第2章靜電場

靜電場：相對觀察者靜止且量值不隨時(shí)間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。

本章任務(wù)：闡述靜電荷與電場之間的關(guān)系，在已知電荷或電位的情況下求解電場的各種計(jì)算方法，或者反之。

靜電場是本電磁場課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場,恒定磁場及時(shí)變場。1第2章靜電場靜電場：本章任務(wù)：1.1.1庫侖定律2.1電場強(qiáng)度N(牛頓)適用條件

兩個(gè)可視為點(diǎn)電荷的帶電體之間相互作用力

無限大真空情況(式中可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中F/m)N(牛頓)圖2.1.1兩點(diǎn)電荷間的作用力

庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律。試驗(yàn)表明:真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷q1與q2之間的相互作用力:21.1.1庫侖定律2.1電場強(qiáng)度N(牛頓)適用條2.1.2靜電場基本物理量——電場強(qiáng)度定義：

V/m(N/C)

電場強(qiáng)度E

表示單位正電荷在電場中所受到的力(F),它是空間坐標(biāo)的矢量函數(shù),定義式給出了E

的大小、方向與單位。a)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度V/mV/m圖2.1.2點(diǎn)電荷的電場32.1.2靜電場基本物理量——電場強(qiáng)度定義：V/mb)n個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度(矢量疊加)c)連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度V/m體電荷分布面電荷分布線電荷分布圖2.1.3體電荷的電場4b)n個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度(矢量疊加)c)連例1真空中有長為L的均勻帶電直導(dǎo)線,電荷線密度為,試求P點(diǎn)的電場.解:采用直角坐標(biāo)系,令y軸經(jīng)過場點(diǎn)p,導(dǎo)線與x軸重合。(直角坐標(biāo))(圓柱坐標(biāo))圖2.1.4帶電長直導(dǎo)線的電場5例1真空中有長為L的均勻帶電直導(dǎo)線,電荷線密度為,試求

無限長直均勻帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場為平行平面場。

電場強(qiáng)度的矢量積分一般先轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分,然后再合成,即

點(diǎn)電荷的數(shù)學(xué)模型

積分是對源點(diǎn)進(jìn)行的,計(jì)算結(jié)果是場點(diǎn)的函數(shù)。

點(diǎn)電荷是電荷體分布的極限情況,可以把它看成是一個(gè)體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。

當(dāng)時(shí)，電荷密度趨近于無窮大，通常用沖擊函數(shù)表示點(diǎn)電荷的密度分布。單位點(diǎn)電荷的密度分布點(diǎn)電荷的密度6無限長直均勻帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場為平行平面場。點(diǎn)電荷矢量恒等式直接微分得故電場強(qiáng)度E

的旋度等于零2.2靜電場的無旋性和高斯定律

1.靜電場旋度2.2.1

靜電場的無旋性7點(diǎn)電荷矢量恒等式直接微分得故電場強(qiáng)度E的旋度等于零2.2

可以證明，上述結(jié)論適用于點(diǎn)電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場。靜電場是一個(gè)無旋場。即任一分布形式的靜電荷產(chǎn)生的電場的旋度恒等于零，即2.靜電場的環(huán)路定律

在靜電場中,電場強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。

電場力作功與路徑無關(guān),靜電場是保守場。無旋場一定是保守場，保守場一定是無旋場。由斯托克斯定理，得

二者等價(jià)。8可以證明，上述結(jié)論適用于點(diǎn)電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的3.電位函數(shù)

在靜電場中可通過求解電位函數(shù)，再利用上式可方便地求得電場強(qiáng)度E。式中負(fù)號表示電場強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。2)

已知電荷分布，求電位：點(diǎn)電荷群連續(xù)分布電荷1)電位的引出以點(diǎn)電荷為例推導(dǎo)電位：根據(jù)矢量恒等式93.電位函數(shù)在靜電場中可通過求解電位函數(shù)，再利3)

E與的微分關(guān)系

在靜電場中，任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標(biāo)系中：4)

E與的積分關(guān)系設(shè)P0為參考零點(diǎn)E與的積分關(guān)系103)E與的微分關(guān)系在靜電場中，任意一點(diǎn)的電場5)

電位參考點(diǎn)的選擇原則

場中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無關(guān)。

同一個(gè)物理問題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。

選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡單，且要有意義。例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場：表達(dá)式無意義

電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)；

電荷分布在無窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。115)電位參考點(diǎn)的選擇原則場中任意兩點(diǎn)的電位差與參6)

電力線與等位線（面）

E線：曲線上每一點(diǎn)切線方向應(yīng)與該點(diǎn)電場強(qiáng)度E的方向一致，若dl是電力線的長度元，E

矢量將與dl方向一致，故電力線微分方程在直角坐標(biāo)系中：微分方程的解即為電力線的方程。當(dāng)取不同的

C值時(shí)，可得到不同的等位線（面）。

在靜電場中電位相等的點(diǎn)的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:例2

計(jì)算電偶極子的電場(r>>d)。126)電力線與等位線（面）E線：曲線上每一點(diǎn)切線方在球坐標(biāo)系中：代入上式，得用二項(xiàng)式展開，又有，得

表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。圖1.2.2電偶極子圖1.2.3電偶極子的等位線和電力線r1r2(r,,)13在球坐標(biāo)系中：代入上式，得用二項(xiàng)式展開，又有，得?

對上式等號兩端取散度；?

利用矢量恒等式及矢量積分、微分的性質(zhì)，得2.2.2真空中的高斯定律1.靜電場的散度———高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式其物理意義表示為

高斯定律說明了靜電場是一個(gè)有源場，電荷就是場的散度（通量源），電力線從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷。14?對上式等號兩端取散度；?利用矢量恒等式及矢量積2.高斯定律的積分形式式中n是閉合面包圍的點(diǎn)電荷總數(shù)。散度定理圖2.2.11閉合曲面的電通量

E的通量僅與閉合面S所包圍的凈電荷有關(guān)。圖2.2.12閉合面外的電荷對場的影響

S面上的E是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。152.高斯定律的積分形式式中n是閉合面包圍的點(diǎn)電荷總數(shù)電場強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；導(dǎo)體內(nèi)電場強(qiáng)度E為零，靜電平衡；電荷分布在導(dǎo)體表面，且任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。（）一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。（）接地導(dǎo)體都不帶電。（）2.2.3.電介質(zhì)中的高斯定律1.靜電場中導(dǎo)體的性質(zhì)2.靜電場中的電介質(zhì)圖2.2.13靜電場中的導(dǎo)體?16電場強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；

電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩；

電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷；

極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。式中為體積元內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷。無極性分子有極性分子圖2.2.14電介質(zhì)的極化用極化強(qiáng)度P表示電介質(zhì)的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度17電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中

e——電介質(zhì)的極化率,無量綱量。均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)（x,y,z）而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場的方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場的值而變化；一個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電位：

極化強(qiáng)度

P是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位為：式中圖2.2.15電偶極子產(chǎn)生的電位P(r,,)18實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中e——電介質(zhì)矢量恒等式：圖2.2.16體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位散度定理令極化電荷體密度極化電荷面密度19矢量恒等式：圖2.2.16體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)

在均勻極化的電介質(zhì)內(nèi)，極化電荷體密度這就是電介質(zhì)極化后，由面極化電荷p和體極化電荷p共同作用在真空

0中產(chǎn)生的電位。

根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和

有電介質(zhì)存在的場域中，任一點(diǎn)的電位及電場強(qiáng)度表示為20在均勻極化的電介質(zhì)內(nèi)，極化電荷體密度這就是3.電介質(zhì)中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（電介質(zhì)中）定義電位移矢量（Displacement）則有電介質(zhì)中高斯定律的微分形式代入,得其中——相對介電常數(shù)；——介電常數(shù)，單位（F/m）

在各向同性介質(zhì)中

D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的自由電荷。213.電介質(zhì)中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D

線、E線和P線的分布。?D線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)的自由電荷；?P線由負(fù)的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。?E

線的起點(diǎn)與終點(diǎn)既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；D線E線P線圖2.2.17D、E與P

三者之間的關(guān)系22圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D線、E線和P線的()()()

D

的通量與介質(zhì)無關(guān)，但不能認(rèn)為D

的分布與介質(zhì)無關(guān)。

D通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的

D

是由高斯面內(nèi)、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。B）高斯定律的積分形式散度定理圖2.2.18點(diǎn)電荷的電場中置入任意一塊介質(zhì)qq圖2.2.19閉合面外的電荷對場的影響23()()()D的通量與介質(zhì)無關(guān)，例2.2.2求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場。解：電場分布特點(diǎn)：

D

線皆垂直于導(dǎo)線，呈輻射狀態(tài)；

等

r

處D值相等；取長為L，半徑為r的封閉圓柱面為高斯面。由得圖2.2.20電荷線密度為的無限長均勻帶電體4.高斯定律的應(yīng)用計(jì)算技巧：a）分析給定場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯面，使容易積分。

高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對稱性的場才能得到解析解。24例2.2.2求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場圖2.2.22球殼內(nèi)的電場圖2.2.21球殼外的電場例2.2.3試分析圖2.2.21與2.2.22的電場能否直接用高斯定律來求解場的分布？圖2.2.21點(diǎn)電荷q置于金屬球殼內(nèi)任意位置的電場圖2.2.22點(diǎn)電荷±q分別置于金屬球殼內(nèi)的中心處與球殼外的電場25圖2.2.22球殼內(nèi)的電場圖2.2.21球殼外的電場2.3靜電場的基本方程分界面上的銜接條件2.3.1靜電場的基本方程靜電場是一個(gè)無旋、有源場，靜止電荷就是靜電場的源。這兩個(gè)重要特性用簡潔的數(shù)學(xué)形式為：解：根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質(zhì),

例2.3.1已知試判斷它能否表示靜電場？對應(yīng)靜電場的基本方程

，矢量

A可以表示一個(gè)靜電場。能否根據(jù)矢量場的散度來判斷該矢量場是否是靜電場?問262.3靜電場的基本方程分界面上的銜接條件2.3.以分界面上點(diǎn)P作為觀察點(diǎn)，作一小扁圓柱高斯面（）。2、電場強(qiáng)度E的銜接條件以點(diǎn)P作為觀察點(diǎn)，作一小矩形回路（）。2.3.2分界面上的銜接條件1、電位移矢量D的銜接條件分界面兩側(cè)

E的切向分量連續(xù)。分界面兩側(cè)的

D的法向分量不連續(xù)。當(dāng)時(shí)，D的法向分量連續(xù)。圖2.3.2在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律則有根據(jù)根據(jù)則有圖2.3.1在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用高斯定律27以分界面上點(diǎn)P作為觀察點(diǎn)，作一2、電場強(qiáng)度E的銜接條表明：（1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場僅有法向分量；（2）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的D就等于該點(diǎn)的自由電荷密度。當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時(shí)，分界面上的銜接條件為：圖2.3.3a導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面在交界面上不存在時(shí)，E、D滿足折射定律。折射定律圖2.3.3分界面上E線的折射28表明：（1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直因此表明:在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。3、用電位函數(shù)表示分界面上的銜接條件設(shè)點(diǎn)1與點(diǎn)2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d，,則表明:一般情況下,電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。圖2.3.4電位的銜接條件對于導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面，用電位表示的銜接條件應(yīng)是如何呢？思考29因此表明:在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。3、用電位函數(shù)解：忽略邊緣效應(yīng)圖（a）圖（b）例2.3.2如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知和,圖(a)已知極板間電壓U0

,圖(b)已知極板上總電荷,試分別求其中的電場強(qiáng)度。（a）（b）圖2.3.5平行板電容器30解：忽略邊緣效應(yīng)圖（a）圖（b）例2.3.2如圖2.4靜電場邊值問題唯一性定理2.4.1泊松方程與拉普拉斯方程推導(dǎo)微分方程的基本出發(fā)點(diǎn)是靜電場的基本方程：泊松方程泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)。例2.4.1列出求解區(qū)域的微分方程拉普拉斯方程——拉普拉斯算子2.4.2靜電場的邊值問題圖2.4.1三個(gè)不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場312.4靜電場邊值問題唯一性定理2.4.1泊松方程已知場域邊界上各點(diǎn)電位值邊值問題框圖自然邊界條件參考點(diǎn)電位有限值邊值問題微分方程邊界條件場域邊界條件分界面銜接條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件已知場域邊界上各點(diǎn)電位的法向?qū)?shù)一、二類邊界條件的線性組合，即32已知場域邊界邊值問題框圖自然參考點(diǎn)電位邊值問題微分方程邊界條

例2.4.2

圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長為2b的正方形，鉛皮半徑為a，內(nèi)外導(dǎo)體之間電介質(zhì)的介電常數(shù)為，并且在兩導(dǎo)體之間接有電源U0，試寫出該電纜中靜電場的邊值問題。解：根據(jù)場分布對稱性，確定場域。（陰影區(qū)域）場的邊值問題圖2.4.4纜心為正方形的同軸電纜橫截面33例2.4.2圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面邊界條件積分之，得通解

例2.4.3設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場。解:采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程參考點(diǎn)電位圖2.4.5體電荷分布的球形域電場34邊界條件積分之，得通解例2.4.3設(shè)有電荷均勻分布解得電場強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：

對于一維場（場量僅僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由得到電場強(qiáng)度E的分布。電位：35解得

唯一性定理的重要意義

可判斷靜電場問題的解的正確性：例

圖示平板電容器的電位，哪一個(gè)解答正確？答案：（C）唯一性定理為靜電場問題的多種解法(試探解、數(shù)值解、解析解等）提供了理論根據(jù)。

2.5唯一性定理36唯一性定理的重要意義可判斷靜電場問題的解的正確性：2.6鏡像法2.6.1

鏡像法1.平面導(dǎo)體的鏡像

鏡像法:用虛設(shè)的電荷分布等效替代媒質(zhì)分界面上復(fù)雜電荷分布,虛設(shè)電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置使場的解答滿足唯一性定理。圖2.6.1平面導(dǎo)體的鏡像上半場域邊值問題：（除

q所在點(diǎn)外的區(qū)域）（導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處）（S為包圍q的閉合面）372.6鏡像法2.6.1鏡像法1.平面導(dǎo)體的鏡像鏡像（方向指向地面）整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為例2.6.1求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。解:設(shè)點(diǎn)電荷離地面高度為h，則圖2.6.2點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷的分布38（方向指向地面）整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為例2.6.1求空2.不同介質(zhì)分界面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除q點(diǎn)外的上半空間)圖2.6.8點(diǎn)電荷對無限大介質(zhì)分界面的鏡像和392.不同介質(zhì)分界面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除q點(diǎn)

?

中的電場是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是等效替代自由電荷與極化電荷的作用。即圖2.6.9點(diǎn)電荷位于不同介質(zhì)平面上方的場圖

?

中的電場是由與共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，是等效替代極化電荷的影響。注意40?中的電場是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是鏡像法小結(jié)

鏡像法的理論基礎(chǔ)是靜電場唯一性定理；鏡像法的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計(jì)算場域?yàn)闊o限大均勻介質(zhì)；鏡像法的關(guān)鍵是確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小及位置；

應(yīng)用鏡像法解題時(shí)，注意：鏡像電荷只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時(shí)，要注意場的適用區(qū)域。41鏡像法小結(jié)鏡像法的理論基礎(chǔ)是靜電場唯一性定理；412.7電容及部分電容電容只與兩導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸、相互位置及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)有關(guān)。電容的計(jì)算思路：

2.7.1電容定義：單位：

例2.7.1試求球形電容器的電容。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為,則同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時(shí)（孤立導(dǎo)體球的電容）圖2.7.1球形電容器422.7電容及部分電容電容只與兩導(dǎo)體多導(dǎo)體系統(tǒng)、部分電容1.已知導(dǎo)體的電荷，求電位和電位系數(shù)中的其余帶電體，與外界無任何聯(lián)系，即

?

靜電獨(dú)立系統(tǒng)——D線從這個(gè)系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)?

線性、多導(dǎo)體(三個(gè)以上導(dǎo)體)組成的系統(tǒng)；?

部分電容概念以三導(dǎo)體系為例，接地導(dǎo)體為電位參考點(diǎn),其余導(dǎo)體的電位與各導(dǎo)體上的電荷的關(guān)系為圖2.7.2三導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)43多導(dǎo)體系統(tǒng)、部分電容1.已知導(dǎo)體的電荷，求電位和電位系數(shù)以此類推（n+1)個(gè)多導(dǎo)體系統(tǒng)只有n個(gè)電位線性獨(dú)立方程，即電位系數(shù)，表明各導(dǎo)體電荷對各導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——

自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上電荷對導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——互有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上的電荷對導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——寫成矩陣形式為（非獨(dú)立方程）注：

的值可以通過給定各導(dǎo)體電荷,計(jì)算各導(dǎo)體的電位而得。44以此類推（n+1)個(gè)多導(dǎo)體系統(tǒng)只有n個(gè)電位線性獨(dú)立2.已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)——靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；ii——自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體i電位對導(dǎo)體i電荷的貢獻(xiàn)；ij——互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體j電位對導(dǎo)體i電荷的貢獻(xiàn)。

通常，

的值可以通過給定各導(dǎo)體的電位，測量各導(dǎo)體的電荷而得。452.已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)——靜電感應(yīng)3.已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式中：C——部分電容，它表明各導(dǎo)體間電壓對各導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；（互有部分電容）；（自有部分電容）。部分電容性質(zhì):?

所有部分電容都是正值，且僅與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的值有關(guān)；?互有部分電容，即為對稱陣；?

(n+1)個(gè)導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)中，共應(yīng)有個(gè)部分電容；463.已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式2.8靜電能量1.帶電體系統(tǒng)中的靜電能量靜電能量是在電場的建立過程中，由外力作功轉(zhuǎn)化而來的。1)連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電能量假設(shè)：?電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線性的；2.8.1靜電能量?電場的建立與充電過程無關(guān),導(dǎo)體上電荷與電位的最終值為、,在充電過程中，與的增長比例為

m，。?建立電場過程緩慢（忽略動能與能量輻射）。472.8靜電能量1.帶電體系統(tǒng)中的靜電能量這個(gè)功轉(zhuǎn)化為靜電能量儲存在電場中。體電荷系統(tǒng)的靜電能量

t

時(shí)刻，場中P點(diǎn)的電位為若將電荷增量從無窮遠(yuǎn)處移至該點(diǎn)，外力作功t時(shí)刻電荷增量為即電位為

48這個(gè)功轉(zhuǎn)化為靜電能量儲存在電場中。體電荷系?式中是元電荷所在處的電位，積分對源進(jìn)行。自有能互有能自有能是將許多元電荷“壓緊”構(gòu)成q所需作的功?；ビ心苁怯捎诙鄠€(gè)帶電體之間的相互作用引起的能量。自有能與互有能的概念??是所有導(dǎo)體（含K號導(dǎo)體）表面上的電荷在K號導(dǎo)體產(chǎn)生的電位。例如，空間中有兩帶電體，單獨(dú)存在時(shí)，導(dǎo)體的電位、電荷分別為1，q1和2，q2。將帶電體2放入帶電體1的電場中，兩導(dǎo)體的電位會發(fā)生變化，如圖所示。49?式中是元電荷所在處的電位，積分對源進(jìn)行。自有能互2.靜電能量的分布及能量密度V——擴(kuò)大到無限空間，S——所有帶電體表面。將式(2)代入式(1),得應(yīng)用散度定理得（焦耳）靜電能量圖2.8.1推導(dǎo)能量密度用圖能量密度：凡是靜電場不為零的空間都儲存著靜電能量。結(jié)論矢量恒等式502.靜電能量的分布及能量密度V——擴(kuò)大到無限空間，S——所例2.8.1試求真空中體電荷密度為，半徑為a的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。有限，應(yīng)用高斯定理，得解法一由微分方程法得電位函數(shù)為解法二51例2.8.1試求真空中體電荷密度為，半徑為a的介2.8.2靜電力2.虛位移法(VirtualDisplacementMethod)虛位移法是基于虛功原理計(jì)算靜電力的方法。

廣義坐標(biāo)：距離、面積、體積、角度。廣義力：企圖改變某一個(gè)廣義坐標(biāo)的力。廣義力的正方向?yàn)閺V義坐標(biāo)增加的方向。二者關(guān)系：廣義坐標(biāo)距離面積體積角度廣義力機(jī)械力表面張力壓強(qiáng)轉(zhuǎn)矩（單位）（N）（N/m）（N/m2）N?m廣義力×廣義坐標(biāo)=功1.由電場強(qiáng)度E的定義求靜電力，即522.8.2靜電力2.虛位移法(VirtualDis常電荷系統(tǒng)（K打開）：

它表示取消外源后，電場力做功必須靠減少電場中靜電能量來實(shí)現(xiàn)。常電位系統(tǒng)（K合上）：外源提供能量的增量靜電能量的增量

外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。設(shè)(n+1)個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng),只有P號導(dǎo)體發(fā)生位移，此時(shí)系統(tǒng)中帶電體的電壓或電荷將發(fā)生變化，其功能關(guān)系為外源提供能量靜電能量增量=+電場力所作功圖2.8.4多導(dǎo)體系統(tǒng)53常電荷系統(tǒng)（K打開）：它表示取消外源后，電場力做功必?上述兩個(gè)公式所得結(jié)果是相等的例2.8.3試求圖示平行板電容器的電場力。解法一：常電位系統(tǒng)解法二：常電荷系統(tǒng)可見，兩種方法計(jì)算結(jié)果相同，電場力有使d減小的趨勢，即電容增大的趨勢。?兩個(gè)公式所求得的廣義力是代數(shù)量。還需根據(jù)“±”號判斷其方向。圖2.8.5平行板電容器54?上述兩個(gè)公式所得結(jié)果是相等的例2.8.3試求圖示平工程上，靜電力有廣泛的應(yīng)用。靜電分離靜電噴涂55工程上，靜電力有廣泛的應(yīng)用。靜電分離靜電噴涂55基本實(shí)驗(yàn)定律（庫侖定律）基本物理量（電場強(qiáng)度）EE的旋度E的散度基本方程微分方程邊值問題唯一性定理分界面銜接條件電位（）邊界條件數(shù)值法解析法直接積分法鏡像法圖1.0靜電場知識結(jié)構(gòu)圖積分方程56基本實(shí)驗(yàn)定律（庫侖定律）基本物理量（電場強(qiáng)度）EE的旋度E

球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。

軸對稱分布：包括無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。試問：能否選取正方形的高斯面求解球?qū)ΨQ場(a)(b)(c)圖2.2.20.球?qū)ΨQ場的高斯面圖2.2.21.軸對稱場的高斯面57球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等

無限大平面電荷：包括無限大的均勻帶電平面，平板等。(a)(b)(c)圖3.平行平面場的高斯面試問：能否選取底面為方型的封閉柱面為高斯面？58無限大平面電荷：包括無限大的均勻帶電平面，平板等。(對場點(diǎn)坐標(biāo)作散度運(yùn)算靜電場高斯散度定理的推導(dǎo)矢量恒等式：式中：59對場點(diǎn)坐標(biāo)作散度運(yùn)算靜電場高斯散度定理的推導(dǎo)矢量恒等式：式中無電荷區(qū)內(nèi)，電場強(qiáng)度的散度等于零。則圖1.2.10源點(diǎn)與場點(diǎn)的坐標(biāo)的矢量表示

60無電荷區(qū)內(nèi)，電場強(qiáng)度的散度等于零。則圖1.2.10源第2章靜電場

靜電場：相對觀察者靜止且量值不隨時(shí)間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。

本章任務(wù)：闡述靜電荷與電場之間的關(guān)系，在已知電荷或電位的情況下求解電場的各種計(jì)算方法，或者反之。

靜電場是本電磁場課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場,恒定磁場及時(shí)變場。61第2章靜電場靜電場：本章任務(wù)：1.1.1庫侖定律2.1電場強(qiáng)度N(牛頓)適用條件

兩個(gè)可視為點(diǎn)電荷的帶電體之間相互作用力

無限大真空情況(式中可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中F/m)N(牛頓)圖2.1.1兩點(diǎn)電荷間的作用力

庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律。試驗(yàn)表明:真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷q1與q2之間的相互作用力:621.1.1庫侖定律2.1電場強(qiáng)度N(牛頓)適用條2.1.2靜電場基本物理量——電場強(qiáng)度定義：

V/m(N/C)

電場強(qiáng)度E

表示單位正電荷在電場中所受到的力(F),它是空間坐標(biāo)的矢量函數(shù),定義式給出了E

的大小、方向與單位。a)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度V/mV/m圖2.1.2點(diǎn)電荷的電場632.1.2靜電場基本物理量——電場強(qiáng)度定義：V/mb)n個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度(矢量疊加)c)連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度V/m體電荷分布面電荷分布線電荷分布圖2.1.3體電荷的電場64b)n個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度(矢量疊加)c)連例1真空中有長為L的均勻帶電直導(dǎo)線,電荷線密度為,試求P點(diǎn)的電場.解:采用直角坐標(biāo)系,令y軸經(jīng)過場點(diǎn)p,導(dǎo)線與x軸重合。(直角坐標(biāo))(圓柱坐標(biāo))圖2.1.4帶電長直導(dǎo)線的電場65例1真空中有長為L的均勻帶電直導(dǎo)線,電荷線密度為,試求

無限長直均勻帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場為平行平面場。

電場強(qiáng)度的矢量積分一般先轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分,然后再合成,即

點(diǎn)電荷的數(shù)學(xué)模型

積分是對源點(diǎn)進(jìn)行的,計(jì)算結(jié)果是場點(diǎn)的函數(shù)。

點(diǎn)電荷是電荷體分布的極限情況,可以把它看成是一個(gè)體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。

當(dāng)時(shí)，電荷密度趨近于無窮大，通常用沖擊函數(shù)表示點(diǎn)電荷的密度分布。單位點(diǎn)電荷的密度分布點(diǎn)電荷的密度66無限長直均勻帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場為平行平面場。點(diǎn)電荷矢量恒等式直接微分得故電場強(qiáng)度E

的旋度等于零2.2靜電場的無旋性和高斯定律

1.靜電場旋度2.2.1

靜電場的無旋性67點(diǎn)電荷矢量恒等式直接微分得故電場強(qiáng)度E的旋度等于零2.2

可以證明，上述結(jié)論適用于點(diǎn)電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場。靜電場是一個(gè)無旋場。即任一分布形式的靜電荷產(chǎn)生的電場的旋度恒等于零，即2.靜電場的環(huán)路定律

在靜電場中,電場強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。

電場力作功與路徑無關(guān),靜電場是保守場。無旋場一定是保守場，保守場一定是無旋場。由斯托克斯定理，得

二者等價(jià)。68可以證明，上述結(jié)論適用于點(diǎn)電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的3.電位函數(shù)

在靜電場中可通過求解電位函數(shù)，再利用上式可方便地求得電場強(qiáng)度E。式中負(fù)號表示電場強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。2)

已知電荷分布，求電位：點(diǎn)電荷群連續(xù)分布電荷1)電位的引出以點(diǎn)電荷為例推導(dǎo)電位：根據(jù)矢量恒等式693.電位函數(shù)在靜電場中可通過求解電位函數(shù)，再利3)

E與的微分關(guān)系

在靜電場中，任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標(biāo)系中：4)

E與的積分關(guān)系設(shè)P0為參考零點(diǎn)E與的積分關(guān)系703)E與的微分關(guān)系在靜電場中，任意一點(diǎn)的電場5)

電位參考點(diǎn)的選擇原則

場中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無關(guān)。

同一個(gè)物理問題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。

選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡單，且要有意義。例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場：表達(dá)式無意義

電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)；

電荷分布在無窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。715)電位參考點(diǎn)的選擇原則場中任意兩點(diǎn)的電位差與參6)

電力線與等位線（面）

E線：曲線上每一點(diǎn)切線方向應(yīng)與該點(diǎn)電場強(qiáng)度E的方向一致，若dl是電力線的長度元，E

矢量將與dl方向一致，故電力線微分方程在直角坐標(biāo)系中：微分方程的解即為電力線的方程。當(dāng)取不同的

C值時(shí)，可得到不同的等位線（面）。

在靜電場中電位相等的點(diǎn)的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:例2

計(jì)算電偶極子的電場(r>>d)。726)電力線與等位線（面）E線：曲線上每一點(diǎn)切線方在球坐標(biāo)系中：代入上式，得用二項(xiàng)式展開，又有，得

表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。圖1.2.2電偶極子圖1.2.3電偶極子的等位線和電力線r1r2(r,,)73在球坐標(biāo)系中：代入上式，得用二項(xiàng)式展開，又有，得?

對上式等號兩端取散度；?

利用矢量恒等式及矢量積分、微分的性質(zhì)，得2.2.2真空中的高斯定律1.靜電場的散度———高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式其物理意義表示為

高斯定律說明了靜電場是一個(gè)有源場，電荷就是場的散度（通量源），電力線從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷。74?對上式等號兩端取散度；?利用矢量恒等式及矢量積2.高斯定律的積分形式式中n是閉合面包圍的點(diǎn)電荷總數(shù)。散度定理圖2.2.11閉合曲面的電通量

E的通量僅與閉合面S所包圍的凈電荷有關(guān)。圖2.2.12閉合面外的電荷對場的影響

S面上的E是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。752.高斯定律的積分形式式中n是閉合面包圍的點(diǎn)電荷總數(shù)電場強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；導(dǎo)體內(nèi)電場強(qiáng)度E為零，靜電平衡；電荷分布在導(dǎo)體表面，且任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。（）一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。（）接地導(dǎo)體都不帶電。（）2.2.3.電介質(zhì)中的高斯定律1.靜電場中導(dǎo)體的性質(zhì)2.靜電場中的電介質(zhì)圖2.2.13靜電場中的導(dǎo)體?76電場強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；

電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩；

電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷；

極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。式中為體積元內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷。無極性分子有極性分子圖2.2.14電介質(zhì)的極化用極化強(qiáng)度P表示電介質(zhì)的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度77電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中

e——電介質(zhì)的極化率,無量綱量。均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)（x,y,z）而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場的方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場的值而變化；一個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電位：

極化強(qiáng)度

P是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位為：式中圖2.2.15電偶極子產(chǎn)生的電位P(r,,)78實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中e——電介質(zhì)矢量恒等式：圖2.2.16體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位散度定理令極化電荷體密度極化電荷面密度79矢量恒等式：圖2.2.16體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)

在均勻極化的電介質(zhì)內(nèi)，極化電荷體密度這就是電介質(zhì)極化后，由面極化電荷p和體極化電荷p共同作用在真空

0中產(chǎn)生的電位。

根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和

有電介質(zhì)存在的場域中，任一點(diǎn)的電位及電場強(qiáng)度表示為80在均勻極化的電介質(zhì)內(nèi)，極化電荷體密度這就是3.電介質(zhì)中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（電介質(zhì)中）定義電位移矢量（Displacement）則有電介質(zhì)中高斯定律的微分形式代入,得其中——相對介電常數(shù)；——介電常數(shù)，單位（F/m）

在各向同性介質(zhì)中

D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的自由電荷。813.電介質(zhì)中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D

線、E線和P線的分布。?D線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)的自由電荷；?P線由負(fù)的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。?E

線的起點(diǎn)與終點(diǎn)既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；D線E線P線圖2.2.17D、E與P

三者之間的關(guān)系82圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D線、E線和P線的()()()

D

的通量與介質(zhì)無關(guān)，但不能認(rèn)為D

的分布與介質(zhì)無關(guān)。

D通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的

D

是由高斯面內(nèi)、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。B）高斯定律的積分形式散度定理圖2.2.18點(diǎn)電荷的電場中置入任意一塊介質(zhì)qq圖2.2.19閉合面外的電荷對場的影響83()()()D的通量與介質(zhì)無關(guān)，例2.2.2求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場。解：電場分布特點(diǎn)：

D

線皆垂直于導(dǎo)線，呈輻射狀態(tài)；

等

r

處D值相等；取長為L，半徑為r的封閉圓柱面為高斯面。由得圖2.2.20電荷線密度為的無限長均勻帶電體4.高斯定律的應(yīng)用計(jì)算技巧：a）分析給定場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯面，使容易積分。

高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對稱性的場才能得到解析解。84例2.2.2求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場圖2.2.22球殼內(nèi)的電場圖2.2.21球殼外的電場例2.2.3試分析圖2.2.21與2.2.22的電場能否直接用高斯定律來求解場的分布？圖2.2.21點(diǎn)電荷q置于金屬球殼內(nèi)任意位置的電場圖2.2.22點(diǎn)電荷±q分別置于金屬球殼內(nèi)的中心處與球殼外的電場85圖2.2.22球殼內(nèi)的電場圖2.2.21球殼外的電場2.3靜電場的基本方程分界面上的銜接條件2.3.1靜電場的基本方程靜電場是一個(gè)無旋、有源場，靜止電荷就是靜電場的源。這兩個(gè)重要特性用簡潔的數(shù)學(xué)形式為：解：根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質(zhì),

例2.3.1已知試判斷它能否表示靜電場？對應(yīng)靜電場的基本方程

，矢量

A可以表示一個(gè)靜電場。能否根據(jù)矢量場的散度來判斷該矢量場是否是靜電場?問862.3靜電場的基本方程分界面上的銜接條件2.3.以分界面上點(diǎn)P作為觀察點(diǎn)，作一小扁圓柱高斯面（）。2、電場強(qiáng)度E的銜接條件以點(diǎn)P作為觀察點(diǎn)，作一小矩形回路（）。2.3.2分界面上的銜接條件1、電位移矢量D的銜接條件分界面兩側(cè)

E的切向分量連續(xù)。分界面兩側(cè)的

D的法向分量不連續(xù)。當(dāng)時(shí)，D的法向分量連續(xù)。圖2.3.2在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律則有根據(jù)根據(jù)則有圖2.3.1在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用高斯定律87以分界面上點(diǎn)P作為觀察點(diǎn)，作一2、電場強(qiáng)度E的銜接條表明：（1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場僅有法向分量；（2）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的D就等于該點(diǎn)的自由電荷密度。當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時(shí)，分界面上的銜接條件為：圖2.3.3a導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面在交界面上不存在時(shí)，E、D滿足折射定律。折射定律圖2.3.3分界面上E線的折射88表明：（1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直因此表明:在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。3、用電位函數(shù)表示分界面上的銜接條件設(shè)點(diǎn)1與點(diǎn)2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d，,則表明:一般情況下,電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。圖2.3.4電位的銜接條件對于導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面，用電位表示的銜接條件應(yīng)是如何呢？思考89因此表明:在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。3、用電位函數(shù)解：忽略邊緣效應(yīng)圖（a）圖（b）例2.3.2如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知和,圖(a)已知極板間電壓U0

,圖(b)已知極板上總電荷,試分別求其中的電場強(qiáng)度。（a）（b）圖2.3.5平行板電容器90解：忽略邊緣效應(yīng)圖（a）圖（b）例2.3.2如圖2.4靜電場邊值問題唯一性定理2.4.1泊松方程與拉普拉斯方程推導(dǎo)微分方程的基本出發(fā)點(diǎn)是靜電場的基本方程：泊松方程泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)。例2.4.1列出求解區(qū)域的微分方程拉普拉斯方程——拉普拉斯算子2.4.2靜電場的邊值問題圖2.4.1三個(gè)不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場912.4靜電場邊值問題唯一性定理2.4.1泊松方程已知場域邊界上各點(diǎn)電位值邊值問題框圖自然邊界條件參考點(diǎn)電位有限值邊值問題微分方程邊界條件場域邊界條件分界面銜接條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件已知場域邊界上各點(diǎn)電位的法向?qū)?shù)一、二類邊界條件的線性組合，即92已知場域邊界邊值問題框圖自然參考點(diǎn)電位邊值問題微分方程邊界條

例2.4.2

圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長為2b的正方形，鉛皮半徑為a，內(nèi)外導(dǎo)體之間電介質(zhì)的介電常數(shù)為，并且在兩導(dǎo)體之間接有電源U0，試寫出該電纜中靜電場的邊值問題。解：根據(jù)場分布對稱性，確定場域。（陰影區(qū)域）場的邊值問題圖2.4.4纜心為正方形的同軸電纜橫截面93例2.4.2圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面邊界條件積分之，得通解

例2.4.3設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場。解:采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程參考點(diǎn)電位圖2.4.5體電荷分布的球形域電場94邊界條件積分之，得通解例2.4.3設(shè)有電荷均勻分布解得電場強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：

對于一維場（場量僅僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由得到電場強(qiáng)度E的分布。電位：95解得

唯一性定理的重要意義

可判斷靜電場問題的解的正確性：例

圖示平板電容器的電位，哪一個(gè)解答正確？答案：（C）唯一性定理為靜電場問題的多種解法(試探解、數(shù)值解、解析解等）提供了理論根據(jù)。

2.5唯一性定理96唯一性定理的重要意義可判斷靜電場問題的解的正確性：2.6鏡像法2.6.1

鏡像法1.平面導(dǎo)體的鏡像

鏡像法:用虛設(shè)的電荷分布等效替代媒質(zhì)分界面上復(fù)雜電荷分布,虛設(shè)電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置使場的解答滿足唯一性定理。圖2.6.1平面導(dǎo)體的鏡像上半場域邊值問題：（除

q所在點(diǎn)外的區(qū)域）（導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處）（S為包圍q的閉合面）972.6鏡像法2.6.1鏡像法1.平面導(dǎo)體的鏡像鏡像（方向指向地面）整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為例2.6.1求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。解:設(shè)點(diǎn)電荷離地面高度為h，則圖2.6.2點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷的分布98（方向指向地面）整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為例2.6.1求空2.不同介質(zhì)分界面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除q點(diǎn)外的上半空間)圖2.6.8點(diǎn)電荷對無限大介質(zhì)分界面的鏡像和992.不同介質(zhì)分界面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除q點(diǎn)

?

中的電場是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是等效替代自由電荷與極化電荷的作用。即圖2.6.9點(diǎn)電荷位于不同介質(zhì)平面上方的場圖

?

中的電場是由與共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，是等效替代極化電荷的影響。注意100?中的電場是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是鏡像法小結(jié)

鏡像法的理論基礎(chǔ)是靜電場唯一性定理；鏡像法的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計(jì)算場域?yàn)闊o限大均勻介質(zhì)；鏡像法的關(guān)鍵是確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小及位置；

應(yīng)用鏡像法解題時(shí)，注意：鏡像電荷只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時(shí)，要注意場的適用區(qū)域。101鏡像法小結(jié)鏡像法的理論基礎(chǔ)是靜電場唯一性定理；412.7電容及部分電容電容只與兩導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸、相互位置及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)有關(guān)。電容的計(jì)算思路：

2.7.1電容定義：單位：

例2.7.1試求球形電容器的電容。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為,則同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時(shí)（孤立導(dǎo)體球的電容）圖2.7.1球形電容器1022.7電容及部分電容電容只與兩導(dǎo)體多導(dǎo)體系統(tǒng)、部分電容1.已知導(dǎo)體的電荷，求電位和電位系數(shù)中的其余帶電體，與外界無任何聯(lián)系，即

?

靜電獨(dú)立系統(tǒng)——D線從這個(gè)系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)?

線性、多導(dǎo)體(三個(gè)以上導(dǎo)體)組成的系統(tǒng)；?

部分電容概念以三導(dǎo)體系為例，接地導(dǎo)體為電位參考點(diǎn),其余導(dǎo)體的電位與各導(dǎo)體上的電荷的關(guān)系為圖2.7.2三導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)103多導(dǎo)體系統(tǒng)、部分電容1.已知導(dǎo)體的電荷，求電位和電位系數(shù)以此類推（n+1)個(gè)多導(dǎo)體系統(tǒng)只有n個(gè)電位線性獨(dú)立方程，即電位系數(shù)，表明各導(dǎo)體電荷對各導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——

自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上電荷對導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——互有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上的電荷對導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——寫成矩陣形式為（非獨(dú)立方程）注：

的值可以通過給定各導(dǎo)體電荷,計(jì)算各導(dǎo)體的電位而得。104以此類推（n+1)個(gè)多導(dǎo)體系統(tǒng)只有n個(gè)電位線性獨(dú)立2.已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)——靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；ii——自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體i電位對導(dǎo)體i電荷的貢獻(xiàn)；ij——互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體j電位對導(dǎo)體i電荷的貢獻(xiàn)。

通常，

的值可以通過給定各導(dǎo)體的電位，測量各導(dǎo)體的電荷而得。1052.已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)——靜電感應(yīng)3.已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式中：C——部分電容，它表明各導(dǎo)體間電壓對各導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；（互有部分電容）；（自有部分電容）。部分電容性質(zhì):?

所有部分電容都是正值，且僅與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的值有關(guān)；?互有部分電容，即為對稱陣；?

(n+1)個(gè)導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)中，共應(yīng)有個(gè)部分電容；1063.已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式2.8靜電能量1.帶電體系統(tǒng)中的靜電能量靜電能量是在電場的建立過程中，由外力作功