學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2.2空間兩條直線的位置關系學習目標1。了解兩條直線的三種位置關系.2。理解異面直線的定義及判定，能判斷兩條直線是不是異面直線。3。理解公理4和等角定理,并會用公理4證明線線平行.4。理解異面直線所成的角的概念．知識點一空間兩條直線的位置關系思考在同一平面內,兩條直線有幾種位置關系？觀察下面兩個圖形，你能找出既不平行又不相交的兩條直線嗎?答案平行與相交．教室內的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側所在的直線；六角螺母中直線AB與CD。梳理空間兩條直線的位置關系位置關系共面情況公共點個數(shù)相交直線在同一平面內有且只有一個平行直線在同一平面內沒有異面直線不同在任何一個平面內沒有知識點二異面直線的判斷思考分別在兩個平面內的兩條直線一定是異面直線嗎？答案不一定,可能平行、相交或異面．梳理判斷異面直線的方法方法內容定義法不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線定理法過平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經(jīng)過該點的直線是異面直線反證法判定兩條直線既不平行也不相交，那么這兩條直線就是異面直線知識點三平行公理（公理4）思考在平面內有直線a，b,c,若a∥b，b∥c，則a∥c，該結論在空間中是否成立？答案成立．梳理平行公理（1）文字表述:平行于同一條直線的兩條直線互相平行．（2）符號表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c.知識點四等角定理及異面直線所成的角思考1觀察圖象，在平行六面體ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC與∠A′D′C′，∠ADC與∠D′A′B′的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關系如何?答案從圖中可以看出,∠ADC＝∠A′D′C′,∠ADC＋∠D′A′B′＝180°。思考2在平行六面體A1B1C1D1—ABCD中,BC1∥AD1，則“直線BC1與直線BC所成的角”與“直線AD1與直線BC所成的角"是否相等？答案相等．梳理(1）等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等．(2)異面直線所成的角定義前提兩條異面直線a，b作法經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b結論我們把a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a,b所成的角范圍記異面直線a與b所成的角為θ，則0°<θ≤90°特殊情況當θ＝90°時，異面直線a,b互相垂直，記作a⊥b1．兩直線若不是異面直線，則必相交或平行．（√)2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，則∠BAC＝∠B′A′C′.（×)類型一公理4與等角定理的應用例1如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中,M，N分別是棱CD，AD的中點．求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；（2）∠DNM＝∠D1A1C1。證明（1）如圖，連結AC，在△ACD中，∵M，N分別是CD,AD的中點，∴MN是△ACD的中位線，∴MN∥AC，且MN＝eq\f（1，2)AC。由正方體的性質，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1，2）A1C1,即MN≠A1C1，∴四邊形MNA1C1是梯形．（2）由(1）可知，MN∥A1C1.又ND∥A1D1，且∠DNM與∠D1A1C1的兩邊的方向相同,∴∠DNM＝∠D1A1C1.反思與感悟（1)空間兩條直線平行的證明①定義法:即證明兩條直線在同一平面內且兩直線沒有公共點．②利用公理4找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．(2)等角定理的結論是相等，在實際應用時，一般是借助于圖形判斷兩角的兩邊方向是否相同．跟蹤訓練1如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M，M1分別是棱AD和A1D1的中點．求證：（1)四邊形BB1M1M為平行四邊形；(2）∠BMC＝∠B1M1C1。證明（1）在正方形ADD1A1中，M,M1分別為AD，A1D1的中點，∴A1M1∥AM，且A1M＝AM，∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，∴A1A∥M1M，且A1A＝M1M.又∵A1A∥B1B，A1A＝B1B，∴M1M∥B1B,且M1M＝B1B,∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．（2)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1∥CM.由平面幾何知識可知，∠BMC和∠B1M1C1都是銳角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.類型二異面直線的判斷例2（1）在四棱錐P—ABCD中，各棱所在的直線互為異面的有________對．答案8解析與AB異面的有側棱PD和PC,同理，與底面的各條邊異面的都有兩條側棱，故共有異面直線4×2＝8(對)．（2)如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB,CD，EF,GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？分別是哪幾對？解三對，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.還原的正方體如圖所示．反思與感悟判定異面直線的方法(1）定義法：利用異面直線的定義，說明兩條直線不平行，也不相交,即不可能同在同一個平面內．(2）利用異面直線的判定定理．（3)反證法：假設兩條直線不是異面直線,根據(jù)空間兩條直線的位置關系，這兩條直線一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可．跟蹤訓練2如圖所示，在三棱錐A—BCD中，E，F(xiàn)是棱AD上異于A,D的兩個不同點，G,H是棱BC上異于B，C的兩個不同點,給出下列說法：①AB與CD互為異面直線；②FH分別與DC,DB互為異面直線；③EG與FH互為異面直線;④EG與AB互為異面直線．其中說法正確的是________．(填序號）答案①②③④解析因為直線DC?平面BCD，直線AB?平面BCD，點B?直線DC，所以由異面直線的判定定理可知，①正確；同理，②③④正確．1．若a和b是異面直線,b和c是異面直線,則a和c的位置關系是______________．答案相交、平行或異面解析異面直線不具有傳遞性,可以以長方體為載體加以說明，異面直線a，b，直線c的位置可如圖所示．2．下列四個結論中錯誤命題的個數(shù)是________．①垂直于同一直線的兩條直線互相平行;②平行于同一直線的兩直線平行；③若直線a,b，c滿足a∥b，b⊥c，則a⊥c;④若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線．答案2解析①④均為錯誤命題．①可舉反例，如a，b，c三線兩兩垂直．④如圖甲，c，d與異面直線l1,l2交于四個點,此時c,d異面；當點A在直線l1上運動(其余三點不動)時，會出現(xiàn)點A與B重合的情形,如圖乙所示，此時c,d共面相交．3．在三棱錐的所有棱中,互為異面直線的有________對．答案3解析如圖，在三棱錐A—BCD中，AB與CD異面，BC與AD異面，AC與BD異面，所以有3對異面直線．4.如圖所示,在三棱錐A-BCD中,E，F(xiàn),G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則當AC，BD滿足________時，四邊形EFGH為菱形;當AC，BD滿足________時，四邊形EFGH是正方形．答案AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD解析由題意可得EF∥AC∥HG,且EF＝eq\f（1,2）AC＝HG，∴四邊形EFGH為平行四邊形,又EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2）BD＝FG，∴當EF＝FG,即AC＝BD時,四邊形EFGH為菱形；當EF⊥FG且EF＝FG,即AC⊥BD且AC＝BD時，四邊形EFGH為正方形．5.如圖所示，已知E，F(xiàn),G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD,DA的中點．(1)求證:E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2）若AC⊥BD，求證：四邊形EFGH是矩形．證明(1)如圖所示，連結EF,FG，GH，HE，在△ABD中，∵E，H分別是AB,AD的中點，∴EH∥BD，且EH＝eq\f（1,2）BD。同理FG∥BD，且FG＝eq\f（1，2)BD，∴EH∥FG,且EH＝FG，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．（2）由（1)知EH∥FG，且EH＝FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形．∵HG是△ADC的中位線,∴HG∥AC.又EH∥BD，AC⊥BD，∴EH⊥HG,∴四邊形EFGH為矩形．1．判定兩直線的位置關系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．對于異面直線的判斷，常用判定定理和反證法．2．在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉化，這是我們學習立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強調的是，兩條異面直線所成角的范圍為(0°，90°］，在解題時經(jīng)常結合這一點去求異面直線所成角的大?。鳟惷嬷本€所成的角,可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法:①直接平移法（可利用圖中已有的平行線）；②中位線平移法；③補形平移法(在已知圖形中，補作一個相同的幾何體,以便找到平行線)．一、填空題1．已知空間兩個角α，β，α與β的兩邊對應平行，且α＝60°，則β＝________.答案60°或120°2．如圖所示，G,H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形是________．(填序號)答案②④解析①中，∵G，M是中點，∴AG∥BM，AG＝BM,∴GM∥AB∥HN，GM＝AB＝HN，故四邊形GHNM為平行四邊形，∴GH∥MN，即G，H，M，N四點共面；②中，∵H，G，N三點共面，且都在平面HGN內,而點M顯然不在平面HGN內，∴H，G，M，N四點不共面，即GH與MN異面；③中，∵G，M是中點,∴GM∥CD，且GM＝eq\f（1，2)CD,∴GM∥HN，且GM＝eq\f(1,2)HN，即GMNH是梯形,則HG,MN必相交，即H，G,M，N四點共面；④中，同②，G，H,M,N四點不共面,即GH與MN異面．3．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同,則下列結論中正確的是________．(填序號)①OB∥O1B1且方向相同；②OB∥O1B1；③OB與O1B1不平行；④OB與O1B1不一定平行．答案④解析如圖（1），∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1但OB與O1B1不平行，故①②排除；如圖（2），∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，此時OB∥O1B1，故③排除．4．下列三種說法：①若直線a，b相交,b，c相交,則a，c相交；②若a∥b,則a，b與c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c,則a∥c.其中正確的個數(shù)是________．答案1解析若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行、異面均有可能，故①不對;若a⊥b，b⊥c，則a，c平行、相交、異面均有可能，故③不對；②正確．5．已知在空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點,且AC＝4，BD＝6，則MN的取值范圍為________．考點平行公理題點判斷、證明線線平行答案(1，5）解析取AD的中點H，連結MH，NH，則MH∥BD，且MH＝eq\f(1,2）BD,NH∥AC，且NH＝eq\f(1,2)AC,且M，N，H三點構成三角形,由三角形中三邊關系，可得MH－NH〈MN〈MH＋NH，即1〈MN〈5.6。如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1,C1C的中點，有以下四個結論:①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結論為________．(寫出所有正確結論的序號)答案③④解析∵A,M，C，C1四點不共面，∴直線AM與CC1是異面直線，故①錯；同理,直線AM,BN也是異面直線,故②錯；同理，直線BN與MB1是異面直線，直線AM與DD1是異面直線，∴③④正確．7。如圖所示，設E，F(xiàn)，G,H依次是空間四邊形ABCD邊AB，BC，CD，DA上除端點外的點，eq\f(AE，AB)＝eq\f（AH，AD)＝λ,eq\f（CF，CB)＝eq\f(CG,CD)＝μ,則下列結論中不正確的是________．（填序號）①當λ＝μ時，四邊形EFGH是平行四邊形；②當λ≠μ時,四邊形EFGH是梯形；③當λ≠μ時，四邊形EFGH一定不是平行四邊形;④當λ＝μ時，四邊形EFGH是梯形．答案④解析由eq\f（AE，AB)＝eq\f(AH，AD）＝λ，得EH∥BD，且eq\f（EH,BD）＝λ。同理得FG∥BD,且eq\f（FG,BD）＝μ。當λ＝μ時，EH∥FG且EH＝FG.當λ≠μ時，EH∥FG,但EH≠FG.所以只有④錯誤．8．如果把兩條異面直線看成“1對”,那么六棱錐的棱所在的12條直線中,異面直線共有________對．答案24解析六條側棱不是異面直線，一條側棱與底面六邊形的兩條邊相交，與另外四條邊異面，這樣異面直線一共有4×6＝24（對）．9．一個正方體紙盒展開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結論：①AB⊥EF；②EF與MN是異面直線；③MN∥CD.以上結論中正確的序號為________．答案①②解析把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF,EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①②正確．10．從正方體的棱和各個面上的對角線中選出k條,使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是________．答案4解析正方體共有8個頂點，若選出的k條線兩兩異面,則不能共頂點,即至多可選出4條，∴k的最大值為4。二、解答題11。如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD,且BC＝eq\f（1，2）AD，BE∥FA，且BE＝eq\f(1，2）FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．(1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形;（2)判斷C，D，F(xiàn),E四點是否共面？為什么？(1）證明由已知得FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH∥AD，且GH＝eq\f(1,2)AD。又BC∥AD，且BC＝eq\f(1，2）AD,∴GH∥BC，且GH＝BC，∴四邊形BCHG為平行四邊形．（2)解由BE∥AF，且BE＝eq\f(1，2)AF，G為FA的中點知，BE∥FG,且BE＝FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG。由(1)知BG∥CH，且BG＝CH，∴EF∥CH,∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點共面．12.如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對應頂點的連線AA′、BB′、CC′交于同一點O，且eq\f(OA，OA′)＝eq\f（BO,OB′）＝eq\f（CO,OC′)＝eq\f（2，3)。(1)求證：A′B′∥AB,A′C′∥AC,B′C′∥BC；（2)求eq\f(S△ABC，S△A′B′C′）的值．(1）證明∵AA′∩BB′＝O,且eq\f(AO,A′O）＝eq\f（BO,B′O）＝eq\f(2，3),∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′。(2）解∵A′B′∥AB，A′