2022-2023學(xué)年四川省瀘州市瀘縣第五中學(xué)高二上學(xué)期12月月考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．拋物線y＝4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（0，1） B．（1，0） C． D．【答案】C【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得選項(xiàng).【詳解】解：將拋物線y＝4x2的化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，p＝，開口向上，焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）.故選：C．2．下圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則和的值分別為A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，7【答案】B【分析】利用莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)的性質(zhì)直接求解．【詳解】由莖葉圖得：∵甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，∴65＝60+y，解得y＝5，∵平均值也相等，∴，解得x＝3．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．已知命題，命題的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)命題的否定的定義，寫出命題的否定，然后判斷．【詳解】命題的否定是：．故選：B．4．已知且，下列不等式正確的是（）A． B． C．a(chǎn)-b>0 D．a(chǎn)+b>0【答案】C【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，故錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：成立，故正確；D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，故錯(cuò)誤故選：C5．在如圖所示的程序框圖中，如果輸入的，那么輸出的i等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根據(jù)程序框圖逐次計(jì)算每次判斷的奇偶性前各變量的值，結(jié)合的值判斷循環(huán)何時(shí)終止，從而得到輸出的的值.【詳解】解：由框圖知：第一次判斷為奇偶性前，，；第二次判斷為奇偶性前，，；第三次判斷為奇偶性前，，；第四次判斷為奇偶性前，，；第五次判斷為奇偶性前，，；第六次判斷為奇偶性前，，；此時(shí)判斷，終止循環(huán)輸出.故選：C.6．若x，y滿足約束條件，z=2x-3y的最大值為（

）A．9 B．6 C．3 D．1【答案】A【解析】畫出不等式組表示的可行域，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出可行域：由得，它表示斜率為縱截距為的直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最小，最大，此時(shí)，，故選：A7．已知直線和直線互相平行，則（

）A．1 B． C． D．0【答案】C【分析】根據(jù)兩直線互相平行斜率相等可得答案.【詳解】由，解得，經(jīng)檢驗(yàn)均滿足題意.故選：C.8．已知命題，命題，則下列判斷正確的是（

）A．是真命題 B．q是真命題C．是真命題 D．是真命題【答案】C【分析】先根據(jù)基本不等式判斷命題的真假，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷命題的真假，再根據(jù)命題的命題與邏輯連接詞關(guān)系判斷選項(xiàng).【詳解】命題：當(dāng)時(shí)，，根據(jù)基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故等號(hào)不成立，命題為真命題；命題：因?yàn)樵诙x域內(nèi)為增函數(shù)，故，命題為假命題，為真命題.故選：C9．設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，且，則（

）A．3 B．-1 C．3或-1 D．-3或1【答案】C【分析】化出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，利用垂徑定理列方程求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，直線的一般方程為則由已知得，解得或故選：C.10．已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的兩條漸近線互相垂直，即可求得雙曲線的漸近線方程為，然后可以求得右焦點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】∵雙曲線的兩條漸近線互相垂直，∴雙曲線的兩條漸近線的斜率為，∴雙曲線的漸近線方程為，又∵，，∴，∴，即右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則右焦點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：.11．過點(diǎn)P(3，5)作圓C：(x+2)2+y2=10的切線，若切點(diǎn)為A，B，則直線AB的方程是A．x+y+2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+y=0 D．x+y﹣3=0【答案】C【解析】求出以為直徑的圓的方程，兩個(gè)圓方程相減可得直線方程．【詳解】圓的圓為，由切線性質(zhì)知在以為直徑的圓上，的中點(diǎn)為，，所以以為直徑的圓方程為，即，圓的方程為，兩式相減得，即，此即為直線方程．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查切點(diǎn)弦所在直線方程，由圓的性質(zhì)知圓外點(diǎn)，圓心，兩切點(diǎn)四點(diǎn)共圓，此圓直線就是，而是兩圓的公共弦．12．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作與軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)，且滿足，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則該橢圓的離心率為A． B． C．或 D．【答案】A【詳解】分析：根據(jù)向量共線定理及，，可推出，的值，再根據(jù)過點(diǎn)作與軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），可推出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出過橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線的方程，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得，，三者關(guān)系，進(jìn)而可得橢圓的離心率.詳解：∵、、三點(diǎn)共線，∴又∵∴或∵∴∵過點(diǎn)作與軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）∴，∵過橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)∴直線的方程為為∴∵∴，即.∴，即.∴∵∴故選A.點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．二、填空題13．已知直線過拋物線：的焦點(diǎn)，則______．【答案】【分析】根據(jù)直線過拋物線的焦點(diǎn)，可確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得答案.【詳解】因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，又過拋物線的焦點(diǎn)，則即為拋物線的焦點(diǎn)，所以，故，故答案為：3.14．設(shè)，，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)題目條件得到，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】是的充分條件，故，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：15．已知，，且，則的最小值為______.【答案】4【分析】利用“1”的妙用，運(yùn)用基本不等式即可求解.【詳解】∵，即，∴又∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為4.故答案為：.16．已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，棱錐的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為1，則球的表面積為___________.【答案】【分析】設(shè)為正三角形ABC的中心，則⊥平面ABC，正三棱錐S?ABC的外接球的球心O在上，在Rt△中利用勾股定理求出SA的長，再在Rt△中利用勾股定理即可求出R的值，從而得到球O的表面積．【詳解】如圖所示：設(shè)為正三角形ABC的中心，連接，則⊥平面ABC，正三棱錐S?ABC的外接球的球心O在上，設(shè)球的半徑為R，連接AO，，∵△ABC的邊長為，∴，又∵，∴在Rt△中，，在Rt△中，OA＝R，，，∴，解得：，∴球O的表面積為．故答案為：．三、解答題17．為了解某市家庭用電量的情況，該市統(tǒng)計(jì)局調(diào)查了若干戶居民去年一年的月均用電量（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)月均用電量的眾數(shù)；(2)求a的值；(3)為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計(jì)劃采用階梯電價(jià)，月均用電量不高于平均數(shù)的為第一檔，高于平均數(shù)的為第二檔，已知某戶居民月均用電量為，請(qǐng)問該戶居民應(yīng)該按那一檔電價(jià)收費(fèi)，說明理由.【答案】(1)175(2)0.004(3)該居民該戶居民應(yīng)該按第二檔電價(jià)收費(fèi)，理由見解析【分析】（1）在區(qū)間對(duì)應(yīng)的小矩形最高，由此能求出眾數(shù)；（2）利用各個(gè)區(qū)間的頻率之和為1，即可求出值；（3）求出月均用電量的平均數(shù)的估計(jì)值即可判斷.【詳解】（1）由題知，月均用電量在區(qū)間內(nèi)的居民最多，可以將這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)175作為眾數(shù)的估計(jì)值，所以眾數(shù)的估計(jì)值為175.（2）由題知：，解得則的值為0.004.（3）平均數(shù)的估計(jì)值為：，則月均用電量的平均數(shù)的估計(jì)值為，又∵∴該居民該戶居民應(yīng)該按第二檔電價(jià)收費(fèi).18．已知命題方程表示橢圓，命題：．（1）若命題為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若為真，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）分類討論及結(jié)合一元二次不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）若為真，為真，則為假命題，為真命題，建立不等式關(guān)系求解即可.【詳解】（1）命題：，為真命題，當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)為，為真命題；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.綜上知，.

（2）若為真，則，解得且，若為真，為真，則為假命題，為真命題，所以或或，解得或.即實(shí)數(shù)的取值范圍是或.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合命題之間的關(guān)系，根據(jù)條件合理轉(zhuǎn)化，建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19．已知函數(shù).（1）解不等式：；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值.【答案】（1）；（2）最小值是3.【解析】（1）把化為，解不等式即可；（2）利用均值不等式求最值.【詳解】（1）由，得，又，解之得：或.即原不等式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即或0(舍)時(shí)，“=”成立.所以的最小值是3.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方．20．已知點(diǎn)F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)M(x0,1)在C上,且|MF|=.(1)求p的值;(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)Q(3,-1)且與C交于A,B(異于M)兩點(diǎn),證明:直線AM與直線BM的斜率之積為常數(shù).【答案】（1）；（2）【分析】（1）拋物線定義知|，則，求得x0=2p，代入拋物線方程，；（2）由（1）得M（1，1），拋物線C：y2=x，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)Q（3，-1）且垂直于x軸時(shí)，直線AM的斜率，直線BM的斜率，．當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，直線l的方程為y+1=k（x-3），代入拋物線方程，由韋達(dá)定理及斜率公式求得，即可證明直線AM與直線BM的斜率之積為常數(shù)．【詳解】(1)由拋物線定義知|MF|=x0+,則x0+=x0,解得x0=2p,又點(diǎn)M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)Q(3,-1)且垂直于x軸時(shí),不妨設(shè)A(3,),B(3,-),則直線AM的斜率kAM=,直線BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=-×=-.當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AM的斜率kAM===,同理直線BM的斜率kBM=,∴kAM·kBM=·=.設(shè)直線l的斜率為k(顯然k≠0且k≠-1),則直線l的方程為y+1=k(x-3).聯(lián)立消去x,得ky2-y-3k-1=0,所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM===-.綜上,直線AM與直線BM的斜率之積為-.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線的斜率公式及韋達(dá)定理的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．21．如圖，C是以為直徑的圓上異于的點(diǎn)，平面平面分別是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若直線與平面所成角的正切值為2，求銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由分別是的中點(diǎn)，得到，在由是圓的直徑，所以，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，證得面，即可證得面；（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，過C垂直于面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：在，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槭菆A的直徑，所以，又由平面平面，平面平面，且平面，所以面，因?yàn)?，所以?（2）解：由（1）知面，所以直線與平面所成角為，由題意知，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，過C垂直于面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，，設(shè)面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)面的法向量為，則，取，可得，所以，則，所以銳二面角的余弦值為.22．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓：的左焦點(diǎn)作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)求面積的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使直線的斜率等于時(shí)，橢圓上存在一點(diǎn)滿足?若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析