高中數(shù)學立體幾何知識點歸納第47頁共47頁立體幾何知識點總結1.空間多邊形不在同一平面內(nèi)的若干線段首尾相接所成的圖形叫做空間折線.若空間折線的最后一條線段的尾端與最初一條線段的首端重合，則叫做封閉的空間折線.若封閉的空間折線各線段彼此不相交，則叫做這空間多邊形平面，平面是一個不定義的概念，幾何里的平面是無限伸展的.平面通常用一個平行四邊形來表示.平面常用希臘字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P來表示，也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點字母表示，如平面AC.在立體幾何中，大寫字母A，B，C，…表示點，小寫字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直線，且把直線和平面看成點的集合，因而能借用集合論中的符號表示它們之間的關系，例如：A∈l—點A在直線l上；Aα—點A不在平面α內(nèi)；lα—直線l在平面α內(nèi)；aα—直線a不在平面α內(nèi)；l∩m=A—直線l與直線m相交于A點；α∩l=A—平面α與直線l交于A點；α∩β=l—平面α與平面β相交于直線l.2.平面的基本性質公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).公理2如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.公理3經(jīng)過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.直接證法3.證題方法直接證法反證法證題方法反證法證題方法間接證法間接證法同一法同一法4.空間線面的位置關系共面平行—沒有公共點(1)直線與直線相交—有且只有一個公共點異面(既不平行，又不相交)直線在平面內(nèi)—有無數(shù)個公共點(2)直線和平面直線不在平面內(nèi)平行—沒有公共點(直線在平面外)相交—有且只有一公共點(3)平面與平面相交—有一條公共直線(無數(shù)個公共點)平行—沒有公共點5.異面直線的判定證明兩條直線是異面直線通常采用反證法.有時也可用定理“平面內(nèi)一點與平面外一點的連線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線”.6.線面平行與垂直的判定(1)兩直線平行的判定①定義：在同一個平面內(nèi)，且沒有公共點的兩條直線平行.②如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,則a∥b.③平行于同一直線的兩直線平行，即若a∥b,b∥c,則a∥c.④垂直于同一平面的兩直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b⑤兩平行平面與同一個平面相交，那么兩條交線平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,則a∥b⑥如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線與這兩個平面的交線平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，則a∥b.(2)兩直線垂直的判定①定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.②一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若b∥c,a⊥b,則a⊥c③一條直線垂直于一個平面，則垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線.即若a⊥α,bα，a⊥b.④三垂線定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，若和這個平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直.⑤如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與這個平面的垂線垂直.即若a∥α,b⊥α,則a⊥b.⑥三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，則a⊥b,b⊥c,c⊥a.(3)直線與平面平行的判定①定義：若一條直線和平面沒有公共點，則這直線與這個平面平行.②如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行.即若aα,bα，a∥b,則a∥α.③兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面，即若α∥β,lα，則l∥β.④如果一個平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個平面平行.即若α⊥β,l⊥β，lα，則l∥α.⑤在一個平面同側的兩個點，如果它們與這個平面的距離相等，那么過這兩個點的直線與這個平面平行，即若Aα，Bα，A、B在α同側，且A、B到α等距，則AB∥α.⑥兩個平行平面外的一條直線與其中一個平面平行，也與另一個平面平行，即若α∥β,aα，aβ，a∥α，則α∥β.⑦如果一條直線與一個平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即若a⊥α,bα，b⊥a，則b∥α.⑧如果兩條平行直線中的一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面(或在這個平面內(nèi))，即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)(4)直線與平面垂直的判定①定義：若一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直.②如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,則l⊥α.③如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,則l⊥α.④一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面，即若α∥β,l⊥β，則l⊥α.⑤如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,則l⊥α.⑥如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,則a⊥γ.(5)兩平面平行的判定①定義：如果兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面平行，即無公共點α∥β.②如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,則α∥β.③垂直于同一直線的兩平面平行.即若α⊥a,β⊥a,則α∥β.④平行于同一平面的兩平面平行.即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.⑤一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,則α∥β.(6)兩平面垂直的判定①定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.②如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直，即若l⊥β,lα，則α⊥β.③一個平面垂直于兩個平行平面中的一個，也垂直于另一個.即若α∥β，α⊥γ，則β⊥γ.7.直線在平面內(nèi)的判定(1)利用公理1：一直線上不重合的兩點在平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi).(2)若兩個平面互相垂直，則經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，則ABα.(3)過一點和一條已知直線垂直的所有直線，都在過此點而垂直于已知直線的平面內(nèi)，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，則aα.(4)過平面外一點和該平面平行的直線，都在過此點而與該平面平行的平面內(nèi)，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，則aβ.(5)如果一條直線與一個平面平行，那么過這個平面內(nèi)一點與這條直線平行的直線必在這個平面內(nèi)，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,則bα.10.空間中的各種角等角定理及其推論定理若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個角相等.推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.異面直線所成的角(1)定義：a、b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線a′∥a,b′∥b,則a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.(2)取值范圍：0°＜θ≤90°.(3)求解方法①根據(jù)定義，通過平移，找到異面直線所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.11.直線和平面所成的角(1)定義和平面所成的角有三種：(i)垂線面所成的角的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.(ii)垂線與平面所成的角直線垂直于平面，則它們所成的角是直角.(iii)一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角.(2)取值范圍0°≤θ≤90°(3)求解方法①作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角，亦可說，斜線和平面所成的角不大于斜線與平面內(nèi)任何直線所成的角.12.二面角及二面角的平面角(1)半平面直線把平面分成兩個部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.若兩個平面相交，則以兩個平面的交線為棱形成四個二面角.二面角的大小用它的平面角來度量，通常認為二面角的平面角θ的取值范圍是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一點為端點，分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角.如圖，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小與頂點C在棱AB上的位置無關.②二面角的平面角具有下列性質：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(異于角的頂點)作另一面的垂線，垂足必在平面角的另一邊(或其反向延長線)上.(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定義法(ii)垂面法(iii)三垂線法(Ⅳ)根據(jù)特殊圖形的性質(4)求二面角大小的常見方法①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通過解三角形求得θ的值.②利用面積射影定理S′=S·cosα其中S為二面角一個面內(nèi)平面圖形的面積，S′是這個平面圖形在另一個面上的射影圖形的面積，α為二面角的大小.③利用異面直線上兩點間的距離公式求二面角的大小.13.空間的各種距離點到平面的距離(1)定義面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離.(2)求點面距離常用的方法：1)直接利用定義求①找到(或作出)表示距離的線段；②抓住線段(所求距離)所在三角形解之.2)利用兩平面互相垂直的性質.即如果已知點在已知平面的垂面上，則已知點到兩平面交線的距離就是所求的點面距離.3)體積法其步驟是：①在平面內(nèi)選取適當三點，和已知點構成三棱錐；②求出此三棱錐的體積V和所取三點構成三角形的面積S；③由V=S·h，求出h即為所求.這種方法的優(yōu)點是不必作出垂線即可求點面距離.難點在于如何構造合適的三棱錐以便于計算.4)轉化法將點到平面的距離轉化為(平行)直線與平面的距離來求.14.直線和平面的距離(1)定義一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離.(2)求線面距離常用的方法①直接利用定義求證(或連或作)某線段為距離，然后通過解三角形計算之.②將線面距離轉化為點面距離，然后運用解三角形或體積法求解之.③作輔助垂直平面，把求線面距離轉化為求點線距離.15.平行平面的距離(1)定義個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂線.公垂線夾在兩個平行平面間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段.兩個平行平面的公垂線段的長度叫做這兩個平行平面的距離.(2)求平行平面距離常用的方法①直接利用定義求證(或連或作)某線段為距離，然后通過解三角形計算之.②把面面平行距離轉化為線面平行距離，再轉化為線線平行距離，最后轉化為點線(面)距離，通過解三角形或體積法求解之.16.異面直線的距離(1)定義條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離.任何兩條確定的異面直線都存在唯一的公垂線段.(2)求兩條異面直線的距離常用的方法 ①定義法題目所給的條件，找出(或作出)兩條異面直線的公垂線段，再根據(jù)有關定理、性質求出公垂線段的長.此法一般多用于兩異面直線互相垂直的情形.②轉化法為以下兩種形式：線面距離面面距離③等體積法④最值法⑤射影法⑥公式法高中數(shù)學必修2知識點第一章空間幾何體1.1柱、錐、臺、球的結構特征(略)棱柱：棱錐：棱臺：圓柱：圓錐：圓臺：球：1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖1三視圖：正視圖：從前往后側視圖：從左往右俯視圖：從上往下2畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；（3）.畫法要寫好。5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側棱（4）成圖1.3空間幾何體的表面積與體積（一）空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和2圓柱的表面積3圓錐的表面積4圓臺的表面積5球的表面積6扇形的面積公式（其中表示弧長，表示半徑）（二）空間幾何體的體積1柱體的體積2錐體的體積3臺體的體積4球體的體積第二章直線與平面的位置關系2.1空間點、直線、平面之間的位置關系2.1.11平面含義：平面是無限延展的,無大小，無厚薄。2平面的畫法及表示（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3三個公理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點不共線有且只有一個平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。補充3個推論：推論1：經(jīng)過一條直線與直線外一點，有且只有一個平面。推論2：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。推論3：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系1空間的兩條直線有如下三種關系：共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；共面直線平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c是三條直線，強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.4異面直線定理：連結平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線符號表示：。5注意點：異面直線所成的角的大小只由它們的相互位置來確定，與選擇的位置無關，為簡便一般取在兩直線中的一條上；兩條異面直線所成的角:③當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系1、直線與平面有三種位置關系：（1）直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點（2）直線與平面相交——有且只有一個公共點（3）直線在平面平行——沒有公共點特別指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用來表示aαa∩α=Aa∥α2.2.直線、平面平行的判定及其性質2.2.1直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：2.2.2平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示：簡記為：線線平行，則面面平行。2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。符號表示為：2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行，則線線平行。符號表示：作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：，簡記為：面面平行，則線線平行作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行3、兩個平面平行具有如下的一些性質：⑴如果兩個平面平行，那么在一個平面內(nèi)的所有直線都與另一個平面平行⑵如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行.⑶如果一條直線和兩個平行平面中的一個相交，那么它也和另一個平面相交⑷夾在兩個平行平面間的所有平行線段相等2.3直線、平面垂直的判定及其性質2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義:如果直線與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面α互相垂直，記作，直線叫做平面α的垂線，平面α叫做直線的垂面。直線與平面垂直時,它們唯一公共點P，點P叫做垂足。2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。符號表示：，簡記為：線線垂直，則線面垂直。注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想。3、補充性質：4、直線與平面所成的角的范圍為：2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A梭lβBα2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β,平面之間二面角范圍是3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。符號表示：，簡記為：線面垂直，則面面垂直。4、線面角的求法，在直線上任找一點作平面的垂線，則直線和射影所成的角就是了。2.3.3—2.3.4直線與平面1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。符號表示：補充性質：，，，2性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。符號表示：，面面垂直，則線面垂直。平面（公理1、公理2、公理3、公理4）本章知識結構框圖平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關系空間直線、平面的位置關系平面與平面的位置關系直線與平面的位置關系平面與平面的位置關系直線與平面的位置關系 第三章直線與方程3.1直線的傾斜角和斜率3.1傾斜角和斜率1、直線的傾斜角的概念：當直線l與x軸相交時,取x軸作為基準,x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定α=0°.2、傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°.當直線l與x軸垂直時,α=90°.3、直線的斜率:一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是k=tanα⑴當直線l與x軸平行或重合時,α=0°,k=tan0°=0;⑵當直線l與x軸垂直時,α=90°,k不存在.由此可知,一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直線的斜率公式:給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率：斜率公式:k=y2-y1/x2-x13.1.2兩條直線的平行與垂直1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即注意:上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L22、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負倒數(shù)，那么它們互相垂直，即3.2.1直線的點斜式方程1、直線的點斜式方程：直線經(jīng)過點，且斜率為2、、直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點為3.2.2直線的兩點式方程1、直線的兩點式方程：已知兩點其中y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直線的截距式方程：已知直線與軸的交點為A，與軸的交點為B，其中3.2.3直線的一般式方程1、直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）2、各種直線方程之間的互化。3.3直線的交點坐標與距離公式3.3.1兩直線的交點坐標1、給出例題：兩直線交點坐標L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0解：解方程組得x=-2，y=2所以L1與L2的交點坐標為M（-2，2）兩點間距離兩點間的距離公式點到直線的距離公式1．點到直線距離公式：點到直線的距離為：2、兩平行線間的距離公式：已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，：，則與的距離為圓與方程4.1.1圓的標準方程1、圓的標準方程：圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程2、點與圓的關系的判斷方法：（1）>，點在圓外（2）=，點在圓上（3）<，點在圓內(nèi)4.1.2圓的一般方程1、圓的一般方程：2、圓的一般方程的特點：(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0．②沒有xy這樣的二次項．(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了．(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。4.2.1圓與圓的位置關系1、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系．設直線：，圓：，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則判別直線與圓的位置關系的依據(jù)有以下幾點：（1）當時，直線與圓相離；（2）當時，直線與圓相切；（3）當時，直線與圓相交；4.2.2圓與圓的位置關系兩圓的位置關系．設兩圓的連心線長為，則判別圓與圓的位置關系的依據(jù)有以下幾點：（1）當時，圓與圓相離；（2）當時，圓與圓外切；（3）當時，圓與圓相交；（4）當時，圓與圓內(nèi)切；（5）當時，圓與圓內(nèi)含；4.2.3直線與圓的方程的應用1、利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；2、過程與方法用坐標法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何結論．4.3.1空間直角坐標系1、點M對應著唯一確定的有序實數(shù)組，、、分別是P、Q、R在、、軸上的坐標2、有序實數(shù)組，對應著空間直角坐標系中的一點3、空間中任意點M的坐標都可以用有序實數(shù)組來表示，該數(shù)組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記M，叫做點M的橫坐標，叫做點M的縱坐標，叫做點M的豎坐標。4.3.2空間兩點間的距離公式1、空間中任意一點到點之間的距離公式

立體幾何綜合試題1．（本小題滿分12分）如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱長都相等，D、E分別為AC1，BB1的中點。（1）求證：DE∥平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小。2．（本小題滿分12分）如圖：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F(xiàn)為棱BB1上一點，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a（I）若D為BC的中點，E為AD上不同于A、D的任意一點，證明EF⊥FC1；（II）試問：若AB＝2a，在線段AD上的E點能否使EF與平面BB1C1C成603.（本小題滿分12分）如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求點A到平面PBC的距離。4.（本小題滿分14分）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分別是BA、BC的中點，G是AA1上一點，且AC1⊥EG.（Ⅰ）確定點G的位置；（Ⅱ）求直線AC1與平面EFG所成角θ的大小.5．（本小題滿分12分）已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，點E為AB中點，點F為PD中點.（1）證明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值6.在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點P在棱CC1上，且CC1=4CP.·B1PACDA1C1D·B1PACDA1C1D1BOH·(Ⅱ)設O點在平面D1AP上的射影是H，求證：D1H⊥AP；(Ⅲ)求點P到平面ABD1的距離.7、（本題滿分14分）

如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，E是PC的中點，作交PB于點F。

(I)證明平面；

(II)證明平面EFD；

(III)求二面角的大小。

8．（本小題滿分12分） 如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點.（I）試確定點F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）當D1E⊥平面AB1F時，求二面角C1—EF—A的大?。ńY果用反三角函數(shù)值表示）.

9、（本小題滿分12分）如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=AB=1，P、Q分別是CC1、C1D1的中點。點P到直線AD1的距離為⑴求證：AC∥平面BPQ⑵求二面角B-PQ-D的大小10（本題滿分13分）已知長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分別為AD和CC1的中點，O1為下底面正方形的中心。（Ⅰ）證明：AF⊥平面FD1B1；（Ⅱ）求異面直線EB與O1F所成角的余弦值；立體幾何1、（1）取A1C1中點F，連結B1F，DF，∵D1E分別為AC1和BB1的中點，DF∥AA1，DF=（1/2）AA1，B1E∥AA1，B1E=（1/2）AA1，∴DF∥B1E，DF=B1E，∴DEB1F為平行四邊形，∴DE∥B1F，又B1F在平面A1B1C1內(nèi)，DE不在平面A1B1C1，∴DE∥平面A1B1C1（2）連結A1D，A1E，在正棱柱ABC—A1B1C1中，因為平面A1B1C1⊥平面ACC1A1，A1C1是平面A1B1C1與平面ACC1A1的交線，又因為B1F在平面A1B1C1內(nèi)，且B1F⊥A1C1，，所以B1F⊥平面ACC1A1，又DE∥B1F，所以DE⊥平面ACC1A1所以∠FDA1為二面角A1—DE—B1的平面角。并且∠FDA1=（1/2）∠A1DC1，設正三棱柱的棱長為1，因為∠AA1C1=900，D是AC1的中點，所以即為所求的二面角的度數(shù)。2．（I）連結DF，DC∵三棱柱ABC—A1B1C1∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC∵AB＝AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C3＇∴DF為EF在平面BB1C在△DFC1中，∵DF2＝BF2＋BD2＝5a2，＝＋DC2＝10a2，＝B1F2＋＝5a2，∴＝DF2＋，∴DF⊥FC1FC1⊥EF6＇（II）∵AD⊥平面BB1C1C，∴∠DFE是EF與平面BB1C1C在△EDF中，若∠EFD＝60°，則ED＝DFtg60°＝·＝，∴＞，∴E在DA的延長線上，而不在線段AD上11＇故線段AD上的E點不能使EF與平面BB1C1C成60°3.解：（1）在底面ABCD內(nèi)，過A作AE⊥CD，垂足為E，連結PE∵PA⊥平面ABCD，由三垂線定理知：PE⊥CD∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角………………2分在中，………………4分在中，∴二面角P—CD—A的正切值為………………6分（II）在平面APB中，過A作AH⊥PB，垂足為H∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB∴AH⊥平面PBC故AH的長即為點A到平面PBC的距離………………10分在等腰直角三角形PAB中，，所以點A到平面PBC的距離為…………124.（本小題滿分14分）解法一：（Ⅰ）以C為原點，分別以CB、CA、CC1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），………………3分設G（0，2，h），則∴－1×0+1×（－2）+2h=0.∴h=1，即G是AA1的中點.…………6分（Ⅱ）設是平面EFG的法向量，則所以平面EFG的一個法向量m=（1，0，1）…………10分∵∴，即AC1與平面EFG所成角為………………14分解法二：（Ⅰ）取AC的中點D，連結DE、DG，則ED//BC…………1分∵BC⊥AC，∴ED⊥AC.又CC1⊥平面ABC，而ED平面ABC，∴CC1⊥ED.∵CC1∩AC=C，∴ED⊥平面A1ACC1.……3分又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG.…………4分連結A1C，∵AC1⊥A1C，∴A∵D是AC的中點，∴G是AA1的中點.…………6分（Ⅱ）取CC1的中點M，連結GM、FM，則EF//GM，∴E、F、M、G共面.作C1H⊥FM，交FM的延長線于H，∵AC⊥平面BB1CC1H平面BB1C1C，∴AC⊥G1H，又AC//GM，∴GM⊥C1H.∵GM∩∴C1H⊥平面EFG，設AC1與MG相交于N點，所以∠C1NH為直線AC1與平面EFG所成角θ.……12分因為……14分.5．本小題主要考查空間中的線面關系，四棱錐的有關概念及余弦定理等基礎知識，考查空間想象能力和推理能力.滿分12分.（1）證明：連接BD.為等邊三角形.是AB中點，…………2分面ABCD，AB面ABCD，面PED，PD面PED，面PED.…………4分面PAB，面PAB.……6分（2）解：平面PED，PE面PED，連接EF，PED，為二面角P—AB—F的平面角.…………9分設AD=2，那么PF=FD=1，DE=.在即二面角P—AB—F的平面角的余弦值為…12分6、解（1）（2）略（3）7方法一：

(I)證明：連結AC，AC交BD于O。連結EO。

底面ABCD是正方形，點O是AC的中點

在中，EO是中位線，。

而平面EDB且平面EDB，

所以，平面EDB。

(II)證明：底在ABCD且底面ABCD，

①同樣由底面ABCD，得

底面ABCD是正方形，有平面PDC

而平面PDC，②………………6分

由①和②推得平面PBC而平面PBC，

又且，所以平面EFD

(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角

由(II)知，設正方形ABCD的邊長為，則

在中，

在中，

所以，二面角的大小為

方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點。設

(I)證明：連結AC，AC交BD于G。連結EG。依題意得

底面ABCD是正方形，是此正方形的中心，故點G的坐標為且

。這表明。

而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

(II)證明：依題意得。又故

由已知，且所以平面EFD。

(III)解：設點F的坐標為則

從而所以

由條件知，即

解得。

點F的坐標為且

即，故是二面角的平面角。

且

8．本小題主要考查線面關系和正方體等基礎知識，考查空間想象能力和推理運算能力，滿分12分. 解法一：（I）連結A1B，則A1B是D1E在面ABB1A；內(nèi)的射影∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1， 于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF. 連結DE，則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影. ∴D1E⊥AFDE⊥AF. ∵ABCD是正方形，E是BC的中點. ∴當且僅當F是CD的中點時，DE⊥AF， 即當點F是CD的中點時，D1E⊥平面AB1F.…………6分 （II）當D1E⊥平面AB1F時，由（I）知點F是CD的中點. 又已知點E是BC的中點，連結EF，則EF∥BD.連結AC， 設AC與EF交于點H，則CH⊥EF，連結C1H，則CH是 C1H在底面ABCD內(nèi)的射影. C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角. 在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=， ∴tan∠C1HC=. ∴∠C1HC=arctan，從而∠AHC1=. 故二面角C1—EF—A的大小為. 解法二：以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 （1）設DF=x，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0）， A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F(xiàn)（x，1，0） （1）當D1E⊥平面AB1F時，F(xiàn)是CD的中點，又E是BC的中點，連結EF，則EF∥BD.連結AC，設AC與EF交于點H，則AH⊥EF.連結C1H，則CH是C1H在底面ABCD內(nèi)的射影. ∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1—EF—A的平面角. 9、⑴連接CD1∵P、Q分別是CC1、C1D1的中點?！郈D1∥PQ故CD1∥平面BPQ又D1Q=AB=1，D1Q∥AB，得平行四邊形ABQD1，故AD1∥平面BPQ∴平面ACD1∥平面BPQ∴AC∥平面BPQ（4分）⑵設DD1中點為E，連EF，則PE∥CD∵CD⊥AD，CD⊥DD1∴CD⊥平面ADD1∴PE⊥平面ADD1過E作EF⊥AD1于F，連PF。則PF⊥AD1，PF為點P到直線AD1的距離（6分）PF=，PE=2∴EF=又D1E=，D1D=1，∴AD=1（8分）取CD中點G，連BG，由AB∥DG，AB=DG得GB∥AD。∵AD⊥DC，AD⊥DD1∴AD⊥平面DCC1D1，則BG⊥平面DCC1D1過G作GH⊥PQ于H，連BH，則BH⊥PQ，故∠BHG是二面角B-PQ-D的平面角。（10分）由△GHQ∽△QC1P得GH=，又BG=1，得tan∠BHG=∴二面角B-PQ-D大小為arctan（12分）10、解本題考查空間的線面關系，向量法及其運算。（Ⅰ）證法一：如圖建立空間直角坐標系。則D1（0，0，0）、O1（2，2，0）B1（4，4，0）、E（2，0，8）、A（4，0，8）、B（4，4，8）、F（0，4，4）。…2分=（-4，4，-4），=（0，4，4），=（-4，0，4）…….4分=0+16-16=0，=16+0-16=0∴AF⊥平面FD1B1.…6分證法二：連結BF、DF，則BF是AF在面BC1上的射影，易證得BF⊥B1F，DF是AF在面DC1上的射影，也易證得DF⊥D1F，所以AF⊥平面FD1B1.（Ⅱ）解法一：=（2，4，0），=（-2，2，4）….9分設與的夾角為，則=…13分解法二：在B1C1上取點H，使B1H=1，連O1H和FH。易證明O1H∥EB，則∠FO1H為異面直線EB與F所成角。………...9分又O1H=BE=，HF==5，O1F==2，∴在△O1HF中，由余弦定理，得cos∠FO1H==………………….………………..13分

空間向量解決立體幾何問題教學目標：掌握用空間向量法解決立體幾何問題；空間向量法避免了抽象的推理論證，但在處理問題時用到函數(shù)與方程的思想求解有關的量，需加強學生的運算能力；在和同學們的共同探究中，學會將難題分解成多個簡單的小題，反之，多個簡單的小題組合成難題；教學重點：分析立體幾何用向量方法解決綜合問題的一般程序方法教學難點：對立體幾何中的翻折（旋轉）問題，解題的關鍵什么？教學過程：思考引入：點是邊長為的正方形的中心，點分別是的中點，沿對角線把正方形折成直二面角,求證：(2)求二面角的余弦值.二、例題選講：例1:是邊長為的正方形的中心，點分別是的中點，沿對角線把正方形折成二面角的大小為,(1)求證：(2)求二面角的余弦值.變式1：是邊長為的正方形的中心，點分別是的中點，沿對角線把正方形折成二面角的大小為,(1)求證：(2)當時，求二面角的正切值的范圍.變式2：為菱形的對角線的交點，,沿對角線翻折，記二面角的大小為，(1)求證：(2)當時，求二面角的余弦值的取值范圍.變式3.邊長為的正方形，點分別是的中點，沿把正方形折成二面角的大小為,為的中點，(1)求證：(2)棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.課堂小結：空間向量是解決立體幾何問題的簡易而又強有力的工具；若坐標系容易建立，優(yōu)勢更是顯而易見.注：與三角函數(shù)有關的求值域問題類型；作業(yè)：已知中，是斜邊邊上的一點，沿將折起使二面角是直二面角，(=1\*ROMANI)求證：;(=2\*ROMANII)當最短時，求二面角的正切值.2012立體幾何最新題型一、選擇題1．一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為π，則球的表面積為()A．8eq\r(2)πB．8πC．4eq\r(2)πD．4π[答案]B[解析]球的半徑R＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴S＝4πR2＝8π故選B.2．已知一個空間幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該空間幾何體的體積是()A.eq\f(14,3)B.eq\f(7,3)C．14D．7[分析]根據(jù)三視圖還原出空間幾何體，按照體積計算公式進行計算．[答案]A[解析]這個空間幾何體是一個一條側棱垂直于底面的四棱臺，這個四棱臺的高是2，上底面是邊長為1的正方形、下底面是邊長為2的正方形，故其體積V＝eq\f(1,3)×(12＋eq\r(12×22)＋22)×2＝eq\f(14,3).3．設矩形的邊長分別為a，b(a＞b)，將其按兩種方式卷成高為a和b的圓柱筒，以其為側面的圓柱的體積分別為Va和Vb，則()A．Va＞Vb B．Va＜VbC．Va＝Vb D．Va和Vb的大小不確定[答案]B[解析]由題意，Vb＝π(eq\f(a,2π))2b＝eq\f(1,4π)a2b，Va＝π(eq\f(b,2π))2a＝eq\f(1,4π)b2a，因為a＞b，所以Va＜Vb.4．(2010·新課標文)設長方體的長、寬、高分別為2a，a，aA．3πa2 B．6πa2C．12πa2 D．24πa2[答案]B[解析]本題考查了長方體的外接球的表面積的算法，此題是簡單題，在解決問題時首先考慮借助長方體和球的關系求得球的半徑．由題可知，長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點在同一個球面上，所以球的直徑等于長方體的體對角線的長度，故2R＝eq\r(4a2＋a2＋a2)，解得R＝eq\f(\r(6),2)a，所以球的表面積S＝4πR2＝6πa2，故選B.5．已知三棱錐O—ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y(tǒng)，若x＋y＝4，則三棱錐體積的最大值是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C．1 D.eq\f(4,3)[答案]B[解析]由條件可知V三棱錐O—ABC＝eq\f(1,6)OA·OB·OC＝eq\f(1,6)xy≤eq\f(1,6)(eq\f(x＋y,2))2＝eq\f(2,3)，當x＝y(tǒng)＝2時，取得最大值eq\f(2,3).6．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為()A．(16＋π)cm3 B．(16＋3π)cm3C．(20＋4π)cm3 D．(18＋π)cm3[分析]本題考查三視圖、長方體和圓柱體的體積計算，解題的關鍵是根據(jù)三視圖想象出幾何體的直觀圖，再利用體積公式進行求解．[答案]B[解析]由三視圖知，該幾何體的上部分是正四棱柱，下部分是圓柱．正四棱柱的底面邊長為4cm，高為1cm，其體積為16cm3；圓柱的底面半徑為1cm，高為3cm，其體積為3πcm3.所以該幾何體的體積為(16＋3π)cm3.7．若圓錐軸截面的頂角θ滿足eq\f(π,3)<θ<eq\f(π,2)，則其側面展開圖中心角α滿足()A.eq\f(π,4)<α<eq\f(π,3) B.eq\f(π,3)<α<eq\f(π,2)C.eq\f(π,2)<α<π D．π<α<eq\r(2)π[答案]D[解析]∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∴eq\f(θ,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，∴sinθ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).又eq\f(r,l)＝sinθ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，∴其側面展開圖中心角α＝eq\f(r,l)·2π∈(π，eq\r(2)π)．8．(2010·全國卷Ⅰ理)已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB＝CD＝2.則四面體ABCD的體積的最大值為()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(4\r(3),3) C．2eq\r(3) D.eq\f(8\r(3),3)[答案]B[解析]過CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，設點P到CD的距離為h，則有V四面體ABCD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×2×h＝eq\f(2,3)h，當直徑通過AB與CD的中點時，hmax＝2eq\r(22－12)＝2eq\r(3)，故Vmax＝eq\f(4\r(3),3).二、填空題9．(2010·天津理)一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為________．[答案]eq\f(10,3)[解析]由三視圖知，該幾何體由一個高為1，底面邊長為2的正四棱錐和一個高為2，底面邊長為1的正四棱柱組成，則體積為2×2×1×eq\f(1,3)＋1×1×2＝eq\f(10,3).10．(2011·廣東廣州)將圓心角為eq\f(2π,3)，面積為3π的扇形，作為圓錐的側面，則圓錐的表面積等于__________．[答案]4π[解析]設扇形的半徑為r，弧長為l，則有eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)·eq\f(2π,3)·r2＝3π，所以r＝3，l＝2π，于是圓錐的母線長為3，底面半徑為1，故表面積S＝π·1·3＋π·12＝4π.11．(2010·湖北理)圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如右圖所示)，則球的半徑是________cm.[答案]4[解析]設球的半徑為r，根據(jù)題意可得8πr2＋3×eq\f(4,3)πr3＝6πr3，解得r＝4.三、解答題12．已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi)接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它的側面積最大？側面積的最大值是多少？[解析]作軸截面如圖，令圓柱的高為h，底面半徑為r，側面積為S，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋r2＝R2，即h＝2×eq\r(R2－r2)，∴S＝2πrh＝4πr·eq\r(R2－r2)＝4πeq\r(r2·R2－r2)≤4πeq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r2＋R2－r2,2)))2)＝2πR2，當且僅當r2＝R2－r2時取等號，此時內(nèi)接圓柱底面半徑為eq\f(\r(2),2)R，高為eq\r(2)R，最大側面積等于2πR2.13．(2010·新課標卷)如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH為四棱錐的高．(1)證明：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB＝eq\r(6)，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱錐P－ABCD的體積．[解析]本題綜合考查立體幾何的知識，其中主要考查面面垂直的判定定理和棱錐的體積公式，在解決時要仔細審核題意，找準入手點進行解決，題目定位于中低檔題，考查處理立體幾何的常規(guī)方法．解：(1)因為PH是四棱錐P－ABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD內(nèi)，且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD，故平面PAC⊥平面PBD.(2)因為ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝eq\r(6)，所以HA＝HB＝eq\r(3).因為∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝eq\r(6)，HD＝HC＝1，可得PH＝eq\r(3)，等腰梯形ABCD的面積為S＝eq\f(1,2)AC×BD＝2＋eq\r(3).所以四棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)×(2＋eq\r(3))×eq\r(3)＝eq\f(3＋2\r(3),3).14．已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的側棱AA1垂直于底面，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AA1＝2，AB＝BC＝1，E，F(xiàn)分別為A1D，CD(1)求證：EF∥平面A1ACC1；(2)求證：CD⊥平面A1ACC1，并求四棱錐D—A1ACC1的體積．[證明](1)連A1C∵E、F分別為A1D，CD中點，∴EF∥A1C又∵A1C平面A1ACC1，EF?平面A1ACC1∴EF∥平面A1ACC(2)四邊形ABCD為直角梯形且AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝1，∴AC＝CD＝eq\r(2)，∴AD2＝AC2＋CD2，∴CD⊥AC，又∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥AA1，AA1平面A1ACC1.AC平面A1ACC1，∴CD⊥平面A1ACC1∴CD為四棱錐D—A1ACC1的高，∴V＝eq\f(1,3)SA1ACC1·CD＝eq\f(1,3)·eq\r(2)·2·eq\r(2)＝eq\f(4,3).15．如圖，側棱垂直于底面的三棱柱ABC—A1B1C1的底面ABC位于平行四邊形ACDE中，AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°，點B在線段DE(1)當點B在何處時，平面A1BC⊥平面A1ABB1；(2)點B在線段DE上運動的過程中，求三棱柱ABC—A1B1C1[分析]本題屬于立體幾何探究問題，第(1)問解題思路是逆向的推理問題，從結論下手，尋求解題突破口；第(2)問解決的關鍵是將動點轉化為代數(shù)表達式，從而將問題解決．[解析](1)由于三棱柱ABC—A1B1C1AA1⊥平面ABC，∵BC平面ABC，∴AA1⊥BC.而AA1∩AB＝A，只需BC⊥平面A1ABB1，即AB⊥BC，就有“平面A1BC⊥平面A1ABB1”在平行四邊形ACDE中，∵AE＝2，AC＝4，∠E＝60°.過點B作BH垂直AC于H，則BH＝eq\r(3).若AB⊥BC，有BH2＝AH×CH，∵AC＝4，∴AH＝1或3.兩種情況下，B為ED的中點或與點D重合．(2)三棱柱ABC—A1B1C1顯然其底面積和平面ACC1A1的面積為定值，只需保證側面ABB1A1和側面B1C過點B作BF垂直AC于F，則BF＝eq\r(3).令AF＝x，則側面ABB1A1和側面B1C1CB面積之和等于4×(AB＋BC)＝4[eq\r(3＋x2)＋eq\r(3＋4－x2)]．其中eq\r(3＋x2)＋eq\r(3＋4－x2)表示動點(x,0)到定點(0，－eq\r(3))和(4，eq\r(3))的距離之和，當且僅當x＝2時取得最小值．所以三棱柱的全面積的最小值為2×eq\f(4×\r(3),2)＋42＋4×2eq\r(7)＝4eq\r(3)＋8eq\r(7)＋16.[點評]立體幾何題中求值問題多數(shù)情況下是求體積和面積問題，解題時重點關注題目中的位置關系，垂直是求值的根源．本題中的動點問題，還有存在性問題都是當前高考命題的熱點，同學們需認真把握．

知識點3：立體幾何【5年真題】04（19）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點.（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；（=2\*ROMANII）求證AM⊥平面BDF；（=3\*ROMANIII）求二面角A—DF—B的大??；05（18）如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)求證：OD∥平面PAB；（=2\*ROMANII）求直線OD與平面PBC所成角的大小．06（17）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，底面，且，分別為的中點.(Ⅰ)求證：；（=2\*ROMANII）求與平面所成的角。07（20）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，，且，是的中點．（=1\*ROMANI）求證：；（=2\*ROMANII）求與平面所成的角的正切值．08(20)如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（Ⅰ）求證：AE//平面DCF；（=2\*RO