列3式得：從而有寫成函數(shù)關(guān)系式為其中，k為無因次系數(shù)，由試驗(yàn)結(jié)果分析得：于是圓管中層流流量公式為：聯(lián)解上列3式得：從而有寫成函數(shù)關(guān)系式為其中，k為無因次第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法二、因次分析方法由因次和用因次和諧原理，可以得到如下認(rèn)識(shí)：1、自然界中某一物理現(xiàn)象的變化規(guī)律，可以用一個(gè)完整的物理方程來描述；2、一個(gè)完整的物理方程式必須符合因次和諧原理；3、一個(gè)完整的物理方程式其文字結(jié)構(gòu)不隨人為確定的量度單位的更換而改變；4、因次和諧的條件是方程式中各個(gè)變量的基本因次的指數(shù)在方程式兩側(cè)彼此相等。因次分析方法就是建立在上述結(jié)論基礎(chǔ)上，是用于探求物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系式的一種數(shù)學(xué)分析方法。第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法二、因次分析方法由因次第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法二、因次分析方法因次分析方法有二種：瑞利（Rayleigh）法——適用于解決較簡(jiǎn)單問題π定理——具有普遍性的方法瑞利方法的實(shí)質(zhì)是應(yīng)用因次和諧原理來建立物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系。第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法二、因次分析方法因第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

例：一弦長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺,擺端有質(zhì)量為m的擺球，要求用瑞利法求單擺的擺動(dòng)周期t的表達(dá)式。

根據(jù)單擺現(xiàn)象觀測(cè)，周期t與弦長(zhǎng)l、擺球質(zhì)量m為及重力加速度g有關(guān)，即：用冪指數(shù)乘積來表示這一函數(shù)關(guān)系，即：

式中：為待定常數(shù)。將上式寫成因次式得：

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法例：一弦長(zhǎng)為L(zhǎng)的單第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法選擇為基本因次，根據(jù)因次和諧原理，則上式可寫成：聯(lián)立求得上列3式求解得：根據(jù)因次和諧：二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法選擇為第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法這與理論分析結(jié)果完全相同。

由單擺試驗(yàn)得到常數(shù)等于2π，則單擺周期的表達(dá)式為：二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法這與理論分析結(jié)果完全相同。應(yīng)用瑞利因次分析法探求物理方程式的步驟如下：1、找出物理過程的參變量，建立函數(shù)關(guān)系式（一般采用冪指數(shù)乘積形式）；2、寫出函數(shù)的因次關(guān)系式；3、選定3個(gè)基本因次（一般為：M,L,T），按選定的基本因次整理、歸并得出函數(shù)的因次關(guān)系式；4、根據(jù)因次和諧原理列出因次和諧方程，聯(lián)立求解出各參變量指數(shù)值；5、將解得的指數(shù)值回代到原假定的函數(shù)關(guān)系式，并加以整理、化簡(jiǎn)；6、通過模型試驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)，驗(yàn)證所得的函數(shù)表達(dá)式的完整性和正確性，并確定表達(dá)式中的待定系數(shù)或指數(shù)，最后獲得描述該物理現(xiàn)象的完整的表達(dá)式。第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法二、因次分析方法應(yīng)用瑞利因次分析法探求物理方程式的步驟如下：1、找出物用瑞利因次分析法建立物理現(xiàn)象的函數(shù)表達(dá)式，最大的優(yōu)點(diǎn)就是簡(jiǎn)單易行，但有一定局限性：1、只能假定物理方程式的模式是參變量?jī)缰笖?shù)的乘積；2、所建立的方程式正確與否，很大程度取決于參變量的選擇是否正確、完整；

3、方程式中的待定系數(shù)或某些指數(shù)，一般需由模型試驗(yàn)或理論分析（比較簡(jiǎn)單的物理過程）求得；4、只有當(dāng)參變量不大于3個(gè)時(shí)，方能求解由3個(gè)基本因次構(gòu)成的因次和諧方程組，求得不大于3個(gè)的待定指數(shù)，從而建立方程的具體形式。第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法二、因次分析方法當(dāng)待求的物理方程中包含的參變量大于3個(gè)時(shí)，瑞利法就無能為力了。這時(shí)需采用因次分析的普遍方法——π定理，找出復(fù)合無因次項(xiàng)，方能建立完整的物理方程式。用瑞利因次分析法建立物理現(xiàn)象的函數(shù)表達(dá)式，最大的第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的全部含意是：

某一物理進(jìn)程，若有ｎ個(gè)物理量參與作用，其中有ｍ個(gè)具有因次獨(dú)立的基本物理量，則經(jīng)過處理，這一物理過程可由包含ｎ-ｍ個(gè)由這些物理量組成的無因次準(zhǔn)數(shù)π的函數(shù)關(guān)系式來表示。因次獨(dú)立的基本物理量的含義：指任何一個(gè)基本物理量的因次不能由其它基本物理量誘導(dǎo)出來，或者更嚴(yán)格的講，由基本物理量不可能組成一個(gè)無因次的量。例如用質(zhì)量ｍ，長(zhǎng)度l，時(shí)間t三個(gè)基本物理量，不管怎樣組合均不可能組成一個(gè)無因次量。第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的全部含意則它們是因次獨(dú)立的(即不能組成無因次量)的條件是上列因次式中的指數(shù)行列式不等于零。假設(shè)x1,x2,x3——是基本量，它們的因次式表示如下：則它們是因次獨(dú)立的(即不能組成無因次量)的條件是上列因次式中第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的數(shù)學(xué)解釋：

設(shè)某一物理過程包含n個(gè)物理量x1,x2,…，xn，則這一物理過程可用這些參變量的函數(shù)關(guān)系式表示：若n個(gè)參變量中有m個(gè)因次獨(dú)立（m<n），則上式可以改寫：為基本參變量為其它參變量,其因次可以由基本量誘導(dǎo)出來第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的數(shù)學(xué)解釋某一物理量xi,除了具有因次[xi]外，還有數(shù)值大小，而且數(shù)值大小隨單位的改變而改變。如果兩個(gè)物理量的因次之比等于1，那么他們的物理量因次相同，則其數(shù)值之比是一個(gè)無因次數(shù)。比如：某一物理量xi,除了具有因次[xi]外，還有數(shù)值大小，而且數(shù)均為無因次數(shù)則：n-m個(gè)參變量均可用它們同m個(gè)基本參變量的復(fù)合量表示，并轉(zhuǎn)換為n-m個(gè)無因次數(shù)，這些數(shù)稱為π。而對(duì)于基本參變量：不但因次之比等于1，其數(shù)值之比也等于1均為無因次數(shù)則：n-m個(gè)參變量均可用它們同m個(gè)基本參變量的復(fù)由此，各參變量組成的函數(shù)關(guān)系式可以表示為：基本量，共m項(xiàng)或者寫為上式物理意義：一個(gè)有n個(gè)參變量參與作用的物理過程的函數(shù)式可以轉(zhuǎn)換為僅包含若干個(gè)無因次數(shù)的函數(shù)式。由此，各參變量組成的函數(shù)關(guān)系式可以表示為：基本量，共m項(xiàng)或者第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用例1利用π定理建立圓球的粘滯力公式。設(shè)影響圓球在流體中運(yùn)動(dòng)(或流體繞圓球運(yùn)動(dòng))時(shí)引起的粘滯阻力FD與流體的密度ρ，動(dòng)力粘滯系數(shù)μ，球體與流體的相對(duì)速度以及表征球體的特征面積A有關(guān)。于是粘滯阻力的函數(shù)關(guān)系式可寫成：上式可改寫成：第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用例1利第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用上式共5個(gè)變量，選擇d、V、ρ作為基本變量：基本因次的指數(shù)行列式為故所選的基本量是因次獨(dú)立的，根據(jù)π定理，其它兩個(gè)參變量可用無因次的π項(xiàng)表示，可得：第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用上式共第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用第二章-因次分析與定理課件第三節(jié)π定理及其應(yīng)用由以上推導(dǎo)可知π定理的涵義：1、π定理的主要理論依據(jù)是一個(gè)完整的物理方程式必須遵循因次和諧原理。2、包含有n個(gè)變量參與作用的某一物理現(xiàn)象，可用一個(gè)由(n-m)個(gè)無因次項(xiàng)組成的函數(shù)關(guān)系式來表達(dá)，其中m為n個(gè)參變量中具有因次獨(dú)立的基本參變量()；3、基本參變量可任意從全部參變量中選擇，它們必須是因次獨(dú)立的(因次中的指數(shù)行列式不等于零)，而且它們包含的基本因次應(yīng)能包括n個(gè)參變量中所有基本因次。第三節(jié)π定理及其應(yīng)用由以上推導(dǎo)可知π定理的涵義：1、第三節(jié)π定理及其應(yīng)用4、每一個(gè)無因次π項(xiàng)均可由m個(gè)基本量指數(shù)乘積與某一個(gè)變量的商或積組合而成，組合的要求是各個(gè)基本量的指數(shù)得到合理的確定，最終使所得的各個(gè)π項(xiàng)均為無因次量。5、某些無因次物理量，本身也可作為π項(xiàng)。6、各個(gè)π項(xiàng)的自乘及它們之間相互乘除其物理意義不變。因而在組合π項(xiàng)時(shí)，用于和基本量指數(shù)乘積或相除的某一個(gè)變量，其指數(shù)可以任意選擇。由以上推導(dǎo)可知π定理的涵義：第三節(jié)π定理及其應(yīng)用4、每一個(gè)無因次π項(xiàng)均可由m個(gè)第三節(jié)π定理及其應(yīng)用三、π定理的應(yīng)用步驟1、根據(jù)對(duì)研究對(duì)象物理現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，找出影響這一物理現(xiàn)象的主要參變量。2、從正確選定的幾個(gè)參變量中，選出m個(gè)基本參變量（必須是因次獨(dú)立的）。3、將由n個(gè)因變量的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換為。4、根據(jù)各π項(xiàng)必須為無因次量的條件，由因次和諧原理求解得出各π相應(yīng)的待定指數(shù)，并代回各π項(xiàng)得出其表達(dá)式。5、盡量將方程式中各π項(xiàng)轉(zhuǎn)換為常用的相似準(zhǔn)數(shù)或通用的純數(shù)。6、將各個(gè)π項(xiàng)代回到（n-m）個(gè)π項(xiàng)的無因次函數(shù)關(guān)系式，并整理成表示某一現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系式。7、根據(jù)函數(shù)表達(dá)式擬定實(shí)驗(yàn)方案，用實(shí)驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)所選參變量及表達(dá)式，并確定有關(guān)待定系數(shù)。第三節(jié)π定理及其應(yīng)用三、π定理的應(yīng)用步驟1、根據(jù)對(duì)研究對(duì)精品課件！精品課件！精品課件！精品課件！第三節(jié)π定理及其應(yīng)用本章完！第三節(jié)π定理及其應(yīng)用本章完！第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式1因次、量綱的概念因次及量綱：表征物理量，除了有量的數(shù)值外，還有量的種類（或類別），如長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量、力等，人們把表征物理量的種類通稱為“因次”（Dimension）或稱為“量綱”。國(guó)際單位單位：度量各物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)，稱為單位。市制、公制、英制、美制。1）長(zhǎng)度——米3）質(zhì)量——千克2）時(shí)間——秒4）力——牛頓第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式1因次、量綱的概第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式2物理量分類物理量可分為兩大類物理量1）有因次的:如長(zhǎng)度、時(shí)間、速度、加速度、質(zhì)量、力等，這類物理量要以人為的單位來表示，其數(shù)值大小隨著單位的更換而改變；1m=100cm2）無因次的:如坡度、佛汝德數(shù)、雷諾數(shù)等，這些量是一個(gè)純數(shù)或比值，其數(shù)值大小不受量度單位更換的影響。第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式2物理量分類物理2、物理量的因次分類物理量的因次可分為兩大類因次1）基本因次：它們彼此是相互獨(dú)立的，即它們中的任何一個(gè)因次不能從其它基本因次推導(dǎo)出來。2）導(dǎo)出因次：這類因次可由基本因次推導(dǎo)出來。若選擇[M、L、T]為基本因次，則速度因次可表示為：[V]=[L]/[T]=[LT-1]加速度的因次為：[a]=[V]/[T]=[LT-2]力的因次為：[F]=[M][a]=[MLT-2]力學(xué)上通常選擇長(zhǎng)度（以[L]表示）、時(shí)間（以[T]表示）和質(zhì)量（以[M]表示）作為基本因次，顯然它們是相互獨(dú)立的。它們中任一個(gè)不能從另外二個(gè)推導(dǎo)出來（例如[L]不可能由[M]、[T]來組成）。第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式2、物理量的因次分類物理量的因次可分為兩大類因次1）基本可見某一物理量的因次總可以由基本因次推導(dǎo)出來，而且是基本因次冪指數(shù)的乘積，即：該式稱為因次關(guān)系式。證明過程：見書P32頁。物理量ｙ的性質(zhì)可由指數(shù)αβγ來反映，如均為0，則y為一次無因次純數(shù)，指數(shù)αβγ中有一個(gè)不等于0，就可以說ｙ是一個(gè)有因次的物理量。y為一運(yùn)動(dòng)學(xué)量y為一幾何學(xué)量y為一動(dòng)力學(xué)量從上式可以導(dǎo)出常見的有因次的物理量可見某一物理量的因次總可以由基本因次推導(dǎo)出來，而且是基本

如面積是由兩個(gè)長(zhǎng)度的乘積組成的，則它們的因次為長(zhǎng)度因次的平方,[A]=[L2]或?qū)懗蒣A]=[M0L2T0]。流速因次為[V]=[LT-1]=[M0LT-1]；力的因次為[F]=[M][a]=[MLT-2]。

物理量

無因次量

有因次量

基本量導(dǎo)出量常見因次關(guān)系詳見P34頁表2－1第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式如面積是由兩個(gè)長(zhǎng)度的乘積組成的，則它們的因次為長(zhǎng)度因次的第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法1、因次和諧原理

凡是正確反映某一物理現(xiàn)象變化規(guī)律的完整的物理方程，其各項(xiàng)因次都必須是一致的，這稱為因次和諧原理。

只有類型相同的物理量才能相加減，即因次相同的物理量才能相加減，兩個(gè)不同類型的物理量相加減是沒有意義的。比如，1m+1kg是沒有意義的。所以，方程中各項(xiàng)因次都必須是一致的。利用方程因次和諧特征：（1）可以探求物理方程的結(jié)構(gòu)形式，（2）檢驗(yàn)復(fù)雜方程式的正確性，（3）還可以用來導(dǎo)出模型試驗(yàn)中必須遵循的相似準(zhǔn)則。因此，這一原理是因次分析的重要依據(jù)。2、因次和諧原理的重要性第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法1、因次和諧原理凡1.一個(gè)物理方程式在因次上是和諧的，則方程的文字結(jié)構(gòu)形式不隨量度單位的更換而變化。因此因次和諧原理可以用以檢驗(yàn)新建方程式或經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。伯努利方程上式中各項(xiàng)的因次都是長(zhǎng)度[L]，所以因次是和諧的。不管方程中各項(xiàng)采用的單位是什么，方程的形式都不會(huì)改變，若同除以任一項(xiàng)變?yōu)闊o量綱方程式，其形式仍然不會(huì)改變。如果一個(gè)方程在因次上不和諧，則要檢查方程式是否完整，采用度量單位是否一致，數(shù)學(xué)分析過程是否嚴(yán)謹(jǐn)。2、因次和諧原理的重要性1.一個(gè)物理方程式在因次上是和諧的，則方程的文字結(jié)構(gòu)形式不2.用因次和諧原理確定物理方程中各物理量的指數(shù)。2、因次和諧原理的重要性質(zhì)量為M、以速度v沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)其關(guān)系式為：利用因次和諧原理可以證明關(guān)系式的合理性

左側(cè)[F]=[MLT-2]右側(cè)顯然左側(cè)與右側(cè)的因次相同，即可證得：各物理量的量綱為：

[F]=[MLT-2]、[m]=[M]、[v]=[MLT-1]、[R]=[L]根據(jù)因次和諧原理，左右兩側(cè)的量綱應(yīng)該和諧

：2.用因次和諧原理確定物理方程中各物理量的指數(shù)。2、因次3.用因次和諧原理建立某些物理方程。實(shí)際工程中有許多自然現(xiàn)象，直至目前仍尚未找出具體形式的物理方程。通過觀察和試驗(yàn)等只知道有哪些物理量參與作用，那么，利用因次和諧原理往往可以確定方程式的結(jié)構(gòu)模式。舉例：水平圓管中層流流量Q的計(jì)算式的確定。通過試驗(yàn)知道它與如下參數(shù)有關(guān)：

圓管半徑

單位管長(zhǎng)的壓差流體動(dòng)力粘滯系數(shù)寫出函數(shù)關(guān)系式：假設(shè)：2、因次和諧原理的重要性3.用因次和諧原理建立某些物理方程。舉例：水平圓管中層流其因次式為：選擇[M,L,T]為基本量綱，則寫出兩邊的量綱表達(dá)式：根據(jù)因次和諧原理，方程兩側(cè)同類因次的指數(shù)必須相同，即：其因次式為：選擇[M,L,T]為基本量綱，則寫出兩邊的量綱表聯(lián)解上列3式得：從而有寫成函數(shù)關(guān)系式為其中，k為無因次系數(shù)，由試驗(yàn)結(jié)果分析得：于是圓管中層流流量公式為：聯(lián)解上列3式得：從而有寫成函數(shù)關(guān)系式為其中，k為無因次第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法二、因次分析方法由因次和用因次和諧原理，可以得到如下認(rèn)識(shí)：1、自然界中某一物理現(xiàn)象的變化規(guī)律，可以用一個(gè)完整的物理方程來描述；2、一個(gè)完整的物理方程式必須符合因次和諧原理；3、一個(gè)完整的物理方程式其文字結(jié)構(gòu)不隨人為確定的量度單位的更換而改變；4、因次和諧的條件是方程式中各個(gè)變量的基本因次的指數(shù)在方程式兩側(cè)彼此相等。因次分析方法就是建立在上述結(jié)論基礎(chǔ)上，是用于探求物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系式的一種數(shù)學(xué)分析方法。第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法二、因次分析方法由因次第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法二、因次分析方法因次分析方法有二種：瑞利（Rayleigh）法——適用于解決較簡(jiǎn)單問題π定理——具有普遍性的方法瑞利方法的實(shí)質(zhì)是應(yīng)用因次和諧原理來建立物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系。第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法二、因次分析方法因第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

例：一弦長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺,擺端有質(zhì)量為m的擺球，要求用瑞利法求單擺的擺動(dòng)周期t的表達(dá)式。

根據(jù)單擺現(xiàn)象觀測(cè)，周期t與弦長(zhǎng)l、擺球質(zhì)量m為及重力加速度g有關(guān)，即：用冪指數(shù)乘積來表示這一函數(shù)關(guān)系，即：

式中：為待定常數(shù)。將上式寫成因次式得：

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法例：一弦長(zhǎng)為L(zhǎng)的單第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法選擇為基本因次，根據(jù)因次和諧原理，則上式可寫成：聯(lián)立求得上列3式求解得：根據(jù)因次和諧：二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法選擇為第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法這與理論分析結(jié)果完全相同。

由單擺試驗(yàn)得到常數(shù)等于2π，則單擺周期的表達(dá)式為：二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法這與理論分析結(jié)果完全相同。應(yīng)用瑞利因次分析法探求物理方程式的步驟如下：1、找出物理過程的參變量，建立函數(shù)關(guān)系式（一般采用冪指數(shù)乘積形式）；2、寫出函數(shù)的因次關(guān)系式；3、選定3個(gè)基本因次（一般為：M,L,T），按選定的基本因次整理、歸并得出函數(shù)的因次關(guān)系式；4、根據(jù)因次和諧原理列出因次和諧方程，聯(lián)立求解出各參變量指數(shù)值；5、將解得的指數(shù)值回代到原假定的函數(shù)關(guān)系式，并加以整理、化簡(jiǎn)；6、通過模型試驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)，驗(yàn)證所得的函數(shù)表達(dá)式的完整性和正確性，并確定表達(dá)式中的待定系數(shù)或指數(shù)，最后獲得描述該物理現(xiàn)象的完整的表達(dá)式。第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法二、因次分析方法應(yīng)用瑞利因次分析法探求物理方程式的步驟如下：1、找出物用瑞利因次分析法建立物理現(xiàn)象的函數(shù)表達(dá)式，最大的優(yōu)點(diǎn)就是簡(jiǎn)單易行，但有一定局限性：1、只能假定物理方程式的模式是參變量?jī)缰笖?shù)的乘積；2、所建立的方程式正確與否，很大程度取決于參變量的選擇是否正確、完整；

3、方程式中的待定系數(shù)或某些指數(shù)，一般需由模型試驗(yàn)或理論分析（比較簡(jiǎn)單的物理過程）求得；4、只有當(dāng)參變量不大于3個(gè)時(shí)，方能求解由3個(gè)基本因次構(gòu)成的因次和諧方程組，求得不大于3個(gè)的待定指數(shù)，從而建立方程的具體形式。第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法二、因次分析方法當(dāng)待求的物理方程中包含的參變量大于3個(gè)時(shí)，瑞利法就無能為力了。這時(shí)需采用因次分析的普遍方法——π定理，找出復(fù)合無因次項(xiàng)，方能建立完整的物理方程式。用瑞利因次分析法建立物理現(xiàn)象的函數(shù)表達(dá)式，最大的第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的全部含意是：

某一物理進(jìn)程，若有ｎ個(gè)物理量參與作用，其中有ｍ個(gè)具有因次獨(dú)立的基本物理量，則經(jīng)過處理，這一物理過程可由包含ｎ-ｍ個(gè)由這些物理量組成的無因次準(zhǔn)數(shù)π的函數(shù)關(guān)系式來表示。因次獨(dú)立的基本物理量的含義：指任何一個(gè)基本物理量的因次不能由其它基本物理量誘導(dǎo)出來，或者更嚴(yán)格的講，由基本物理量不可能組成一個(gè)無因次的量。例如用質(zhì)量ｍ，長(zhǎng)度l，時(shí)間t三個(gè)基本物理量，不管怎樣組合均不可能組成一個(gè)無因次量。第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的全部含意則它們是因次獨(dú)立的(即不能組成無因次量)的條件是上列因次式中的指數(shù)行列式不等于零。假設(shè)x1,x2,x3——是基本量，它們的因次式表示如下：則它們是因次獨(dú)立的(即不能組成無因次量)的條件是上列因次式中第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的數(shù)學(xué)解釋：

設(shè)某一物理過程包含n個(gè)物理量x1,x2,…，xn，則這一物理過程可用這些參變量的函數(shù)關(guān)系式表示：若n個(gè)參變量中有m個(gè)因次獨(dú)立（m<n），則上式可以改寫：為基本參變量為其它參變量,其因次可以由基本量誘導(dǎo)出來第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的數(shù)學(xué)解釋某一物理量xi,除了具有因次[xi]外，還有數(shù)值大小，而且數(shù)值大小隨單位的改變而改變。如果兩個(gè)物理量的因次之比等于1，那么他們的物理量因次相同，則其數(shù)值之比是一個(gè)無因次數(shù)。比如：某一物理量xi,除了具有因次[xi]外，還有數(shù)值大小，而且數(shù)均為無因次數(shù)則：n-m個(gè)參變量均可用它們同m個(gè)基本參變量的復(fù)合量表示，并轉(zhuǎn)換為n-m個(gè)無因次數(shù)，這些數(shù)稱為π。而對(duì)于基本參變量：不但因次之比等于1，其數(shù)值之比也等于1均為無因次數(shù)則：n-m個(gè)參變量均可用它們同m個(gè)基本參變量的復(fù)由此，各參變量組成的函數(shù)關(guān)系式可以表示為：基本量，共m項(xiàng)或者寫為上式物理意義：一個(gè)有n個(gè)參變量參與作用的物理過程的函數(shù)式可以轉(zhuǎn)換為僅包含若干個(gè)無因次數(shù)的函數(shù)式。由此，各參變量組成的函數(shù)關(guān)系式可以表示為：基本量，共m項(xiàng)或者第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析