學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2.3直線與平面的位置關(guān)系第1課時直線與平面平行的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握直線與平面的三種位置關(guān)系，會判斷直線與平面的位置關(guān)系.2。掌握空間中直線與平面平行的判定定理．知識點一直線與平面的位置關(guān)系思考如圖所示,在長方體ABCD—A1B1C1D1中，線段BC1所在的直線與長方體的六個面所在的平面有幾種位置關(guān)系？答案三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)；(2)直線與平面相交；（3）直線與平面平行．梳理直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有無數(shù)個公共點有且只有一個公共點沒有公共點符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示知識點二直線與平面平行的判定定理思考1如圖,一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面α內(nèi),把這塊木板繞AB轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中，AB的對邊CD（不落在α內(nèi))和平面α有何位置關(guān)系?答案平行．思考2如圖,平面α外的直線a平行于平面α內(nèi)的直線b.這兩條直線共面嗎?直線a與平面α相交嗎?答案由于直線a∥b，所以兩條直線共面，直線a與平面α不相交．梳理表示定理圖形文字符號直線與平面平行的判定定理如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a?α，b?α，a∥b））?a∥α1．若直線a與平面α內(nèi)的所有直線都不平行,則a不平行于平面α.(√）2．兩條平行線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行．(×)類型一直線與平面的位置關(guān)系例1下列說法中正確的是________．(填序號)①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α,那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b滿足a∥α，b∥α,那么a∥b;④如果平面α的同側(cè)有兩點A，B到平面α的距離相等,那么AB∥α。答案④解析如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，但AA′在過BB′的平面AB′內(nèi)，故①不正確；AA′∥平面B′C,BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，故②不正確；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′與A′D′相交，所以③不正確；④顯然正確．反思與感悟（1)此類題在求解時，常受思維定勢影響,誤以為直線在平面外就是直線與平面平行．（2）判斷直線與平面位置關(guān)系的問題，其解決方式除了定義法外，還可以借助模型（如長方體）和舉反例兩種行之有效的方法．跟蹤訓(xùn)練1若直線a不平行于平面α，則下列結(jié)論成立的是________．（填序號）①α內(nèi)的所有直線都與直線a異面；②α內(nèi)不存在與a平行的直線；③α內(nèi)的直線都與a相交；④直線a與平面α有公共點．答案④解析直線a不平行于平面α，則a與平面α相交或a?α，故④正確．類型二線面平行的判定定理及應(yīng)用eq\x(命題角度1以錐體為背景證明線面平行)例2如圖,M，N分別是底面為矩形的四棱錐P—ABCD的棱AB，PC的中點，求證:MN∥平面PAD。證明如圖所示，取PD的中點E，連結(jié)AE，NE，∵N是PC的中點，∴EN∥DC，EN＝eq\f(1，2)DC。又∵AM∥CD，AM＝eq\f(1，2)CD，∴NE∥AM，NE＝AM,∴四邊形AMNE是平行四邊形，∴MN∥AE。又∵AE?平面PAD,MN?平面PAD,∴MN∥平面PAD。反思與感悟利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找出一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、平行公理等．跟蹤訓(xùn)練2如圖,四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點，M，N分別是AB,PC的中點．求證:MN∥平面PAD.考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的證明證明如圖，取PD的中點G,連結(jié)GA,GN.∵G，N分別是△PDC的邊PD，PC的中點，∴GN∥DC，GN＝eq\f（1,2）DC.∵M為平行四邊形ABCD的邊AB的中點，∴AM＝eq\f（1，2)DC,AM∥DC,∴AM∥GN,AM＝GN,∴四邊形AMNG為平行四邊形，∴MN∥AG.又∵MN?平面PAD，AG?平面PAD,∴MN∥平面PAD.eq\x(命題角度2以柱體為背景證明線面平行）例3如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F(xiàn)分別是棱AB,BC,A1C1的中點，求證：EF∥平面A1CD。證明∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，F(xiàn)為A1C1的中點，∴A1F綊eq\f(1,2)AC，∵D，E分別是棱AB，BC的中點，∴DE綊eq\f（1,2）AC,∴A1F綊DE,則四邊形A1DEF為平行四邊形,∴EF∥A1D。又EF?平面A1CD且A1D?平面A1CD，∴EF∥平面A1CD.反思與感悟證明以柱體為背景包裝的線面平行證明題，常用線面平行的判定定理，遇到題目中含有線段中點，常利用取中點去尋找平行線的方法．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，已知長方體ABCD—A1B1C1D1。(1)求證：BC1∥平面AB1D1；(2）若E，F(xiàn)分別是D1C，BD的中點，求證:EF∥平面ADD1A1。證明(1)∵BC1∥AD1，BC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.(2）∵點F為BD的中點，∴F為AC的中點．又∵點E為D1C的中點，∴EF∥AD1，∵EF?平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1,∴EF∥平面ADD1A1.1．下列命題中正確命題的個數(shù)是________．①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α;②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行；③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行．答案0解析①中，當(dāng)l∩α＝A時，除A點以外所有的點均不在α內(nèi)；②中，當(dāng)l∥α?xí)r，α中有無數(shù)條直線與l異面;③中，另一條直線可能在平面內(nèi)．2．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中點，則A1C1與平面ACE的位置關(guān)系為________．考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案平行解析∵A1C1∥AC，A1C1?平面ACE,AC?平面ACE，∴A1C1∥平面ACE。3．如圖（1)，已知正方形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB,CD的中點，將△ADE沿DE折起，如圖(2）所示,則BF與平面ADE的位置關(guān)系是________．答案平行解析∵BF∥DE，DE?平面ADE，BF?平面ADE，∴BF∥平面ADE.4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E,F分別是面對角線A1D，B1D1的中點，則正方體6個面中與直線EF平行的平面有________________．答案平面C1CDD1和平面A1B1BA解析如圖，連結(jié)A1C1,C1D，在△A1C1D中，EF為中位線，∴EF∥C1D，又EF?平面C1CDD1，C1D?平面C1CDD1，∴EF∥平面C1CDD1.同理可得EF∥平面A1B1BA.故與EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.5．如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點O是AC與BD的交點．求證：B1O∥平面A1C1D.證明如圖，連結(jié)B1D1，交A1C1于點O1，連結(jié)DO1.∵O1B1＝DO，O1B1∥DO，∴四邊形O1B1OD為平行四邊形，∴B1O∥O1D。∵B1O?平面A1C1D，O1D?平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D。1．直線與平面的位置關(guān)系，其分類方式有兩種：一類是按直線與平面是否有公共點，另一類是按直線是否在平面內(nèi)．2．直線與平面平行的關(guān)鍵是在已知平面內(nèi)找出一條直線和已知直線平行,即要證直線和平面平行,先證直線和直線平行，即由立體向平面轉(zhuǎn)化，由高維向低維轉(zhuǎn)化．一、填空題1．下列命題正確的是________．（填序號)①若一條直線a與平面α平行，則直線a與平面α沒有公共點；②若一條直線a與平面α有公共點，則直線a與平面α相交;③若一條直線a與平面α有兩個公共點，則a?α。答案①③解析因為當(dāng)a∥α?xí)r，a與α無公共點,所以①正確；因為當(dāng)直線a與平面α有兩個公共點時，a?α，所以②錯誤,③正確．2．若直線l與平面α不平行，則下列結(jié)論正確的是______．（填序號）①α內(nèi)的所有直線都與直線l異面；②α內(nèi)不存在與l平行的直線；③α內(nèi)的直線與l相交;④直線l與平面α有公共點．答案④解析①中，過公共點的直線與直線l相交，不異面,①錯誤；②③中，當(dāng)l?α?xí)r，α內(nèi)有無數(shù)多條直線與l平行，故②③錯；④中，直線l與平面α不平行，則直線l與平面α相交或在平面內(nèi)，所以l與平面α有公共點，故④正確．3．若平面外一條直線上有兩點到該平面的距離相等,則這條直線與平面的位置關(guān)系是________．答案平行或相交解析當(dāng)兩點在平面的一側(cè)時，這條直線與平面平行；當(dāng)兩點在平面的兩側(cè)時，這條直線與平面相交．所以這條直線與平面的位置關(guān)系是平行或相交．4.若P是△ABC所在平面外一點，E，F(xiàn),G分別是AB，BC,PC的中點，則圖中與過E，F(xiàn)，G的截面平行的線段有________條．答案2解析由題意知，EF∥AC，F(xiàn)G∥PB,∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2條與平面EFG平行的線段．5。如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形CDEF為矩形，M，N分別是BF，BC的中點，則MN與平面ADE的位置關(guān)系是________．（填“平行”或“相交"）答案平行解析∵M，N分別是BF,BC的中點,∴MN∥CF。又四邊形CDEF為矩形,∴CF∥DE,∴MN∥DE.又MN?平面ADE，DE?平面ADE，∴MN∥平面ADE。6.如圖所示，長方體ABCD—A1B1C1D1中，與BC平行的平面是________;與BC1平行的平面是________；與平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________．答案平面A1C1與平面AD1平面AD1CD解析觀察圖形，根據(jù)判定定理可知，與BC平行的平面是平面A1C1與平面AD1；與BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A1C1與平面A1B的交線是A1B1，所以與其都平行的棱是CD.7．若AB,BC，CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，則經(jīng)過它們中點的平面和直線AC的位置關(guān)系是________．答案平行解析這三條線段放在正方體內(nèi)如圖，顯然AC∥EF，AC?平面EFG.EF?平面EFG，故AC∥平面EFG。8．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3,則對角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是________．答案平行解析∵AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3,∴EF∥AC.又∵EF?平面DEF，AC?平面DEF,∴AC∥平面DEF.9．過平行六面體ABCD－A1B1C1D1任意兩條棱的中點作直線，其中與平面DBB1D1平行的直線共有________條．答案12解析如圖所示，與BD平行的有4條,與BB1平行的有4條,四邊形GHFE的對角線與平面BB1D1D平行,同等位置有4條,總共12條．10．如圖,四個正方體中，A,B為正方體的兩個頂點，M，N,P分別為其所在棱的中點，則能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是________．(寫出所有符合要求的圖形序號)答案①③解析①如圖（1)，Q為所在棱的中點，連結(jié)MQ，NQ,PQ，則NQ∥AB，且NQ?平面MNP,AB?平面MNP，∴AB∥平面MNP.②過N作AB的平行線交底面正方形于其中心O，NO?平面MNP,AB?平面MNP，∴AB與平面MNP不平行．③易知AB∥MP，MP?平面MNP，AB?平面MNP，∴AB∥平面MNP。④如圖(2)，過M作MC∥AB，∵MC?平面MNP，AB?平面MNP,∴AB與平面MNP不平行．二、解答題11.如圖所示，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，Q是PA的中點．求證:PC∥平面BDQ.證明連結(jié)AC，交BD于O,連結(jié)OQ，因為底面ABCD為正方形,所以O(shè)為AC的中點．又因為Q是PA的中點,所以O(shè)Q∥PC,又因為OQ?平面BDQ，PC?平面BDQ,所以PC∥平面BDQ.12．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，AC，BD相交于點O，點G為BC的中點．求證：OG∥平面EFCD.證明∵四邊形ABCD是菱形，AC∩BD＝O,∴點O是BD的中點．又點G為BC的中點，∴OG∥CD.又OG?平面EFCD，CD?平面EFCD，∴OG∥平面EFCD.13.如圖,四邊形ABCD為正方形，△ABE為等腰直角三角形，AB＝AE,P是線段CD的中點,在直線AE上是否存在一點M，使得PM∥平面BCE。若存在,指出點M的位置，并證明你的結(jié)論．考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的證明解如圖，存在點M，當(dāng)點M是線段AE的中點時,PM∥平面BCE。取BE的中點N,連結(jié)CN，MN，MN∥AB且MN＝eq\f（1，2）AB,又PC∥AB且PC＝eq\f（1，2）AB，所以四邊形MNCP為平行四邊形,所以PM∥CN.因為PM?平面BCE，CN?平面BCE，所以PM∥平面BCE.三、探究與拓展14．如圖,在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________．考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案平面ABC，平面ABD解析連結(jié)BN，AM，并延長交CD于點E.由題意易得MN∥AB，MN?平面ABC，AB?平面ABC，AB?平面ABD，∴MN∥平面ABC，MN∥平面ABD.15．已知點S是正